Клеточные пространства - курсовая работа

Содержание

Введение

1. Основные определения

1.1Терминологические замечания

1.2 Комментарии к определению клеточного пространства

2. Клеточные разбиения классических пространств

2.1 Сферы и шары

2.2 Проективные пространства

2.3 Многообразия Грассмана

2.4 Многообразия флагов

2.5 Классические поверхности

3. Гомотопические свойства клеточных пространств

3.1 Теорема Борсука о продолжении гомотопий

3.2 Следствия из теоремы Борсука

3.3 Теорема о клеточной аппроксимации

3.4 Доказательство леммы о свободной точке

3.5 Первые применения теоремы о клеточной аппроксимации

Заключение

Список использованных источников

Введение

В системе высшего образования весьма значительную роль играет гомотопическая топология, которая почти никогда не рассматривает совершенно произвольных топологических пространств. Обычно она изучает пространства с той или иной дополнительной структурой, причем со времен основоположника топологии Анри Пуанкаре рассматривают структуры двух типов. Первый тип - структуры аналитического происхождения: дифференциальная, риманова, симплектическая и т.д. Структуры второго, более важного для нас типа - комбинаторные структуры. Они заключаются в том, что пространство расчленено на более или менее стандартные, и изучение пространства сводится к изучению взаимного расположения этих частей.

Одна из важнейших из комбинаторных структур - клеточная структура. В гомологии она является эффективным вычислительным средством.

Данная работа посвящена изучению клеточной структуры, приведению некоторых теорем, свидетельствующие о полезности понятия клеточного пространства для гомотопической топологии., а так же подтверждающие необходимость изучения рассмотренной темы и всей топологии в целом, как основы для систематизации знаний по многим разделам высшей математики.

1. Основные определения

Клеточное пространство - это хаусдорфово топологическое пространство К, представленное в виде объединения попарно непересекающихся множеств ("клеток") таким образом, что для каждой клетки существует отображение q-мерного шара в К (характеристическое отображение, отвечающее клетке ), сужение которого на внутренность Int шара представляет собой гомеоморфизм Int ≈ . При этом предполагаются выполненными следующие аксиомы.

(С) Граница = − клетки содержится в объединении конечного числа клеток с r < q.

(W) Множество F К замкнуто тогда и только тогда, когда для любой клетки замкнуто пересечение F .

(Иногда характеристические отображения считаются фиксированными, т.е. рассматриваются как элемент структуры. Разумеется, такая модификация определения будет явно оговариваться)

1.1Терминологические замечания

1. Термин "клеточное пространство" не является абсолютно общепринятым: говорят также "клеточное разбиение" или "клеточный комплекс" или "CW-комплекс". Выражение "клеточное разбиение" мы будем употреблять как синоним выражения "разбиение пространства на клетки"; термин же "комплекс" будет у нас употребляться исключительно в алгебраическом значении.

2. Обозначения аксиом (С) и (W) являются стандартными; они происходят от английских слов "closurefinite" и "weaktopology".

Клеточное подпространство клеточного пространства K - это замкнутое его подмножество, составленное и целых клеток; клеточные подпространства являются самостоятельными клеточными пространствами. Важнейшие клеточные подпространства клеточного пространства - его остовы: n-й остов есть объединение всех клеток размерности n (по определению, размерность клетки равна q). Стандартные обозначения для n-го остова пространства или X. Кстати, некоторые говорят "n-мерный остов", но это неправильно: размерность клеточного пространства определяется как верхняя грань размерностей его клеток, и, очевидно, размерность n-го остова меньше или равна n. Клеточное пространство называется конечным (счетным), если оно состоит из конечного (счетного) числа клеток.

Заметим, что для конечных клеточных пространств аксиомы (С) и (W) проверять не нужно: они выполняются автоматически.

1.2 Комментарии к определению клеточного пространства

1. Замыкание клетки может не быть клеточным пространством. Пример: разбиение букета на клетки , и ( ) - делает его клеточным пространством, но если а не есть отмеченная точка окружности , то замыкание последней клетки не является подпространством (см. рис.1).

Рис.1

2. Из (W) не следует (С). Разбиение диска D² на внутренность IntD² и отдельные точки граничной окружности удовлетворяет аксиоме (W) (потому что всегда F IntD² = F), но не удовлетворяет аксиоме (С).

