Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма - сочинение

Работа Скворцова Александра Петровича,

учителя, ветерана педагогического труда

Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма

Содержание

Общее утверждение

Утверждение 1

Доказательство Части первой «Утверждения 1»

Доказательство Части второй «Утверждения 1»

Пример

Примечание

«Вывод» о Великой теореме Ферма (простое)

Утверждение 2

Доказательство Части первой «Утверждения 2»

Доказательство Части второй «Утверждения 2»

Примечание

Окончательный «Вывод» о Великой теореме Ферма

Утверждение 3

Доказательство Части первой «Утверждения 3»

Доказательство Части второй «Утверждения 3»

Примечание

Общий вывод

Литература

Доказательство нижеприведённого «Утверждения» осуществлено элементарными средствами. В данной работе рассматриваются уравнения , частными случаями которых являются уравнения Ферма , где а – чётное число, и - целые числа, , , - =натуральные числа.

Метод, используемый в этой работе, опирается на применение дополнительного квадратного уравнения и его общего решения, чётность которого совпадает с числами , исследуемыми в моей работе.

Этот метод позволяет:

1. Судить о возможности существования целых решений уравнения Ферма для , т.е. о возможности существования «Пифагоровых троек», т.к. при рассуждениях никаких «противоречий» не возникает (доказательство этого в данной работе не приведено).

2. Судить об отсутствии решений в попарно взаимно простых целых числах уравнения , где - натуральное число, а – чётное число, т.к. при рассуждениях возникают «противоречия» (доказательство этого в данной работе не приведено, но дан пример на стр. 33).

3. Судить о возможности существования частного решения уравнения при ( илиb = ±1, или c = ±1), которое входит в п. «Исключения» моего общего «Утверждения». И такие решения следующие:

а) b = ±1; c = ±3; a = 2.

б) b = 3; c = ±1; a = -2 («Пример» на стр. 33).

4. Судить о неразрешимости в целых числах уравнения , гдеа – чётное число. Это хорошо известный факт в теории чисел (доказательство этого в данной работе приведено).

5. Судить о неразрешимости в целых числах и уравнения Ферма . Это тоже хорошо известный факт в теории чисел (в данной работе это утверждение является следствием более общего утверждения).

6. Судить о неразрешимости в целых числах уравнения Ферма , где - натуральное число. Это тоже уже известный факт в теории чисел (в данной работе это утверждение является следствием более общего утверждения).

**********

Так как данное доказательство «Общего Утверждения» в этой работе проведено мною элементарными средствами, то думаю, и своё «Утверждение» великий Ферма вполне мог доказать подобным методом.

И последнее. Я думаю, что специалистам, наверное, известны ещё некоторые конкретные примеры (частные случаи уравнения ), подпадающих под доказываемое в данной работе «Общего Утверждения». Если такие примеры имеются, то в свою очередь это будет являться дополнительным подтверждением правильности выбранного пути доказательства вышеназванного «Общего Утверждения».

≥

ОБЩЕЕ УТВЕРЖДЕНИЕ, частным случаем которого является Великая теорема Ферма

1. Уравнение ( , - натуральные числа) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.

2. Но есть и «исключение» из данного утверждения: среди этих чисел , и может быть либо , либо .

***********

Чтобы доказать «ОБЩЕЕ УТВЕРЖДЕНИЕ», необходимо рассмотреть2 случая

для показателя q :

1) при - натуральном;

2) при - натуральном, а для этого достаточно рассмотреть случай .

Утверждение 1, частным случаем которого является Великая теорема Ферма , для простого показателя

Часть 1

Уравнение ( , - натуральные числа, где при - натуральном) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.

Часть 2

Возможны случаи: либо , либо .

**********

Последнее утверждение (либо , либо ) в дальнейшем будем называть «исключением» из общего правила.

*********

Часть первая (Утверждения 1)

Доказательство

Понятно, что доказательство достаточно рассмотреть для - простого.

Докажем данное «Утверждение 1 » методом от противного. Предположим, что уравнение разрешимо в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и . И если в конце доказательства мы придем к противоречию, доказав, что числа , и не являются попарно взаимно простыми целыми числами, то это будет означать, что «Утверждение 1 » справедливо.

Из уравнения (1) следует:

(2),

где - четное целое число, т.к. и - нечетные;

≠ 0, т.к. и - взаимно простые нечетные целые числа, не равные нулю;

- нечетное целое число при и - нечетных, - простом.

********

Примечание

То, что - нечетное число при и - нечетных , хорошо известный факт в теории чисел.

