Реферат з курсу “
Введение в численные методы
”
Тема: “КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ”
Содержание
1. Приведение к системе уравнений первого порядка
2. Разностное представление систем дифференциальных уравнений
3. Разностные системы уравнений для краевых задач
4. Краевые задачи второго порядка
5. Разностные схемы для уравнений в частных производных
6. Повышение точности разностных схем
7. Сеточные методы для нестационарных задач
Литература
1. Приведение к системе уравнений первого порядка
Для решения систем дифференциальных уравнений высокого порядка методами конечных разностей в первую очередь возникает потребность преобразования исходной системы в систему дифференциальных уравнений первого порядка с соответствующим образом преобразованными начальными или граничными условиями. И уже далее реализовывать численную процедуру решения.
Преобразование в систему уравнений первого порядка не единственно. Наиболее популярные из них в большинстве своем касаются линейных систем с постоянными или переменными коэффициентами. Основная идея всех методов состоит во введении новых переменных и выполнении замены высших производных этими переменными.
Пусть неоднородное дифференциальное уравнение высокого порядка задано в виде:
где
– соответственно i-
тая производная искомого решения и ее значение в начальный момент,
– функция, описывающая внешнее воздействие на динамический объект.
Обозначим первую производную искомой функции новой переменной
, первую производную
– следующей переменной:
, первую производную
– переменной
и т.д.. Таким образом из исходной системы мы сформируем
дифференциальное уравнение первого порядка:
При таких заменах производных искомой функции
ее n
-ная производная оказывается равной первой производной от
:
В результате, эквивалентная система дифференциальных уравнений первого порядка примет следующий вид:
В случае, когда правая часть представлена взвешенной суммой функции
и ее производных и в целом дифференциальное уравнение имеет вид
то его преобразование в систему уравнений первого порядка с новыми переменными
осуществляется по следующим формулам:
Такое преобразование сохраняет коэффициенты исходного уравнения неизменными и исключает производные в правой части от
. Начальные условия для новых переменных здесь приходится пересчитывать по достаточно сложным соотношениям.
И, наконец, приведем еще один вариант разложения на систему уравнений первого порядка исходного неоднородного уравнения с производными в правой части:
Замена переменных в отличие от предыдущего случая производится без сохранения коэффициентов исходного уравнения:
Производные искомой функции
можно выразить через вновь введенные переменные
путем многократного дифференцирования левой и правой части соотношения для y
с подстановкой после каждого дифференцирования производных
:
Умножив каждое выражение для
на коэффициенты
и просуммировав правые и левые члены равенств, получим уравнение, которое отличается от исходного лишь коэффициентами при производных в правых частях. Чтобы добиться тождественности, необходимо коэффициенты при соответствующих производных приравнять и разрешить полученную систему уравнений относительно неизвестных
.
Система уравнений имеет вид:
В векторно-матричной форме это уравнение и его решение записываются в следующем виде:
где
– вектор известных коэффициентов,
– вектор искомых коэффициентов,
– соответственно прямая и обратная верхне-треугольные матрицы коэффициентов. Первая из них выглядит так:
.
Обратная матрица удобна при использовании математических пакетов для решения векторно-матричного уравнения. Если
, то коэффициенты
легко вычисляются последовательной подстановкой значений
, начиная с .
Начальные условия для
вычисляются по выражениям для
следующим образом:
или в векторно-матричной форме:
,
.
2. Разностное представление систем дифференциальных уравнений
Представление системы дифференциальных уравнений первого порядка с начальными условиями
можно заменить системой конечно-разностных уравнений первого порядка с целочисленной независимой переменной i
(
):
,
погрешность аппроксимации которого пропорциональна сеточному шагу h
.
Выше было уже показано, как можно уменьшить погрешность аппроксимации, делая ее пропорциональной
. В частности это можно сделать, использовав среднее арифметическое двух разностей первого порядка: “вперед” и “ назад”.
При такой замене производной мы получаем систему разностных уравнений, состоящую из разностных уравнений второго порядка, требующих, кроме известного вектора начальных условий
, еще один дополнительный вектор
:
.