3. Из (С) не следует (W). Возьмем бесконечное семейство │α=1,2,… копий отрезка I, отождествим нулевые концы и топологизируем получившееся множество при помощи метрики: расстояние между точками , равно , если , и равно , если . Разбиение построенного пространства на множества и оставшиеся точки не удовлетворяет, из условий, входящих в определение клеточного пространства, только аксиоме (W): точки составляют последовательность, сходящуюся к 0, и, значит, незамкнутое множество, но пересечение этой последовательности с замыканием любой клетки замкнуто.

Кстати, если, как это только что было, разбиение пространства на клетки удовлетворяет всем условиям из определения клеточного пространства, кроме аксиомы (W), то можно ослабить в этом пространстве топологию, определив новую топологию при помощи аксиомы (W). Эта процедура называется "клеточным ослаблением топологии".

2. Клеточные разбиения классических пространств

2.1 Сферы и шары

При конечном n имеется два канонических клеточных разбиения сферы . Первое состоит из двух клеток: точки (любой, скажем, (1,0,... ..., 0)) и множества (рис.2а). Характеристическое отображение , отвечающее второй клетке, - это обычное "сворачивание" сферы из шара; годится, например, отображение, действующее по формуле , где (рис.3).

Рис.2

Рис.3

Другое каноническое клеточное разбиение сферы состоит из 2n +2 клеток : клетка состоит из точек , у которых и (рис.2б). Заботиться о характеристических отображениях здесь не приходится: замыкание каждой клетки очевидным образом гомеоморфно шару соответствующей размерности.

Заметим, что оба описанные клеточные разбиения сферы получаются из единственного возможного разбиения сферы (двоеточия) посредством применения канонической конструкции клеточного разбиения надстройки: в первом случае нужно брать надстройку над сферой как над пространством с отмеченной точкой, а во втором случае - обыкновенную надстройку.

Существует, конечно, масса других клеточных разбиений сферы : ее можно разбить на 3ⁿ⁺¹ - 1 клеток как границу (n+1) - мерного куба, на клеток - как границу (n+1) - мерного симплекса и т.п. .

Все описанные клеточные разбиения, кроме самого первого, годятся для сферы .

Клеточное разбиение шара можно получить из любого клеточного разбиения сферы путем присоединения одной клетки Int с характеристическим отображением id: . Наиболее экономное клеточное разбиение шара состоит, таким образом, из трех клеток. Правда, ни одно из этих разбиений не годится для шара .

2.2 Проективные пространства

При отождествлении диаметрально противоположных точек сферы клетки - клеточного разбиения склеиваются между собой и получается (n+1) - клеточное разбиение пространства R , по одной клетке в каждой размерности q≤n. Это же разбиение можно описать так:

R │ .

Еще одно описание этого разбиения: имеется цепочка включений

R R R R,

и мы полагаем e^q = R - R . Характеристическим отображением для e^q служит композиция канонической проекции D^q R и включения R R . При n= наша конструкция доставляет клеточное разбиение пространства R , содержащее по одной клетке каждой размерности. Конструкция имеет также комплексный, кватернионный и кэлиев аналоги. Она дает: разбиение пространства С на клетки размерностей 0, 2, 4,..., 2n; разбиение пространства H на клетки размерностей 0, 4, 8,..., 4n; разбиение пространства СаР² на клетки размерностей 0,8,16; клеточные разбиения пространств С и H , содержащие по одной клетке в каждой размерности, делящейся, соответственно, на 2 и 4. Например, пространство С разбивается на клетки

С │

с характеристическими отображениями

C С.

2.3 Многообразия Грассмана

Описываемое ниже клеточное разбиение многообразий Грассмана очень важно для геометрии и топологии (особенно для теории характеристических классов). Составляющие его клетки называются клетками Шуберта, а само оно называется шубертовским.

Пусть - произвольная конечная (возможно, пустая) невозрастающая последовательность целых положительных чисел, не превосходящих k, причем s ≤ n - k. Обозначим через e ( ) подмножество пространства G (n,k), составленное из подпространств пространства R , удовлетворяющих следующим условиям (мы полагаем =0):

R при m ≤ k - m ;

codim ( R ) =о при ;

R при m ≤ k + s + 1

(мы считаем, что R^a R при a < b: ). Приведем другое, более простое описание множества e ( ). Напомним, что диаграмма Юнга набора - это фигура, которая рисуется на клетчатой бумаге, как показано на рис.4а (столбцы имеют длины ).