Для подтверждения данного факта достаточно использовать разложение бинома

Ньютона , , , … и тогда получим для :

- сумму трех нечетных слагаемых, равную нечетному числу.

Для :

- сумму пяти нечетных слагаемых, равную нечетному числу.

Для степени - простой можно доказать, что при и нечетных

(3) - сумма нечетных слагаемых, равная нечетному числу (Алексеев С.Ф. Два обобщения классических формул // Квант. – 1988. - №10. – С. 23).

*******

Пусть (4),

где - нечетное число (на основании (3) ).

Тогда уравнение (2) примет вид:

(5),

где - четное число, которое можно представить в виде

(6),

где - целое число (при = 0 а = 0 , что противоречит нашему допущению),

(4) – нечетное число.

Тогда из соотношения (5) с учетом (6) получаем:

, т.е. (7), где - целое число ( ), - натуральное число.

Сумму же нечетных чисел и обозначим через , т.е.

(8),

где - целое число ( , т.к. и - взаимно простые нечетные целые числа, не равные нулю).

Из (7) и (8) определим и :

=> =>

Откуда (11) - нечетное число при - нечетном и - четном, т.к. , причем (12) (явно) при .

********

Вывод:

На основании (8) и (11) имеем: (13) - нечетное число ;

из соотношений (7) и (12) имеем: (14) (явно) при .

Это дополнительная информация о свойствах предполагаемых взаимно простых числах , которая в дальнейшем нам очень пригодится.

*******

Теперь попробуем выразить сумму квадратов чисел c и . Учитывая соотношения (9) и (10), получим:

Таким образом, получили следующее уравнение:

(15),

где - целые числа , которые, являясь решениями уравнения (15), в свою очередь, могут быть выражены через другие целые числа следующим образом:

(16) - нечетное число при - нечетном;

(17) - нечетное число при - нечетном;

(18) - нечетное число при - нечетном;

(19) - четное число.

Примечание: во всех последующих исследованиях (Случаях) нас не будут интересовать

t =0 иr =0 (при t =0 и - четные из (16) и (17), при r =0 = 0 (из (19)) => а = 0 (из (6)), что противоречит нашему допущению).

*******

Примечание.

Общий вид уравнения (15) следующий:

(20) ,

целыми решениями которого (это известный факт в теории чисел ) являются:

(21) ;

(22) ;

(23) ;

(24) , где - целые числа.

То, что (21), …, (24) являются решениями уравнения (20), легко проверяется их подстановкой в данное уравнение (20), которое при этом превращается в тождество .

*******

Для простоты обозначим правые части уравнений (16), …, (19) буквами С, В, N, К, т.е.

= С

= В

= N

= К ,

и рассмотрим случай , когда в правых частях уравнений (16), …, (19) перед С, В, N, К, стоят «плюсы» и выполняется Условие 1 .

Условие1 (начало).

с = С

b = B

n = N

Случай «+».

(16+) = С - нечетное число при - нечетном;

(17+) = В - нечетное число при - нечетном;

(18+) = N - нечетное число при - нечетном;

(19+) = К - четное число.

Казалось бы, все в порядке: четность в (16+), …, (19+) совпадает при -нечетном с нашими предыдущими рассуждениями .

Однако не все так просто.

Помимо всего прочего, у нас есть еще две дополнительные информации (13) и (14) (о четности , заключенной в «Выводе» (стр.5)) , вытекающие из предположения о том, что, вопреки условию «Утверждения 1» , допустим, существуют попарно взаимно простые целые числа .

Попробуем найти сумму , воспользовавшись их выражениями (16+) и (17+):

т.е. пропорционально 4, откуда следует, учитывая (13) в «Выводе» (стр.5 ), !

Т.е., вопреки «Выводу», в Случае «+» является не нечетным , а четным числом , что возможно (из (18+)) при -четном.

Однако, если - четное , то (в (16+) и (17+)) являются четными , т.е. в уравнениях (2) и (1) числа - четные , а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами .

Мы пришли к противоречию в Случае «+» с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.

Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 1 не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.

*******

Казалось бы, 1-я часть «Утверждения 1» доказана. На самом деле у уравнения (15) есть еще решения . Нетрудно догадаться, что решениями уравнения (15) являются следующие выражения n, :

Случаи «+» и «-».

(16±) ;

(17±) ;

(18±) ;

(19±) .

Мы рассмотрели случай, когда перед скобками в (16±), …,(19±) стояли только «плюсы» (Случай «+»)

******

Случай «-».

(16-) ;

(17-) ;

(18-) ;

(19-) .

Случай, когда перед теми же скобками стоят только «минусы» (Случай «-»), аналогичен вышерассмотренному Случаю «+».