Дополнительный вектор начальных условий достаточно вычислить по формуле Эйлера. Он и определит дополнительное начальное условие с ошибкой, пропорциональной второй степени h
:
Подстановка таких начальных условий в решение сохранит погрешность результатов на уровне
. В таком случае говорят, что разностная схема имеет второй порядок точности.
3. Разностные системы уравнений для краевых задач
Исходные дифференциальные уравнения во многих физических и технических применениях решаются для случаев, когда заданы значения искомых функции и/или ее производных в различных точках интервала интегрирования и, в частности - на концах интервала. Такого рода уравнения в обыкновенных производных или системы из таких уравнений называются краевой задачей.
Общим методом решения краевой задачи является преобразование ее в систему алгебраических уравнений относительно множества неизвестных значений искомой функции, выбранных в точках, равномерно расположенных на оси абсцисс, т.е. заданных на сетке известных значений независимой переменной.
Для линейной системы уравнений первого порядка, записанной в матричной форме относительно вектора
как
,
обязательно задается полный набор краевых условий
, включающий хотя бы одно значение
, или набор комбинаций из значений
и
Обычно задаваемое граничное значение совмещается с тем или иным n-
ным сеточным значением независимой переменной. Это позволяет обходиться без преобразования граничных условий к ближайшей точке сетки. Векторы
,
,
и матрица
в общем случае приводятся к единичному интервалу изменения независимой переменной с помощью линейного преобразования
, в котором
с шагом по оси абсцисс равном
. Благодаря этому производные в левых частях единообразно заменяются (M+
1)-точечными конечно-разностными выражениями через искомые значения решения:
.
Многоточечные представления производных получаются путем применения существующих соотношений между операторами дифференцирования, конечных разностей и сдвига:
Чтобы выразить значение производной порядка k
в m
-той точке целочисленного интервала [0, n
] через ординаты функции
необходимо выполнить следующие операторные преобразования:
Заменив конечно-разностные операторы
(после приравнивания нулю разностей со степенями выше n
) выражениями с оператором сдвига
и вспомнив, что
, получим в результате для k
-той производной в m-
той точке взвешенную сумму из ординат искомой функции:
.
Погрешность аппроксимации дифференциального оператора конечно-разностным оператором для центральной точки (m=n/
2) пропорциональна с наименьшим коэффициентом величине
и c наибольшим – для точек конца интервала.
Часто применяемые выражения конечно-разностной аппроксимации производных первого и второго порядков по трем-семи равномерно расположенным точкам приведены ниже в таблицах в виде коэффициентов, стоящих перед соответствующими ординатами функции. В левом верхнем углу таблиц записан общий множитель, а в крайней правой колонке – коэффициенты k
1, k
2для формул погрешности.
Трех точечная аппроксимация первой производной
|
y(0)
|
y(1)
|
y(2)
|
|
y’(0)
|
-3 |
4 |
-1 |
2 |
y’(1)
|
-1 |
0 |
1 |
-1 |
y’(2)
|
1 |
-4 |
3 |
2 |
Четырех точечная аппроксимация первой производной
|
|
|
|
|
|
|
-11 |
18 |
-9 |
2 |
-3 |
|
-2 |
-3 |
6 |
-1 |
1 |
|
1 |
-6 |
3 |
2 |
-1 |
|
-2 |
9 |
-18 |
11 |
3 |
Пятиточечная аппроксимация первой производной
|
|
|
|
|
|
|
|
-25 |
48 |
-36 |
16 |
-3 |
12 |
|
-3 |
-10 |
18 |
-6 |
1 |
-3 |
|
1 |
-8 |
0 |
