Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
"Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины"
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Курсовая работа
КЛАССЫ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
, ЗАМКНУТЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВЕДЕНИЯ
-ПОДГРУПП, ИНДЕКСЫ КОТОРЫХ НЕ ДЕЛЯТСЯ НА НЕКОТОРОЕ ПРОСТОЕ ЧИСЛО
Исполнитель:
Студентка группы М-53 Вакрилова Л.М.
Научный руководитель:
доктор ф-м наук, профессор Семенчук В.Н.
Гомель 2009
Содержание
Перечень условных обозначений
Введение
1 Описание
-формаций Шеметкова
2 Описание
-формаций Шеметкова
3 Критерий принадлежности групп, факторизуемых подгруппами, индексы которых не делятся на некоторое простое число, наследственно насыщенным формациям
Заключение
Список использованных источников
П
еречень условных обозначений
Рассматриваются только конечные группы. Вся терминология заимствована из [44, 47].
--- множество всех натуральных чисел;
--- множество всех простых чисел;
--- некоторое множество простых чисел, т. е.
;
--- дополнение к
во множестве всех простых чисел; в частности,
;
примарное число --- любое число вида
.
Буквами
обозначаются простые числа.
Пусть
--- группа. Тогда:
--- порядок группы
;
--- множество всех простых делителей порядка группы
;
-группа --- группа
, для которой
;
-группа --- группа
, для которой
;
--- коммутант группы
, т. е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы
;
--- подгруппа Фиттинга группы
, т. е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы
;
--- наибольшая нормальная
-нильпотентная подгруппа группы
;
--- подгруппа Фраттини группы
, т. е. пересечение всех максимальных подгрупп группы
;
--- наибольшая нормальная
-подгруппа группы
;
---
-холлова подгруппа группы
;
--- силовская
-подгруппа группы
;
--- дополнение к силовской
-подгруппе в группе
, т. е.
-холлова подгруппа группы ;
--- нильпотентная длина группы
;
---
-длина группы
;
--- минимальное число порождающих элементов группы
;
--- цоколь группы
, т. е. подгруппа, порожденная всеми минимальными нормальными подгруппами группы
;
--- циклическая группа порядка
.
Если
и
--- подгруппы группы
, то :
---
является подгруппой группы
;
---
является собственной подгруппой группы
;
---
является нормальной подгруппой группы
;
--- ядро подгруппы
в группе
, т. е. пересечение всех подгрупп, сопряженных с
в ;
--- нормальное замыкание подгруппы
в группе
, т. е. подгруппа, порожденная всеми сопряженными с
подгруппами группы ;
--- индекс подгруппы
в группе
;
;
--- нормализатор подгруппы
в группе
;
--- централизатор подгруппы
в группе
;
--- взаимный коммутант подгрупп
и
;
--- подгруппа, порожденная подгруппами
и
.
Минимальная нормальная подгруппа группы
--- неединичная нормальная подгруппа группы
, не содержащая собственных неединичных нормальных подгрупп группы
;
---
является максимальной подгруппой группы
.
Если
и
--- подгруппы группы
, то:
--- прямое произведение подгрупп
и
;
--- полупрямое произведение нормальной подгруппы
и подгруппы
;
---
и
изоморфны;
--- регулярное сплетение подгрупп
и
.
Подгруппы
и
группы
называются перестановочными, если .
Группу
называют:
-замкнутой, если силовская
-подгруппа группы
нормальна в ;
-нильпотентной, если
-холлова подгруппа группы
нормальна в ;
-разрешимой, если существует нормальный ряд, факторы которого либо
-группы, либо
-группы;
-сверхразрешимой, если каждый ее главный фактор является либо
-группой, либо циклической группой; нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны; разрешимой, если существует номер
такой, что
; сверхразрешимой, если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.
Монолитическая группа --- неединичная группа, имеющая единственную минимальную нормальную подгруппу.
-замкнутая группа --- группа, обладающая нормальной холловской
-подгруппой.
-специальная группа --- группа, обладающая нильпотентной нормальной холловской
-подгруппой.
-разложимая группа --- группа, являющаяся одновременно
-специальной и
-замкнутой.
Группа Шмидта --- это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой нильпотентны.
Добавлением к подгруппе
группы
называется такая подгруппа
из
, что
.
Цепь --- это совокупность вложенных друг в друга подгрупп.
Ряд подгрупп --- это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу.
Ряд подгрупп
называется:
субнормальным, если
для любого
;
нормальным, если
для любого
;
главным, если
является минимальной нормальной подгруппой в
для всех
.
Класс групп --- совокупность групп, содержащая с каждой своей группой
и все ей изоморфные группы.
-группа --- группа, принадлежащая классу групп
.
Формация --- класс групп, замкнутый относительно факторгрупп и подпрямых произведений.
Если
--- класс групп, то:
--- множество всех простых делителей порядков всех групп из
;
--- множество всех тех простых чисел
, для которых
;
--- формация, порожденная классом
;
--- насыщенная формация, порожденная классом
;
--- класс всех групп
, представимых в виде
где
,
;
;
--- класс всех минимальных не
-групп, т. е. групп не принадлежащих
, но все собственные подгруппы которых принадлежат ;
--- класс всех
-групп из
;
--- класс всех конечных групп;
--- класс всех разрешимых конечных групп;
--- класс всех
-групп;
--- класс всех разрешимых
-групп;
--- класс всех разрешимых
-групп;
--- класс всех нильпотентных групп;
--- класс всех разрешимых групп с нильпотентной длиной
.
