Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
"Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины"
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
КЛАССЫ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
, ЗАМКНУТЫЕ О ВЗАИМНО ПРОСТЫХ ИНДЕКСОВ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ОБОБЩЕННО СУБНОРМАЛЬНЫХ
-ПОДГРУПП
Курсовая работа
Исполнитель:
Студентка группы М-53 МОКЕЕВА О. А.
Научный руководитель:
доктор ф-м наук, профессор Семенчук В.Н.
Гомель 2009
Оглавление
ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Введение
1 Некоторые базисные леммы
2 Критерий принадлежности групп, факторизуемых
обобщенно субнормальными
-подгруппами, индексы которых
взаимно просты, наследственно насыщенным формациям
Заключение
Список использованных источников
П
еречень условных обозначений
Рассматриваются только конечные группы. Вся терминология заимствована из [44, 47].
--- множество всех натуральных чисел;
--- множество всех простых чисел;
--- некоторое множество простых чисел, т. е.
;
--- дополнение к
во множестве всех простых чисел; в частности,
;
примарное число --- любое число вида
.
Буквами
обозначаются простые числа.
Пусть
--- группа. Тогда:
--- порядок группы
;
--- множество всех простых делителей порядка группы
;
-группа --- группа
, для которой
;
-группа --- группа
, для которой
;
--- коммутант группы
, т. е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы
;
--- подгруппа Фиттинга группы
, т. е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы
;
--- наибольшая нормальная
-нильпотентная подгруппа группы
;
--- подгруппа Фраттини группы
, т. е. пересечение всех максимальных подгрупп группы
;
--- наибольшая нормальная
-подгруппа группы
;
---
-холлова подгруппа группы
;
--- силовская
-подгруппа группы
;
--- дополнение к силовской
-подгруппе в группе
, т. е.
-холлова подгруппа группы ;
--- нильпотентная длина группы
;
---
-длина группы
;
--- минимальное число порождающих элементов группы
;
--- цоколь группы
, т. е. подгруппа, порожденная всеми минимальными нормальными подгруппами группы
;
--- циклическая группа порядка
.
Если
и
--- подгруппы группы
, то :
---
является подгруппой группы
;
---
является собственной подгруппой группы
;
---
является нормальной подгруппой группы
;
--- ядро подгруппы
в группе
, т. е. пересечение всех подгрупп, сопряженных с
в ;
--- нормальное замыкание подгруппы
в группе
, т. е. подгруппа, порожденная всеми сопряженными с
подгруппами группы ;
--- индекс подгруппы
в группе
;
;
--- нормализатор подгруппы
в группе
;
--- централизатор подгруппы
в группе
;
--- взаимный коммутант подгрупп
и
;
--- подгруппа, порожденная подгруппами
и
.
Минимальная нормальная подгруппа группы
--- неединичная нормальная подгруппа группы
, не содержащая собственных неединичных нормальных подгрупп группы
;
---
является максимальной подгруппой группы
.
Если
и
--- подгруппы группы
, то:
--- прямое произведение подгрупп
и
;
--- полупрямое произведение нормальной подгруппы
и подгруппы
;
---
и
изоморфны;
--- регулярное сплетение подгрупп
и
.
Подгруппы
и
группы
называются перестановочными, если .
Группу
называют:
-замкнутой, если силовская
-подгруппа группы
нормальна в ;
-нильпотентной, если
-холлова подгруппа группы
нормальна в ;
-разрешимой, если существует нормальный ряд, факторы которого либо
-группы, либо
-группы;
-сверхразрешимой, если каждый ее главный фактор является либо
-группой, либо циклической группой;
нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны;
разрешимой, если существует номер
такой, что
;
сверхразрешимой, если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.
Монолитическая группа --- неединичная группа, имеющая единственную минимальную нормальную подгруппу.
-замкнутая группа --- группа, обладающая нормальной холловской
-подгруппой.
-специальная группа --- группа, обладающая нильпотентной нормальной холловской
-подгруппой.
-разложимая группа --- группа, являющаяся одновременно
-специальной и
-замкнутой.
Группа Шмидта --- это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой нильпотентны.
Добавлением к подгруппе
группы
называется такая подгруппа
из
, что .
Цепь --- это совокупность вложенных друг в друга подгрупп.
Ряд подгрупп --- это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу.
Ряд подгрупп
называется:
субнормальным, если
для любого
;
нормальным, если
для любого
;
главным, если
является минимальной нормальной подгруппой в
для всех
.
Класс групп --- совокупность групп, содержащая с каждой своей группой
и все ей изоморфные группы.
-группа --- группа, принадлежащая классу групп
.