8 |
-1 |
2 |
|
-1 |
6 |
-18 |
10 |
3 |
-3 |
|
3 |
-16 |
36 |
-48 |
25 |
12 |
Шести точечная аппроксимация первой производной
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-137 |
300 |
-300 |
200 |
-75 |
12 |
-10 |
|
-12 |
-65 |
120 |
-60 |
20 |
-3 |
2 |
|
3 |
-30 |
-20 |
60 |
-15 |
2 |
-1 |
|
-2 |
15 |
-60 |
20 |
30 |
-3 |
1 |
|
3 |
-20 |
60 |
-120 |
65 |
12 |
-2 |
|
-12 |
75 |
-200 |
300 |
-300 |
137 |
10 |
Семи точечная аппроксимация первой производной
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-147 |
360 |
-450 |
400 |
-225 |
72 |
-10 |
60 |
|
-10 |
-77 |
150 |
-100 |
50 |
-15 |
2 |
-10 |
|
2 |
-24 |
-35 |
80 |
-30 |
8 |
-1 |
4 |
|
-1 |
9 |
-45 |
0 |
45 |
-9 |
1 |
-3 |
|
1 |
-8 |
30 |
-80 |
35 |
24 |
-2 |
4 |
|
-2 |
15 |
-50 |
100 |
-150 |
77 |
10 |
-10 |
|
10 |
-72 |
225 |
-400 |
450 |
-360 |
147 |
60 |
Трех точечная аппроксимация второй производной
|
|
|
|
|
|
1 |
-2 |
1 |
-12 , 2 |
|
1 |
-2 |
1 |
0 , -1 |
|
1 |
-2 |
1 |
12 , -2 |
Четырех точечная аппроксимация второй производной
|
|
|
|
|
|
|
2 |
-5 |
4 |
-1 |
55 , -6 |
|
1 |
-2 |
1 |
0 |
-5 , -2 |
|
0 |
1 |
-2 |
1 |
-5 , -2 |
|
-1 |
4 |
-5 |
2 |
55 , -6 |
Пятиточечная аппроксимация второй производной
|
|
|
|
|
|
|
|
35 |
-104 |
114 |
-56 |
11 |
-150 , 12 |
|
11 |
-20 |
6 |
4 |
-1 |
15 , -3 |
|
-1 |
16 |
-30 |
16 |
-1 |
0 , 2 |
|
-1 |
4 |
6 |
-20 |
11 |
15 , 3 |
|
11 |
-56 |
114 |
-104 |
35 |
150 , -12 |
Шести точечная аппроксимация второй производной
|
|
|
|
|
|
|
|
225 |
-770 |
1070 |
-780 |
305 |
-50 |
|
50 |
-75 |
-20 |
70 |
-30 |
5 |
|
-5 |
80 |
-150 |
80 |
-5 |
0 |
|
0 |
-5 |
80 |
-150 |
80 |
-5 |
|
5 |
-30 |
70 |
-20 |
-75 |
50 |
|
-50 |
305 |
-780 |
1070 |
-770 |
225 |
Семи точечная аппроксимация второй производной
|
|
|
|
|
|
|
|
|
812 |
-3132 |
5265 |
-5080 |
2970 |
-972 |
137 |
|
137 |
-147 |
-255 |
470 |
-285 |
93 |
-13 |
|
-13 |
228 |
-420 |
200 |
15 |
-12 |
2 |
|
2 |
-27 |
270 |
-490 |
270 |
-27 |
2 |
|
2 |
-12 |
15 |
200 |
-420 |
228 |
-13 |
|
-13 |
93 |
-285 |
470 |
-255 |
-147 |
137 |
|
137 |
-972 |
2970 |
-5080 |
5265 |
-3132 |
812 |
Например, производная первого порядка
в точках m
=0, 3, 5 для семи точечной аппроксимации будет иметь вид:
,
.
Аналогично выписываются выражения и для вторых производных в точках 0 и 2:
Таким образом, из приведенных таблиц можно выбрать аппроксимирующие выражения для производной в данной точке, включающие значения функции в точках нужного окружения.
4. Краевые задачи для уравнений второго порядка
При математическом описании реальных физических объектов чаще всего приходится иметь дело с дифференциальными уравнениями в обыкновенных или частных производных второго порядка с начальными, краевыми или граничными условиями.
Преобразование их в конечно-разностную систему алгебраических уравнений осуществляется аналогично: для каждой точки в области (интервале) интегрирования, где не задано краевое или граничное значение искомой функции, записывается исходное уравнение, в котором все производные выражены через заранее определенное число близлежащих ординат искомой функции, принадлежащих области, и вычислены все коэффициенты и функции независимых переменных в этой точке. К полученным таким образом уравнениям добавляются соотношения или значения функции и ее производных в точках границы области. В результате будет сформирована алгебраическая система уравнений с числом уравнений и неизвестных, равном общему числу точек области интегрирования.