Если
и
--- классы групп, то:
.
Если
--- класс групп и
--- группа, то:
--- пересечение всех нормальных подгрупп
из
таких, что ;
--- произведение всех нормальных
-подгрупп группы
.
Если
и
--- формации, то:
--- произведение формаций;
--- пересечение всех
-абнормальных максимальных подгрупп группы
.
Если
--- насыщенная формация, то:
--- существенная характеристика формации
.
-абнормальной называется максимальная подгруппа
группы
, если
, где
--- некоторая непустая формация.
-гиперцентральной подгруппой в
называется разрешимая нормальная подгруппа
группы
, если
обладает субнормальным рядом
таким, что
(1) каждый фактор
является главным фактором группы
;
(2) если порядок фактора
есть степень простого числа
, то
.
---
-гиперцентр группы
,
Известно, что любая конечная группа вида
, где
и
---
-замкнутые подгруппы и индексы
,
не делятся на некоторое простое число
, является
-замкнутой.
В работе [38] В.Н. Тютянов доказал, что любая конечная группа вида
, где
и
---
-нильпотентные подгруппы и индексы
,
не делятся на некоторое простое число
, является
-нильпотентной группой.
В связи с этим результатом можно сформулировать следующую проблему.
Проблема. Классифицировать наследственные насыщенные формации
, содержащие любую группу
, где
и
принадлежат
и
содержит некоторую силовскую подгруппу группы .
В данной главе в классе разрешимых групп для наследственной формации Фиттинга
данная проблема решена полностью.
1. Описание
-формаций Шеметкова
Важную роль при получении основных результатов данной главы сыграли формации Шеметкова, т. е. такие формации
, у которых любая минимальная не
-группа является либо группой Шмидта, либо группой простого порядка.
Впервые наследственные насыщенные разрешимые формации Шеметкова были описаны в работе [22]. Затем в работах [9] и [50, 51] были описаны произвольные наследственные насыщенные формации Шеметкова.
Определение. Формация
называется
-формацией Шеметкова, если любая минимальная не
-группа --- либо группа простого порядка, либо группа Шмидта с нормальной
-силовской подгруппой.
Приведем пример
-формаций Шеметкова.
1.1 Пример. Если
--- формация всех
-нильпотентных групп, то
---
-формация Шеметкова.
Пусть
--- произвольная минимальная не
-группа. Известно, что группа
является разрешимой. Покажем, что
является группой Шмидта с нормальной
-силовской подгруппой. Так как
не
-нильпотентная группа, то
. Пусть
. Согласно теореме 2.2.5,
, где
--- единственная минимальная нормальная подгруппа,
--- примарная
-группа,
, где
--- максимальный внутренний локальный экран формации
. Покажем, что
. Действительно, если
, то из того факта, что
-нильпотентна, а значит и
так же
-нильпотентна, следует, что
-нильпотентна, что невозможно. Известно, что формацию
можно представить в виде
. Согласно лемме 2.2.20,
. Очевидно, что любая минимальная не
-группа есть группа простого порядка
. Итак,
--- группа Шмидта. Пусть
. Выше показано, что
--- группа Шмидта с нормальной
-силовской подгруппой. Теперь, в виду леммы 2.2.2 и леммы 4.1.1,
является группой Шмидта с нормальной
-силовской подгруппой. А это значит, что
--- -формация Шеметкова.
1.2 Лемма [14-A, 21-A]. Пусть
,
,
--- непустые формации. Тогда .
Доказательство. Пусть
--- произвольная группа из
. Тогда
. Отсюда следует, что
и
. А это значит, что .
Пусть
--- произвольная группа из
. Отсюда следует, что
и
. Тогда
и
. Итак,
. А это значит, что
. Лемма доказана.
Пусть
--- насыщенная формация, а
--- ее максимальный внутренний локальный экран,
--- характеристика формации
. Обозначим через
--- множество простых чисел из
таких, что
, где
--- простое число из .
1.3 Лемма. Пусть
--- насыщенная формация,
--- ее максимальный внутренний локальный экран. Тогда
Доказательство. Известно, что для любой насыщенной формации
справедливо следующее равенство
Отсюда следует, что
По лемме 5.1.2,
Лемма доказана.
1.4 Теорема [14-A, 21-A]. Пусть
--- наследственная насыщенная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1)
---
-формация Шеметкова;
2)
, где
и
.
Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2). Из леммы 5.1.3 следует, что любую насыщенную формацию можно представить в виде
где
--- максимальный внутренний локальный экран формации
. Покажем, что если
---
-формация Шеметкова, то
Действительно, очевидно, что
Покажем обратное включение. Пусть
--- группа наименьшего порядка из
Так как
--- наследственная формация, то
.
Так как
--- насыщенная формация, то
. Нетрудно показать, что
имеет единственную минимальную нормальную подгруппу
и
. Согласно условию,
либо группа простого порядка, либо группа Шмидта с нормальной
-силовской подгруппой.
Пусть
. Так как
, то
. Отсюда следует, что
. Противоречие.
Пусть
--- группа Шмидта и
, где
. Очевидно, что
. Тогда из
следует, что
. А это значит, что
. Так как
, то
. Но тогда
. Так как
--- полный экран, то
. Так как
--- внутренний экран, то
. Получили противоречие.
Покажем, что из 2) следует 1).
