МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
"Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины"
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Курсовая работа
БИПРИМАРНЫЕ ГРУППЫ
Исполнитель:
студентка группы H.01.01.01 М-33
Стародубова Н.С.
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
профессор кафедры Алгебры и геометрии
Монахов В. С.
Гомель 2003
Содержание
Введение
1.Основные обозначения
2. Разрешимость факторизуемой группы с разложимыми факторами
3. О произведении 2-разложимой группы и группы Шмидта
4. Произведение бипримарной и 2-разложимой групп
5. Произведение бипримарной и примарной групп
6. Доказательство теоремы (3)
Заключение
Списоклитературы
Введение
В данной курсовой работе приводятся свойства конечных групп, являющихся произведением двух групп, а именно являющихся произведением двух групп, одна из которых группа Шмидта, а вторая 2-разложимая, произведением бипримарной и 2-разложимой групп.
В третьем пункте данной курсовой работы доказываются следующие теоремы:
Теорема.
Пусть
и
--- подгруппы конечной группы
и пусть
. Если подгруппы
и
-разложимы для каждого
, то разрешима.
Теорема.
Пусть
и
--- подгруппы конечной группы
и пусть
. Предположим, что
и
---
-замкнуты для каждого
. Если
и
-разложимы и
-разложимы, то разрешима.
В четвертом пункте доказазываются приведенные ниже теоремы.
Теорема.
Пусть
есть группа Шмидта,
--- 2-разложимая группа, порядки
и
взаимно просты. Если
и
--- конечная неразрешимая группа, то
,
,
и
--- простое число
или
для некоторого простого .
Теорема.
Пусть
--- группа Шмидта;
---
-разложимая группа, где
. Если
и
--- простая группа, то
,
или
и
--- простое число.
В пятом пункте доказываются следующие теоремы:
Теорема.
Пусть конечная группа
является произведением своих подгрупп
и
взаимно простых порядков, и пусть
--- бипримарная группа, а
--- 2-разложимая группа четного порядка. Предположим, что в
есть неединичная циклическая силовская подгруппа
. Тогда, если
неразрешима, то
изоморфна
или .
Теорема.
Пусть неразрешимая группа
является произведением бипримарной подгруппы
и примарной подгруппы
. Тогда, если среди силовских подгрупп группы
есть циклическая, то
изоморфна одной из следующих групп:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
, где
--- силовская 3-подгруппа;
7)
, порядок
равен
, а .
1. Основные обозначения
|
группа |
|
является подгруппой группы
|
|
является нормальной подгруппой группы
|
|
прямое произведение подгрупп
и
|
|
подгруппа Фраттини группы
|
|
фактор-группа группы
по
|
|
множество всех простых делителей натурального числа
|
|
множество всех простых делителей порядка группы
|
|
коммутант группы
|
|
индекс подгруппы
в группе
|
2. Разрешимость факторизуемой группы с разложимыми факторами
Конечная группа называется
-разложимой для простого числа
, если силовская
-подгруппа выделяется в ней прямым множителем. Нильпотентная группа
-разложима для каждого
. Через
обозначается множество всех простых делителей порядка группы .
Теорема
Пусть
и
--- подгруппы конечной группы
и пусть
. Если подгруппы
и
-разложимы для каждого
, то разрешима.
Теорема (1) обобщает известную теорему Виландта-Кегеля о разрешимости конечной группы, являющейся произведением нильпотентных подгрупп [??].
Для доказательства теоремы (2) нам потребуется следующая лемма(3), которая несколько уточняет лемму Кегеля(4). Напомним, что
--- центр
, а если
--- подгруппа группы
, то
--- наименьшая нормальная в
подгруппа, содержащая
. Группа
называется -замкнутой
, если в ней силовская
-подгруппа
нормальна.
Лемма
Пусть
и
--- подгруппы конечной группы
, обладающие следующими свойствами:
1)
для всех
;
2)
, где
.
Тогда
.
Доказательство. Воспользуемся методом доказательства леммы Кегеля. Пусть
--- наибольшая
-подгруппа, содержащая
и перестановочная с каждой подгруппой, сопряженной с
. Предположим, что
не содержится в
. Это означает, что существуют элементы
и
такие, что
не принадлежит
. Поэтому
--- собственная подгруппа в
и
есть
-группа. Кроме того,
перестановочна с каждой сопряженной с
подгруппой, так как этим свойством обладает
. Теперь
для всех
, что противоречит выбору .
Итак,
. Значит,
и
--- нормальная в
-подгруппа. Из условия 2) следует, что
и
. Так как
и
, то
. Поэтому .
Лемма
Пусть конечная группа
с
-замкнутыми подгруппами
и
. Если
, то .
Доказательство. Так как
, то
для всех
,
. Первое условие леммы (5) выполнено. Так как выполняется и второе, то .