Число клеток диаграммы Юнга равно . Можно считать, что клетки пространства G (n,k) отвечают диаграммам Юнга, вмещающимся в прямоугольник k (n - k) (рис.4а). Рассмотрим диаграмму Юнга набора и расположим ее, как показано на рис.4б. Толстая линия на этом рисунке представляет собой график некоторой неубывающей функции , и множество e ( ) задается условием dim ( R ) = (m). Ввиду наличия такого простого описания, множество e ( ) обозначают иногда через е ( ), где - обозначение для диаграммы Юнга набора ( ). Еще раз заметим, что размерность клетки е ( ) равна числу клеток диаграммы.

Лемма. Множество e ( ) гомеоморфно R .

Доказательство. Расчленим диаграмму Юнга набора ( ), как показано на рис.4в. Поставим в клетках вдоль косых линий единицы, в Заштрихованные клетки - произвольные числа и в остальные места - нули. Получится k n-матрица, строки которой составляют базис некоторого k-мерного подпространства пространства R . Легко понять, что это подпространство принадлежит e ( ) и что всякое подпространство, принадлежащее e ( ), обладает единственным базисом указанного вида. Получаем параметризацию клетки e ( ) наборами из чисел (числа в заштрихованных клетках).

Рис.4

На самом деле верно больше: множества e ( ) составляют клеточное разбиение пространства G (n, k). Для доказательства нужно построить характеристические отображения, т.е. продолжить построенные гомеоморфизмы Int R e ( ) до непрерывных отображений G (n, k), отображающих сферу в объединение клеток меньших размерностей.

Замечательное свойство шубертовских клеток состоит в том, что при естественных вложениях G (n, k) в G (n+1, k) ив G (n+1, k+1) клетка e ( ) гомеоморфно накладывается на клетку того же наименования. Следовательно, пространство G ( ,k) разбивается на клетки Шуберта, отвечающие диаграммам Юнга, содержащимся в горизонтальной полуполосе высоты k, а пространство G ( , ) разбивается на клетки, отвечающие всем без исключения диаграммам Юнга. Во всех случаях размерности клеток равны числам клеток диаграмм Юнга.

Комплексные и кватернионные аналоги шубертовских клеток очевидны; разумеется, размерности комплексных и кватернионных аналогов клеток Шуберта соответственно в 2 и 4 раза превосходят числа клеток соответствующих диаграмм Юнга.

2.4 Многообразия флагов

Многообразия флагов имеют естественное клеточное разбиение, обобщающее шубертовское разбиение многообразий Грассмана. Это разбиение и его клетки также называются шубертовскими. Опишем разбиение в вещественном случае (комплексный и кватернионный случаи отличаются только удвоением и учетверением размерностей клеток).

Шубертовские клетки многообразия флагов характеризуются наборами размерностей пересечений V R . Числа , однако, должны удовлетворять набору довольно неудобных условий, и мы предпочтем следующее, более рациональное описание клеток Шуберта.

Клетки пространства F (n; ) отвечают наборам целых чисел, принимающих значения 1,…, s + 1, причем ровно из этих чисел равны j (j=1,…, s+1; мы считаем, что k =0 и k =n). Клетка е [ ], отвечающая набору ( ), состоит из флагов V V, у которых

dim {

(мы считаем, что V =0 и V есть все пространство R ) или, иначе,

dim (V R ) = card {р ≤ i│k_p ≤ j }.

Размерность клетки е [ ] равна числу пар (i, j), для которых i<j, > .

В частности, многообразие F (n; 1,…,n-1) полных флагов разбито на n! клеток, отвечающих обыкновенным перестановкам чисел 1,…, n, причем размерность клетки равна числу инверсий в перестановке.

Если многообразие флагов есть многообразие Грассмана G (n, k), то s = 1 и набор состоит из k единиц и n-k двоек. Построим по этому набору n-звенную ломаную на плоскости, начинающуюся в точке (0, k) и кончающуюся в точке (n-k, 0). Все звенья ломаной имеют длину 1, причем i-e звено направлено вниз, если = 1, и вправо, если = 2. Эта ломаная ограничивает (вместе с координатными осями) некоторую диаграмму Юнга , и легко понять, что е [ ] = е ().

Заметим в заключение, что клетки е [ ] (и их комплексные и кватернионные аналоги) могут быть описаны чисто групповым образом: это - орбиты группы нижних треугольных n n-матриц с единицами на диагонали, естественным образом действующей в многообразии флагов. Именно, клетка е [ ] есть орбита флага, i-е пространство которого порождено координатными векторами, номера р которых удовлетворяют неравенству < i.