Пусть
. Согласно условию,
--- разрешимая группа. Пусть
. Очевидно, что
имеет единственную минимальную нормальную подгруппу
, причем
---
-группа и
. Согласно теореме 2.2.5,
, где
,
--- полный локальный экран формации
. Согласно лемме 2.2.20,
. А это значит, что
, где
. Отсюда нетрудно заметить, что
--- группа Шмидта. Согласно лемме 2.2.21,
--- либо группа Шмидта с нормальной
-силовской подгруппой, либо группа простого порядка. Теорема доказана.
1.5 Теорема [14-A, 21-A]. Пусть
--- наследственная насыщенная
-формация Шеметкова. Тогда
содержит любую
-разрешимую группу
, где
и
---
-подгруппы и индексы
,
не делятся на .
Доказательство. Доказательство проведем от противного. Тогда нетрудно доказать, что
имеет единственную минимальную нормальную подгруппу
, причем
и
. Так как
---
-разрешимая группа, то либо
---
-группа, либо
-группа. Если
---
-группа, то из того, что
следует, что . Противоречие.
Пусть
---
-группа. Согласно условию,
и
. Так как
и
, то
. Отсюда следует, что
. Аналогичным образом получаем, что
. Отсюда и группа
. А это значит, что
. Получили противоречие. Теорема доказана.
В работе [33] было доказано, что любая наследственная насыщенная формация Шеметкова
замкнута относительно произведения
-субнормальных
-подгрупп. Для наследственных насыщенных
-формаций Шеметкова справедлива следующая теорема.
1.6 Теорема [14-A, 21-A]. Пусть
--- наследственная насыщенная
-формация Шеметкова. Тогда
содержит любую группу
, где
и
---
-подгруппы, индексы
,
не делятся на
и либо
, либо
-субнормальны в .
Доказательство. Пусть
--- наследственная насыщенная
-формация Шеметкова. Тогда, согласно теореме 5.1.4, она имеет следующее строение:
где
--- некоторое множество простых чисел, содержащее простое число
.
Пусть
--- группа наименьшего порядка, не принадлежащая
, такая, что
, где
и
---
-подгруппы, индексы
,
не делятся на
и
-субнормальна в .
Нетрудно показать, что
имеет единственную минимальную нормальную подгруппу
.
Так как
--- насыщенная формация, то
.
Пусть
--- абелева группа и
---
-группа. Если
, то из того факта, что
, следует, что
. Противоречие.
Если
---
-группа, то, как и в теореме 5.1.5, можно показать, что
. Противоречие.
Пусть
--- неабелева группа. В этом случае
z\ неабелевых простых групп и
.
Рассмотрим подгруппу
. Так как
--- собственная
-субнормальная подгруппа группы
и
, то нетрудно показать, что
. Рассмотрим подгруппу
. По тождеству Дедекинда
Очевидно, что
---
-субнормальная подгруппа
. Так как
--- наследственная формация и
, то
. Очевидно, что индексы
,
не делятся на
. Тогда по индукции,
. Если
, то
. Получили противоречие. Значит,
. Так как
--- нормальная подгруппа из
, то
--- нормальная подгруппа из . Но тогда
где
--- изоморфные неабелевы простые группы,
. Так как
и
--- наследственная формация, то
. Отсюда нетрудно показать, что
. Если
делится на
, то из того, что
,
следует, что
--- нормальная подгруппа группы
. Противоречие. Если
---
-группа, то ясно, что
. Противоречие. Теорема доказана.
Введем следующее определение.
Определение. Формация
называется
-формацией Шеметкова, если любая минимальная не
-группа --- либо группа Шмидта с ненормальной циклической
-силовской подгруппой, либо группа простого порядка.
Приведем пример
-формаций Шеметкова.
2.1 Пример. В классе конечных разрешимых групп формация всех
-замкнутых групп
является
-формацией Шеметкова.
Действительно. Пусть
--- произвольная минимальная не
-группа. Так как
не
-замкнута, то
. Пусть
. Согласно теореме 2.2.5,
, где
--- единственная минимальная нормальная подгруппа из
,
---
-группа,
, где
--- максимальный внутренний локальный экран формации
. Покажем, что
. Действительно, в противном случае, из того факта, что
-замкнута и
-замкнута, следует, что
-замкнута. Получаем противоречие. Известно, что формацию
можно представить в виде
. Согласно лемме 2.2.20, формация
имеет максимальный внутренний локальный экран такой, что
. Очевидно, что любая минимальная не
-группа есть группа простого порядка
. Итак,
--- группа Шмидта с ненормальной циклической подгруппой простого порядка
. Пусть
. Выше показано, что
--- группа Шмидта с ненормальной циклической
-силовской подгруппой. Согласно лемме 3.1.1,
--- группа Шмидта с ненормальной циклической
-силовской подгруппой. Итак,
--- -формация Шеметкова.
2.2 Теорема [14-A, 21-A]. Пусть
--- наследственная насыщенная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1)
---
-формация Шеметкова;
2)
, где
и
.
Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2).
Ясно, что формация
является формацией Шеметкова. Тогда, согласно лемме 2.2.22, эта формация имеет следующее строение:
где
--- максимальный внутренний локальный экран
. Вначале докажем, что
, где
--- любое простое число из
. Предположим, что это не так. Тогда найдется простое число
, но
. Обозначим через
группу простого порядка
. Очевидно, что
и
. Так как
, то существует точный неприводимый
-модуль
, где
--- поле из
элементов. Пусть
. Покажем, что
. Так как
точен, то
. Так как
, то, очевидно, что
. Пусть
--- произвольная максимальная подгруппа из
. Так как
и
, то нетрудно заметить, что
. Итак,
. Так как
, то это невозможно ввиду того, что
---
-формация Шеметкова. Итак,
для любого
из
. Отсюда, в частности, следует, что
. Учитывая данные факты, нетрудно показать, что равенство (5.1) принимает следующий вид:
Используя лемму 5.1.2, равенство (5.2) приводится к виду:
где
--- некоторое множество простых чисел, содержащее число
.