Секцией группы
называется фактор-группа некоторой подгруппы из
. Если
не содержит секций, изоморфных симметрической группе
четырех символов, то
называется
-свободной
.
Лемма
Если конечная группа
не является
-свободной, то существуют
-подгруппы
и
такие, что
нормальна в
и .
Доказательство. По условию в группе
существует секция
, изоморфная
. Пусть
--- нормальная в
подгруппа индекса
, содержащая подгруппу
с индексом
. По лемме Фраттини
, где
--- силовская
-подгруппа из
, Так как
имеет индекс
в силовской
-подгруппе из
, то
разрешима и содержит
-холловскую подгруппу
. Кроме того,
и .
Лемма
Конечная группа, содержащая нильпотентную
-холловскую подгруппу,
-разрешима.
Доказательство. Достаточно показать непростоту группы
в случае, когда
делит
. Предположим, что
простая и
делит
. В
-свободных группах нет нильпотентных
-холловских подгрупп [??], отличных от
-силовской. Если
не
-свободна, то по лемме (??) существует ненильпотентная
-подгруппа. Это противоречит теореме Виландта [??]. Лемма доказана.
Через
обозначим произведение всех разрешимых нормальных в
подгрупп.
Лемма
Пусть конечная группа
и пусть
разрешима, а
взаимно прост с
. Если в
существует нилъпотентная
-холловская подгруппа, то
разрешима.
Доказательство. Если
---
-группа, то
разрешима по лемме Сыскина(2). Пусть
делит
и
--- минимальная нормальная в
подгруппа. Если
, то
и
разрешима по индукции, поэтому разрешима и
. Пусть
. Тогда
и
имеет порядок взаимно простой с
. Значит нильпотентная
-холловская подгруппа из
содержится в
и
-разрешима по лемме(2). Из минимальности
следует, что
разрешима. Итак, в любом случае
содержит разрешимую нормальную подгруппу
. Фактор-группа
удовлетворяет условиям леммы и по индукции разрешима. Поэтому разрешима и . Лемма доказана.
Теорема (??) вытекает из следующей более общей теоремы
Теорема
Пусть
и
--- подгруппы конечной группы
и пусть
. Предположим, что
и
---
-замкнуты для каждого
. Если
и
-разложимы и
-разложимы, то разрешима.
Доказательство индукцией по порядку
. Пусть
--- минимальная нормальная в
подгруппа. Фактор-группа
, а подгруппы
и
будут
- и
-разложимыми и
-замкнутыми для каждого
. По индукции
разрешима, а
неразрешима. Поэтому
и
. Следовательно, в
единственная минимальная нормальная подгруппа.
Пусть
и пусть
и
--- силовские
-подгруппы из
и
соответственно. Так как
и
р-замкнуты и
, то
по лемме (??). Но
содержит точно одну минимальную нормальную подгруппу. Поэтому либо
, либо
. Итак для каждого
, либо
не делит
, либо
не делит
. Следовательно, порядки
и
взаимно просты. Но теперь --- простая группа.
Так как группа Судзуки
нефакторизуема(4), то по теореме Глаубермана (4)порядок
делится на
, а по теореме Фомина (2) порядок одного из факторов, пусть порядок
, делится на
. Теперь в
существует нильпотентная
-холловская подгруппа. По лемме (3)группа
разрешима. Теорема доказана.
Пусть конечная группа
является произведением двух своих подгрупп
и
, причем
есть группа Шмидта, т. е. ненильпотентная группа, все собственные подгруппы которой нильпотентны. Признаки разрешимости группы
при дополнительных ограничениях на подгруппы
и
получили Б. Хупперт(2), В. А. Ведерников(4), И. П. Докторов(4), П. И. Трофимов(3). Если
дедекиндова, т. е. в
все подгруппы инвариантны, то простая группа
описана автором в(5). Как сообщил недавно С. А. Сыскин, им изучена простая группа
в случае, когда
--- нильпотентная группа.
Основным результатом настоящей заметки является
Теорема
Пусть
есть группа Шмидта,
--- 2-разложимая группа, порядки
и
взаимно просты. Если
и
--- конечная неразрешимая группа, то
,
,
и
--- простое число
или
для некоторого простого .
обозначает наибольшую разрешимую инвариантную в
подгруппу.
Из этой теоремы непосредственно следует описание простых групп
, если
--- группа Шмидта, а
---
-разложимая группа, где
состоит из простых делителей порядка
и 2 (см. теорему(2)). В теореме (5) доказано, что неразрешимая группа
, где подгруппа
есть группа Шмидта, а
--- нильпотентная подгруппа, есть группа из заключения теоремы(4).
Рассматриваются только конечные группы.
обозначает порядок группы
, а
--- множество всех простых делителей
. Если
--- некоторое множество простых чисел, то
--- наибольшая инвариантная в
-подгруппа.
