Комплексные числа: их прошлое и настоящее - курсовая работа

Комплексные числа, их прошлое и настоящее.

Содержание.

I. Введение.

II. Об истории возникновения комплексных чисел и их роли в процессе развития математики.

III. Алгебраические действия над комплексными числами и их геометрический смысл.

1. Основные понятия и арифметические действия над комплексными числами.

2. Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая и показательная формы.

3. Операция сопряжения и ее свойства.

4. Извлечение корней.

5. Геометрический смысл алгебраических операций.

IV. Применение комплексных чисел к решению алгебраических уравнений 3-ей и 4-ой степеней.

1. Формула Кердано.

2. Метод Феррари для уравнения 4-ой степени.

V. Дополнительные задачи и упражнения, связанные с использованием комплексных чисел.

VI. Заключение.

VII. Литература.

I. Введение.

Алгебраические уравнения с одним неизвестным и связанные с ними вопросы в нахождении решений относятся к числу наиболее важных в школьной программе. В общем виде в средней школе изучаются лишь уравнения 1-ой степени (линейные) и уравнения 2-ой степени (квадратные), поскольку для таких уравнений существуют простые формулы, выражающие корни уравнения через его коэффициенты с помощью арифметических операций и извлечения корней.

Именно, если дано:

(α) Линейное уравнение ax+b=0, где а≠0, то x=-^b /_a – единственный корень;

(β) Квадратное уравнение ax+bx+c=0, где a,b,c – действительные числа, a≠0, то x=^{- b ±√ b ∙ b -4 ac} /_{2 a} ; при этом число корней зависит от величины D = b² – 4ac, называемой дискриминантом квадратного уравнения, а именно:

При D>0 – два действительных корня, D=0 – один двукратный корень (или, что то же, два совпадающих корня), D<0 – нет действительных корней.

Из уравнений более высоких степеней в школьном курсе алгебры рассматриваются лишь некоторые частные их типы – трехчленные (например, биквадратные), симметрические, … Однако никаких методов для решения произвольных уравнений 3-ей и 4-ой степени (хотя соответствующие формулы известны), в школьной алгебре не дается, т.к. эти методы существенно опираются на теорию комплексных чисел.

Цель данного реферата состоит в том, чтобы ознакомить учащихся средних школ с важнейшим и новым для них математическим понятием – понятием комплексного числа, а также показать, насколько эффективно его применение при решении некоторых задач, в том числе и в первую очередь, при решении кубичных уравнений.

II. Об истории возникновения комплексных чисел и их роли в процессе развития математики.

Комплексные числа возникли в математике в начале XVI века в связи с решением алгебраических уравнений 3-ей степени, а позднее, и уравнений 2-ой степени. Некоторые итальянские математики того времени (- Сципион дель Ферро, Николо Тарталья, Джироломо Кардано, Рафаэль Бомбелли) ввели в рассмотрение символ √-1 как формальное решение уравнения х² +1=0, а также выражение более общего вида (а+b∙√-1) для записи решения уравнения (х-а)² +b² =0. Впоследствии выражения вида (а+b∙√-1) стали называть «мнимыми», а затем «комплексными» числами и записывать их в виде (а+bi) (символ i для обозначения √-1 ввел Леонард Эйлер в XVIII в.). Этих чисел, чисел новой природы оказалось достаточно для решения любого квадратного уравнения (включая случай D < 0), а также уравнения 3-ей и 4-ой степени.

МатематикиXVI в. и следующих поколений вплоть до начала XIXвека относились к комплексным числам с явным недоверием и предубеждением. Они считали эти числа «мнимыми» (Декарт), «несуществующими», «вымышленными», «возникшими от избыточного мудрствования» (Кардано)… Лейбниц называл эти числа «изящным и чудесным убежищем божественного духа», а √-1 считал символом потустороннего мира (и даже завещал начертать его на своей могиле).