Покажем, что из 2) следует 1).
Действительно, что
--- произвольная минимальная не
-группа. Согласно условию,
разрешима. Пусть
. Согласно теореме 2.2.5,
, где
--- единственная минимальная нормальная подгруппа,
---
-группа и
, где
--- максимальный внутренний локальный экран формации
. Если
, то из того факта, что
, следует, что
. Получили противоречие. Тогда
. Согласно лемме 2.2.20, насыщенная формация
имеет полный локальный экран
такой, что
. Очевидно, что
. Так как
, то очевидно, что
. Итак, любая минимальная не
-группа
с
либо группа простого порядка, либо группа Шмидта с ненормальной
-силовской подгруппой. Согласно лемме 2.2.21, это же верно, когда
. Итак,
--- -формация Шеметкова. Теорема доказана.
2.3 Лемма [14-A, 21-A]. Пусть
--- наследственная насыщенная
-формация Шеметкова. Формация
содержит любую разрешимую группу
, где
и
---
-подгруппы и индексы
,
не делятся на
, только в том случае, когда
--- формация -замкнутых групп.
Доказательство. Пусть
---
-формация Шеметкова. Согласно теореме 5.2.2, она имеет следующее строение:
где
. Если
, то
--- формация
-замкнутых групп. Так как индексы
,
не делятся на
, то
и
содержат силовскую
-подгруппу группы
. По условию,
и
-замкнуты. Отсюда следует, что
-замкнута. Пусть множество
содержит простое число
. Покажем, что в этом случае утверждение леммы неверно. Пусть
--- группа порядка
. Пусть
--- простое число, отличное от
и
. Так как
, то существует точный неприводимый
-модуль
, где
--- поле из
элементов. Пусть
. Так как
и
имеет единственную минимальную нормальную подгруппу, то согласно лемме 2.2.18, существует точный неприводимый
-модуль
, где
--- поле из
элементов. Пусть
. Так как
, то, как и выше, существует точный неприводимый
-модуль
, где
--- поле из
элементов. Пусть .
Рассмотрим следующие две подгруппы:
и
. Ясно, что
. Подгруппы
и
-замкнуты, причем индексы
,
не делятся на
. Если бы группа
была бы
-замкнута, то тогда
была бы нормальной подгруппой в группе
, что невозможно. Итак, утверждение леммы верно только тогда, когда . Лемма доказана.
2.4 Лемма [14-A, 21-A]. Пусть
---
-разрешимая группа,
, где
,
, индексы
,
не делятся на
. Тогда .
Доказательство. Доказательство проведем индукцией по порядку
. Пусть
--- минимальная нормальная подгруппа
. Так как
---
-разрешимая группа, то
либо
-группа, либо
-группа. Если
---
-группа, то
. Согласно индукции,
. Получили противоречие.
Пусть
---
-группа. Так как
,
не делятся на
, то
. Так как
--- единственная минимальная нормальная подгруппа группы
и
, то
. Рассмотрим подгруппу
. Так как
,
---
-группа,
, то нетрудно показать, что
---
-группа. Так как
, то
---
-замкнутая группа. Аналогичным образом можно доказать, что
---
-замкнутая группа. Отсюда следует, что
---
-замкнутая группа. А это значит, что . Получим противоречие. Лемма доказана.
В данном разделе в классе разрешимых групп получено описание наследственных формаций Фиттинга
, содержащих любую разрешимую группу
, где
и
---
-подгруппы и индексы
,
не делятся на некоторое фиксированное простое число .
3.1 Лемма [14-A, 21-A]. Пусть
--- наследственная насыщенная формация, содержащая любую разрешимую группу
, где
и
---
-подгруппы и индексы
,
не делятся на некоторое фиксированное простое число
. Тогда любая разрешимая минимальная не
-группа
принадлежит одному из следующих типов:
1)
--- группа простого порядка
, где
;
2)
--- группа Шмидта;
3)
, где
, где
--- максимальный внутренний локальный экран формации
,
--- простое число отличное от ;
4)
,
,
, где
---
-замкнутая группа,
, где
--- максимальный внутренний локальный экран формации
,
--- простое число отличное от .
Доказательство. Пусть
--- произвольная разрешимая минимальная не
-группа. Если
, то нетрудно показать, что
--- группа простого порядка
, причем .
Пусть
. Покажем, что
--- бипримарная
-подгруппа. Действительно, если
--- примарная группа, то из насыщенности формации
следует, что
. Противоречие. Пусть
. Так как
--- разрешимая группа, то нетрудно показать, что
, где
, индексы
,
не делятся на
. Согласно условию,
. Получили противоречие. Итак, .
Пусть
--- минимальная нормальная подгруппа
. Если
---
-группа, то
. Рассмотрим случай, когда
. Покажем, что в этом случае
--- группа Шмидта. Вначале докажем, что
--- циклическая группа. Действительно, в противном случае
, где
и
--- максимальные подгруппы
. Тогда
. Так как
,
не делятся на
,
, то
. Противоречие. Итак,
--- циклическая группа,
. Пусть
. Покажем, что
. Предположим противное. Пусть
, где
. Пусть
и
--- циклические группы соответственно порядков
и
. Обозначим через
регулярное сплетение
. И пусть
--- база сплетения, т. е.