И в этом случае сумма пропорциональна 4, откуда следует, (учитывая (13) в «Выводе» (стр.5 )), !

Т.е., вопреки «Выводу», и в этом Случае «-» является не нечетным , а четным числом , что возможно (из (18-)) при -четном.

Однако, если - четное , то (в (16-) и (17-)) являются четными , т.е. в уравнениях (2) и (1) числа - четные , а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами .

Мы пришли к противоречию ( в Случае «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.

*******

Вывод. Следовательно, уравнение (1) в данном Условии 1(начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.

*******

Примечание .

Осталось рассмотреть еще 14 случаев , когда перед С, В, N, К стоятвсевозможные знаки (плюсы и минусы). Но об этом - во 2-ой части данного Утверждения 1.

********

Т.к. уравнение (15) симметрично для с и b (для уравнения (15) они равнозначны), тос иb могут обмениваться не только знаками «+» и «-», но и своими выражениями ( C и В) . Это свойство назовем «новым свойством ». Поэтому аналогичны вышерассмотренному и случаи («Новые» случаи «+» и «-») , когда опять же перед теми же скобками стоят одинаковые знаки.

Условие 2 (начало)

с =B

b = С

n = N

«Новые» случаи «+» и «-».

(16´±) c =± В

(17´±) b =±С

(18±) =±N

(19±) =±К

И в этом случае сумма пропорциональна 4, откуда следует, (учитывая (13) в «Выводе» (стр.5 )), !

Т.е., вопреки «Выводу», и в этих «Новых» случаях «+» и «-» является не нечетным , а четным числом , что возможно(из (18±)) при -четном.

Однако, если - четное , то (в ( (16´±) и ( (17´±)) являются четными , т.е. в уравнениях (2) и (1) числа - четные , а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами .

Мы пришли к противоречию ( в «Новых» случаях «+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.

*******

Вывод . Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 2 (начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.

*******

Примечание

Осталось рассмотреть еще 14 случаев ( пояснение ниже ) ,рассматривающих «новые свойства », когда перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы). Но об этом во 2-ой части данного Утверждения 1.

********

Уравнение (15) симметрично и для n и для (для уравнения 15 они равнозначны), которые тоже могут меняться своими выражениями ( N и К). Это свойство назовем «похожим свойством n и ». А это означает, что нам придется рассмотреть еще 16 «похожих» случаев (с 1-го по 14 и случаи «+» и «-», в которых n и меняются своими выражениями ( N и К )).

Условие 3

c = C

b = B

n = К

« Похожие» случаи «+» и «-».

(16±) с = ± С = ± ( )

(17±) b = ± В =± ( )

(18´±) n = ± К = ± ( )

(19´±) = ± N= ± ( )

Согласно одному из Выводов (формула (14)) (явно) при . Но это возможно, глядя на (19´±) = ±N= ±( ) только при t- четном, при которых в (16±) и (17±) c и b – четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию ( в «Похожих» случаях «+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.

*******

В остальных 14 «похожих» случаях, где опять же = ± N= ± ( ) и перед С, В, N, К стоятвсевозможные знаки (плюсы и минусы), рассуждая аналогичным способом (и при этом не затрагивая «новые свойства » ( пояснение следует )), мы придем к прежнему результату: c и b – четные, чего не должно быть .

Это значит, что мы опять придем к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.

********

Вывод . Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 3 не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.

********

Пояснение (почему не надо в Условии 3 затрагивать «новые свойства »).

Запишем Условия (1, …, 3).

Условие 1 Условие 2 Условие 3 Условие 2+3

с = С с =B c = C c =B

b = B b = С b = B => b = C

n= N n = N n = К n = К

Если теперь поменять обозначения между собойв Условии 2+3 с на b , аb на c

в верхних двух строчках и n на , а на n внижних двух строчках, то вернемся снова к обозначениям в Условии 1, которое во 2-й части «Утверждения 1» нами будет исследовано до конца:

Условие 2+3 Условие 1

c =B b = B с = С

b = C => с = С => b = B

n = К n = N

n = N

Вывод.

1. Таким образом, в вышерассмотренных Условиях 1 (начало), 2 (начало) и 3 ,

Уравнение (1) ( , - натуральные числа, где при - натуральном) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.

2. 1-я часть «Утверждения 1» ( для Условий 1(начало), 2 (начало) и 3) доказана.

*********

Часть вторая (Утверждения1)

Возможны случаи: либо , либо .

(Об «Исключении» из общего правила)

Доказательство

Условие 1 (продолжение ).

Всего случаев 16 . Два из них рассмотрели в 1-й части Утверждения 1 (Случаи «-» и «+»).