Формация --- класс групп, замкнутый относительно факторгрупп и подпрямых произведений.
Если
--- класс групп, то:
--- множество всех простых делителей порядков всех групп из
;
--- множество всех тех простых чисел
, для которых
;
--- формация, порожденная классом
;
--- насыщенная формация, порожденная классом
;
--- класс всех групп
, представимых в виде
где
,
;
;
--- класс всех минимальных не
-групп, т. е. групп не принадлежащих
, но все собственные подгруппы которых принадлежат ;
--- класс всех
-групп из
;
--- класс всех конечных групп;
--- класс всех разрешимых конечных групп;
--- класс всех
-групп;
--- класс всех разрешимых
-групп;
--- класс всех разрешимых
-групп;
--- класс всех нильпотентных групп;
--- класс всех разрешимых групп с нильпотентной длиной
.
Если
и
--- классы групп, то:
.
Если
--- класс групп и
--- группа, то:
--- пересечение всех нормальных подгрупп
из
таких, что ;
--- произведение всех нормальных
-подгрупп группы
.
Если
и
--- формации, то:
--- произведение формаций;
--- пересечение всех
-абнормальных максимальных подгрупп группы
.
Если
--- насыщенная формация, то:
--- существенная характеристика формации
.
-абнормальной называется максимальная подгруппа
группы
, если
, где
--- некоторая непустая формация.
-гиперцентральной подгруппой в
называется разрешимая нормальная подгруппа
группы
, если
обладает субнормальным рядом
таким, что
(1) каждый фактор
является главным фактором группы
;
(2) если порядок фактора
есть степень простого числа
, то
.
---
-гиперцентр группы
, т. е. произведение всех
-гиперцентральных подгрупп группы .
Введение
Известно, что формация всех сверхразрешимых групп не замкнута относительно произведения нормальных сверхразрешимых подгрупп, но замкнута относительно произведения нормальных сверхразрешимых подгрупп взаимно простых индексов. В связи с этим можно сформулировать следующую проблему.
Проблема. Классифицировать наследственные насыщенные формации
с тем свойством, что любая группа
, где
и
---
-субнормальные
-подгруппы взаимно простых индексов, принадлежит .
Именно изучению таких формаций посвящена данная работа. В частности, в классе конечных разрешимых групп получено полное решение данной проблемы.
1 Некоторые базисные леммы
В данном разделе доказаны леммы, которые существенным образом используются при доказательстве основного раздела данной главы.
1.1 Лемма [18-A]. Пусть
--- насыщенная формация,
принадлежит
и имеет нормальную силовскую
-подгруппу
для некоторого простого числа
. Тогда справедливы следующие утверждения:
1)
;
2)
, где
--- любое дополнение к
в .
Доказательство. Так как
, то
, а значит,
. Так как
и формация
насыщенная, то
не содержится в
. Так как
--- элементарная группа, то по теореме 2.2.16,
обладает
-допустимым дополнением
в
. Тогда
,
. Если
, то
отлична от
и, значит, принадлежит
. Но тогда, ввиду равенства , имеем
отсюда следует
и
. Тем самым доказано, что
.
Докажем утверждение 2). Очевидно, что
является
-корадикалом и единственной минимальной нормальной подгруппой группы
, причем
. Поэтому, ввиду теоремы 2.2.17,
Очевидно,
. Если
, то
отсюда
. Значит,
. Лемма доказана.
Пусть
и
--- произвольные классы групп. Следуя [55], обозначим через
--- множество всех групп, у которых все
-подгруппы принадлежат .
Если
--- локальный экран, то через
обозначим локальную функцию, обладающую равенством
для любого простого числа .
1.2 Лемма [18-A]. Пусть
и
--- некоторые классы групп. Тогда справедливы следующие утверждения:
1)
--- наследственный класс;
2)
;
3) если
, то
;
4) если
, то
--- класс всех групп;
5) если
--- формация, а
--- насыщенный гомоморф, то
--- формация;
6) если
,
,
--- некоторые классы групп и
--- наследственный класс, то
в том и только в том случае, когда ;
7) если
и
--- гомоморфы и
, то .
Доказательство. Доказательство утверждений 1), 2), 3) и 4) следует непосредственно из определения класса групп
.
Пусть
,
--- нормальная подгруппа группы
и
---
-подгруппа из
. Пусть
--- добавление к
в
. Покажем, что
. Предположим противное. Пусть
не входит в
. Тогда
обладает максимальной подгруппой
, не содержащей
. Поэтому
, а значит,
, что противоречит определению добавления.