Однако использование аппарата комплексных чисел (несмотря на подозрительное к ним отношение), позволило решить многие трудные задачи. Поэтому со временем комплексные числа занимали все более важное положение в математике и ее приложениях. В первую очередь они глубоко проникали в теорию алгебраических уравнений, существенно упростив их изучение. Например, один из трудных вопросов для математиков XVII-XVIII веков состоял в определении числа корней алгебраического уравнения n-ой степени, т.е. уравнения вида a₀ ∙xⁿ +a₁ ∙x^{n -1} +…+a_{n -1} ∙x+a_n =0. Ответ на этот вопрос, как оказалось, зависит от того, среди каких чисел – действительных или комплексных – следует искать корни этого уравнения. Если ограничиться действительными корнями, то можно лишь утверждать, что их не больше, чем n. А если считать допустимым наличие и комплексных решений, то ответ на поставленный вопрос получается исчерпывающий: любое алгебраическое уравнение степени n ( n ≥1) имеет ровно n корней (действительных или комплексных), если каждый корень считать столько раз, какова его кратность (а это – число совпадающих с ним корней). При n ≥5 общее алгебраическое уравнение степени n неразрешимо в радикалах, т.е. не существует формулы, выражающей его корни через коэффициенты с помощью арифметических операций и извлечения корней натуральной степени.

После того как в XIX в появилось наглядное геометрическое изображение комплексных чисел с помощью точек плоскости и векторов на плоскости (Гаусс в 1831 г, Вессель в 1799 г, Арган в 1806 г), стало возможным сводить к комплексным числам и уравнениям для них многие задачи естествознания, особенно гидро- и аэродинамики, электротехники, теории упругости и прочности, а также геодезии и картографии. С этого времени существование «мнимых», или комплексных чисел стало общепризнанным фактом и они получили такое же реальное содержание, как и числа действительные. К настоящему времени изучение комплексных чисел развилось в важнейший раздел современной математики – теорию функций комплексного переменного (ТФКП).

III / Алгебраические действия над комплексными числами и их геометрический смысл.

1. Основные понятия и арифметические действия над комплексными числами.

Логически строгую теорию комплексных чисел построил в XIX в (1835 г) ирландский математик Вильям Роумен Гамильтон. По Гамильтону комплексные числа – это упорядоченные пары z=(x,y) действительных чисел, для которых следующим образом определены операции сложения и умножения:

(x₁ ,y₁ )+(x₂ ,y₂ )=(x₁ +x₂ , y₁ +y₂ ); (1)

(x₁ ,y₁ )∙(x₂ ,y₂ )=(x₁ ∙x₂ – y_i y₂ , x_i y₂ + x₂ y₁ ). (2)

Действительные числа x и y называются при этом действительной и мнимой частями комплексного числа z=(x,y) и обозначаются символами Rez и Imz соответственно (real – действительный, imanginerum – мнимый).

Два комплексных числа z₁ =(x₁ ,y₁ ) и z₂ =(x₂ ,y₂ ) называются равными только в том случае, когда x₁ =x₂ и y₁ =y₂ . Из определения следует, что всякое комплексное число (x,y) может быть представлено в следующем виде: (x,y)=(x,0)+(0,1)(y,0). (3)

Числа вида (х,0) отождествляются с действительными числами х, т.е. (х,0)=х, число (0,1), называемое мнимой единицей, обозначается символом i, т.е. (0,1)=i, причем i² =-1, равенство (3) принимает вид z=x+iy и называется алгебраической формой записи комплексного числа z=(x,y).

Операции сложения и умножения комплексных чисел имеют следующие свойства:

а) z₁ +z₂ =z₂ +z₁ (переместительный закон или коммутативность сложения и умножения)

б) z₁ z₂ =z₂ z₁

в) z₁ +(z₂ +z₃ )=(z₁ +z₂ )+z₃ (сочетательный закон или ассоциативность)

г) z₁ (z₂ z₃ )=(z₁ z₂ )z₃

д) (z₁ +z₂ )z₃ =z₁ z₃ +z₂ z₃ (распределительный закон или дистрибутивность)