Осталось рассмотреть еще 14 случаев , когда перед С, В, N и К в решениях уравнения (15) стоят разные знаки .

Пояснение.

Случаев всего 14 , когда перед С, В, N и К в решениях уравнения (15) стоят разные знаки и число их равно числу Р перестановок из m= 4 элементов ( c , b , n и ) по n= 1; 2; 3 элементов (плюсов (+) перед С, В, N и К) в каждом (по n = 0; 4 элементов ( Р = 1+1 = 2 ) мы уже рассмотрели - это 2 случая: Случаи «-» и «+» соответственно):

********

Случай 1.

(16)

(17′)

(18)

(19)

Тогда сумма имеет вид:

Учитывая (14) и (19), можно получить разность :

=> .

Выразим из (25) и (26) :

=> .

По условию должны быть взаимно простыми целыми числами , поэтому их общий множитель .

Т.о., имеют вид:

, , а их сумма .

Т.к. из (8) , то => .

Из (19) с учетом (29) выразим :

, т.е. .

Т.о., , , т.е.

выражения которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10).

Теперь, с учетом (17′) и (18), найдем сумму :

т.к. , т.е. .

(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29 ). В последующих действиях мы это учтем).

Теперь, учитывая (32), получим значение для b :

, т.к. из (29) вытекает .

Итак, .

Учитывая (35), получим => .

Теперь, с учетом (38),можно получить окончательное выражение для с (из (34)):

, т.е. .

Таким образом, уравнение (15) , решениями которого являются (16), (17′), (18) и (19), в конечном счете имеет следующие решения:

, ,

, ,

где - взаимно простые нечетные целые числа.

*******

Случай 2

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (16), (17′), (18) и (19), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (39), (37), (38) и (33), т.е.

, ,

где - взаимно простые нечетные целые числа .

*******

Случай 3

(16)

(17′)

(18)

(19′).

Тогда сумма имеет вид:

Учитывая (14) и (19′), можно получить разность :

- => (26′).

Выразим из (25) и (26′) :

=> .

По условию должны быть взаимно простыми целыми нечетными числами , поэтому их общий множитель .

Т.о., имеют вид :

(30′), (31′), а их сумма .

Т.к. из (8) , то => .

Из (19´) с учетом (29) выразим :

, т.е. (33´).

Т.о., , ,

где ,

т.е. (34´), (35´), выражения которых, с учетом (33´), полностью совпадают с (9) и (10).

Теперь, с учетом (17′) и (18), найдем сумму :

т.к. , т.е. .

(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29 ). В последующих действиях мы это учтем).

Теперь, учитывая (32), получим значение для b :

, т.к. из (29) вытекает .

Итак, .

Учитывая (35´), получим => ( ) .

Теперь, с учетом ( ) , можно получить окончательное выражение для с (из (34´)):

, т.е. (39´´).

Таким образом, уравнение (15) , решениями которого являются (16), (17′), (18) и (19´), в конечном счете имеет следующие решения:

(39´´), (38´´), где - взаимно простые нечетные

, (33´), целые числа.

********

Случай 4

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (16), (17′), (18) и (19´), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (39´´), (37), (38´´) и (33´), т.е.

(39´´´), (38´´´), (37´), (33),

где - взаимно простые нечетные целые числа.

*******

Подведем некоторый итог. Нами рассмотрено 4 случая решений уравнения (15).

Ранее мы обозначили правые части уравнений (16),…, (19) буквами С, В, N, К, т.е

= С

= В

= N

= К

Тогда эти первые 4 случая следующие:

1 . (16) 2 . (16´) (39´)

(17´) (37) (17) (37´)

(18) (18´) (38´)

(19) (33) (19´) (33´)

3 . (16) (39´´) 4 . (16´) (39´´´)

(17´) (37) (17) (37´)

(18) (38´´) (18´) (38´´´)

(19´) (33´) (19) (33)

*********

Рассмотрим еще 10 случаев .

5 . с = С 6 . с = - С 7 . c= C 8 . c= - C

b = - B b= B b= - B b= B

n= - N n= N n= - N n= N

9. с = С. 10. с = -С 11. с = С 12. с = -С

b = Bb = -Bb = Bb = -B

n =- Nn = Nn = Nn =- N

13. с = С 14. с = -С

b = Bb =- B

n =- Nn = N

*******

Итак, рассмотрим случай 5.

Случай 5

(16)

(17´)

(18´)

(19).

Тогда сумма имеет вид:

Учитывая (14) и (19), можно получить разность :

=> .

Выразим из (25) и (26) :

=> .