. Так как некоторая подгруппа группы
изоморфна
, то
. Очевидно, что подгруппы
,
принадлежат формации .
Пусть
, где
. Обозначим через
базу сплетения
. Тогда
Легко видеть, что
.
Так как индексы
и
не делятся на
, то
. Но
, и поэтому
Полученное противоречие показывает, что
. Итак, доказали, что
--- группа Шмидта. Согласно лемме 2.2.21,
--- группа Шмидта. Следовательно,
--- группа типа 2).
Пусть
---
-группа и
. Пусть
. Тогда, согласно теореме 2.2.5,
, где
,
,
--- максимальный внутренний локальный экран формации
. Так как
, то
---
-группа. Пусть
. Тогда рассмотрим подгруппу
. Так как
--- собственная подгруппа
, то
. Так как
, то
не делится на
. Так как
--- разрешимая группа, то
. Но тогда в
существует максимальная подгруппа
такая, что
. Рассмотрим подгруппу
. Так как
--- собственная подгруппа
, то
. Нетрудно заметить, что
не делится на
и
. Теперь, согласно условию,
. Получили противоречие. Итак, доказали, что
, то есть
---
-замкнутая группа. Итак, -- группа типа 4).
Пусть теперь
---
-группа. Тогда
. Покажем, что
. Предположим, что
. Пусть
. Тогда в
найдется максимальная подгруппа
такая, что
. Рассмотрим подгруппу
. Так как
и
--- собственные подгруппы
, то они принадлежат
. Очевидно, что
,
не делятся на
и
. Тогда, согласно условию,
. Противоречие. Отсюда следует, что
---
-замкнутая, но тогда
---
-замкнута. Тот факт, что
(
--- максимальный внутренний локальный экран
) следует из теоремы 2.2.5. Итак, --- группа типа 3). Лемма доказана.
3.2 Лемма [14-A, 21-A]. Пусть
--- тотально насыщенная формация, содержащая любую разрешимую группу
, где
и
---
-подгруппы и индексы
,
не делятся на некоторое фиксированное простое число
. Тогда любая разрешимая минимальная не
-группа
принадлежит одному из следующих типов:
1)
--- группа простого порядка
, где
;
2)
--- группа Шмидта;
3)
--- группа Шмидта;
4)
, где
и
, где
--- группа Шмидта с нормальной
-силовской подгруппой,
--- простое число отличное от .
Доказательство. Согласно лемме 5.3.1, любая минимальная не
-группа
есть группа типа 1) -- 4) из леммы 5.3.1.
Пусть
--- группа типа 3) из леммы 5.3.1. Тогда
. Пусть
--- максимальный внутренний локальный экран формации
. Так как
--- тотально насыщенная формация, то
--- насыщенная формация. Согласно лемме
. Пусть
. Так как
--- насыщенная формация, то
, что невозможно. Итак,
. А это значит, что
--- группа простого порядка
. Но тогда нетрудно заметить, что
--- группа Шмидта. Согласно лемме 2.2.21, --- группа Шмидта.
Пусть
--- группа типа 4) из леммы 5.3.1. Тогда
где
. Покажем, что
--- группа Шмидта. Так как
--- тотально насыщенная формация, то
--- насыщенная формация. В виду леммы 2.2.21, при доказательстве утверждений, можем считать, что
. Пусть
--- максимальный внутренний локальный экран формации
. Согласно теореме 2.2.5,
где
.
Так как
--- тотально насыщенная формация, то
является насыщенной формацией. Как и выше, нетрудно доказать, что
. Отсюда следует, что
--- группа Шмидта. Лемма доказана.
3.3 Теорема [14-A, 21-A]. Пусть
--- наследственная разрешимая формация Фиттинга,
--- некоторое фиксированное простое число. Тогда и только тогда
содержит любую разрешимую группу
, где
и
---
-подгруппы и индексы
,
не делятся на некоторое простое число
, когда
есть пересечение некоторых классов групп одного из следующих типов:
1) класс всех разрешимых
-замкнутых групп;
2) класс всех разрешимых групп с
-длиной
;
3) класс всех разрешимых групп
таких, что
---
-группа, где
--- некоторое множество простых чисел, содержащее простое число .
Доказательство. Необходимость. Согласно результатам работы [33]
является тотально насыщенной формацией. Теперь можно применить результаты леммы 5.3.2.
Пусть любая минимальная не
-группа есть группа типа 1), 2) из леммы 5.3.2. Тогда
является
-формацией Шеметкова. Согласно теореме 5.1.4
, где
--- некоторое множество простых чисел, содержащее простое число .
Пусть любая минимальная не
-группа является группой типа 1), 3). Тогда
---
-формация Шеметкова. Согласно теореме 5.2.2, она имеет следующее строение:
где
--- некоторое множество простых чисел, содержащее простое число
. Согласно лемме 5.2.3,
. А это значит, что .
Пусть любая минимальная не
-группа --- группа типа 1), 4). Пусть
--- максимальный внутренний локальный экран формации
.
Известно, что
Покажем, что для любого простого числа
из
, отличного от
,
. Предположим противное. Пусть
--- группа наименьшего порядка из
. Так как
--- наследственная формация, то
. Так как
--- тотально насыщенная формация, то
--- насыщенная формация. Отсюда нетрудно показать, что
. Очевидно, что
имеет единственную минимальную нормальную подгруппу
, причем
. Так как
--- полный экран, то
. А значит,
---
-группа, где .