Вычитание и деление комплексных чисел z₁ =x₁ +iy₁ и z₂ =x₂ +iy₂ определяют, причем однозначно, их разность z₁ -z₂ и частное z₁ /z₂ как решения соответствующих уравнений z+z₂ =z₁ и zz₂ =z₁ (при z₂ ≠0). Отсюда следует, что разность и частное от деления z₁ на z₂ вычисляются по формулам:

z₁ -z₂ =(x₁ -x₂ )+i(y₁ -y₂ ), (4)

z₁ /z₂ =(x₁ x₂ +y₁ y₂ )/(x₂ ² +y₂ ² ) + i((y₁ x₂ -x₁ y₂ )/(x₂ ² +y₂ ² )) (5)

Данное определение можно выразить в других терминах, а именно, вычитание – как действие, обратное сложению: z=z₁ +(-z₂ ), где число (-z₂ ) называется противоположным z₂ ; деление – как действие, обратное умножению: z=z₁ (z₂ ^-1 ), где z₂ ^-1 – число, обратное для z₂ (z₂ ≠0). Таким образом, анализ определений и свойств арифметических операций над комплексными числами приводит к следующим выводам:

- множество комплексных чисел (С) является расширением множества R действительных чисел, т.е. действительные числа содержатся как частный случай, среди комплексных (точно так же как, например, целые числа содержатся среди действительных);
- комплексные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить по правилам, которым подчиняются действительные числа, заменяя в итоге (или в процессе вычислений) i² =-1.

2. Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая и показательная формы.

Замечание. Понятия «больше» или «меньше» для комплексных чисел лишено смысла (не принято никакого соглашения).

Если на плоскости введена декартова система координат 0xy, то всякому комплексному числу z=x+iy может быть поставлена в соответствие некоторая точка М(х,у) с абсциссой «х» и ординатой «у», а также радиус – вектор 0М. При этом говорят, что точка М(х,у) (или радиус – вектор 0М) изображает комплексное число z=x+iy.

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа называется комплексной плоскостью, ось 0у – мнимой осью.

Число r=√x² +y² ­, равное длине вектора, изображающего комплексное число, т.е. расстоянию от начала координат до изображающей это число точки, называется модулем комплексного числа z=x+iy и обозначается символом |z|.

Угол φ=(0М,ˆ0х) между положительным направлением оси 0х и вектором 0М, изображающим комплексное число z=x+iy ≠0, называется его аргументом.

Из определения видно, что каждое комплексное число (≠0), имеет бесконечное множество аргументов. Все они отличаются друг от друга на целые кратные 2π и обозначаются единым символом Argz (для числа z=0 аргумент не определяется, не имеет смысла).

Каждое значение аргумента совпадает с величиной φ некоторого угла, на который следует повернуть действительную ось (ось 0ч) до совпадения ее направления с направлением радиус-вектора точки М, изображающей число z (при этом φ > 0, если поворот совершается против часовой стрелки и φ <0 в противном случае). Таким образом, аргумент комплексного числа z=x+iy ≠0 есть всякое решение φ системы уравнений cosφ=x/√x² +y² ; sinφ=y/√x² +y² .

Значение Argz при условии 0≤Argz<2π называется главным значением аргумента и обозначается символом argz. В некоторых случаях главным значением аргумента считают наименьшее по абсолютной величине его значения, т.е. значение, выделяемое неравенством -π<φ≤π.

Между алгебраическими х, у и геометрическими r, φ характеристиками комплексного числа существует связь, выражаемая формулами x=rcosφ, y=rsinφ, следовательно, z=x+iy=r(cosφ+isinφ). Последнее выражение, т.е. z= r(cosφ+isinφ) (6) называется тригонометрической формой комплексного числа. Любое число z≠0 может быть представлено в тригонометрической форме.

Для практики число вида (cosφ+isinφ) удобнее записывать короче, с помощью символа e^{i φ} =cosφ+isinφ (7). Доказанное для любых чисел φ (действительных или комплексных) это равенство называется формулой Эйлера. С ее помощью всякое комплексное число может быть записано в показательной форме z=re^{i φ} (8)

3. Операция сопряжения и ее свойства.