Так как
--- насыщенный гомоморф, то
. Но тогда
и
. Значит, класс
замкнут относительно гомоморфных образов.
Пусть
. Пусть
---
-подгруппа из
. Тогда
, а значит ввиду определения класса
, имеем
Так как
--- формация и
, то отсюда получаем, что
. Таким образом, .
Докажем утверждение 6). Пусть
,
. Если
не входит в
, то получается, что каждая
-подгруппа из
принадлежит
, а значит,
. Получили противоречие. Поэтому .
Покажем, что
. Предположим, что множество
непусто, и выберем в нем группу
наименьшего порядка. Тогда
не входит в
. Пусть
--- собственная подгруппа из
. Так как классы
и
--- наследственные классы, то
. Ввиду минимальности
имеем
. Значит,
. Получили противоречие. Поэтому .
Докажем утверждение 7). Пусть
и
---
-подгруппа из группы
. Отсюда следует, что
,
. А это значит, что
. Отсюда нетрудно заметить, что
. Следовательно,
. Итак,
. Лемма доказана.
1.3 Лемма [18-A]. Пусть
--- наследственная насыщенная формация,
--- ее максимальный внутренний локальный экран. Тогда и только тогда
-корадикал любой минимальной не
-группы является силовской подгруппой, когда:
1)
;
2) формация
имеет полный локальный экран
такой
, что
для любого
из .
Доказательство. Необходимость. Пусть
--- максимальный внутренний локальный экран формации
. Пусть
--- произвольное простое число из
. Так как
--- насыщенный гомоморф, то по лемме 4.1.2,
--- формация.
Пусть
--- формация, имеющая локальный экран
такой, что
для любого
из
. Покажем , что
. Согласно теореме 2.2.13,
--- наследственная формация для любого
из
. Отсюда нетрудно заметить, что
для любого
из
. А это значит, что .
Пусть
--- группа минимального порядка из
. Так как
--- наследственная формация, то очевидно, что
--- наследственная формация. А это значит, что
и
. Покажем, что
--- полный локальный экран, т. е.
для любого
из
. Действительно. Пусть
--- произвольная группа из
. Отсюда
. Пусть
--- произвольная
-группа из
. Так как
, то
. Отсюда
. Так как
--- полный экран, то
. А это значит, что
. Следовательно,
. Отсюда нетрудно заметить, что
. Теперь, согласно теореме 2.2.5,
, где
--- единственная минимальная нормальная подгруппа группы
,
---
-группа и
. Так как
и
, то
. Отсюда
. Противоречие. Итак,
. Покажем, что
для любого
из
. Пусть
и
---
-группа. Пусть
--- произвольная
-подгруппа из
. Тогда
. Отсюда
. А это значит, что . Противоречие.
Достаточность. Пусть
--- произвольная минимальная не
-группа. Так как
разрешима, то по теореме 2.2.5,
где
---
-группа,
. Согласно условию,
---
-группа. А это значит, что
---
-замкнутая группа. Но тогда,
---
-замкнутая группа. Согласно лемме 4.1.1,
--- силовская подгруппа группы
. Лемма доказана.
1.4 Лемма [18-A]. Пусть
--- наследственная насыщенная формация,
--- ее максимальный внутренний локальный экран. Тогда и только тогда любая минимальная не
-группа бипримарна и
-замкнута, где
, когда:
1)
;
2) формация
имеет полный локальный экран
такой, что
и любая группа из
является примарной
-группой для любого простого
из .
Доказательство. Необходимость. Пусть
--- произвольная минимальная не
-группа. Согласно условию,
--- бипримарная
-замкнутая группа, где
. По лемме 4.1.1,
. Согласно лемме 4.1.3, формация
имеет полный локальный экран
такой, что
и
для любого простого
из
. Покажем, что любая группа из
примарна. Предположим противное. Тогда существует группа
и
. Пусть
--- группа наименьшего порядка такая, что
. Очевидно, что
и
. Нетрудно заметить, что
и
имеет единственную минимальную нормальную подгруппу. Значит, по лемме 2.2.18, существует точный неприводимый
-модуль
, где
--- поле из элементов.
Пусть
. Покажем, что
. Поскольку
и
, то .
Пусть
--- собственная подгруппа из
. Покажем, что
. Пусть
. Если
, то
. Следовательно,
. Пусть
. Тогда
--- собственная подгруппа из
. А это значит, что
и
. Так как
и
--- наследственная формация, то
. Но тогда и
, а значит и .
Пусть теперь
. Так как
, то
и
. Отсюда следует, что
. Итак,
. Cогласно условию,
бипримарна, что невозможно, т. к. .