Согласно лемме 2.2.18, существует точный неприводимый
-модуль
, где
--- поле из
элементов. Пусть
. Покажем, что
. Так как
точен, то
. Так как
, то очевидно, что
. Пусть
--- произвольная максимальная подгруппа из
. Если
, то
. Отсюда следует, что
. А значит,
. Пусть
. Тогда
, где
--- некоторая максимальная подгруппа из
. Так как
, то
. Так как
, то из полноты экрана
следует, что
. Так как
--- внутренний экран, то
. Итак,
. Последнее противоречит тому, что --- группа типа 4) из леммы 5.3.2.
Итак,
для любого
из
. Тогда
Отсюда нетрудно заметить, что
Рассмотрим насыщенную формацию
. Так как любая минимальная не
-группа либо группа простого порядка, либо группа Шмидта с ненормальной циклической
-силовской подгруппой, то
---
-формация Шеметкова. Согласно теореме 5.2.2,
где
--- некоторое множество простых чисел, содержащее простое число
. Следовательно,
Как и в лемме 5.2.3 можно показать, что
. Итак,
--- формация из пункта 3).
Нетрудно показать, что формация
, у которой любая минимальная не
-группа есть группа одного из типов 1), 2), 3), 4) леммы 5.3.2, есть пересечение некоторых формаций из пунктов 1), 2), 3) данной теоремы.
Достаточность следует из теоремы 5.1.5 и леммы 5.2.4. Теорема доказана.
В главе 1 получено описание наследственных насыщенных
-формаций Шеметкова, теорема 1.4 , и найден ряд свойств таких формаций, теорема 1.6 .
В главе 2 получено описание наследственных насыщенных
-формаций Шеметкова, теорема 2.2 .
В главе 3 в классе конечных разрешимых групп получено описание наследственных формаций Фиттинга
, замкнутых относительно произведения
-подгрупп, индексы которых не делятся на некоторое фиксированное простое число, теорема 3.3 .
1. Васильев, А.Ф. О максимальной наследственной подформации локальной формации / А.Ф. Васильев // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во народного обр. БССР, Гомельский гос. ун-т; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. -- Минск: Университетское, 1990. -- Вып. 5. -- С. 39--45.
2. Васильев, А.Ф. О решетках подгрупп конечных групп / А.Ф. Васильев, С.Ф. Каморников, В.Н. Семенчук // Бесконечные группы и примыкающие алгебраические системы / Ин-т математики Акад. Украины; редкол.: Н.С. Черников [и др.]. -- Киев, 1993. -- С. 27--54.
3. Васильев, А.Ф. О влиянии примарных
-субнормальных подгрупп на строение группы / А.Ф. Васильев // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во обр. и науки Республики Беларусь, Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. -- Гомель, 1995. -- Вып. 8. -- С. 31--39.
4. Васильева, Т.И. О конечных группах с
-достижимыми силовскими подгруппами / Т.И. Васильева, А.И. Прокопенко. -- Гомель, 2006. -- 18 с. -- (Препринт / Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; № 4).
5. Ведерников, В.А. О локальных формациях конечных групп / В.А. Ведерников // Матем. заметки. -- 1989. -- Т. 46, № 3. -- С. 32--37.
6. Казарин, Л.С. Признаки непростоты факторизуемых групп / Л.С. Казарин // Известия АН СССР. -- 1980. -- Т. 44, № 2. -- С. 288--308.
7. Казарин, Л.С. О произведении конечных групп / Л.С. Казарин // ДАН СССР. -- 1983. -- Т. 269, № 3. -- С. 528--531.
8. Каморников, С.Ф. О некоторых свойствах формаций квазинильпотентных групп / С.Ф. Каморников // Матем. заметки. -- 1993. -- Т. 53, № 2. -- С. 71--77.
9. Каморников, С.Ф. О двух проблемах Л.А. Шеметкова / С.Ф. Каморников // Сибир. мат. журнал. -- 1994. -- Т. 35, № 4. -- С. 801--812.
10. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп) // Институт математики СО АН СССР. -- Новосибирск, 1992. -- 172 с.
11. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп) // Институт математики СО РАН. -- Новосибирск, 1999. -- 146 с.
12. Легчекова, Е.В. Конечные группы с заданными слабо квазинормальными подгруппами / Е.В. Легчекова, А.Н. Скиба, О.В. Титов // Доклады НАН Беларуси. -- 2007. -- Т. 51, № 1. -- С. 27--33.
13. Монахов, В.С. Произведение конечных групп, близких к нильпотентным / В.С. Монахов // Конечные группы. -- 1975. -- С. 70--100.
14. Монахов, В.С. О произведении двух разрешимых групп с максимальным пересечением факторов / В.С. Монахов // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во высш. и ср. спец. обр. БССР, Гомельский гос. ун-т; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. -- Минск: Университетское, 1985. -- Вып. 1. -- С. 54--57.
15. Мокеева, С.А. Конечные группы с перестановочными
-субнормальными (
-достижимыми) подгруппами / С.А. Мокеева. -- Гомель, 2003. -- 25 с. -- (Препринт / Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; № 56).
16. Прокопенко, А.И. О конечных группах с
-достижимыми силовскими подгруппами / А.И. Прокопенко // Известия Гомельского гос. ун-та им. Ф. Скорины. -- 2004. -- № 6 (27). -- С. 101--103.
17. Семенчук, В.Н. О минимальных не
-группах / В.Н. Семенчук // ДАН БССР. -- 1978. -- № 7. -- С. 596--599.