В процессе формирования уравнений особое внимание необходимо обращать на замену производных конечно-разностными эквивалентами в приграничных точках. В выражениях последних должны отсутствовать неизвестные значения функции в точках, расположенных вне области интегрирования. Это достигается многократным применением оператора сдвига к соответствующему конечно-разностному оператору.
Если в центральных точках точность аппроксимации производных с n
точками удовлетворяет поставленным требованиям и эту точность желательно сохранить и в приграничных точках заданных областей, то для последних выбирают аппроксимирующие формулы, построенные для (n
+1)-
й точки или более.
Рассмотрим примеры аппроксимации дифференциальных уравнений с краевыми условиями конечно-разностной системой алгебраических уравнений. Эти аппроксимации в литературе получили название "разностные схемы". Ниже в четырех таблицах приведены четыре варианта конечно-разностной аппроксимации одной и той же краевой задачи, для которой известно точное решение. Вид уравнения, условия на границе интервала, решение аналитическое и вычисленное в заданных точках с 12 значащими цифрами приведены в правой крайней колонке первой таблицы. В левых колонках первой и в трех остальных таблицах записаны системы алгебраических уравнений, полученных применением трех-, пяти-, пяти-шести- и семи точечной аппроксимации второй производной в заданном уравнении. Справа от уравнений приведены решения алгебраических уравнений тоже с 12-ю значащими цифрами.
Система уравнений с трехточечным представлением производных |
Вектор разностного решения с шагом h
=0.1
|
|
-199
+100
+0.1=0
|
0.0186590989712 |
0.0186415437361 |
100
-199
+100
+0.2=0
|
0.0361316064473 |
0.0360976603850 |
100
-199
+100
+0.3=0
|
0.0512427953890 |
0.0511947672548 |
100
-199
+100
+0.4=0
|
0.0628415300546 |
0.0627828520998 |
100
-199
+100
+0.5=0
|
0.0698118753674 |
0.0697469636621 |
100
-199
+100
+0.6=0
|
0.0710840847137 |
0.0710183518969 |
100
-199
+100
+0.7=0
|
0.0656455142231 |
0.0655851465687 |
100
-199
+100
+0.8=0
|
0.0525504484304 |
0.0525024675253 |
100
-199
+0.9=0
|
0.0309298757856 |
0.0309018656257 |
Система уравнений для пяти-точечного
представления производных
|
Вектор решения |
-9940
+3000
+2000
-500
+6=0
|
0.0186406186406 |
8000
-14940
+8000
-500
+12=0
|
0.0360968696594 |
-500
+8000
-14940
+8000
-500
+18=0
|
0.0511941848390 |
-500
+8000
-14940
+8000
-500
+24=0
|
0.0627825213460 |
-500
+8000
-14940
+8000
-500
+30=0
|
0.0697468774179 |
-500
+8000
-14940
+8000
-500
8+36=0
|
0.0710184988305 |
-500
+8000
-14940
+8000
-500
+42=0
|
0.0655854996422 |
-500
+8000
-14940
+8000
+48=0
|
0.0525029672554 |
-500
+2000
+3000
-9940
+54=0
|
0.0309024932693 |
Система уравнений для пяти- и шести точечного представления производных |
Вектор решения |
-3720
-1000
+3500
-1500
+250+3=0
|
0.0186415486274 |
8000
-14940
+8000
-500
+12=0
|
0.0360976918947 |
-500
+8000
-14940
+8000
-500
+18=0
|
0.0511948294923 |
-500
+8000
-14940
+8000
-500
+24=0
|
0.0627829167486 |
-500
+8000
-14940
+8000
-500
+30=0
|
0.0697469746974 |
-500
+8000
-14940
+8000
-500
+36=0
|
0.0710183243686 |
-500
+8000
-14940
+8000
-500
+42=0
|
0.0655851063829 |
-500
+8000
-14940
+8000
+48=0
|
0.0525024168959 |
250
-1500
+3500
-1000
-3720
+27=0
|
0.0309018105849 |
Система уравнений для семиточечного представления производных |
Вектор решения |
-7260
-12750
+23500
-14250
+4650
-650+9=0
|
0.0186415513486 |
11400
-20910
+10000
+750
-600
+100+18=0
|
0.0360976659970 |
-1350
+13500
-24410
+13500
-1350
+100+27=0
|
0.0511947713313 |
10
-135
+1350
-2441
+1350
-135
+10+3.6=0
|
0.0627828547351 |
10
-135
+1350
-2441
+1350
-135
+10+4.5=0
|
0.0697469648318 |
10
-135
+1350
-2441
+1350
-135
+10+5.4=0
|
0.0710183515790 |
100
-1350
+13500
-24410
+13500
-1350+63=0
|
0.0655851447467 |
100
-600
+750
+10000
-20910
+11400+72=0
|
0.0525024640963 |
-650
+4650
-14250
+23500
-12750
-7260+81=0
|
0.0309018602217 |
В этой задаче весь интервал интегрирования [0,1] был разбит на 10 равных частей с шагом h
=0.1. Из одиннадцати точек в двух крайних искомая функция x
(t
) была задана, поэтому уравнения записывались для девяти внутренних точек, в которых значения функции требовалось найти.