Достаточность. Пусть
--- произвольная минимальная не
-группа. Согласно условию,
разрешима. По теореме 2.2.5,
где
---
-группа,
.
Согласно условию,
--- примарная
-группа. А это значит, что
--- бипримарная
-замкнутая группа. Но тогда
--- бипримарная
-замкнутая группа. Лемма доказана.
В данном разделе в классе конечных разрешимых групп получена классификация наследственных насыщенных формаций
, замкнутых относительно произведения обобщенно субнормальных
-подгрупп, индексы которых взаимно просты.
2.1 Теорема [18-A]. Пусть
--- наследственная насыщенная формация,
--- ее максимальный внутренний локальный экран. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) формация
содержит любую группу
, где
и
---
-субнормальные
-подгруппы и индексы
,
взаимно просты;
2) любая минимальная не
-группа
либо бипримарная
-замкнутая группа
, либо группа простого порядка;
3) формация
имеет полный локальный экран
такой, что
и любая группа из
является примарной
-группой для любого простого
из .
Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2).
Пусть
--- произвольная минимальная не
-группа. Предположим, что
, где
--- характеристика формации
. Покажем, что
--- группа простого порядка. Пусть
. Тогда существует простое число
,
. Так как
, то
, что невозможно. Итак,
--- примарная
-группа. Так как
, то, очевидно, что .
Пусть теперь
. Рассмотрим случай, когда
.
Покажем, что
имеет единственную минимальную нормальную подгруппу
. Предположим противное. Тогда
содержит, по крайней мере, две минимальные нормальные подгруппы
и
. Так как
, то в группе
найдутся максимальные подгруппы
и
такие, что
,
. Так как
и
принадлежат
,
,
, то
,
. Так как
--- формация, то
. Получили противоречие. Итак,
, где
--- единственная минимальная нормальная
-подгруппа группы .
Покажем, что
--- примарная
-группа, где
. Предположим, что существуют простые числа
, где
. Тогда в
найдутся максимальные подгруппы
и
такие, что
---
-число,
---
-число. Рассмотрим подгруппы
и
. Очевидно, что индексы
и
взаимно просты. Так как
и
, то
. Согласно лемме 3.1.4, подгруппы
и
-субнормальны в
. Так как
--- минимальная не
-группа,
и
--- собственные подгруппы группы
, то
и
. Так как
, то согласно условию, . Получили противоречие.
Покажем, что
---
-группа, где
. Предположим, что
. Так как
, то согласно лемме 3.1.4,
---
-субнормальная подгуппа группы
. Рассмотрим подгруппу
. Так как
--- собственная подгруппа
и
, то
. Согласно лемме 3.1.4,
---
-субнормальная подгруппа
. Очевидно, что
---
-субнормальная подгруппа
. По лемме 3.1.4,
---
-субнормальная подгруппа группы
. Так как
, то из
и условия теоремы следует, что
. Получили противоречие. Итак,
---
-группа. Тогда
--- бипримарная
-замкнутая группа, где .
Пусть
. Рассмотрим фактор-группу
. Так как
, то, как показано выше,
--- бипримарная
-замкнутая группа. Отсюда следует, что
--- бипримарная
-замкнутая группа.
Из леммы 4.1.4 следует, что утверждение 3) следует из 2).
Покажем, что из 3) следует 1).
Пусть
--- группа наименьшего порядка такая, что
, где
и
---
-субнормальные
-подгруппы группы
взаимно простых индексов, то
. Так как
--- разрешимая группа и
, где
, то нетрудно заметить, что
, где
и
--- холловские подгруппы группы
,
и
,
, где
,
--- некоторые элементы группы .
Пусть
--- собственная подгруппа группы
. Покажем, что
. Так как
--- разрешимая группа, то согласно теореме Ф. Холла [63],
, где
,
, где
,
--- некоторые элементы из
. Согласно лемме 3.1.4,
и
---
-субнормальные подгруппы группы
. Так как
и
, а
--- наследственная формация, то
и
---
-субнормальные подгруппы
и
соответственно. Согласно лемме 3.1.4, нетрудно показать, что
и
---
-субнормальные подгруппы группы
, а значит, согласно лемме 3.1.4 и в
. Так как
, то по индукции, получаем, что
. А это значит, что
--- минимальная не -группа.
Если
--- группа простого порядка, то ее нельзя представить в виде произведения собственных подгрупп взаимно простых индексов.
Пусть
--- бипримарная группа. Тогда согласно лемме 4.1.4,
. Согласно лемме 4.1.1,
. А это значит, что все подгруппы группы
, содержащие
-абнормальны, т. е. группа
не представима в виде произведения собственных
-субнормальных
-подгрупп взаимно простых индексов. Получили противоречие. Теорема доказана.