18. Семенчук, В.Н. Конечные группы с заданными свойствами подгрупп / В.Н. Семенчук // ДАН БССР. -- 1979. -- № 1. -- С. 11--15.
19. Семенчук, В.Н. Минимальные не
-группы / В.Н. Семенчук // Алгебра и логика. -- 1979. -- Т. 18, № 3. -- С. 348--382.
20. Семенчук, В.Н. Конечные группы с системой минимальных не
-подгрупп / В.Н. Семенчук // Подгрупповое строение конечных групп: Тр. / Ин-т математики АН БССР. -- Минск: Наука и техника, 1981. -- С. 138--149.
21. Семенчук, В.Н. Минимальные не
-группы / В.Н. Семенчук // Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп: Тр. / Ин-т математики АН БССР. -- Минск: Наука и техника, 1984. -- С. 170--175.
22. Семенчук, В.Н. Характеризация локальных формаций
по заданным свойствам минимальных не
-групп / В.Н. Семенчук, А.Ф. Васильев // Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп: Тр. / Ин-т математики АН БССР. -- Минск: Наука и техника, 1984. -- С. 175--181.
23. Семенчук, В.Н. Описание разрешимых минимальных не
-групп для произвольной тотально локальной формации / В.Н. Семенчук // Матем. заметки. -- 1988. -- Т. 43, № 4. -- С. 251--260.
24. Семенчук, В.Н. О разрешимых минимальных не
-группах / В.Н. Семенчук // Вопросы алгебры. -- Минск: Университетское, 1987. -- Вып. 3. -- С. 16--21.
25. Семенчук, В.Н. Роль минимальных не
-групп в теории формаций / В.Н. Семенчук // Матем. заметки. -- 1991. -- Т. 98, № 1. -- С. 110--115.
26. Семенчук, В.Н. Конечные группы с
-абнормальными или
-субнормальными подгруппами / В.Н. Семенчук // Матем. заметки. -- 1994. -- Т. 56, № 6. -- С. 111--115.
27. Семенчук, В.Н. Разрешимые тотально локальные формации / В.Н. Семенчук // Сибир. мат. журн. -- 1995. -- Т. 36, № 4. -- С. 861--872.
28. Семенчук, В.Н. Разрешимые
-радикальные формации / В.Н. Семенчук // Матем. заметки. -- 1996. -- Т. 59, № 2. -- С. 261--266.
29. Семенчук, В.Н. Об одной проблеме в теории формаций / В.Н. Семенчук // Весцi АН Беларусi. -- 1996. -- № 3. -- С. 25--29.
30. Семенчук, В.Н. О разрешимых тотально локальных формациях / В.Н. Семенчук // Вопросы алгебры. -- 1997. -- № 11. -- С. 109--115.
31. Семенчук, В.Н., Поляков Л.Я. Характеризация минимальных не
-групп / В.Н. Семенчук // Известия высших учебных заведений. -- 1998. -- № 4 (431). -- С. 1--4.
32. Семенчук, В.Н. Классификация локальных наследственных формаций критические группы которых бипримарны / В.Н. Семенчук // Известия Гомельского гос. ун-та им. Ф. Скорины. -- 1999. -- № 1 (15). -- С. 153--162.
33. Семенчук, В.Н. Сверхрадикальные формации / В.Н. Семенчук, Л.А. Шеметков // Доклады НАН Беларуси. -- 2000. -- Т. 44, № 5. -- С. 24--26.
34. Семенчук, В.Н. Конечные группы, факторизуемые
-достижимыми подгруппами / В.Н. Семенчук, С.А. Мокеева // Известия Гомельского гос. ун-та им. Ф. Скорины. -- 2002. -- № 5 (14). -- С. 47--49.
35. Скиба, А.Н. Об одном классе локальных формаций конечных групп / А.Н. Скиба // ДАН БССР. -- 1990. -- Т. 34, № 11. -- С. 382--385.
36. Скиба, А.Н. Алгебра формаций / А.Н. Скиба. -- Минск: Беларуская навука, 1997. -- 240 с.
37. Старостин, А.И. О минимальных группах, не обладающих данным свойством / А.И. Старостин // Матем. заметки. -- 1968. -- Т. 3, № 1. -- С. 33--37.
38. Тютянов, В.Н. Факторизации
-нильпотентными сомножителями / В.Н. Тютянов // Матем. сб. -- 1996. -- Т. 187, № 9. -- С. 97--102.
39. Чунихин, С.А. О специальных группах / С.А. Чунихин // Матем. сб. -- 1929. -- Т. 36, № 2. -- С. 135--137.
40. Чунихин, С.А. О специальных группах / С.А. Чунихин // Матем. сб. -- 1933. -- Т. 40, № 1. -- С. 39--41.
41. Чунихин, С.А. О группах с наперед заданными подгруппами / С.А. Чунихин // Матем. сб. -- 1938. -- Т. 4 (46), № 3. -- С. 521--530.
42. Чунихин, С.А. О существовании подгрупп у конечной группы / С.А. Чунихин // Труды семинара по теории групп. -- ГОНТИ, М.--Л. -- 1938. -- С. 106--125.
43. Чунихин, С.А. Подгруппы конечных групп / С.А. Чунихин. -- Минск: Наука и техника, 1964. -- 158 с.
44. Шеметков, Л.А. Формации конечных групп / Л.А. Шеметков. -- М.: Наука, 1978. -- 272 с.
45. Шеметков, Л.А. Экраны произведения формаций / Л.А. Шеметков // ДАН БССР. -- 1981. -- Т. 25, № 8. -- С. 677--680.