По условию должны быть взаимно простыми целыми числами , поэтому их общий множитель .

Т.о., имеют вид :

, , а их сумма .

Т.к. из (8) , то => .

Из (19) с учетом (29) выразим :

, т.е. .

Т.о., , , т.е.

выражения которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10 ).

Теперь, с учетом (17′) и (18´), найдем разность :

т.к. , т.е. (36´).

(Здесь чередование «плюса» и «минуса » такое же, как и у единицы в (29 ). В последующих действиях мы это учтем).

Теперь, учитывая (32), найдем разность ( b - n )- n :

где .

Т.к. b+ c=2n, то b-2n= b- (b+ c) = - c= -1 => c = 1 (40).

Учитывая (34), получим => (38´) .

Теперь, с учетом (38´), можно получить окончательное выражение для b ( из (35)):

, т.е. (41).

Таким образом, уравнение (15) , решениями которого являются (16), (17′), (18´) и (19), в конечном счете, имеет следующие решения:

(41), , где - взаимно простые нечетные целые (40), (38´), числа

*******

Случай 6

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (16), (17′), (18´) и (19), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (40), (41), (38´´) и (33), т.е .

(40´), (38),

(41´), (33´), где - взаимно простые целые нечетные числа.

*******

Случай7

(16)

(17´)

(18´)

(19´)

Тогда сумма имеет вид :

Учитывая (14) и (19´), можно получить разность :

=> (26´).

Выразим из (25) и (26´) :

=> .

По условию должны быть взаимно простыми целыми числами , поэтому их общий множитель .

Т.о., имеют вид:

(30´), (31´), а их сумма .

Т.к. из (8) , то => .

Из (19´), с учетом (29), выразим :

, т.е. (33´).

Т.о., , , т.е.

(34´),

(35´),

выражени я которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10).

Теперь, с учетом (17′) и (18´), найдем разность :

т.к. , т.е. (36´).

(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих действиях мы это учтем).

Теперь, учитывая (32), найдем разность ( b - n )- n :

где .

Т.к. b+c=2n, то b-2n= b-(b+c) = -c= -1 => c = 1 (40) .

Учитывая (34´), получим => (38´´´) .

Теперь, с учетом (38´´´), можно получить окончательное выражение для b (из (35´)):

, т.е. (41´´).

Таким образом, уравнение (15) , решениями которого являются (16), (17′), (18´) и (19´), в конечном счете, имеет следующие решения:

(40), (38´´´),

(41´´), (33´), где - взаимно простые нечетные целые числа.

*******

Случай 8

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (16), (17′), (18´) и (19´), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (40), (41´), (38´´´) и (33´), т.е.

(40´), (38´´),

, (33), где - взаимно простые целые нечетные числа.

*******

Вывод

Итак, после анализа полученных решений в Случаях 1,…, 8, уравнение (15) , где c и b – взаимно простые целые нечетные числа, имеет решение в следующих целых числах:

а) ; ; ; ;

б) ; ; ; .

А это в свою очередь означает, что и уравнение при вышеназванных условиях (смотри Утверждение1) может иметь целые решения либо при , либо при .

Случай 9

(16)

(17)

(18´)

(19)

Из (16) и (17) имеем:

Учитывая (14) и (19), можно получить разность другим способом:

=> .

Следовательно,

= => 2 t = 4 r ( ≠ 0, т.к.в (26´´) с ≠ b ) => t = 2 r (32´) => в (16) и (17) c и b – четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.

*********

Случай 10

(16´)

(17´)

(18)

(19´),

т.е. по сравнению с предыдущим случаем 9 здесь знаки перед скобками противоположные, а потому (по понятным причинам) результат будет таким же , что и в случае 9.

Действительно, из (16´) и (17´) имеем:

Учитывая (14) и (19´), можно получить разность другим способом:

- => .

Следовательно, - =- => 2 t = 4 r ( ≠ 0, т.к.в (26´´) с ≠ b ) => t = 2 r (32´) => в (16´) и (17´) c и b – четные, чего не должно быть.

********

Случай 11

(16)

(17)

(18)

(19´)

Из (16) и (17) имеем:

Учитывая (14) и (19´), можно получить разность другим способом:

- => .

Следовательно, =- => 2 t = - 4 r ( ≠ 0, т.к.в (26´´) с ≠ b ) => t = -2 r (32´) => в (16) и (17) c и b – четные, чего не должно быть.

Случай 12

(16´)

(17´)

(18´)

(19),

т.е. по сравнению с предыдущим случаем 11 здесь знаки перед скобками противоположные, а потому (по понятным причинам) результат будет таким же , что и в случае 11.