Для данного комплексного числа z=x+iy число x-iy (отличающееся от z лишь знаком при мнимой части) называется сопряженным и обозначается символом z. Переход от числа z к числу z называется сопряжением, а сами эти числа сопряженными (друг к другу), т.к. (z)=z. Из определения следует, что только действительное число сопряжено самому себе. Геометрически сопряженные числа изображаются точками, симметричными относительно действительной оси (рис.2).

Отсюда следует, что |z|=|z|, argz=-argz. Кроме того,

z+z=2x=2Rez;

z-z=2iy=2iImz;

zz=x² +y² =|z|² ,

а также: z₁ +z₂ =z₁ +z₂ ; z₁ z₂ =z₁ z₂ ; (z₁ /z₂ )=z₁ /z₂ ; P(z)=P(z), где Р (z) – любой многочлен с действительными коэффициентами; (P(z)/Q(z))=(P(z)/Q(z)), где P и Q– многочлены с действительными коэффициентами.

4. Извлечение корней.

Извлечение корня из комплексного числа есть действие, обратное возведению в степень. С его помощью по данной степени (подкоренное число) и данному показателю степени (показатель корня) находят основание (корень). Иначе говоря, это действие равносильно решению уравнения zⁿ =a для нахождения z. В множестве комплексных чисел действие извлечения корня всегда выполнимо, хотя причем и неоднозначно: в результате получается столько значений, каков показатель корня. В частности, квадратный корень имеет ровно два значения, которые можно найти по формуле:

√a=√α+iβ=±((√|a|+α)/2 ± i(√|a|-α)/2)), где знак «+» в скобках берется при β>0, «-» - при β<0.

5. Геометрический смысл алгебраических операций.

Пусть даны два комплексных числа z₁ и z₂ . В результате сложения этих чисел получается число z₃ , изображаемое вектором 0С диагонали параллелограмма 0АСВ (по правилу параллелограмма сложения векторов): z₁ +z₂ =0A+0B=0C=z₃ .

Рис.3

Разность (z₁ -z₂ ) данных чисел, соответствующая их вычитанию, можно рассматривать как сумму вектора 0А, изображающего число z₁ и вектора 0D=--0В, противоположного вектору 0В (симметричного ему относительно начала координат): z₁ -z₂ =z₁ +(-z₂ )=0A+0D=0E=BA. Таким образом, разности (z₁ -z₂ ) данных чисел соответствует вектор ВА другой диагонали параллелограмма 0АСВ.

Для иллюстрации остальных алгебраических действий над комплексными числами более удобна тригонометрическая форма.

Умножение. Пусть даны два комплексных числа z₁ =r₁ (cosφ₁ +isinφ₁ ) и z₂ =r₂ (cosφ₂ +isinφ₂ ). Перемножая их получим z₁ z₂ =r₁ r₂ (cos(φ₁ +φ₂ )+isin(φ₁ +φ₂ )). Следовательно, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило верно и для любого числа сомножителей.

Деление. Если требуется разделить z₁ на z₂ , то выполняем следующие преобразования: z₁ /z₂ =(z₁ z₂ )/(z₂ z₂ )=(r₁ (cosφ₁ +isinφ₁ )r₂ (cosφ₂ -isinφ₂ ))/ (r₂ (cosφ₂ +isinφ₂ )r₂ (cosφ₂ -isinφ₂ ))=(r₁ /r₂ )(cos(φ₁ -φ₂ )+isin(φ₁ -φ₂ )), т.е. при делении двух комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Возведение в степень. Умножая число z=r(cosφ+isinφ) само на себя «n» раз, получаем согласно правилу умножения zⁿ =rⁿ (cosφ+isinφ)ⁿ =rⁿ (cosnφ+isinnφ). Таким образом, при возведении комплексного числа в степень «n» в ту же степень возводимся его модуль, а аргумент умножается на «n» (на показатель степени). В частном случае, если r=1, то предыдущее равенство принимаем вид (cosφ+isinφ)ⁿ = cosnφ+isinnφ (9). Полученная формула называется формулой Муавра (1667-1754).