46. Шеметков, Л.А. О произведении формаций / Л.А. Шеметков // ДАН БССР. -- 1984. -- Т. 28, № 2. -- С. 101--103.
47. Шеметков, Л.А. Формации алгебраических систем / Л.А. Шеметков, А.Н. Скиба. -- М.: Наука, 1989. -- 256 с.
48. Шмидт, О.Ю. Группы, все подгруппы которых специальные / О.Ю. Шмидт // Матем. сб. -- 1924. -- Т. 31, № 3. -- С. 366--372.
49. Ballester-Bolinches, A. On the lattice of
-subnormal subgroups / A. Ballester-Bolinches, К. Doerk, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. -- 1992. -- Vol. 148, № 2. -- P. 42--52.
50. Ballester-Bolinches, A. On
-critical groups / A. Ballester-Bolinches, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. -- 1995. -- Vol. 174. -- P. 948--958.
51. Ballester-Bolinches, A. Two questions of L.A. Shemetkov on critical groups / A. Ballester-Bolinches, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. -- 1996. -- Vol. 179. -- P. 905--917.
52. Ballester-Bolinches, A. Classes of Finite Groups / A. Ballester-Bolinches, L.M. Ezquerro. -- Springer, 2006. -- 385 p.
53. Bryce, R.A. Fitting formations of finite soluble groups / R.A. Bryce, J. Cossey // Math. Z. -- 1972. -- Bd. 127, № 3. -- S. 217--233.
54. Carter, R.O. The
-normalizers of a finite soluble group / R. Carter, T. Hawkes // J. Algebra. -- 1967. -- Vol. 5, № 2. -- Р. 175--202.
55. Carter, R. Extreme classes of a finite soluble groups / R. Carter, B. Fisсher, T. Hawkes // J. Algebra. -- 1968. -- Vol. 9, № 3. -- P. 285--313.
56. Doerk, K. Minimal nicht Uberauflosbare, endliche Gruppen / K. Doerk // Math. Z. -- 1966. -- Vol. 91. -- P. 198--205.
57. Doerk, K. Finite soluble groups / K. Doerk, T. Hаwkes. -- Berlin -- New York: Walter de Gruyter, 1992. -- 891 p.
58. Fisman, E. On product of two finite solvable groups / E. Fisman // J. Algebra. -- 1983. -- Vol. 80, № 2. -- P. 517--536.
59. Gaschutz, W. Zur Theorie der endlichen auflosbaren Gruppen // Math. Z. -- 1963. -- Vol. 80, № 4. -- P. 300--305.
60. Guo, W. The Theory of Classes of Groups / W. Guo. -- Dordrecht -- Boston -- London: Kluwer Academic Publishers, 2000. -- 257 p.
61. Guo, W. X-semipermutable subgroups of finite groups / W. Guo, K.P. Shum, A.N. Skiba // J. Algebra. -- 2007. -- Vol. 315. -- P. 31--41.
62. Hall, P. A note on soluble groups / P. Hall // Proc. London Math. Soc. -- 1928. -- Vol. 3. -- P. 98--105.
63. Hall, P. On the Sylow systems of a soluble group / P. Hall // Proc. London Math. Soc. -- 1937. -- Vol. 43. -- P. 316--323.
64. Hawkes, T. On Fitting formations / T. Hawkes // Math. Z. -- 1970. -- Vol. 117. -- P. 177--182.
65. Huppert, B. Normalteiler und maximal Untergruppen endlichen Gruppen / B. Huppert // Math. Z. -- 1954. -- Vol. 60. -- P. 409--434.
66. Ito, N. Note on (LN)-groups of finite order / N. Ito // Kodai Math. Seminar Report. -- 1951. -- Vol. 1--2. -- P. 1--6.
67. Kazarin, L.S. Product of two solvable subgroups / L.S. Kazarin // Comm. Algebra. -- 1986. -- Vol. 14, № 6. -- P. 1001--1066.
68. Kegel, O.H. Produkte nilpotenter Gruppen // Arch. Math. -- 1961. -- Vol. 12, № 2. -- P. 90--93.
69. Kegel, O.H. Untergruppenverbande endlicher Gruppen, die Subnormalteilerverband echt enthalten / O.H. Kegel // Arch. Math. -- 1978. -- Bd. 30, № 3. -- S. 225--228.
70. Miller, G.A. Nonabelian groups in which every subgroup is abelian / G.A. Miller, H.C. Moreno // Trans. Amer. Math. Soc. -- 1903. -- Vol. 4. -- P. 398--404.
71. Semenchuk, V.N. Finite groups with permutable
-subnormal and
-accessible subgroups / V.N. Semenchuk, S.A. Mokeeva // 4th International Algebraic Conference in Ukraine. Abstracts, August 4--9. -- 2003. -- P. 153--154.
72. Thompson, J.G. Nonsolvable finite groups all of whose local subgroups are solvable / J.G. Thompson // Bull. Amer. Math. Soc. -- 1968. -- Vol. 74. -- P. 383--437.
73. Wielandt, H. Eine Verallgemeinerung der invarianten Untergruppen // H. Wielandt // Math. Z. -- 1939. -- Bd. 45. -- S. 209--244.
74. Wielandt, H. Uber den Normalisator der subnormalen Untergruppen // H. Wielandt // Math. Z. -- 1958. -- Bd. 69, № 8. -- S. 463--465.
75. Wielandt, H. Uber das Produkt von nilpotenten Gruppen / H. Wielandt // Illinois Journ. -- 1958. -- Vol. 2, № 4B. -- P. 611--618.
|