Действительно, из (16´) и (17´) имеем:

Учитывая (14) и (19), можно получить разность другим способом:

=> .

Следовательно, - = => 2 t = - 4 r ( ≠ 0, т.к.в (26´´) с ≠ b ) => t = -2 r (32´) => в (16) и (17) c и b – четные, чего не должно быть.

*******

Случай 13

(16)

(17)

(18´)

(19´)

Из (16) и (17) имеем:

Учитывая (14) и (19´), можно получить разность другим способом:

- => .

********

Случай 14

(16´)

(17´)

(18)

(19),

т.е. по сравнению с предыдущим случаем 13 здесь знаки перед скобками противоположные, а потому (по понятным причинам) результат будет таким же , что и в случае 13.

Действительно, из (16´) и (17´) имеем:

Учитывая (14) и (19), можно получить разность другим способом:

=> .

Следовательно, - = => 2 t = - 4 r ( ≠ 0, т.к.в (26´´) с ≠ b ) => t = -2 r (32´) => в (16) и (17) c и b – четные, чего не должно быть.

***********

Вывод.

1. Таким образом, случаи 9,…, 14 новых возможных решений уравнения (15) не выявили.

2. Условие 1 (продолжение) нами полностью рассмотрено .

**********

Условие 2 (продолжение ).

Ранее мы отмечали, что уравнение (15) симметрично для с и b , поэтомус и b могут меняться своими выражениями ( C и В) . Это свойство нами было названо «новым свойством ».

В 1-й части Утверждения 1 мы рассмотрелидва «Новых» случая «+» и «-».

Осталось исследовать еще 14 случаев ,рассматривающих «новые свойства », когда перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы).

********

«Новый» случай 15

( Отличающийся «новым свойством » от случая 1 : с = С, b = -В , n = N , K )

с = - В ( 16-B),

b = С ( 17+C),

n = N ( 18),

K ( 19) - это общие решения уравнения (15), окончательным видом которых являются (это мы покажем далее) окончательные решения уравнения (15) в случае 8 , т.е.

(40´), (38´´),

, (33),

где - взаимно простые нечетные целые числа.

Доказательство

Сумма имеет вид :

Учитывая (14) и (19), можно получить разность :

=> .

Выразим из (25) и (26) :

=> .

По условию должны быть взаимно простыми целыми числами , поэтому их общий множитель .

Т.о., имеют вид :

, , а их сумма .

Т.к. из (8) , то => .

Из (19) с учетом (29) выразим :

, т.е. .

Т.о., , , т.е.

, выражения которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10 ).

Теперь найдем сумму с :

т.к. , т.е. .

Теперь, учитывая (32), получим значение для с :

т.к. из (29) вытекает .

Итак, .

Учитывая (34), получим => .

Теперь, с учетом (38´´), можно получить окончательное выражение для b (из (35)):

, т.е. .

Таким образом, уравнение (15) , решениями которого являются (16-B), (17+C), (18) и (19), в конечном счете имеет следующие решения (являющиеся окончательными решениями в случае 8):

, где - взаимно простые нечетные целые числа, ч.т.д.

*********

Примечание

То, что окончательные решения в случаях 15 и 8 одинаковые, вытекает и из следующего соображения , которое используем в дальнейшем (для быстроты суждений).

Случай 15. Случай 8

с = - В ( 16-B), с = - С ( 16´),

b = С ( 17+C), b = В ( 17),

n = N ( 18), n = N ( 18),

K ( 19) , K ( 19) .

У этих случаев одинаковые знаки в правых частях с и b , но разные выражения (С и В ), в остальном эти случаи похожи.

Соображение

Если в этих случаях решения совпадают, значит, у них надо выявить что-то общее. Этим общим свойством для них являются произведение и разность с иb .

«Общие свойства для с и b »:

с b = -СВ , с – b = -С -В , с – b =2К

Воспользуемся свойствами корней квадратного уравнения (теоремой Виета ). Имеем:

с (- b )= СВ , с+ (– b )= -С -В = 2К .

Отсюда получаем квадратное уравнение

- 2К + С В = 0 => X _1,2 = К ,

где, например, Х₁ = - b , а Х₂ = с , то есть

Х₁ = - b = К + = + = + = + = -В => b = В ,

где на основании и Х₁ = - b = -

Х₂ = с = К- = - = - = - = -С => с = - С,

где на основании (40´) и Х₂ = Таким образом, мы получили случай 8 :

Случай 8

с = - С ( 16´),

b = В ( 17),

n = N ( 18),

K ( 19),

где

, а - взаимно простые нечетные целые числа .