--- подгруппа, порожденная всеми сопряженными с
подгруппами в
. Остальные обозначения можно найти в [??].
Свойства групп Шмидта хорошо известны [??], наиболее полно они изложены в(5). В данной работе они используются без ссылок.
Следующие два результата о простых группах понадобятся при доказательстве.
Теорема Мазуров -- Сыскин 9
Если
--- простая группа с силовской 2-подгруппой, изоморфной неабелевой силовской 2-подгруппе из группы Шмидта, то
для некоторого
.
Теорема Гольдшмидт 10
Если в простой группе
силовская 2-подгруппа
неабелева и
, для всех
и некоторой абелевой неединичной подгруппы
из
, то
или .
Лемма
Пусть разрешимая группа
, где
--- группа нечетного порядка,
--- 2-замкнутая группа четного порядка и
. Если
, то
Доказательство проведем индукцией по порядку группы
. Введем следующие обозначения:
;
--- минимальная инвариантная в
подгруппа;
;
--- силовская 2-подгруппа;
--- ее дополнение. Ясно, что
. Если
, то
, отсюда и
. Пусть
и
--- минимальная инвариантная
-подгруппа в
. Тогда
и
, где
--- силовская
-подгруппа
для
. Можно считать, что
, поэтому
. Кроме того,
неинвариантна в
, значит
--- собственная в
подгруппа. Замечание Фраттини дает, что
. Теперь
и
. Так как
, то
, т. е.
--- собственная в
подгруппа. Порядки
и
взаимно просты, поэтому
. По индукции
, поэтому и . Лемма доказана.
Доказательство теоремы(4). Допустим, что теорема неверна и группа
--- контрпример минимального порядка. Пусть
,
--- инвариантная силовская
-подгруппа,
--- силовская
-подгруппа. Так как факторгруппа группы Шмидта является либо группой Шмидта, либо циклической
-группой, то благодаря теореме В. А. Ведерникова (5)можно считать, что .
Допустим, что группа
непроста и
--- минимальная инвариантная в
подгруппа. Тогда
--- неразрешимая группа.
Предположим, что
не содержит
. Тогда
нильпотентна, а так как
, то по теореме Я. Г. Берковича (6) подгруппа
имеет четный порядок. Теперь по теореме 1 из (5) получаем, что силовская 2-подгруппа в
неабелева. Так как
, то из свойств групп Шмидта следует, что
содержится в
и
--- силовская 2-подгруппа в
. Если
непроста, то
--- неразрешимая группа, где
--- некоторая инволюция из центра
. Так как
и
--- группа Шмидта четного порядка, то по индукции
,
или
,
--- простое число. Замечая, что
и
--- абелева группа порядка 4 или
, получаем, что,
. Теперь
должно быть четным числом, значит,
. В этих случаях
и
--- группа кватернионов порядка 8, что противоречит тому, что
. Следовательно,
--- простая группа. По теореме Мазурова-Сыскина группа
изоморфна
. Поэтому
, значит, и
Порядок факторгруппы
равен
, и
делится на
. Так как
, то
делит порядок
. Это противоречит взаимной простоте порядков факторов.
Следовательно,
содержит подгруппу
. Так как
--- циклическая силовская подгруппа в
, то
--- простая группа и по индукции
,
или
, где
--- простое число. Так как
,
разрешима, a
, то
. Теперь
изоморфна некоторой подгруппе из
. Если
или
, то
или
.
допускает факторизацию с группой Шмидта порядка 21 и 2-группой порядка 16. Группа
не допускает требуемой факторизации. Если
--- простое число, то и
--- простое число. Так как
, где
, то . Противоречие.
Таким образом,
--- простая группа.
Предположим, что силовская 2-подгруппа группы
абелева. Тогда по результату Уолтера [??] группа
может быть изоморфной только одной из следующих групп:
,
или
, группе Янко порядка 175560 или группе
типа Ри. Из групп
для указанных
лишь группы
или
, где
--- простое число, допускают нужную факторизацию [??]. Группа Янко не допускает требуемой факторизации [??]. Порядок группы
делится более чем на три простых числа, и силовская 3-подгруппа содержит свой централизатор, элемент порядка 9 и неабелева(5). Поэтому
неизоморфна .
В дальнейшем будем считать, что силовская 2-подгруппа в
неабелева. Так как порядки
и
взаимно просты, то некоторая силовская 2-подгруппа
из
содержится либо в
, либо в
. Если
, то
и группа
изоморфна
для некоторого
. Но в этом случае
, поэтому
,
и
делит
. Так как
, то
делит
. Но порядок
делится на
, а значит, и на . Противоречие.
Следовательно,
. Теперь
,
,
--- инвариантное 2-дополнение в
. Если
, то
и
ввиду леммы Бернсайда [??]. Поэтому
,
--- элементарная абелева
-группа и
--- показатель числа
по модулю
. Из результатов Уолеса [??] непосредственно получаем, что . Противоречие.