2.5 Классические поверхности

Клеточные разбиения поверхностей S² и RP² нами уже построены. Клеточные разбиения остальных поверхностей без края автоматически получаются при склеивании этих поверхностей из многоугольников: двумерная клетка получается из

внутренности многоугольника, одномерные клетки - из его (открытых) ребер, нульмерные клетки - из его вершин. Каноническое клеточное разбиение каждой классической поверхности имеет одну двумерную и одну нульмерную клетку. Кроме того, сфера с g ручками имеет 2g одномерных клеток (см. рис.5), проективная плоскость с g ручками имеет 2g +1одномерную клетку и бутылка Клейна с g ручками имеет 2g +2 одномерных клеток.

Рис.5

3. Гомотопические свойства клеточных пространств

3.1 Теорема Борсука о продолжении гомотопий

Определение. Пара (X, А) называется парой Борсука (или корасслоением), если для любого пространства Y и любого непрерывного отображения F: Х Y всякая гомотопия f_t : А Y, такая, что f = F│ _А , может быть продолжена до гомотопий F_t : Х Y, у которой F₀ = F.

Теорема Борсука. Если X - клеточное пространство и А - его клеточное подпространство, то (X, А) - пара Борсука.

Доказательство. Нам даны отображения Ф: А I Y (гомотопия f_t ) и F: X 0 Y, причем F │ = Ф│ . Продолжить гомотопию f_t до гомотопий F_t - это значит продолжить отображение F до отображения F’: X I Y, такого, что F’ │ = Ф. (Продолжение мы произведем индуктивно по размерности клеток пространства X, не входящих в А. Начальным шагом индукции служит продолжение отображения Ф на (A X ) I:

F’ (x, t) ={

Допустим теперь, что отображение F' уже определено на (A X ) I. Возьмем произвольную (n+ 1) - мерную клетку e Х - A. По предположению, F' задано на множестве ( ) I, так как граница = клетки содержится в X по определению клеточного пространства. Пусть f: D X - характеристическое отображение, соответствующее клетке . Нам надо продолжить F' на внутренность "цилиндра" f (D ) I с его "стенки" f (S ) I и "дна" f (D ) 0. Но из определения клеточного пространства ясно, что это все равно, что продолжить отображение F’ f: (S I) (D 0) Y до непрерывного отображения ': D IY.

Пусть : D I (S I) (D 0) - проектирование цилиндра D I из точки, лежащей вне цилиндра вблизи верхнего основания D I (см. Рис.6); это отображение тождественно на (S I) (D 0). Отображение ' мы определяем как композицию

D I (S I) (D 0) Y.

Эту процедуру можно проделать независимо для всех (n + 1) - мерных клеток пространства X, и мы получаем продолжение отображения F' на (A X ) I.

Рис.6

Так, остов за остовом, мы строим желаемое продолжение отображения Ф до отображения F: X I Y. Подчеркнем, что если пространство X бесконечномерно, то наше индуктивное построение будет состоять из бесконечного числа шагов; в этом случае непрерывность окончательного отображения будет следовать из аксиомы (W). Теорема доказана.

3.2 Следствия из теоремы Борсука

Следствие 1. Пусть X - клеточное пространство и А - его клеточное подпространство. Если А стягиваемо по себе в точку, то X/А ~ X.

Доказательство. Обозначим через проектирование X Х/А. Так как А стягиваемо, то существует гомотопия f_t : А А, такая, что отображение f₀ : А А тождественно и f (A) есть точка. В силу теоремы Борсука, существует гомотопия F_t : Х Х, такая, что F₀ = id и F_t │_A =f_t . B частности F (A) =* (точка). Это означает, что можно рассматривать как отображение, заданное на Х/А, точнее, что F ⁼ q p, где q: Х/А X - некоторое непрерывное отображение. По построению, F ~F₀ , т.е. q p ~ id .

Далее, F_t (А) А (при любом t), т.е. р F_t (А) = *. Следовательно, р F_t = = q_t р, где q_t : Х/А Х/А - некоторая гомотопия. При этом q = id иq = р q; следовательно, р q ~ id.

Следствие доказано.

Следствие 2. Если X - клеточное пространство и А - его клеточное подпространство, то Х/А ~ X СА, где СА - конус над А.