Теперь обозначим Х₁ = с , а Х₂ = - b . Тогда получим:

Х₁ = с = К+ = + = + = + = -В => с = -В ,

где на основании (40´) и Х_{1 =} с = -1.

Х₂ = - b = К- = - = - = - = -С => - b = -С => b = С,

где на основании и Х ₂ = -

Таким образом, мы получили случай 15 :

Случай 15

с = -В ( 16-B),

b = С ( 17+C),

n = N ( 18),

K ( 19),

где

, а - взаимно простые нечетные целые числа .

Таким образом, одно и то же квадратное уравнение - 2К + С В = 0, дает одинаковые решения X _1,2 = К ( X ₁₍ ₂₎ =- Х₂₍₁ ) = -1) идля Случая 8 и для Случая 15, значит и одинаковые их окончательные решения:

, а - взаимно простые нечетные целые числа .

В этом мы непосредственно и убедились.

Следовательно, «Общие свойства для с иb » ( с b = -СВ , с – b = -С -В , с – b = 2К) действительно определяют Случаи 15 и 8, имеющие одинаковые знаки у с иb и отличающиеся друг от друга у них выражениями (С и В ) , а, значит, и одинаковый вид их окончательных решений . Этой похожестью с иb , их отличием друг от друга и вышерассмотренными «Общими свойствами для с иb » мы воспользуемся при рассмотрении последующих случаев.

*********

Вывод (критерий одинаковости окончательных решений).

Если в каких-либо двух случаях наблюдаются вышерассмотренные «Общие свойства для с иb » ( с b = const ´ , с – b = const ´´ , с – b = const ´´´ ) , то в этих случаях окончательные решения имеют одинаковый вид .

*********

«Новый» случай 16

( Отличающийся «новым свойством » от случая 2 : с = - С, b = В , n = - N , - K )

Случай 16. Случай 7.

с = В с = С

b = -С b = -В

n = - N n = - N

- K - K

Окончательные решения в случае 7 :

(40), (38´´´),

(41´), (33´),

где - взаимно простые нечетные целые числа.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b » ( с b = - СВ = const ´ , с – b = С+В = const ´´, с – b = - 2К = const ´´´ ) выполняются, то Случаи 16 и 7 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.

(40), (38´´´),

(41´), (33´),

где - взаимно простые нечетные целые числа, являющиеся и окончательными решениями уравнения (15) в случае 7.

********

«Новый» случай 17

( Отличающийся « новым свойством » от случая 3 : с = С, b = -В , n = N , - K )

Случай 17. Случай 6.

с = - В ( 16-B), с = - С ( 16´),

b = С ( 17+C), b = В ( 17),

n = N ( 18), n = N ( 18),

- K ( 19´) , - K ( 19´) .

Окончательные решения в случае 6 :

(40´), (38),

(41´), (33´),

где - взаимно простые нечетные целые числа.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b » ( с b = - СВ = const ´ , с – b = -С –В = const ´´ , с – b = - 2К = const ´´´ ) выполняются, то Случаи 17 и 6 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.

(40´), (38),

(41´), (33´),

где - взаимно простые целые нечетные числа.

*********

«Новый» случай 18

( Отличающийся «новым свойством » от случая 4 : с = - С, b = В , n =- N , K )

Случай 18. Случай 5.

с = В ( 16+B), с = С ( 16),

b =- С ( 17-C), b = - В ( 17´),

n =- N ( 18´), n = - N ( 18´),

K ( 19) , K ( 19) .

Окончательные решения в случае 5:

(40), (38´),

(41), ,

где - взаимно простые нечетные целые числа.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b » ( с b = - СВ = const ´ , с – b = С +В = const ´´ , с – b = 2К = const ´´´ ) выполняются, то Случаи 18 и 5 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.

(41), ,

где - взаимно простые нечетные целые (40), (38´), числа.

********

«Новый» случай 19

( Отличающийся «новым свойством » от случая 5 : с = С, b =- В , n =- N , K )

Случай 19. Случай 4.

с = - В ( 16-B), с = - С ( 16´),

b = С ( 17+C), b = В ( 17),

n =- N ( 18´), n = - N ( 18´),

K ( 19) , K ( 19)

Окончательные решения в случае 4:

(39´´´), (38´´´),

(37´), (33),

где - взаимно простые нечетные целые числа.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b » ( с b = - СВ = const ´ , с – b = -С - В = const ´´ , с – b = 2К = const ´´´ ) выполняются, то Случаи 19 и 4 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.

(39´´´), (38´´´),

(37´), (33),

где - взаимно простые нечетные целые числа.