Напомним, что формация
называется 2-кратно насыщенной, если она имеет локальный экран
такой, что
--- насыщенная формация для любого простого числа
из .
Следующая теорема доказана в классе конечных разрешимых групп.
2.2 Теорема [18-A]. Пусть
--- наследственная 2-кратно насыщенная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) формация
содержит любую группу
, где
и
---
-субнормальные
-подгруппы из
взаимно простых индексов;
2)
--- формация Шеметкова;
3) формация
содержит любую группу
, где
и
---
-субнормальные
-подгруппы из ;
4)
.
Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2).
Пусть
--- произвольная минимальная не
-группа. Рассмотрим случай, когда
. Как и в теореме 4.2.1 можно показать, что либо
--- группа простого порядка
, где
, либо
, где
и
из
. А также нетрудно показать, что
--- единственная минимальная нормальная подгруппа группы
. А это значит, что
. Пусть
--- максимальный внутренний локальный экран формации
. Если
, то из полноты экрана
следует, что
. Так как
--- внутренний экран, то
. А это значит, что
. Противоречие. Итак, .
Покажем, что
. Предположим, что это не так. Тогда в
найдется неединичная собственная подгруппа
. Рассмотрим подгруппу
. Так как
--- минимальная не
-группа и
--- собственная подгруппа
, то
. Покажем, что
. Если это не так, то в
существует неединичная нормальная
-подгруппа
. Тогда
. Так как
, то
, что невозможно. Согласно лемме 2.2.12,
. Отсюда
. Так как
, то
. А это значит, что
. Так как
--- насыщенная формация, то
. Следовательно,
, что невозможно. Итак,
, значит,
--- группа Шмидта. Итак,
--- группа Шмидта. По лемме 3.1.1, --- группа Шмидта.
Тот факт, что из 2)
3) следует из теоремы 2.2.19; 3)
4) следует из теоремы 2.2.10; 4)
1) следует из теоремы 2.2.10. Теорема доказана.
Очевидно, что любая сверхрадикальная формация
содержит любую группу
, где
и
-субнормальны в
и принадлежат
и имеют взаимно простые индексы в .
Следующий пример показывает, что существует несверхрадикальная наследственная насыщенная формация
, содержащая любую группу
, где
и
-субнормальны в
и принадлежат
и имеют взаимно простые индексы в .
2.3 Пример. Пусть
--- формация всех сверхразрешимых групп, а
--- формация всех
-групп, где
,
и
--- различные простые числа. Рассмотрим формацию
. Так как существуют минимальные не
-группы, которые не являются либо группой Шмидта, либо группой простого порядка, то
не является формацией Шеметкова. Так как
, то согласно теореме 3.3.9, формация
не является сверхрадикальной формацией.
С другой стороны хорошо известно, что любая минимальная несверхразрешимая группа
-замкнута, где
. Очевидно, что любая минимальная не
-группа
является либо группой простого порядка, либо бипримарной
-замкнутой группой, где
. Теперь из теоремы 4.2.1 следует, что
содержит любую группу
, где
,
и
принадлежат
и
и
--- субнормальны в .
В главе 1 доказаны леммы, которые используются для доказательства основных результатов главы 2.
В главе 2 важную роль сыграл метод экстремальных классов, разработанный в работе Картера, Фишера, Хоукса [55] и метод критических групп, разработанный В.Н. Семенчуком в работе [19]. С помощью этих методов в классе конечных разрешимых групп получено описание наследственных насыщенных формаций
, содержащих любую группу
, где
,
и
принадлежат
и
и
---
-субнормальны в
, теорема 2.1 .
Доказано, что любая разрешимая
--- наследственная 2-кратно насыщенная формация, обладающая отмеченным выше свойством, является сверхрадикальной, теорема 2.2 .
1. Васильев, А.Ф. О максимальной наследственной подформации локальной формации / А.Ф. Васильев // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во народного обр. БССР, Гомельский гос. ун-т; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. -- Минск: Университетское, 1990. -- Вып. 5. -- С. 39--45.
2. Васильев, А.Ф. О решетках подгрупп конечных групп / А.Ф. Васильев, С.Ф. Каморников, В.Н. Семенчук // Бесконечные группы и примыкающие алгебраические системы / Ин-т математики Акад. Украины; редкол.: Н.С. Черников [и др.]. -- Киев, 1993. -- С. 27--54.
3. Васильев, А.Ф. О влиянии примарных
-субнормальных подгрупп на строение группы / А.Ф. Васильев // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во обр. и науки Республики Беларусь, Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. -- Гомель, 1995. -- Вып. 8. -- С. 31--39.