Доказательство. Х/А = (X СА) /СА ~Х СА; последнее вытекает из предыдущего следствия, примененного к клеточному пространству X СА и его стягиваемому клеточному подпространству СА.

Замечание. Оба доказанных предложения можно рассматривать не как следствия из теоремы Борсука, а как самостоятельные теоремы, только предположения о клеточности X и А нужно тогда заменить в первом случае предположением, что (X, А) - пара Борсука, а во втором случае - предположением, что (X СА, СА) - пара Борсука.

3.3 Теорема о клеточной аппроксимации

Теорема. Всякое непрерывное отображение одного клеточного пространства в другое гомотопно клеточному отображению.

Мы будем доказывать следующее, более сильное утверждение ("относительный вариант" нашей теоремы).

Теорема. Пусть f - непрерывное отображение клеточного пространства X в клеточное пространство Y, причем на клеточном подпространстве А пространства X отображение f клеточно. Тогда существует такое клеточное отображение g: X Y, что g│_A =f│_A и, более того, f~grelA.

Поясним запись f~grelA (читается: f гомотопно g относительно А), которой мы будем пользоваться и дальше. Она применяется в ситуации, когда непрерывные отображения f, g: X Y совпадают на подпространстве А пространства X и означает, что существует гомотопия h : Х Y, соединяющая f с g и неподвижная на А, т.е. такая, что h_t (а) не зависит от t при а А. Конечно, из f~ grelА следует, что f ~ g, но не наоборот. Пример: f,g: I S , f - "наворачивание" отрезка на окружность, g - отображение в точку; эти отображения гомотопны, но не гомотопны rel (0 1).

Доказательство теоремы. Предположим, что отображение f уже сделано клеточным не только на всех клетках из А, но и на всех клетках из X, имеющих размерность < р. Возьмем р-мерную клетку е^р X - А. Ее образ f (e^p ) пересекается лишь с конечным числом клеток пространства Y (это следует из компактности f ( ^p )). Выберем среди этих клеток пространства Y клетку наибольшей размерности, скажем, , dim = q. Если q≤ р, то нам с клеткой е^р делать нечего. В случае же q >р нам потребуется следующая лемма.

Лемма о свободной точке. Пусть U - открытое подмножество пространства R^p и : U IntD^q - такое непрерывное отображение, что множество V = (d^q ) U, где d^q - некоторый замкнутый шарик в IntD , компактно. Если q> р, то существует непрерывное отображение : U IntD^q , совпадающее с вне

V и такое, что его образ не покрывает всего шара d^q .

Доказательство этой леммы (и обсуждение ее геометрического значения) мы отложим до следующего пункта; ограничимся лишь важным замечанием, что отображение автоматически будет гомотопным относительно U - V: достаточно взять связывающую с "прямолинейную" гомотопию, при которой точка (u) равномерно движется к (u) точке по прямолинейному отрезку, соединяющему (u) с (u).

Завершим доказательство теоремы. Из леммы о свободной точке вытекает, что сужение f│ гомотопно rel (A X ) отображению f’: A X е ^р Y, такому, что f’ (e^p ) задевает те же клетки, что и f (e^р ), но заведомо f’ (e^p ) не содержит всю клетку . В самом деле, пусть h: D^p Х, k: D^p Y - характеристические отображения, соответствующие клеткам е^р , . Положим U= h (f ( ) е^р ) и определим отображение : U IntD^q как композицию:

u x y = (u)

Ue f ( ) IntD^q Обозначим через d^q (замкнутый) концентрический подшар шара D^q . Множество V= (d^q ) компактно (как замкнутое подмножество шара D^p ). Пусть : U IntD^q - отображение, доставляемое леммой о свободной точке. Отображение f' определим как совпадающее с f вне h (U) и как композицию

x u y = f’ (x)

h (U) U Int D^q Y

на h (U). Ясно, что отображение f’ непрерывно (оно совпадает с f на "буферном множестве" h (U - V)) и гомотопно f│ rel (A X ), и даже rel (A X (e -h (V)))) (это вытекает из гомотопности ~ rel (U - V)). Ясно также, что f' (e^p ) не покрывает e^q .