Извлечение корня. Пусть а=re^{i φ} , z=ρe^iσ . Решаем уравнение zⁿ =a для вычисления ⁿ √a: ρⁿ e^inσ =re^{i φ} . Отсюда с учетом того, что аргументы чисел отличаются на целое кратное числу 2π, получаем: ρⁿ =r, nσ-φ=2πK, или ρ=ⁿ √r; σ_{K +1} =(φ+2πK)/n (причем К=0,1,2…n-1). Таким образом, z_k =ⁿ √r(cosφ+isinφ)=ⁿ √r((cosφ+2Kπ)/n+isin(φ+2Kπ)/n)) (10), где ⁿ √r , - арифметический корень, а К=0,1,2,…,n-1; т.е. корень степени n в множестве комплексных чисел имеет “n” различных значений z_k (исключение представляет z=0. В этом случае все значения корня равны между собой и равны нулю).

Заметим также, что разность между аргументами соседних чисел z_{k +1} и z_k постоянна и равна 2π/n: σ_{k +1} -σ_k =(φ+2π(K+1))/n-(φ+2πK)/n=2π/n. Отсюда следует, что все значения ⁿ √a располагаются на комплексной плоскости в вершинах некоторого правильного n-угольника с центром в начале координат.

IV . Применение комплексных чисел к решению алгебраических уравнений 3-ей и 4-ой степеней.

1. Формула Кардано.

Рассмотрим приведенное алгебраическое уравнение 3-ей степени: x³ +ax² +bx+c=0 (11).

(общее уравнение 3-ей степени сводится к приведенному делением на коэффициент при старшей степени). С помощью замены x=y-a/3 это уравнение примет вид y³ +py+q=0 (11’), где p и q – новые коэффициенты, зависящие от a,b,c. Пусть у₀ – какой либо корень уравнения (11’). Представим его в виде у₀ =α+β, где α и β – неизвестные пока числа, и подставим в уравнение. Получим α³ +β³ +( α+β)(3αβ+p)+q=0 (12). Выберем теперь α и β так, чтобы 3αβ+р=0. Такой выбор чисел α и β возможен, т.к. они (вообще говоря комплексные) удовлетворяют системе уравнений

α+β=у₀ ;

αβ=-р/3, а значит, существуют.

При этих условиях уравнение (12) примет вид α³ +β³ +q=0, а т.к. еще α³ β³ =-р³ /27, то получаем систему

α³ +β³ =-q;

α³ β³ =-р³ /27,

из которой по теореме Виета следует, что α³ и β³ являются корнями уравнения t² +qt-p³ /27=0. Отсюда находим: α³ =-q/2+√q² /4+p³ /27; β³ =-q/2-√q² /4+p³ /27, где √q² /4+p³ /27 означает одно из возможных значений квадратного корня. Отсюда следует, что корни уравнения (11’) выражаются формулой D=(q/2)² +(p/3)³ .

y_1.2.3 =ⁿ √-q/2+√q² /4+p³ /27+³ √-q/2-√q² /4+p³ /27, причем для каждого из трех значение первого корня ³ √α соответствующие значения второго корня ³ √β нужно брать так, чтобы было выполнено условие αβ=-р/3. Полученная формула называется формулой Кардано (ее можно записать в более компактном виде у=³ √α+³ √β, где α=-q/2+√q² /4+p³ /27; β=-q/2-√q² /4+p³ /27. Подставив в нее вместо р и q их выражения через a,b,c и вычитая а/3, получим формулу для уравнения (11).

2. Метод Феррари для уравнения 4-ой степени.

Рассмотрим приведенное уравнение 4-ой степени x⁴ +ax³ +bx² +cx+d=0 (13). Сделав замену переменной х=у-а/4, получим уравнение у⁴ +ру² +qy+r=0 (14) c коэффициентами p,q,r, зависящими от a,b,c,d. Преобразуем это уравнение к виду (y² +p/2)² +qy+(r-p² /4)=0, а затем, введя произвольное пока число α, представим его левую часть в равносильной форме (y² +p/2+α)² -[2α(y² +p/2)+α² -qy+p² /4-r]=0 (15)

Выберем теперь число α так, чтобы выражение в квадратных скобках 2αy² -qy+(αp+α² +p² /4-r) стало полным (точным) квадратом относительно у. Для этого нужно, чтобы его дискриминант был равен нулю, т.е. чтобы q² -8α(αp+α² +p² /4-r)=0, или 8α³ +8pα² +8α(p² /4-r)-q² =0. Таким образом, для нахождения α получается уравнение 3-ей степени, и задача сводится к предыдущей. Если в качестве «α» взять один из корней этого уравнения, то левая часть уравнения (15) будет разностью квадратов и поэтому может быть разложена в произведение двух многочленов 2-ой степени относительно «у».