Значит,
. Введем следующие обозначения:
--- минимальная инвариантная в
подгруппа;
--- силовская подгруппа из
, содержащая
;
;
. Так как
, то
и
разрешима. Кроме того,
и по лемме С. А. Чунихина ((4), см. также лемму 1.16.1 из(3))
не содержит подгрупп инвариантных в
. Применяя лемму (??) настоящей работы, получаем, что
. Так как
и
, то и
. Таким образом, .
Пусть
. Покажем, что
для всех
. Возьмем произвольный элемент
,
. Тогда
, поэтому
,
. Теперь
. Так как
, то
. Применяя результат Гольдшмидта, получаем:
или
. Но этот изоморфизм ввиду
невозможен. Противоречие. Теорема доказана.
Лемма
Пусть
--- простое число, делящее порядки групп
и
. Если
--- группа Шмидта, а
---
-разложимая группа, то группа
непроста.
Доказательство. Пусть
--- силовская
-подгруппа из
, а
--- силовская
-подгруппа из
, для которых
и
есть силовская
-подгруппа в [??].
Пусть
инвариантна в
. Тогда для любого
,
,
имеем:
. По лемме Кегеля [??] группа
непроста.
Пусть
неинварпантна в
. Тогда
циклическая и каждая собственная подгруппа из
инвариантна в
. Если
--- силовская подгруппа в
, то
и
, где
--- силовская подгруппа из
. По лемме Бернсайда группа
непроста. Пусть
не является силовской в
. Тогда
содержится как подгруппа индекса
в некоторой группе
,
. Для элемента
теперь
содержит
и
. Если
, то
непроста по лемме Бернсайда. Если
, то
и непроста по лемме С. А. Чунихина.
Теперь из теоремы (2) и леммы (5) вытекает
Теорема
Пусть
--- группа Шмидта;
---
-разложимая группа, где
. Если
и
--- простая группа, то
,
или
и
--- простое число.
Ясно, что условие теоремы (??) охватывает случай, когда
нильпотентна.
Теорема
Пусть
--- неразрешимая группа, где
--- группа Шмидта,
--- нильпотентная группа. Тогда
.
и
--- простое число,
или
для некоторого простого числа .
Доказательство. Пусть группа
--- контрпример минимального порядка. Как и в теореме (??), пусть
. Ясно, что
. Группа
не является произведением группы Шмидта и нильпотентной группы, поэтому из теоремы (??) следует, что порядки
и
не взаимно просты, а из леммы (??) вытекает, что
--- непростая группа.
Допустим, что порядок
делится на
и пусть
--- силовская
-подгруппа из
. Тогда
--- неразрешимая группа, поэтому из теоремы Виландта-Кегеля следует, что
. Так как
есть
-группа, то
и по лемме из (4) группа
есть
-группа, противоречие. Следовательно, порядок
не делится на
. Но тогда
делит порядок
. Рассуждая как и в лемме, получаем, что
, а из следует, что .
Пусть
--- минимальная инвариантная в
подгруппа. В силу теоремы Виландта-Кегеля
и
разрешима. Если
, то, применяя к
индукцию, получаем, что
или
и
--- простое число, а группа
из заключения теоремы, противоречие. Значит,
, кроме того,
и
, где
--- силовская
-подгруппа из
,
--- инвариантное
-дополнение в
. Проверка показывает, что
--- простая группа. Пусть
--- силовская
-подгруппа из
, для которой
. Если
, то централизатор элемента
из
содержит подгруппы
и
, что противоречит простоте
. Далее,
, поэтому
--- подгруппа. Но
, значит, .
Пусть
--- силовская 2-подгруппа в
, тогда
--- силовская в
. Как и в теореме (??), можно показать, что
неабелева и
неизоморфна
. Значит,
. Пусть
,
--- дополнение к
в
. Если
, то повторение соответствующих рассуждений из теоремы приводит к противоречию. Значит,
. Так как
, то из результата Уолеса заключаем, что
изоморфна одной из следующих групп:
,
,
,
,
,
. Для них группа Шмидта
должна иметь соответственно следующие порядки:
,
,
,
,
,
, причем
, 5, 7, 7, 13 или 17 соответственно. Но это возможно лишь когда
или
и в
силовская 3-подгруппа
абелева. Так как
и в
и
силовские 3-подгруппы неабелевы, то получили противоречие. Теорема доказана.
В (1) описаны конечные неразрешимые группы, являющиеся произведением двух подгрупп взаимно простых порядков, одна из которых есть группа Шмидта, а вторая --- 2-разложимая группа (см. также(2)). Все свойства группы Шмидта хорошо известны, в частности, она бипримарна, т. е. ее порядок делится в точности на два различных простых числа, и в ней содержится неединичная циклическая силовская подгруппа.