********

«Новый» случай 20

( Отличающийся «новым свойством » от случая 6 : с = - С, b = В , n = N , - K )

Случай 20. Случай 3.

с = В ( 16+B), с = С ( 16),

b = - С ( 17-C), b = - В ( 17´),

n = N ( 18), n = N ( 18),

- K ( 19´) , - K ( 19´).

Окончательные решения в случае 3 :

(39´´), (38´´),

, (33´),

где - взаимно простые нечетные целые числа.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b » ( с b = - СВ = const ´ , с – b = С + В = const ´´ , с – b = - 2К = const ´´´ ) выполняются, то Случаи 20 и 3 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.

(39´´), (38´´), где - взаимно простые нечетные

, (33´), целые числа.

********

«Новый» случай 21

( Отличающийся «новым свойством » от случая 7 : с = С, b = -В , n = - N , - K )

Случай 21. Случай 2.

с = -В ( 16-B), с = - С ( 16´),

b = С ( 17+C), b = В ( 17),

n =- N ( 18´), n = - N ( 18´),

- K ( 19´) , - K ( 19´).

Окончательные решения в случае 2 :

где - взаимно простые нечетные целые числа

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b » ( с b = - СВ = const ´ , с – b = - С - В = const ´´ , с – b = - 2К = const ´´´ ) выполняются, то Случаи 21 и 2 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.

, ,

где - взаимно простые нечетные целые числа .

*********

«Новый» случай 22

( Отличающийся «новым свойством » от случая 8 : с = - С, b = В , n = N , K )

Случай 22. Случай 1.

с = В ( 16+B), с = С ( 16),

b = - С ( 17-C), b =- В ( 17´),

n = N ( 18), n = N ( 18),

K ( 19) , K ( 19)

Окончательные решения в случае 1:

, ,

где - взаимно простые нечетные целые числа.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b » ( с b = - СВ = const ´ , с – b = С + В = const ´´ , с – b = 2К = const ´´´ ) выполняются, то Случаи 22 и 1 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.

, ,

, ,

где - взаимно простые нечетные целые числа.

**********

Вывод

Таким образом, в «Новых» случаях 15,…, 22 новых возможных решений уравнения (15) не выявили .

*********

«Новый» случай 23

( Отличающийся «новым свойством » от случая 9 : с = С, b = В , n = - N , K )

Случай 23. Случай 12.

с = В ( 16+B), с = - С ( 16´),

b = С ( 17+C), b = - В ( 17´),

n = - N ( 18´), n = - N ( 18´),

K ( 19) , K ( 19)

Окончательный вывод в случае 12: c и b – четные, чего не должно быть.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b » ( с b = СВ = const ´ , с – b = -С + В = const ´´ , с – b = 2К = const ´´´ ) выполняются, то Случаи 23 и 12 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b – четные, чего не должно быть.

********

«Новый» случай 24

( Отличающийся «новым свойством » от случая 10 : с = - С, b = -В , n = N , - K )

Случай 24. Случай 11.

с = -В ( 16-B), с = С ( 16),

b =- С ( 17-C), b = В ( 17),

n = N ( 18), n = N ( 18),

- K ( 19´) , - K ( 19´).

Окончательный вывод в случае 11: c и b – четные, чего не должно быть.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b » ( с b = СВ = const ´ , с – b = С - В = const ´´ , с – b = - 2К = const ´´´ ) выполняются, то Случаи 24 и 11 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b – четные, чего не должно быть.

*******

«Новый» случай 25

( Отличающийся « новым свойством » от случая 11 : с = С, b = В , n = N , - K )

Случай 25. Случай 10.

с = В ( 16+B), с = - С ( 16´),

b = С ( 17+C), b = - В ( 17´),

n = N ( 18), n = N ( 18),

- K ( 19´) , - K ( 19´).

Окончательный вывод в случае 10: c и b – четные, чего не должно быть.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением » и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b ( с b = СВ = const ´ , с – b = -С + В = const ´´ , с – b = - 2К = const ´´´ ) выполняются, то Случаи 25 и 10 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b – четные, чего не должно быть.

*********

«Новый» случай 26

( Отличающийся «новым свойством » от случая 12 : с = - С, b =- В , n = - N , K )

Случай 26. Случай 9.

с = - В ( 16-B), с = С ( 16),

b = - С ( 17-C), b = В ( 17),

n = - N ( 18´), n = - N ( 18´),

K ( 19) , K ( 19).

Окончательный вывод в случае 9: c и b – четные, чего не должно быть.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b » ( с b = СВ = const ´ , с – b = С - В = const ´´ , с – b = 2К = const ´´´