4. Васильева, Т.И. О конечных группах с
-достижимыми силовскими подгруппами / Т.И. Васильева, А.И. Прокопенко. -- Гомель, 2006. -- 18 с. -- (Препринт / Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; № 4).
5. Ведерников, В.А. О локальных формациях конечных групп / В.А. Ведерников // Матем. заметки. -- 1989. -- Т. 46, № 3. -- С. 32--37.
6. Казарин, Л.С. Признаки непростоты факторизуемых групп / Л.С. Казарин // Известия АН СССР. -- 1980. -- Т. 44, № 2. -- С. 288--308.
7. Казарин, Л.С. О произведении конечных групп / Л.С. Казарин // ДАН СССР. -- 1983. -- Т. 269, № 3. -- С. 528--531.
8. Каморников, С.Ф. О некоторых свойствах формаций квазинильпотентных групп / С.Ф. Каморников // Матем. заметки. -- 1993. -- Т. 53, № 2. -- С. 71--77.
9. Каморников, С.Ф. О двух проблемах Л.А. Шеметкова / С.Ф. Каморников // Сибир. мат. журнал. -- 1994. -- Т. 35, № 4. -- С. 801--812.
10. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп) // Институт математики СО АН СССР. -- Новосибирск, 1992. -- 172 с.
11. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп) // Институт математики СО РАН. -- Новосибирск, 1999. -- 146 с.
12. Легчекова, Е.В. Конечные группы с заданными слабо квазинормальными подгруппами / Е.В. Легчекова, А.Н. Скиба, О.В. Титов // Доклады НАН Беларуси. -- 2007. -- Т. 51, № 1. -- С. 27--33.
13. Монахов, В.С. Произведение конечных групп, близких к нильпотентным / В.С. Монахов // Конечные группы. -- 1975. -- С. 70--100.
14. Монахов, В.С. О произведении двух разрешимых групп с максимальным пересечением факторов / В.С. Монахов // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во высш. и ср. спец. обр. БССР, Гомельский гос. ун-т; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. -- Минск: Университетское, 1985. -- Вып. 1. -- С. 54--57.
15. Мокеева, С.А. Конечные группы с перестановочными
-субнормальными (
-достижимыми) подгруппами / С.А. Мокеева. -- Гомель, 2003. -- 25 с. -- (Препринт / Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; № 56).
16. Прокопенко, А.И. О конечных группах с
-достижимыми силовскими подгруппами / А.И. Прокопенко // Известия Гомельского гос. ун-та им. Ф. Скорины. -- 2004. -- № 6 (27). -- С. 101--103.
17. Семенчук, В.Н. О минимальных не
-группах / В.Н. Семенчук // ДАН БССР. -- 1978. -- № 7. -- С. 596--599.
18. Семенчук, В.Н. Конечные группы с заданными свойствами подгрупп / В.Н. Семенчук // ДАН БССР. -- 1979. -- № 1. -- С. 11--15.
19. Семенчук, В.Н. Минимальные не
-группы / В.Н. Семенчук // Алгебра и логика. -- 1979. -- Т. 18, № 3. -- С. 348--382.
20. Семенчук, В.Н. Конечные группы с системой минимальных не
-подгрупп / В.Н. Семенчук // Подгрупповое строение конечных групп: Тр. / Ин-т математики АН БССР. -- Минск: Наука и техника, 1981. -- С. 138--149.
21. Семенчук, В.Н. Минимальные не
-группы / В.Н. Семенчук // Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп: Тр. / Ин-т математики АН БССР. -- Минск: Наука и техника, 1984. -- С. 170--175.
22. Семенчук, В.Н. Характеризация локальных формаций
по заданным свойствам минимальных не
-групп / В.Н. Семенчук, А.Ф. Васильев // Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп: Тр. / Ин-т математики АН БССР. -- Минск: Наука и техника, 1984. -- С. 175--181.
23. Семенчук, В.Н. Описание разрешимых минимальных не
-групп для произвольной тотально локальной формации / В.Н. Семенчук // Матем. заметки. -- 1988. -- Т. 43, № 4. -- С. 251--260.
24. Семенчук, В.Н. О разрешимых минимальных не
-группах / В.Н. Семенчук // Вопросы алгебры. -- Минск: Университетское, 1987. -- Вып. 3. -- С. 16--21.
25. Семенчук, В.Н. Роль минимальных не
-групп в теории формаций / В.Н. Семенчук // Матем. заметки. -- 1991. -- Т. 98, № 1. -- С. 110--115.