Развивая указанный результат работы(6), мы доказываем в настоящей заметке следующую теорему.
Теорема
Пусть конечная группа
является произведением своих подгрупп
и
взаимно простых порядков, и пусть
--- бипримарная группа, а
--- 2-разложимая группа четного порядка. Предположим, что в
есть неединичная циклическая силовская подгруппа
. Тогда, если
неразрешима, то
изоморфна
или .
обозначает произведение всех разрешимых инвариантных в
подгрупп.
Следствие
Пусть группа
обладает факторизацией, указанной в теореме(3). Тогда, если порядок
не равен 3 или 1, то
разрешима.
Доказательство теоремы 1 начинается с изучения частного случая, когда подгруппа
примарная. Описанию этого случая, причем без предположения четности порядка подгруппы
, посвящена
Теорема
Пусть неразрешимая группа
является произведением бипримарной подгруппы
и примарной подгруппы
. Тогда, если среди силовских подгрупп группы
есть циклическая, то
изоморфна одной из следующих групп:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
, где
--- силовская 3-подгруппа;
7)
, порядок
равен
, а .
Так как бипримарные группы разрешимы, то группа
из теоремы (7) имеет порядок, делящийся в точности на три различных простых числа. Такие простые группы к настоящему времени известны лишь в случае, когда они содержат циклическую силовскую подгруппу. Этим и вызвано требование цикличности силовской подгруппы в условии теоремы(8), а следовательно, и в условии теоремы(8).
Если будут известны все простые группы порядка
, где
,
и
--- различные простые числа, то методы доказательства теоремы (5) позволят описать неразрешимые группы с указанной в теореме (5) факторизацией без предположения цикличности подгруппы .
Используются следующие обозначения:
и
--- симметрическая и знакопеременная группы степени
,
,
и
--- циклическая, элементарная абелева и соответственно диэдральная группы порядка
. Полупрямое произведение групп
и
с инвариантной подгруппой
обозначается через
. Примарной называется группа, порядок которой есть степень простого числа.
Предварительные леммы
Лемма
Если группа
является произведением двух подгрупп
и
взаимно простых порядков и
--- субинвариантная в
подгруппа, то .
Доказательство. Если
--- инвариантная в
подгруппа, то
---
-холловская в
подгруппа, где
, а
---
-холловская в
подгруппа(9). Поэтому
. Если теперь
--- инвариантная в
подгруппа, то опять
и т. д.
Лемма
Если группа
является произведением примарной подгруппы нечетного порядка и 2-разложимой подгруппы, то
разрешима.
Доказательство. Пусть
,
---
-группа,
--- нечетное простое число,
--- 2-разложимая группа. В
существует силовская
-подгруппа
такая, что
, где
--- некоторая силовская
-подгруппа из
(7). Так как
разрешима, то
, где
---
-холловская подгруппа из
. Но теперь
. По лемме Бернсайда (5)группа
непроста. Инвариантная подгруппа
в
по лемме факторизуема, т. е.
, поэтому
разрешима по индукции. Фактор-группа
также разрешима по индукции. Поэтому разрешима и .
Лемма
Группы
и
не содержат бипримарные холловские подгруппы.
Доказательство. Пусть
. Тогда порядок
равен
и силовская 7-подгруппа в
самоцентрализуема. Так как порядок
больше порядка
, то
не содержит подгруппы порядка .
Предположим, что существует подгруппа
порядка
. По теореме Силова о числе силовских подгрупп подгруппа
7-замкнута, т. е. подгруппа
порядка 7 из
инвариантна в
. Но теперь
изоморфна подгруппе группы всех автоморфизмов
, которая изоморфна
. Противоречие.
Допустим, что есть подгруппа
порядка
. Как и в предыдущем случае, подгруппа
не может быть 7-замкнутой. Так как индекс в
нормализатора
силовской 7-подгруппы сравним с 1 по модулю 7, то
и
. Поэтому 4 должно делить порядок
, а это невозможно. Таким образом, в
нет бипримарных холловских подгрупп.
Теперь пусть
. Тогда порядок
равен
, силовская 3-подгруппа
из
неабелева и
. Силовская 2-подгруппа
также неабелева и
имеет экспоненту 2. Нормализатор силовской 5-подгруппы
в
имеет порядок 20, а централизатор
в
совпадает с [??].
Предположим, что существует подгруппа
порядка
. Тогда
3-замкнута, а так как
ненильпотентна, то
. Подгруппа
неабелева, поэтому минимальная инвариантная в
подгруппа
имеет порядок не более чем
. Теперь
изоморфна подгруппе из группы всех авторморфизмов
. Но
--- элементарная абелева, поэтому
, где
, и
имеет порядок, не делящийся на 5. Таким образом,
, но тогда . Противоречие.