5. Разностные схемы для уравнений в частных производных
Конечно-разностная аппроксимация дифференциальных уравнений в частных производных, называемая в литературе методом сеток
, использует те же конечно-разностные выражения производных через значения искомой функции, которые приведены в таблицах выше. Однако есть особенности, которые связаны с наличием у каждой рассматриваемой точки соседних точек не только по направлениям осей независимых переменных, но и во множестве других наклонных направлений.
Поэтому, в случае использования многоточечных (более трех точек) формул для производных, выражения последних могут разрабатываться дополнительно для каждого применения.
Наиболее удобным в разработке многоточечных конечно-разностных выражений для уравнений в частных производных является операторный метод, основанный на учете взаимосвязи оператора дифференцирования с операторами сдвига по направлениям различных независимых переменных. Рассмотрим его применение на примере построения разностных формул для двумерных уравнений в частных производных второго порядка.
Характерным представителем уравнений в частных производных второго порядка является уравнение Лапласа:
,
где
– непрерывная функция, заданная на границе области.
Область численного решения уравнения разобьем на клетки системой вертикальных и горизонтальных прямых, проходящих через равномерно расположенные с шагом h
точки на осях координат соответственно x
и y
:
Значения функции в узлах сетки обозначим через
и для каждой точки области решений частные производные из уравнения заменим соответствующим (например, трех точечным) симметричным конечно-разностным выражением для внутренних точек и для точек вблизи границ таким несимметричным, чтобы значения функций не выходили за пределы области:
После подстановки в уравнение Лапласа этих выражений для каждой внутренней точки области будет получена система алгебраических уравнений следующего вида:
В качестве примера, демонстрирующего применение метода сеток, приведем решение уравнения Лапласа для прямоугольной области с количеством узлов
и значениями функции на границе, как показано ниже:
u(0,0) |
0.5 |
0.476 |
0.404 |
0.294 |
0.154 |
0 |
0.5 |
u(1,1) |
u(1,2) |
u(1,3) |
u(1,4) |
u(1,5) |
0 |
0.476 |
u(2,1) |
u(2,2) |
u(2,3) |
u(2,4) |
u(2,5) |
0 |
0.404 |
u(3,1) |
u(3,2) |
u(3,3) |
u(3,4) |
u(3,5) |
0 |
0.294 |
u(4,1) |
u(4,2) |
u(4,3) |
u(4,4) |
u(4,5) |
0 |
0.154 |
u(5,1) |
u(5,2) |
u(5,3) |
u(5,4) |
u(5,5) |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Уравнения для 25 внутренних точек u
(i,k
):
0.5-4·u(1,1)+u(1,2)+u(2,1) +0.5=0,
u(1,1)-4·u(2,1)+u(2,2)+u(3,1)+0.476=0,
u(2,1)-4·u(3,1)+u(3,2)+u(4,1)+0.404=0,
u(3,1)-4·u(4,1)+u(4,2)+u(5,1)+0.294=0,
u(4,1)-4·u(5,1)+u(5,2)+0.154=0,
0.476+u(1,1)-4·u(1,2)+u(1,3)+u(2,2)=0,
u(1,2)+u(2,1)-4·u(2,2)+u(2,3)+u(3,2)=0,
u(2,2)+u(3,1)-4·u(3,2)+u(3,3)+u(4,2)=0,
u(3,2)+u(4,1)-4·u(4,2)+u(4,3)+u(5,2)=0,
u(4,2)+u(5,1)-4·u(5,2)+u(5,3)=0,
0.404+u(1,2)-4·u(1,3)+u(1,4)+u(2,3) =0,
u(1,3)+u(2,2)-4·u(2,3)+u(2,4)+u(3,3)=0,
u(2,3)+u(3,2)-4·u(3,3)+u(3,4)+u(4,3)=0
|
