Задача 1.
Определить центр тяжести сечения.
Решение
Укажем оси координат X
и Y
с началом в нижнем левом углу сечения.
Сечение разобьем на два простых сечения – прямоугольник 1
с центром тяжести С1
и квадрат 2
с центром тяжести С2
.
Координаты центра тяжести С
сечения находим по формулам:
и
, где
x
1
= 15 мм - координата центра тяжести С1
прямоугольника по оси Х
;
y
1
= 30 мм - координата центра тяжести С1
прямоугольника по оси Y
;
x
2
= 45 мм - координата центра тяжести С2
квадрата по оси Х
;
y
2
= 15 мм - координата центра тяжести С2
квадрата по оси Y
;
F
1
=
= 1800 мм2 - площадь прямоугольника;
F
2
=
= 900 мм2 - площадь квадрата.
Тогда
мм,
мм.
Задача 2.
К стальному валу приложены три известных момента М
1
, М
2
, М
3
. Требуется: 1) установить, при каком значении момента Х
угол поворота правого концевого сечения вала равно нулю; 2) для найденного значения Х
построить эпюру крутящих моментов; 3) при заданном значении [τ] определить диаметр вала из расчета на прочность и округлить его значение до ближайшего, равного 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100 мм; 4) построить эпюру углов закручивания; 5) найти наибольший относительный угол закручивания (на 1 м).
Для стали принять G
=
МПа. Полярный момент инерции
м4
a
= 1,9 м, b
= 1,2 м, c
= 1,4 м,
М
1
= 1900 Нм, М
2
= 1200 Нм,
М
3
= 1700 Нм, [τ] = 75 МПа.
Решение.
1) Угол поворота правого концевого сечения определяется как алгебраическая сумма взаимных углов поворота сечений на участках АВ, BC, CD, DE
.
Отсюда определим момент X
Х
= 1178,125Нм
2) Строим эпюру крутящих моментов M
К
(см. рис а
)
Определяем опорные реакции. Отбросив опору (в данном случае защемление), заменим ее возможными реакциями. Т. к. все активные силы представляют собой крутящие моменты, то в опоре возникает только одно воздействие крутящий момент М
Е
, который определим из уравнения равновесия:
; М
Е
– 1900 + 1200 – 1700 + 1178,125 = 0
М
Е
= 1900 – 1200 + 1700 – 1178,125 = 1221,875 Нм
При построении эпюры крутящих моментов М
К
применяем метод сечений дл каждого из четырех участков.
Для участка DE
:
;
Нм
Для участка CD
:
;
Нм
Для участка ВС
:
;
Нм
Для участка АВ
:
;
Нм
3) Определяем диаметр вала
Из эпюры максимальный М
К
= 1221,875 Нм на участке DE
. На этом участке возникает максимальное касательное напряжение
, где WP
– момент сопротивления сечения
Приравнивая τ [τ], определим диаметр вала
0,043 м или 43 мм,
Согласно условиям задачи принимаем d
= 45 мм.
4) Строим эпюру углов закручивания (см. рис. в
) для всех участков по формуле
.
Выбираем начало координат в точке Е.
Участок DE
:
Угол поворота сечения, взятого на расстоянии z
от неподвижного сечения Е
, будет
, где
;
при z
= 0 φ
= 0;
при z
= a
= 1,9 м
= – 0,071 рад.
Участок CD
:
, где
при z
= а
= 1,9 м φ
= – 0,071 рад;
при z
= (a
+
b
) = 3,1 м
= – 0,046 рад.
Участок BC
:
, где
при z
= (а +
b
) = 3,1 м φ
= – 0,046 рад;
при z
= (a
+
b
+
c
) = 4,5 м
= – 0,068 рад.
Участок AB
:
, где
при z
= (а +
b
+
c
) = 4,5 м φ
= – 0,068 рад;
при z
= (2a
+
b
+
c
) = 6,4 м
= 0 рад.
5) Наибольший относительный угол закручивания будет на участке DE
=
= 0,037 рад/м
Задача 3.
Для поперечного сечения, составленного из стандартных прокатных профилей, требуется:
1) определить положение центра тяжести;
2) найти значения осевых и центробежных моментов инерции относительно горизонтальной и вертикальной осей, проходящих через центр тяжести сечения;
3) определить направления главных центральных осей инерции;
4) найти значения моментов инерции относительно главных центральных осей;
5) вычертить сечение в масштабе 1:2 и указать на нем все оси и размеры.
Схема сечения состоит из двух прокатных профилей:
профиля I - швеллера № 30,
профиля II - двутавра № 33.
Решение.
Геометрические характеристики швеллера берем по ГОСТ 8240-72:
hI
= 300 мм, bI
= 100 мм, dI
= 6,5 мм, tI
= 11 мм,
см4
,
см4
, А1
= 40,5 см2
, z
0
= 2,52 см.
Геометрические характеристики двутавра берем по ГОСТ 8239-72:
hII
= 330 мм, bII
= 140 мм, dII
= 7 мм, tII
= 11,2 мм,
см4
,
см4
, А2
= 53,8 см2
.
Выбираем вспомогательные оси V
, Z
и определяем относительно их координаты центра тяжести составного сечения
19,7 см;
13,4 см.
Вспомогательные центральные оси X
C
и Y
C
параллельны осям V
и Z
.
Вычисляем осевые и центробежные моменты инерции относительно этих осей. Центральные вспомогательные осиX
C
и Y
C
параллельны осям центральным осям швеллера и двутавра, относительно которых моменты инерции известны.
Тогда
Осевые моменты инерции
см4
=
м4
см4
=
м4
Центробежный момент инерции
Для швеллера оси X
1
, Y
1
являются главными, поэтому
. Для двутавра оси X
2
, Y
2
являются главными, поэтому
.
Тогда
см4
=
м4
Определяем положение главных осей инерции составного сечения (угол наклона) к исходной оси X
C
–1,165
.
Определяем главные моменты инерции составного сечения по формулам
м4
;
м4
.
Проверим правильность расчетов по выполнению соотношений
м4
м4
, то есть расчет произведен точно.
Задача 4.
Определить диаметр стального вала постоянного сечения из условия прочности, приняв [τ] = 30 Н/мм2
. Мощности P1
= 52 кВт, Р2
= 100 кВт, Р3
= 60 кВт. Угловая скорость ω
= 32 рад/с.
Решение
Разбиваем вал на три участка – по сечениям, в которых приложены вращающие моменты. Находим вращающие моменты
= 1625 Нм,
= 3125 Нм,
= 1875 Нм.
Равномерное вращение обеспечивается условием
;
=0;
= – 375 Нм.
Знак «–» указывает, что момент M
4
направлен в противоположную сторону, указанному в условии задачи.
Крутящий момент на участке 1
Справа
;
3125 Нм.
Крутящий момент на участке 2
Справа
;
3125 – 1875 = 1250 Нм.
Крутящий момент на участке 3
Справа
;
1625 + 3125 – 1875 = 375 Нм.
По полученным результатам строим эпюру.
Диаметр вала определяем для наиболее напряженного участка.
Наиболее напряженный участок – первый –
3125 Нм.
Касательное напряжение сечения вала
. Из условия прочности
.
Отсюда
|