Допустим, что существует подгруппа
порядка
. Пусть
--- минимальная инвариантная в
подгруппа. Так как
имеет порядок 20, то
неинвариантна в
и
есть 2-группа. По теореме Машке [??] подгруппа
есть прямое произведение неприводимых
-групп
. Подгруппа
самоцентрализуема, поэтому
не централизуют
и по [??] порядок
равен
для всех
. Следовательно,
и
. Фактор-группа
имеет порядок 20, поэтому она 5-замкнута и
инвариантна в
. Теперь
. Пересечение
инвариантно в
, поэтому
. Таким образом,
, и
изоморфна циклической группе порядка 4 из
. Это противоречит тому, что имеет экспоненту 2.
Если G содержит подгруппу порядка
, то индекс этой подгруппы в
будет равен 5. Поэтому
изоморфна подгруппе симметрической группы
степени 5. Но порядок
больше порядка
. Противоречие.
Лемма
Группа
содержит подгруппу порядка
и не содержит бипримарные холловские подгруппы других порядков.
Доказательство. Пусть
. Тогда порядок
равен
и
--- дважды транзитивная группа степени 13. Поэтому стабилизатор
одной точки будет холловской подгруппой порядка
. Силовская 3-подгруппа в
неабелева. Нормализатор силовской 13-подгруппы имеет порядок
, а централизатор --- 13 [??].
Пусть
--- подгруппа порядка
. По теореме Силова
--- 13-замкнута. Поэтому центр
неединичен. Противоречие.
Допустим, что есть подгруппа
порядка
. Так как
не 13-замкнута, то минимальная инвариантная в
подгруппа
есть 3-группа. Подгруппа
абелева, поэтому
. Теперь силовская 13-подгруппа централизует
. Значит, центр
отличен от 1. Противоречие.
В этом параграфе мы докажем теорему(1), сформулированную во введении.
Доказательство теоремы(3). Через
обозначим циклическую силовскую
-подгруппу в
. Порядки
и
взаимно просты, поэтому в
каждая субинвариантная подгруппа факторизуема. Фактор-группа
удовлетворяет условию теоремы(5). Так как
, то при
по индукции фактор-группа
изоморфна одной из групп, перечисленных в заключении теоремы(3). Следовательно, можно считать, что .
Пусть
--- минимальная инвариантная в
подгруппа. Подгруппа
неразрешима и является произведением изоморфных простых групп. Порядок
делится на
, и силовская
-подгруппа в
--- циклическая, поэтому
--- простая группа.
Предположим, что в
есть еще одна минимальная инвариантная подгруппа
. Тогда
. Но силовские
-подгруппы
и
содержатся в циклической
-группе
, поэтому
. Следовательно,
--- единственная в
минимальная инвариантная подгруппа.
Централизатор
подгруппы
инвариантен в
, и
. Из единственности
следует, что
, поэтому
изоморфна группе автоморфизмов .
Порядок простой группы
делится в точности на три простых числа и силовская
-подгруппа в
циклическая. Поэтому
изоморфна
, где
, 7, 8, 9 или 17,
,
,
[??]. Кроме того,
--- бипримарная холловская подгруппа в
. В группах
,
,
и
нет бипримарных холловских подгрупп (см. [??] и лемму (??) настоящей работы).
Если
изоморфна
,
или 7, то
и
имеет порядок 2. Поэтому либо
, либо
,
или 7. Группа
допускает единственную факторизацию, а именно
. Группа
допускает только две факторизации с взаимно простыми порядками факторов:
и .
Допустим, что
--- собственная в
подгруппа. Если
, то
,
. Так как
, то
--- подгруппа индекса 2 в
, а
. Подгруппа
имеет единичный центр, поэтому централизатор
в
имеет порядок 1 или 2. В первом случае
и
из пункта 4) теоремы (??). Во втором случае
и силовская 2-подгруппа в
) должна быть абелевой, что невозможно. Таким образом, если
, то
, а .
Пусть теперь
. Если
, то индекс
в
равен 2, а так как
--- совершенная группа, то
. Но это противоречит тому, что в
силовская 2-группа диэдральная. Поэтому для
одна возможность:
. Но тогда
, а
, т. е. для
возможна единственная факторизация, указанная в пункте 5).
Теперь рассмотрим случай, когда
. Эта группа допускает единственную факторизацию, указанную в пункте 3) теоремы. Пусть
. Так как
--- подгруппа индекса 3 в
, то
. Причем
, а
. Но тогда
,а
--- силовская 3-подгруппа из .
Осталось рассмотреть случай, когда
. Так как индекс
в группе автоморфизмов
равен 2, то либо
, либо
. Но в
нет подгрупп индекса 13.
Применяя лемму (??), заключаем, что
из пункта 7) теоремы. Теорема (??) доказана полностью.