u(3,3)+u(4,2)-4·u(4,3)+u(4,4)+u(5,3)=0,
u(4,3)+u(5,2)-4·u(5,3)+u(5,4)=0,
0.294+u(1,3)-4·u(1,4)+u(1,5)+u(2,4) =0,
u(1,4)+u(2,3)-4·u(2,4)+u(2,5)+u(3,4)=0,
u(2,4)+u(3,3)-4·u(3,4)+u(3,5)+u(4,4)=0,
u(3,4)+u(4,3)-4·u(4,4)+u(4,5)+u(5,4)=0,
u(4,4)+u(5,3)-4·u(5,4)+u(5,5)=0,
0.154+u(1,4)-4·u(1,5)+u(2,5) =0,
u(1,5)+u(2,4)-4·u(2,5)+u(3,5)=0,
u(2,5)+u(3,4)-4·u(3,5)+u(4,5)=0,
u(3,5)+u(4,4)-4·u(4,5)+u(5,5)=0,
u(4,5)+u(5,4)-4·u(5,5)=0.
|
Результат решения системы из 25 уравнений представлен в таблице:
u(0,0) |
0.5 |
0.476 |
0.404 |
0.294 |
0.154 |
0 |
0.5 |
0.444618 |
0.389236 |
0.316975 |
0.225193 |
0.116966 |
0 |
0.476 |
0.389236 |
0.319355 |
0.249474 |
0.172833 |
0.0886772 |
0 |
0.404 |
0.316975 |
0.249474 |
0.188730 |
0.127986 |
0.0649079 |
0 |
0.294 |
0.225193 |
0.172833 |
0.127986 |
0.0854773 |
0.0429672 |
0 |
0.154 |
0.116966 |
0.0886772 |
0.0649079 |
0.0429672 |
0.0214836 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Следует отметить, что в трех точечном представлении конечно-разностные выражения производных второго порядка для внутренних и приграничных точек совпадают. Это позволяет для прямоугольных областей, заменив двумерную индексацию неизвестных
одномерной
,
преобразовать систему уравнений в векторно-матричную форму записи с блочно-диагональной матрицей коэффициентов, которая удобна для решения алгебраических уравнений с числом неизвестных более 100 на векторных вычислительных машинах:
,
,
, I
– матрицы, соответственно, блочная, коэффициентов и единичная;
,
,
,
,
,
– соответственно, векторы неизвестных и правых частей уравнения со своими блочными компонентами.
В конечно-разностном представлении уравнения Лапласа каждое уравнение является для соответствующей точки области формулой вычисления среднего арифметического совокупности значений функции в соседних точках:
.
Погрешность конечно-разностного представления уравнения Лапласа в виде системы алгебраических уравнений определяется погрешностью аппроксимации производных, которая для трех точечного варианта, приведенного выше, пропорциональна шагу сетки.
Естественно желание повысить точность аппроксимации лапласиана, добавив в структуру его конечно-разностного представления значения функции в дополнительных точках при сохранении суммирования значений из окружающих точек.
6. Повышение точности разностных схем
Оператор сдвига, преобразующий значение функции в точке z
в значение функции в точке z+h
выражается через оператор производной
, как
, а его применение представляется выражением:
Обозначив операторные выражения для сдвига значений функции по осям x, y
соответственно
несложно записать с их помощью следующие операторные выражения:
Во фрагменте сетки, изображенной в виде таблицы
, для каждой представленной индексом точки записано значение функции, выраженное через значение функции в центральной точке, преобразованное соответствующими операторами сдвига:
Вычислим суммы значений функций, симметрично располагающихся вокруг центральной точки:
Подобными преобразованиями операторных выражений можно получить формулы для следующих сумм:
и любых других.