V . Дополнительные задачи и упражнения, связанные с использованием комплексных чисел.

1. Вычислить: ii² i³ …i¹⁰ =?

Решение: ii² i³ …i¹⁰ =i^1+2+…+10 =i^11∙10/2 =i⁵⁵ =ii⁵⁴ =i(i² )²⁷ =i(-1)²⁷ =-i.

2. Каков геометрический смысл выражений: а) |z|, б)Argz; в) |z₁ -z₂ |, г) Arg(z₁ /z₂ )?

Ответ: а) расстояние от начала координат до точки, изображающей комплексное число z;

б) угол, на который нужно повернуть действительную ось до совпадения с направлением вектора 0М, изображающего комплексное число z;

в) |z₁ -z₂ |- расстояние между точками z₁ и z₂ , изображающими комплексные числа z₁ и z₂ ;

г) Arg(z₁ /z₂ ) – угол между изображающими векторами 0z₁ и 0z₂ .

3. Доказать, что cos3φ=cos³ φ-3sin² φcosφ; sin3φ=3cos² φsinφ-sin³ φ.

Доказательство: по формуле Муавра имеем: cos3φ+isin3φ=(cosφ+isinφ)³ =(cos³ φ-3cosφsin² φ)+(3cos² φsinφ-sin³ φ) , приравнивая действительные и мнимые части комплексных чисел, что cos3φ=cos³ φ-3sin² φcosφ, sin3φ=3cos² φsinφ- sin³ φ.

4. Найти действительные решения уравнения (3+i)x+(-5+2i)y=4+16i.

Решение: (3x-5y)+i(x+2y)=4+16i

3x-5y=4

x+2y=16 x=8; y=4.

Ответ: z=8+4i.

5. Доказать тождество |z₁ +z₂ |² +|z₁ -z₂ |² =2(|z₁ |² +|z₂ |² ) и вычислить его геометрический смысл.

Доказательство: |z₁ +z₂ |² +|z₁ -z₂ |² = (z₁ +z₂ )( z₁ +z₂ )+( z₁ -z₂ )( z₁ -z₂ )= (z₁ +z₂ )( z₁ +z₂ )+ +( z₁ -z₂ )( z₁ -z₂ )=2 z₁ z₁ +2 z₂ z₂ =2(|z₁ |² +|z₂ |² ).

Геометрический смысл: сумма квадратов длин диагоналей равна сумме квадратов всех сторон параллелограмма.

6. Найти геометрическое место точек:

а) |z-z₀ |=R; б) z=z₀ +Re^it (0≤t<2π)

Ответ: Окружность радиуса R с центром в z₀ .

в) |z-3i|=|z+2|;

г) |z+i|=|z-3|=|z-1-i|;

д) |z|≤R

π/4≤argz≤5π/4

Решение:

в) точка z должна быть удалена на такое же расстояние от точки z₁ =-2, как и от точки z₂ =3i, т.е. должна находиться на серединном перпендикуляре, проведенном к отрезку АВ. Следовательно, искомое геометрическое место точек – это прямая, проходящая через точку С (х_с ;у_с ), где х_с =(-2+0)/2=-1; у_с =(3+0)/2=3/2, перпендикулярная отрезку АВ.

г) Рассматривая попарно направленные равенства |z+i|=|z-3| и |z-3|=|z-1-i|, приходим к заключению, что искомое множество точек – это множество точек пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к отрезкам АВ и ВС (а также и к АС).

д) Верхний полукруг, ограниченный лучами argz=π/4 и argz=5π/4 и окружностью |z|=R, не содержащий (∙) z=0.

7. Доказать тождество:

(2x-z)² +(2x-z)² =2Re(z² ).