Дальнейшее рассуждение совсем просто. Во-первых, неподвижную на A Х гомотопию между f│ и f' мы можем распространить, по теореме Борсука, на все X, и это позволяет считать, что отображение f', обладающее всеми вышеперечисленными свойствами, определено на всем X. После этого мы берем точку у₀ , не принадлежащую f’ (е^р ), и подвергаем f'│ "радиальной гомотопии": если точка x e^p не принадлежит f’ ( ),Tof' (x) стоит на месте, а если f' (x) , то f’ (x) движется по отрезку, идущему из точки у₀ на границу клетки (точнее говоря, по k-образу прямолинейного отрезка, начинающегося в точке k (у₀ ) проходящего через точку k (f’ (x)) k (у₀ ) и кончающегося на граничной сфере S шара D^q ). Эту гомотопию мы продолжаем до гомотопии отображения f'│ (неподвижной вне е^р ) и - по теореме Борсука - до гомотопии всего отображения f’: Х Y. Получающееся отображение f’’ гомотопно f ге1 (A Х ) и обладает тем свойством, что f’’ (e^p ) задевает q-мерных клеток на одну меньше, чем f (е ^р ) (и, как и f (e^p ), не задевает клеток размерности >q). Применив эту процедуру нужное число раз, мы прогомотопируем отображение f к отображению, клеточному на A Х e^p , причем гомотопия будет неподвижной на A Х .

Теперь заметим, что "исправление" отображения f, которое мы проделали для клетки е^р , можно дословно так же проделать одновременно для всех р-мерных клеток из X - А. Тогда мы придем к отображению, клеточному на A Х^р и гомотопному frel (A Х ).

Неподвижную на А гомотопию, связывающую отображение f с клеточным отображением, мы получим, если проделаем последовательно построенные гомотопии при р = 0, 1,2,... Правда, число этих гомотопии может быть бесконечно, но это не беда: р-ю гомотопию мы производим на отрезке 1 - 2 ≤t≤ 1 - 2 . Непрерывность всей гомотопии обеспечивается аксиомой (W): для каждой клетки е из X гомотопия будет неподвижной, начиная с некоторого t_e < 1. Теорема доказана.

3.4 Доказательство леммы о свободной точке

Для человека, не испорченного популярной математической литературой, сама формулировка леммы показалась бы нелепой: как же непрерывный образ пространства меньшей размерности может покрыть пространство большей размерности? Но кто же не знает, что это бывает: кривая Пеано, распропагандированная ничуть не меньше, чем, скажем, бутылка Клейна, осуществляет непрерывное (и даже взаимно однозначное) отображение отрезка на квадрат. Поэтому лемму приходится доказывать, и дело осложняется тем, что геометрическая интуиция помочь тут не может, она упорно твердит свое: такое вообще невозможно. С подобными трудностями сталкиваются всякий раз, когда "строгое" определение того или иного понятия (в данном случае - -определение непрерывности) не вполне соответствует исходному интуитивному представлению: приходится вникать в устройство не реального объекта, а химеры. Но ничего не поделаешь - доказать лемму надо.

В основе второго доказательства леммы лежит понятие триангуляции. Напомним, что q-мерный евклидов симплекс есть подмножество пространства R , n ≤ q, являющееся выпуклой оболочкой q + 1 точек, не лежащих в одной (q - 1) - мерной плоскости. (Евклидовы симплексы размерностей 0, 1, 2, 3: точка, отрезок, треугольник, тетраэдр.) Эти q+ 1 точек называются вершинами симплекса. Подсимплексы, т.е. выпуклые оболочки различных подмножеств множества вершин, называются гранями нашего симплекса; это - симплексы размерности ≤q. Нульмерная грань - это вершина. Замечательное свойство симплекса заключается в том, что его линейное отображение в любое пространство R^m определяется своими значениями на вершинах, причем эти значения могут быть совершенно произвольны. Конечная триангуляция подмножества евклидова пространства - это такое его конечное покрытие евклидовыми симплексами, что любые два симплекса либо не пересекаются вовсе, либо пересекаются по целой грани. Удобно считать, что грани симплексов триангуляции также принадлежат к числу симплексов триангуляции.