Включая выражения для частичных сумм в единую сумму с различными весовыми коэффициентами, пренебрегая выражениями с производными и лапласианами высоких порядков, получают конечно-разностные формулы, аппроксимирующие уравнение Лапласа в заданной точке и содержащие большее число значений искомой функции.
Например, из выражения для
непосредственно следует
что, после пренебрежения слагаемыми в правой части, полностью соответствует трех точечной разностной аппроксимации частных производных. Суммируя
и
с весами соответственно 4 и 1, получим аппроксимацию производных по значениям в восьми точках:
Если значения частных производных в точках области решения малы, то радикальным способом увеличения точности аппроксимации уравнения является уменьшение шага сетки.
При задании в правой части уравнения Лапласа функции g
(x,y
) последняя в приведенных конечно-разностных суммах должна заменить
на
,
– на
и т.д.:
7. Сеточные методы для нестационарных задач
Уменьшение величины шага приводит к квадратичному возрастанию числа точек в области решения, а следовательно, к порядку алгебраической системы уравнений. Одним из путей уменьшения числа уравнений является метод прямых, который позволяет аппроксимировать дифференциальное уравнение в частных производных системой дифференциальных уравнений в обыкновенных производных с краевыми условиями. Для этого частные производные по одной из независимых переменных не заменяют конечно-разностным эквивалентом. Если в уравнении оставлена пространственная переменная, то получаемая система будет краевой задачей со всеми сложностями ее решения, рассмотренными ранее.
Существенным будет выигрыш лишь при решении дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих нестационарные процессы. К ним относятся уравнения, подобные уравнениям теплопроводности и волновому. Этим уравнениям кроме условий на границе задают еще и начальное распределение искомой функции во всех точках области решения.
Применение метода прямых рассмотрим на примере решения уравнения теплопроводности следующего вида:
,
которое описывает распространение тепла (изменение температуры) вдоль металлического стержня, вваренного своими концами в две металлические пластины с разными, постоянно поддерживаемыми на них температурами. Коэффициент B, характеризующий свойства материала, возьмем равным 1.
Пусть расстояние между пластинами равно единице, т.е.
, значения температуры на пластинах
и начальное распределение температуры по длине
.
Разобьем единичную длину стержня на 8 равных частей (h
=1/8)и обозначим значение температуры в каждой точке через
, k=
0,1,..., Применим пяти- и шести точечную аппроксимацию частной производной второго порядка: первую симметричную - для внутренних точек, и вторую (несимметричную) – для приграничных точек
. Температуры в точках с k
=0и k
=8 заданы: 100° и 0°.
После замены производных конечно-разностными эквивалентами получим следующую систему линейных дифференциальных уравнений с начальными условиями
в векторно-матричной форме:
Чтобы получить представление о влиянии порядка разностных формул на вид записи и точность решения задачи, в таблице приведены системы уравнений для 5- и 3-точечных выражений частных производных:
Произ-водная |
|
|
|
T1’= |
-15T1-4T2+14T3-6T4+T5+1000 |
-20T1+6T2+4T3-T4+1100 |
-2T1+T2+100 |
T2’= |
16T1-30T2+16T3-T4-100 |
16T1-30T2+16T3-T4-100 |
T1-2T2+T3 |
T3’= |
-T1+16T2-30T3+16T4-T5 |
-T1+16T2-30T3+16T4-T5 |
T2-2T3+T4 |
T4’= |
-T2+16T3-30T4+16T5-T6 |
-T2+16T3-30T4+16T5-T6 |
T3-2T4+T5 |
T5’= |
-T3+16T4-30T5+16T6-T7 |
-T3+16T4-30T5+16T6-T7 |
T4-2T5+T6 |
T6’= |
-T4+16T5-30T6+16T7 |
-T4+16T5-30T6+16T7 |
T5-2T6+T7 |
T7’= |
T3-6T4+14T5-4T6-15T7 |
-T4+4T5+6T6-20T7 |
T6-2T7 |
Полученные системы обыкновенных дифференциальных уравнений можно решать любым из рассмотренных ранее численным методом. Правда, появляется особенность в выборе шага интегрирования по времени, который теперь зависит еще и от шага разбиения области решения по пространственной переменной. В случае аппроксимации производной по времени конечными разностями “вперед” соотношение между шагом по временной переменной
и по пространственной
должно подчиняться следующему неравенству:
. При несоблюдении неравенства решение будет численно неустойчивым и интегрирование по времени с каждым шагом будет давать неограниченно возрастающие значения.