26. Семенчук, В.Н. Конечные группы с
-абнормальными или
-субнормальными подгруппами / В.Н. Семенчук // Матем. заметки. -- 1994. -- Т. 56, № 6. -- С. 111--115.
27. Семенчук, В.Н. Разрешимые тотально локальные формации / В.Н. Семенчук // Сибир. мат. журн. -- 1995. -- Т. 36, № 4. -- С. 861--872.
28. Семенчук, В.Н. Разрешимые
-радикальные формации / В.Н. Семенчук // Матем. заметки. -- 1996. -- Т. 59, № 2. -- С. 261--266.
29. Семенчук, В.Н. Об одной проблеме в теории формаций / В.Н. Семенчук // Весцi АН Беларусi. -- 1996. -- № 3. -- С. 25--29.
30. Семенчук, В.Н. О разрешимых тотально локальных формациях / В.Н. Семенчук // Вопросы алгебры. -- 1997. -- № 11. -- С. 109--115.
31. Семенчук, В.Н., Поляков Л.Я. Характеризация минимальных не
-групп / В.Н. Семенчук // Известия высших учебных заведений. -- 1998. -- № 4 (431). -- С. 1--4.
32. Семенчук, В.Н. Классификация локальных наследственных формаций критические группы которых бипримарны / В.Н. Семенчук // Известия Гомельского гос. ун-та им. Ф. Скорины. -- 1999. -- № 1 (15). -- С. 153--162.
33. Семенчук, В.Н. Сверхрадикальные формации / В.Н. Семенчук, Л.А. Шеметков // Доклады НАН Беларуси. -- 2000. -- Т. 44, № 5. -- С. 24--26.
34. Семенчук, В.Н. Конечные группы, факторизуемые
-достижимыми подгруппами / В.Н. Семенчук, С.А. Мокеева // Известия Гомельского гос. ун-та им. Ф. Скорины. -- 2002. -- № 5 (14). -- С. 47--49.
35. Скиба, А.Н. Об одном классе локальных формаций конечных групп / А.Н. Скиба // ДАН БССР. -- 1990. -- Т. 34, № 11. -- С. 382--385.
36. Скиба, А.Н. Алгебра формаций / А.Н. Скиба. -- Минск: Беларуская навука, 1997. -- 240 с.
37. Старостин, А.И. О минимальных группах, не обладающих данным свойством / А.И. Старостин // Матем. заметки. -- 1968. -- Т. 3, № 1. -- С. 33--37.
38. Тютянов, В.Н. Факторизации
-нильпотентными сомножителями / В.Н. Тютянов // Матем. сб. -- 1996. -- Т. 187, № 9. -- С. 97--102.
39. Чунихин, С.А. О специальных группах / С.А. Чунихин // Матем. сб. -- 1929. -- Т. 36, № 2. -- С. 135--137.
40. Чунихин, С.А. О специальных группах / С.А. Чунихин // Матем. сб. -- 1933. -- Т. 40, № 1. -- С. 39--41.
41. Чунихин, С.А. О группах с наперед заданными подгруппами / С.А. Чунихин // Матем. сб. -- 1938. -- Т. 4 (46), № 3. -- С. 521--530.
42. Чунихин, С.А. О существовании подгрупп у конечной группы / С.А. Чунихин // Труды семинара по теории групп. -- ГОНТИ, М.--Л. -- 1938. -- С. 106--125.
43. Чунихин, С.А. Подгруппы конечных групп / С.А. Чунихин. -- Минск: Наука и техника, 1964. -- 158 с.
44. Шеметков, Л.А. Формации конечных групп / Л.А. Шеметков. -- М.: Наука, 1978. -- 272 с.
45. Шеметков, Л.А. Экраны произведения формаций / Л.А. Шеметков // ДАН БССР. -- 1981. -- Т. 25, № 8. -- С. 677--680.
46. Шеметков, Л.А. О произведении формаций / Л.А. Шеметков // ДАН БССР. -- 1984. -- Т. 28, № 2. -- С. 101--103.
47. Шеметков, Л.А. Формации алгебраических систем / Л.А. Шеметков, А.Н. Скиба. -- М.: Наука, 1989. -- 256 с.
48. Шмидт, О.Ю. Группы, все подгруппы которых специальные / О.Ю. Шмидт // Матем. сб. -- 1924. -- Т. 31, № 3. -- С. 366--372.
49. Ballester-Bolinches, A. On the lattice of
-subnormal subgroups / A. Ballester-Bolinches, К. Doerk, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. -- 1992. -- Vol. 148, № 2. -- P. 42--52.