Следствие
Пусть группа
является произведением бипримарной подгруппы
с неединичной циклической силовской подгруппой
и примарной подгруппы
. Тогда, если порядок
не равен 3 или 7, то
разрешима.
Доказательство. Пусть
--- контрпример минимального порядка. Так как фактор-группа
неразрешима, то из теоремы 2 следует, что она изоморфна
, где
, 7 или 8;
,
или 7;
. Поэтому порядок
-группы
равен 3 или 7. Значит,
или 7, .
Пусть
--- минимальная разрешимая инвариантная в
подгруппа. Ясно, что
есть
-группа, а так как
циклическая, то
порядка
. Централизатор
подгруппы
инвариантен в
, поэтому
. Кроме того,
. Если
, то
разрешима по индукции, a
примарна или бипримарна, т. е. разрешима и
, противоречие. Следовательно,
, и
содержится в центре
группы .
Пусть
--- коммутант группы
. По [??] пересечение
равно 1. Значит,
не содержится в
. Из цикличности
следует, что подгруппа
имеет порядок, не делящийся на
, т. е.
разрешима. Теперь и
разрешима, противоречие. Следствие доказано.
Группы Шмидта и
-квазинильпотентные группы обладают неединичной циклической силовской подгруппой. Поэтому следствие обобщает результаты И. П. Д окторова [??] и М. И. Кравчука [??].
Допустим, что теорема неверна и группа
--- контрпример минимального порядка. Пусть
--- циклическая силовская
-подгруппа в
, а
, где
--- силовская 2-подгруппа в
,
--- ее инвариантное дополнение в
. В силу леммы (??) условие теоремы выполняется для
, поэтому мы можем считать, что .
Пусть
--- минимальная инвариантная в
подгруппа. Тогда
неразрешима,
и по лемме (??) порядок
делится на
. Силовская
-подгруппа
циклическая, поэтому
--- простая группа. Теперь, если
--- другая инвариантная в
подгруппа, то силовская
-подгруппа
пересекается с
не по единице. Из минимальности
следует, что
содержится в
. Таким образом,
--- единственная минимальная инвариантная в
подгруппа. Так как централизатор
подгруппы
инвариантен в
и пересекается с
по единице, то и
. Следовательно,
изоморфна подгруппе группы автоморфизмов группы .
Если
--- собственная в
подгруппа, то по индукции
изоморфна
. Но тогда
изоморфна
, противоречие.
Таким образом,
--- простая группа. В силу теоремы (??) подгруппа
неединична.
Введем следующие обозначения:
--- минимальная инвариантная в
подгруппа,
--- силовская подгруппа из
, содержащая
,
. Так как
инвариантна в
, то .
Допустим, что
. Напомним, что
--- наибольшая инвариантная в группе
-подгруппа. Так как
и
, то и
. Поэтому
. Пусть
. Покажем, что
для всех
. Возьмем произвольный элемент
,
. Тогда
, поэтому
для некоторого
. Теперь
. Так как
инвариантна в
, то
. По теореме Гольдшмидта получаем, что либо
абелева, либо
изоморфна
или
. Если
абелева, то группа
разрешима, противоречие. Так как
, то изоморфизм
с группами
и ) невозможен.
Таким образом,
. Группа
, и
не содержит подгрупп, инвариантных в
. По лемме 1 из [??] группа
неразрешима. Значит,
бипримарна, и
делит порядок
. По индукции
изоморфна
или .
Допустим, что
имеет четный порядок. Подгруппа
факторизуема, a
инвариантна в
, значит, и
. Если
содержит неединичную подгруппу, инвариантную в
, то и
содержит подгруппу, инвариантную в
, противоречие. По лемме 1 из [??] подгруппа
неединична, противоречие. Следовательно, порядок нечетен.
Теперь силовская 2-подгруппа
из
изоморфна силовской 2-подгруппе из группы
или
, т. е.
--- диэдральная группа порядка 8 или 16. Поэтому и изоморфна
или
,
нечетное. Но этот изоморфизм ввиду
невозможен. Теорема доказана.
Доказательство следствия теоремы. Пусть утверждение неверно и группа
--- контрпример минимального порядка. Фактор-группа
неразрешима и по теореме она изоморфна
или
. Поэтому порядок
-группы
равен 3 или 7. Значит,
. Теперь, повторяя дословно второй и третий абзацы доказательства следствия теоремы, мы приходим к противоречию.
Итак, в данной курсовой работе приводятся свойства конечных групп, являющихся произведением двух групп, одна из которых группа Шмидта, а вторая 2-разложимая, произведением бипримарной и 2-разложимой групп. Доказываются следующие теоремы:
Теорема.Пусть
и
--- подгруппы конечной группы
и пусть
. Если подгруппы
и
-разложимы для каждого
, то разрешима.
Теорема.Пусть
и
--- подгруппы конечной группы
и пусть
. Предположим, что
и
---
-замкнуты для каждого
. Если
и
-разложимы и
-разложимы, то разрешима.