В рассматриваемом примере
=
0,015625, поэтому интегрирование трех систем по формулам Рунге-Кутта было выполнено с шагом по времени
= 0,001 до значения 0,01 и с шагом 0,005 – до значения времени, равного 0,75. Выборка ряда значений температуры из решений в интервале времени (0,0.75] показана в таблице колонками из трех чисел, соответствующих сверху-вниз трем приведенным выше системам.
|
|
|
|
|
|
|
|
0.01
|
36.32
36.82
23.97
|
152
466
3.434
|
0.9573
1.038
0.3456
|
-0.005579
0.004583
0.02668
|
-0.02021
-0.02009
0.001666
|
-0.001651
-0.002840
73610^(-5)
|
0.009336
-0.0001931
3.93410^(-6)
|
0.02
|
52.52
52.39
37.89
|
20.86
21.00
9.682
|
6.165
6.287
1.825
|
1.298
1.347
0.2702
|
0.1715
0.1810
0.0328
|
0.01656
0.002515
0.003367
|
0.03366
-0.01559
0.0002973
|
0.05
|
69.3
69.17
57.27
|
42.88
42.79
26.61
|
23.52
23.50
10.15
|
11.37
11.37
3.243
|
4.821
4.826
0.884
|
1.773
1.767
0.2089
|
0.5202
0.5142
0.04223
|
0.1
|
77.99
77.98
69.09
|
57.61
57.58
42.81
|
40.14
40.12
23.71
|
26.27
26.25
11.75
|
16
15.99
5.222
|
826
829
2.076
|
3.842
3.854
0.6867
|
0.25
|
85.43
85.43
80.18
|
71.18
71.18
61.57
|
57.51
57.51
45.12
|
44.6
44.60
31.4
|
32.51
32.51
20.52
|
21.18
21.18
12.13
|
10.43
10.43
5.581
|
0.5
|
87.32
87.32
85.39
|
74.67
74.67
71.1
|
62.07
62.07
57.41
|
49.54
49.54
44.5
|
37.07
37.07
32.42
|
24.67
24.67
21.11
|
12.32
12.32
10.39
|
0.75
|
87.48
87.48
86.87
|
74.97
74.97
73.84
|
62.46
62.46
60.99
|
49.96
49.96
437
|
37.46
37.46
35.99
|
24.97
24.97
23.84
|
12.48
12.48
11.87
|
Как видно, трех точечная аппроксимация по сравнению с пятиточечной дает худший результат. Точное решение в установившемся режиме дает изменение температуры на каждой одной восьмой длины стержня 12,5°С. Пятиточечная аппроксимация в данной задаче дала погрешность в сотые доли процента.
Литература
1. Калашников В. И. Введение в численные методы: Учеб. пособие. – Харьков: НТУ “ХПИ”, 2002. – 132 с.
2. Рено Н.Н. АЛГОРИТМЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ: МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ ВУЗОВ. Изд-во: "Книжный дом Университет" (КДУ), 2007. – 24с.
3. Самарcкий А. А. Задачи и упражнения по численным методам. Изд.3 Изд-во: КомКнига, ЛКИ, 2006. – 208с.
4. Самарский А.А. Введение в численные методы Учебное пособие для вузов 3-е изд.,стер. ЛАНЬ, 2005. – 288с.
5. Турчак Л. И., Плотников П. В. Основы численных методов. Изд-во: ФИЗМАТЛИТ®, 2003. – 304с.
6. Тыртышников Е.Е. МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА (1-Е ИЗД.) УЧЕБ. ПОСОБИЕ Издательство "Академия/Academia", 2007. – 320с.
|