Доказательство:

1) (2x-z)² +(2x-z)² = 4x² -4xz+z² +4x² -4xz+z² =8x² -4x(z+z)+z² +z² =8x² -4x2x+(z+z)² -

-2zz=(2x)² -2|z|² =4x² -2(x² +y² )=2(x² +y² )=2Re(z² ).

2) 2Re(z² )=2Re(x+iy)² =2Re(x² -y² +2ixy)=2(x² -y² ).

8. Решить систему уравнений

(3-i)z₁ -(4+2i)z₂ =1+3i;

(4+2i)z₁ +(2+3i)z₂ =7.

Решение: Применим правило Крамера:

∆= (3-i)-(4+2i) =(2+3i)(3-i)+(4+2i)² =21+23i

(4+2i)+(2+3i)

∆_z1 = (1+3i)-(4+2i) =(2+6i+3i-9)+28+14i =21+23i

7 (2+3i)

∆_z2 = (3-i) (1+3i) =21-7i-4-2i-12i+6 =23-21i

(4+2i) 7

Z₁ = 21+23i =1; z₂ = 23-21i =-i(21+23i) =-i

21+23i 21+23i 21+23i

Ответ: z₁ =1; z₂ =-i.

9. Доказать, что (а² +1)(b² +1)(c² +1) можно представить в виде суммы квадратов целых чисел (a,b,c – целые числа).

Доказательство: заметим, чтоа² +1=|a+i|² , тогдаимеем: (а² +1)(b² +1)(c² +1)=(a+i)(a-i)(b+i)(b-i)(c+i)(c-i)=(a+i)(b+i)(c+i)(a+i)(b+i)(c+i)= =((ab-1)+i(a+b))(c+i)((ab-1)+i(a+b))(c+i)=(((ab-1)c-a-b)+i((a+b)c+ab-1))((ab-1)c-a-b+i((a+b)c+ab-1)=(abc-(a+b+c))² +(ab+bc+ca-1)² .

10. Найтисуммы:

С=cosφ+cos2φ+…+cosnφ; S=sinφ+sin2φ+…+sinnφ.

Решение: найдем сумму σ=с+iS=(e^iφ +e^{2 iφ} +…+e^inφ ) и выделим действительную и мнимую ее части, т.е. С=Reσ; S=Imσ. Последовательно имеем: e^iφ +e^{2 iφ} +…+e^inφ = e^iφ ((1- e^inφ )/(1- e^iφ ))= (e^iφ (1- e^inφ ) (1- e^{- iφ} ))/( (1- e^iφ ) (1- e^{- iφ} ))= =(e^iφ -1- e^{iφ ( n +1)} + e^inφ )/|1- e^iφ |² .

Поскольку |1- e^iφ |² =|(1-cosφ)-isinφ|² =(1-cosφ)² +sin² φ=4sin² (φ/2);

Re(e^iφ -1- e^iφ(n+1) + e^inφ )= cosφ-1-cos(n+1)φ+cosnφ= =- 2sin² (φ/2)+2sin(φ/2)sin(nφ+φ/2)= 2sin(φ/2)2sin(nφ/2)cos((n+1)φ)/2 и Im(e^iφ -1- e^iφ(n+1) + e^inφ )=sinφ-sin(n+1)φ+sinnφ=2sin(φ/2)(cos(φ/2)-cos(nφ+φ/2))= =2sin(φ/2)2sin(nφ/2)sin(((n+1)φ)/2), тоС=(4sin(φ/2)sin(nφ/2)cos(((n+1)φ)/2))/(4sin² (φ/2)) = =[sin(nφ/2) cos(((n+1)φ)/2))]/ sin(φ/2);

S=(4sin(φ/2)sin(nφ/2)cos(((n+1)φ)/2))/(4sin² (φ/2)) = =[sin(nφ/2) cos(((n+1)φ)/2))]/ sin(φ/2)

11. Найтисумму 1+e^π cosπ+e^2π cos2π+…+e^nπ cosnπ.

Решение: Рассмотрим функцию

S(x)=1+e^x cosx+e^{2 x} cos2x+…+e^nx cosnx и найдем ее значение при х=π.