Теорема.Пусть
есть группа Шмидта,
--- 2-разложимая группа, порядки
и
взаимно просты. Если
и
--- конечная неразрешимая группа, то
,
,
и
--- простое число
или
для некоторого простого .
Теорема.Пусть
--- группа Шмидта;
---
-разложимая группа, где
. Если
и
--- простая группа, то
,
или
и
--- простое число.
Теорема.Пусть конечная группа
является произведением своих подгрупп
и
взаимно простых порядков, и пусть
--- бипримарная группа, а
--- 2-разложимая группа четного порядка. Предположим, что в
есть неединичная циклическая силовская подгруппа
. Тогда, если
неразрешима, то
изоморфна
или .
Теорема.Пусть неразрешимая группа
является произведением бипримарной подгруппы
и примарной подгруппы
. Тогда, если среди силовских подгрупп группы
есть циклическая, то
изоморфна одной из следующих групп:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
, где
--- силовская 3-подгруппа;
7)
, порядок
равен
, а .
[1]
Huppert B., Endliche Gruppen. I, Berlin--Heidelberg --- N. Y., Springer--Verlag, 1967.
[2]
Glauberman G., Factorizations in local subgroups of finite groups, Reg. Con. Ser. Math., № 33, (1977), 77.
[3]
Сыскин С. А., Об одном вопросе Р. Бэра, Сиб. матем. ж. 20, № 3 (1979), 679-681.
[4]
Монахов В. С., Произведение сверхразрешимой и циклической или примерной групп, Сб., Конечные группы (Тр. Гомельского семинара), Минск, "Наука и техника", 1978, 50-63
[5]
Фомин А. Н., Одно замечание о факторизуемых группах, Алгебра и логика, 11, № 5 (1972), 608-611.
[6]
В. Huppert, Math. Zeit., 64, 138, 1956.
[7]
В. А. Ведерников, Матем. зам., 3, 201, 1968.
[8]
И. П. Докторов, ДАН БССР, 13, 101, 1969.
[9]
П. И. Трофимов, ДАН СССР, 167, 523, 1966.
[10]
В. С. Монахов, ДАН БССР, 18, № 7, 584, 1974.
[11]
С. А. Чунихин, Л. А. Шеметков, сб. Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. 1969, М., 7, 1971.
[12]
О. Ю. Шмидт, Матем. сб., 31, 366, 1924.
[13]
L. Redei, Publ. Math. Debrecen,4, 303, 1956.
[14]
В. Д. Мазуров, С. А. Сыскин, Матем. заметки, 14, 217,1973.
[15]
D. Gодdsсhmidt, Not. Amer. Math. Soc., 20, № 1, 1973.
[16]
Я. Г. Бeркович, ДАН СССР, 171, 770, 1966.
[17]
В. С. Монахов, ДАН БССР, 15, 877, 1971.
[18]
Z. Jankо, J. Algebra, 3, 147. 1966.
[19]
Н. Ward, Trans. Amer. Math. Soc., 121, 62, 1966.
[20]
B. Huppert, Endliche Gruppen I, Berlin, 1967.
[21]
D. Wales, Algebra, 20, 124, 1972.
[22]
С. А. Чyнихин, Труды семинара по теории групп, М.-Л., 1938.
[23]
С. А. Чунихин, Подгруппы конечных групп, Минск, 1964.
[24]
В. Huppert, N. Itо, Math. Z., 61, 94, 1954.
[25]
J. Walter, Annals Math., 89, 405, 1969.
[26]
N. Ito, Acta scient. math., 15, 77, 1953.
[27]
В. С. Монахов, Матем. зам., 16, 285, 1974.
[28]
Монахов В. С., О произведении 2-разложимой группы и группы Шмидта, Докл. АН БССР, 18, № 10 (1974), 871-874.
[29]
Конечные группы, Тр. Гомельского семинара, Минск, Наука и техника, 1975.
[30]
Huppert В., Endliche Gruppen, Bd. I, Berlin, Springer- Verlag, 1967.
[31]
Leon J., Wales D., Simple groups of order 2aZbpc with cyclic Sylow
-groups, J. Algebra, 29 № 2 (1974), 246-254.
[32]
Докторов И. П., Об одном классе факторизуемых групп, Докл. АНБССР, 13, № 2 (1969), 101-102.
[33]
Goldschmidt D., 2-fusion in finite groups, Ann. Math., 99, № 1 (1974), 70-117.
[34]
Монахов B.C., К двум теоремам Ведерникова, Докл. АНБССР, 15, № 10 (1971), 877-880.
[35]
Gоrеnstein D., Walter J., The characterization of finite groups with dihedral Sylow 2-subgroups, J. Algebra, 2 (1965), 85-151, 218-270, 334-397.
|