Барицентрическое подразделение q-мерного симплекса состоит в том, что этот симплекс разбивается на (q + 1) ! более мелких q-мерных симплексов. Вершины новых симплексов - это центры тяжести граней старого симплекса (в том числе - его самого). Множество {х₀ , х ,..., x_q ) этих центров является множеством вершин некоторого симплекса барицентрического подразделения, если соответствующие грани ₀ , ,..., _q можно составить в цепочку последовательно вложенных друг в друга, см. рис.7. (По-другому барицентрическое подразделение q-мерного симплекса можно описать так: сначала подвергаются барицентрическому подразделению все его (q - 1) - мерные грани, а потом над всеми построенными симплексами, лежащими на границе симплекса , строятся конусы с вершиной в центре этого симплекса; начать это индуктивное определение можно с q = 0: с нульмерным симплексом при барицентрическом подразделении ничего не происходит. Еще по-другому: симплекс - его совокупность точек вида , где - вершины, t ≥ 0 и t = 1; симплексы барицентрического подразделения отвечают перестановкам (i₀ , i ,..., i_q ) чисел 0, 1,..., q; симплекс, отвечающий этой перестановке, состоит из точек

t с .

Барицентрическое подразделение триангуляции - это триангуляция, составленная из симплексов барицентрических подразделений симплексов исходной триангуляции (рис.8).

Обратимся теперь к нашему отображению . Прежде всего мы построим в шарике d = d_q концентрические шарики d , d₂ , d₃ , d радиусов /5, 2 /5, З /5,4 /5, где -радиус шарика d. Далее, покроем V конечным числом р-мерных симплексов, содержащихся в U, и триангулируем объединение К этих симплексов (объединение конечного числа как угодно пересекающихся евклидовых симплексов в R^p обладает конечной триангуляцией). Применив к этой триангуляции достаточное число

Рис.7 Рис.8

раз барицентрическое подразделение, мы можем добиться того, чтобы для любого симплекса триангуляции выполнялось неравенство diam ( ) < /5. Пусть K₁ - объединение симплексов построенной триангуляции нашего множества К, -образы которых пересекаются с d₄ . Тогда d₄ < (U) (K₁ ) d. Рассмотрим отображение ': К₁ d, совпадающее с на вершинах триангуляции и линейное на каждом симплексе. Отображения │_K и ’ гомотопны - они соединяются прямолинейной гомотопией _t : K₁ d, ₀ = │_K , ₁ = ’. Теперь "сошьем" отображения и ’ в отображение : U IntD^q :

(u), если (u) d_3, (u) = ’ (u), если (u) d_{2, 3-5 ( u) (} u), если (u) d₃ -d₂ .

Здесь (u) - расстояние от точки (u) до центра шара d. (См. рис.9)

Рис.9

Отображение непрерывно, совпадает с на U - V и его образ пересекается с d₁ по конечному числу кусков р-мерных плоскостей, т.е. всего шара d₁ (а значит, и всего шара d) не покрывает.

Лемма доказана.

3.5 Первые применения теоремы о клеточной аппроксимации

Теорема. Если X - клеточное пространство с единственной вершиной (= нульмерной клеткой), не имеющее других клеток размерности <q, aY - клеточное пространство размерности <q, то всякое отображение Y X гомотопно отображению, переводящему все Y в точку. Такое же утверждение справедливо в категории пространств с отмеченными точками (в клеточной ситуации удобно считать, что отмеченными точками являются нульмерные клетки).

Это прямо следует из теоремы о клеточной аппроксимации: если f: Y X - клеточное отображение, то так как q-й остов пространства Y есть все Y, а q-й остов пространства X есть точка, то f (Y) - точка.

В частности, если m < q, то (S^m , S^q ) = _b (S^m , S^q ) = 0 (т.е. состоит из одного элемента).

Оп ределение. Пространство X называется n-связным, если при q ≤ n множество (S^q , X) состоит из одного элемента (т.е. если любые два отображения S^q X с q ≤ n гомотопны).

Теорема. Всякое п-связное клеточное пространство гомотопически эквивалентно клеточному пространству с единственной вершиной и без клеток размерностей 1, 2,..., n.

Доказательство. Выберем в нашем пространстве X вершину е₀ и соединим с ней остальные вершины путями. Это можно сделать, так как пространство n-связно и, в частности, линейно связно. (Пути могут пересекаться) Используя теорему о клеточной аппроксимации, мы можем добиться того, чтобы эти пути лежали в одномерном остове пространства X. Пусть s_i - путь, соединяющий вершину е₀ с вершиной е_i . Приклеим при каждом i к X двумерный диск по отображению нижней полуокружности в X при помощи пути s_i (рис.10).