50. Ballester-Bolinches, A. On
-critical groups / A. Ballester-Bolinches, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. -- 1995. -- Vol. 174. -- P. 948--958.
51. Ballester-Bolinches, A. Two questions of L.A. Shemetkov on critical groups / A. Ballester-Bolinches, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. -- 1996. -- Vol. 179. -- P. 905--917.
52. Ballester-Bolinches, A. Classes of Finite Groups / A. Ballester-Bolinches, L.M. Ezquerro. -- Springer, 2006. -- 385 p.
53. Bryce, R.A. Fitting formations of finite soluble groups / R.A. Bryce, J. Cossey // Math. Z. -- 1972. -- Bd. 127, № 3. -- S. 217--233.
54. Carter, R.O. The
-normalizers of a finite soluble group / R. Carter, T. Hawkes // J. Algebra. -- 1967. -- Vol. 5, № 2. -- Р. 175--202.
55. Carter, R. Extreme classes of a finite soluble groups / R. Carter, B. Fisсher, T. Hawkes // J. Algebra. -- 1968. -- Vol. 9, № 3. -- P. 285--313.
56. Doerk, K. Minimal nicht Uberauflosbare, endliche Gruppen / K. Doerk // Math. Z. -- 1966. -- Vol. 91. -- P. 198--205.
57. Doerk, K. Finite soluble groups / K. Doerk, T. Hаwkes. -- Berlin -- New York: Walter de Gruyter, 1992. -- 891 p.
58. Fisman, E. On product of two finite solvable groups / E. Fisman // J. Algebra. -- 1983. -- Vol. 80, № 2. -- P. 517--536.
59. Gaschutz, W. Zur Theorie der endlichen auflosbaren Gruppen // Math. Z. -- 1963. -- Vol. 80, № 4. -- P. 300--305.
60. Guo, W. The Theory of Classes of Groups / W. Guo. -- Dordrecht -- Boston -- London: Kluwer Academic Publishers, 2000. -- 257 p.
61. Guo, W. X-semipermutable subgroups of finite groups / W. Guo, K.P. Shum, A.N. Skiba // J. Algebra. -- 2007. -- Vol. 315. -- P. 31--41.
62. Hall, P. A note on soluble groups / P. Hall // Proc. London Math. Soc. -- 1928. -- Vol. 3. -- P. 98--105.
63. Hall, P. On the Sylow systems of a soluble group / P. Hall // Proc. London Math. Soc. -- 1937. -- Vol. 43. -- P. 316--323.
64. Hawkes, T. On Fitting formations / T. Hawkes // Math. Z. -- 1970. -- Vol. 117. -- P. 177--182.
65. Huppert, B. Normalteiler und maximal Untergruppen endlichen Gruppen / B. Huppert // Math. Z. -- 1954. -- Vol. 60. -- P. 409--434.
66. Ito, N. Note on (LN)-groups of finite order / N. Ito // Kodai Math. Seminar Report. -- 1951. -- Vol. 1--2. -- P. 1--6.
67. Kazarin, L.S. Product of two solvable subgroups / L.S. Kazarin // Comm. Algebra. -- 1986. -- Vol. 14, № 6. -- P. 1001--1066.
68. Kegel, O.H. Produkte nilpotenter Gruppen // Arch. Math. -- 1961. -- Vol. 12, № 2. -- P. 90--93.
69. Kegel, O.H. Untergruppenverbande endlicher Gruppen, die Subnormalteilerverband echt enthalten / O.H. Kegel // Arch. Math. -- 1978. -- Bd. 30, № 3. -- S. 225--228.
70. Miller, G.A. Nonabelian groups in which every subgroup is abelian / G.A. Miller, H.C. Moreno // Trans. Amer. Math. Soc. -- 1903. -- Vol. 4. -- P. 398--404.
71. Semenchuk, V.N. Finite groups with permutable
-subnormal and
-accessible subgroups / V.N. Semenchuk, S.A. Mokeeva // 4th International Algebraic Conference in Ukraine. Abstracts, August 4--9. -- 2003. -- P. 153--154.
72. Thompson, J.G. Nonsolvable finite groups all of whose local subgroups are solvable / J.G. Thompson // Bull. Amer. Math. Soc. -- 1968. -- Vol. 74. -- P. 383--437.
73. Wielandt, H. Eine Verallgemeinerung der invarianten Untergruppen // H. Wielandt // Math. Z. -- 1939. -- Bd. 45. -- S. 209--244.
74. Wielandt, H. Uber den Normalisator der subnormalen Untergruppen // H. Wielandt // Math. Z. -- 1958. -- Bd. 69, № 8. -- S. 463--465.
|