В свою очередь, при нахождении суммы S(x) перейдем к комплексным числам:

σ(z)=1+e^x+ix +e^2x+i2x +…+e^nx+inx = 1+e^x(1+i) +e^2x(1+i) +…+e^nx(1+i) =(1-( e^x(1+i) )ⁿ⁺¹ )/(1- e^x(1+i) )= =1-e^x(n+1)(1+i) /(1-e^x(1+i) )=((1-e^x(n+1)(1+i) )(1-e^x(1-i) )/((1-e^x(1+i) )(1-e^x(1-i) )) =(1- e^x(n+1)(1+i) - e^x(1-i) +e^x(n+2+ni) )/|1- e^x(1+i) |² =

=(1-e^(n+1)x e^i(n+1)x -e^x e^-ix +e^(n+2)x e^xni )/(1-2e^x cosx+e^2x )

т.к. S(x)=Reσ(z), то получаем формулу:

S(x)=1+e^x cosx+e^{2 x} cos2x+…+e^nx cosnx=(1-e^{( n +1) x} cos(n+1)x+e^{( n +2) x} cosnx-e^x cosx)/(1-2e^x cosx+e^{2 x} )

Отсюда следует, что искомая сумма равна:

S(π)=1+e^π cosπ+e^{2 π} cos2π+…+e^nπ cosnπ= (1+e^π +e^{π ( n +2)} (-1)ⁿ -e^{( n +1)} (-1)^{n +1} )/(1+2e^π +e^2π )= =((1+e^π )+(-1)ⁿ e^{π ( n +1)} (e^π +1))/(e^π +1)² =(1+(-1)ⁿ e^{π ( n +1)} )/(1+e^π )

12. Доказать, что Re(z-1)/(z+1)=0 |z|=1.

Доказательство:

Т.к. (z-1)/(z+1)=((z-1)(z+1))/((z+1)(z+1))=(zz+z-z-1)/|z+1|² =((|z|² -1)+2iy)/|z+1|² ; то Re(z-1)(z+1)=0, если только |z|² -1=0 |z|=1.

13. Найти все значения корня ⁴ √1+i√3. Дать геометрическую иллюстрацию.

Решение:

z=⁴ √1+i√3=⁴ √a, где a=1+i√3.

Т.к. а=r(cosφ+isinφ)=2(cosπ/3+isinπ/3), то z_k =⁴ √2(cos(π/3+2Kπ)/4+isin(π/3+2Kπ), где К=0,1,2,3.

Получаем:

Z₀ = ⁴ √2(cosπ/12+isinπ/12); z₁ =⁴ √2(cos7π/12+isin7π/12);

Z₂ =⁴ √2(cos13π/12+isin13π/12); z₄ =⁴ √2(cos19π/12+isin19π/12).

14. Представить в алгебраической форме комплексное число 1/(1+i√3)⁶ -1/(√3-i)⁶ =z

Решение: преобразуем данное число:

Z=((1-i√3)/((1+i√3)(1-i√3)))⁶ -((√3+i)/((√3-i)(√3+i)))⁶ = =(1-i√3)⁶ /|1+i√3|¹² -(√3+i)⁶ /|√3+i|¹² =z₁ -z₂ =(т.к. |z₁ |=|z₂ |=2; φ₁ =-π/3; φ₂ =π/6, то)=1/2⁶ ∙2⁶ (cos(-π/3)+isin(-π/3))⁶ -1/2⁶ ∙2⁶ (cosπ/6+isinπ/6))⁶ = =cos(-2π)+isin(-2π)-cosπ-isinπ=1-(-1)=2.

VII. Литература.

VIII.

1. Кураш А.Г. «Алгебраические уравнения произвольных степеней». М., «Наука», 1983.

2. Маркушевич А.И. «Комплексные числа и конформные отображения». М., «Физматгиз», 1960.

3. Стройк Д.Я. «Краткий очерк истории математики». М., «Наука», 1969.

4. Яглом И.И. « Комплексные числа и их применение в геометрии». М., Физматгиз, 1963.