Рис.10

Получим новое клеточное пространство X, которое будет содержать X и, кроме того, клетки е , е (верхние полуокружности и внутренности приклеенных писков). То, что границы клеток е лежат в одномерном остове, вытекает из того, что этим свойством обладают пути s_i . Ясно, что X есть деформационный ретракт в : каждый Фприклеенный диск можно смять на нижнюю полуокружность.

Обозначим через Y объединение замыканий клеток е_i ¹ . Очевидно, Y стягиваемо; следовательно, /Y ~ ~ X. Но у /Y всего одна вершина.

Дальнейшее рассуждение совершенно аналогично. Предположим, что X ~ X’, причем X' имеет единственную вершину и не имеет клеток размерностей 1,2,..., k - 1, где k≤n. В этом случае замыкание каждой k-мерной клетки представ ляет собой k-мерную сферу. Ввиду n-связности X (и, следовательно, X^’ ) включение этой сферы в X' продолжается до непрерывного отображения (k + 1) - мерного шара, образ которого, ввиду теоремы о клеточной аппроксимации, можно считать лежащим в (k + 1) - м остове пространства X'. По этому отображению (которое мы считаем отображением нижней полусферы (k + 1) - мерной сферы) мы приклеиваем к X'. шар D^{k +2} , и подобным образом мы поступаем для каждой k-мерной клетки пространства X’. Полученное клеточное пространство ’ гомотопически эквивалентно X’ и содержит стягиваемое подпространство Y - объединение замыканий всех вновь приклеенных (k + 1) - мерных клеток (верхних полусфер приклеенных шаров), содержащее все k-мерные клетки. Имеем: ’ /Y ~ ’ ~ X’ ~ X, ’ /Y имеет единственную вершину и не имеет клеток размерностей 1,2,...,k.

Следствие. Если клеточное пространство X п-связно, а клеточное пространство Yn-мерно, то множество (Y, X) состоит из одного элемента. Это же верно для _b (Y, X), если X и Y имеют отмеченные точки, являющиеся вершинами.

Замечание. Использованная в доказательстве последней теоремы процедура уничтожения k-мерных клеток предполагает присоединение клеток размерности k + 2. В случае, если заданное n-связное пространство было (n + 1) - мерно, это могло привести к увеличению размерности. В действительности можно доказать, что всякое n-связное клеточное пространство размерности n + 1 гомотопически эквивалентно букету (n + 1) - мерных сфер.

Последняя теорема имеет относительный вариант, для формулировки которого необходимо понятие n-связной пары. Топологическая пара (X, А) называется n-связной, если всякое отображение (Dⁿ , S^{n -1} ) (X, А) гомотопно (как отображение пар) отображению, загоняющему все Dⁿ в А.

Заключение

В данной курсовой работе был собран и обобщен материал, касающийся вопросов, связанных с важнейшей комбинаторной структурой топологии - клеточной структурой.

Цель курсовой работы - изучение основных понятий клеточной структуры топологии, выяснение ее значимости - была достигнута.

Для достижения цели была проработана литература, рассмотрены определение клеточного пространства, клеточные разбиения классических пространств, а также некоторые теоремы о клеточных пространствах.

Результаты проделанной работы могут быть использованы студентами физико-математических факультетов при изучении разделов топологии, а также для анализа и систематизации курсов математического анализа, дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии и других дисциплин.

Список использованных источников

1. Болтянский В.Г., Ефремович В.А. Наглядная топология. - М.: Наука, 1983. - 160 с.

2. Борисович, Ю.Г. Введение в топологию: Учеб. пособие для вузов / Ю.Г. Борисович, Н.М. Близняков, Я.А. Израилевич, Т. Н Фоменко - М.: Высш. школа, 1980. - 295 с.

3. Гарднер, М. Математические досуги / М. Гарднер − М.: Мир, 1972. − 496 с.

4. Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. - М. - Л.: ГОНТИ, 1938. - 400 с.

5. Куратовский, К. Топология: В 2 т. / К. Куратовский − М.: Мир, 1966, т. I, − 594 с; 1969, т.П. − 624 с.

6. Рохлин, В.В., Фукс Д.Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы / В.В. Рохлин, Д.Б. Фукс − М.: Наука, 1977. − 488 с.

7. Спеньер, Э. Алгебраическая топология / Э. Спеньер; перевод с англ. Б.М. Пранова; под ред.А.М. Виноградова - М.: Мир, 1971 - 680с.

8. Стинрод, Н. Чинн У. Первые понятия топологии / Н. Стинрод, У. Чинн − М.: Мир, 1967. − 224 с.