|
Алгоритми і методи обчислення - контрольная работа
початкових даних моделювання
Рис. 1.1 Схема розв'язування інженерної задачі 1.3 Постановка задачіПостановка задачі має передумовою словесне, змістовне формулювання задачі, умов, за яких вона ставиться, та вимог до її розв'язування. Слова "змістовне формулювання" слід розуміти так, що задача має бути сформульована у термінах опису реального об'єкта (технічного пристрою або процесу), поводження якого підлягає вивченню. Як приклади розглядатимемо такі найпростіші інженерні задачі. Задача 1. Визначити характеристики власного руху фізичного маятника за умови малих його коливань. Задача 2. Визначити змінення швидкості тіла при його падінні, враховуючи опір оточуючого середовища. Задача 3. Відшукати моменти інерції ротора гіроскопа. Задача 4. Визначити характеристики власного руху гіроскопа у кардановому підвісі, а також характеристики його вимушеного руху під дією моментів зовнішніх сил, що діють по осях карданового підвісу і змінюються з часом за гармонічним законом. 1.4 Створення математичної моделіМатематична модель - це математичний опис співвідношень постановки задачі. Такий опис можливий лише на ґрунті попередньо одержаних знань про поводження об'єкта, що вивчається, і про способи правильного й ефективного опису цього поводження у математичних термінах. В одних випадках утворення математичної моделі не складає труднощів (наприклад, модель є відомою заздалегідь за результатами раніше проведених досліджень), а в інших потрібно неодноразове уточнення постановки задачі, виділення головних визначальних чинників, відкидання чинників, які незначно впливають на результат і т.д.. Так, для задачі 1 математична модель може бути утворена, якщо врахувати наступні теоретичні відомості. 1. До характеристик власного руху коливальної ланки, яким є фізичний маятник, відносять: 1) частоту власних коливань; 2) коефіцієнт загасання цих коливань. 2. При малих відхиленнях від вертикалі рух маятника з достатньою точністю описується лінійним диференційним рівнянням другого порядку зі сталими коефіцієнтами: де 3. Власний рух маятника описується співвідношенням де 4. Величини яке випливає з диференційного рівняння (1), тобто корінь рівняння (3) має вигляд: У підсумку математично розв'язування задачі 1 зводиться до відшукування комплексних коренів квадратного рівняння (3) і виділенню їхніх дійсної й уявної частин за заданими первісними даними - значеннями параметрів У задачі 2 треба припустити, що тіло є матеріальною точкою маси Це диференційне рівняння із врахуванням початкової умови У задачі 3 насамперед слід з'ясувати форму ротора, його розміри, розподіл мас, потім виділити у тілі ротора ряд частин, відшукування моментів інерції яких робиться досить просто (циліндри, кільця, конуси тощо). Тоді задача зводиться до обчислень моментів інерції окремих елементарних тіл і їхньому підсумовуванню. Формули обчислення моментів інерції окремих частин ротора і їх підсумовування і складуть математичну модель цієї задачі. Постановка задачі 4 має містити опис власних параметрів системи "гіроскоп у кардановому підвісі", опис параметрів зовнішніх моментів сил, опис рівнянь руху. Наприклад, рівняння руху гіроскопа для цієї задачі можуть бути взяті у наступному вигляді Тут За математичну модель у цьому випадку може правити сукупність розв'язків рівнянь (6), наведена нижче: де Рух гіроскопа за цими співвідношеннями може бути визначений у довільний момент часу. Але як математичну модель можна також розглядати і первісну систему диференційних рівнянь (6) за вказаних початкових умов. Складання математичної моделі у прикладній задачі є найбільш складним і відповідальним етапом розв'язування і потребує, окрім істотних знань у спеціальній області, також і математичних і теоретичних знань. Уже на цьому етапі розв'язування прикладної задачі доводиться нехтувати багатьма реальними процесами, як такими, що незначно впливають на процеси, які вивчаються, абстрагуватися від впливу багатьох чинників. Інакше кажучи, навіть коректно утворена математична модель завжди неповно, лише наближено. відображає реальні процеси. Але при цьому вона набуває риси більшої ясності, прозорості, більш доступна вичерпному дослідженню (із того боку, що підлягає вивченню). 1.5 Математичне моделюванняМодель утворюється задля подальшого її дослідження з метою одержати нові знання про відповідний реальний об'єкт. Таке дослідження вже готової моделі називають моделюванням. Дослідження математичної моделі називатимемо математичним моделюванням. Математична задача є абстрагованою від конкретної сутності задачі. Для її розв'язування створюються спеціальні обчислювальні методи, причому до тої самої математичної моделі можуть зводитися зовсім різні прикладні задачі. Так, задача 1 звелася до розв'язування квадратного рівняння, яке може відображувати характеристичне рівняння не тільки фізичного, але й математичного маятника, маси, яка з'єднана пружиною з корпусом (лінійного акселерометра), гіроскопічного тахометру і т. і. Диференційне рівняння (5) у задачі 2 може бути моделлю і для багатьох інших задач (вивчення змінювання швидкості тіла у в'язкому середовищі, змінювання електричного струму у найпростішому електричному ланцюзі, змінювання швидкості репродукції бактерій тощо). Задля розв'язування задачі 3 потрібно обчислити низку визначених інтегралів. До обчислення визначених інтегралів приходять і при відшукуванні площ складних фігур, об'єму тіла або дуги плоскої кривої, розрахунках роботи змінної сили й у багатьох інших фізичних задачах. Математична модель (7) задачі 4 може описувати не тільки поводження гіроскопу, але й будь-якої іншої системи, якщо диференційні рівняння руху останньої збігаються з рівняннями (6). 1.5.1 Побудова обчислювальної моделіПобудова обчислювальної моделі може здійснюватися різними методами, які можна поділити на точні й наближені. Точні методи - це такі, які після скінченої кількості дій (обчислень) приводять до точного результату за умови, що обчислення здійснюються без похибок. Наближеними називають такі методи, які за тих же умов дозволяють одержати результат лише з деякою похибкою. При використанні точних методів етап досліджування математичної моделі поділяється на такі підетапи: 1) відшукування точного розв'язку математичної моделі; 2) підставляння вихідних даних у знайдений точний розв'язок і реалізація передбачених ним обчислень. Наприклад, для розв'язування задачі 1 краще використати точний метод, тобто формулу (припускається, що Диференційне рівняння (5) задачі 2 краще розв'язувати, розділяючи змінні, тобто приводячи його до вигляду Однак, його можна розглядати і як лінійне диференційне рівняння зі сталими коефіцієнтами, або розв'язувати (інтегрувати) наближеними чисельними методами. При розв'язуванні задачі 3 слід використовувати методи наближеного обчислення визначених інтегралів. Задачу 4 також можна розв'язувати двома шляхами. Розглядаючи систему диференційних рівнянь (6) як вихідну математичну модель, можна, з одного боку, знайти точний її розв'язок (7), а потім здійснити підставляння значень вихідних даних і дійти явних залежностей Досліджування математичної моделі наближеними методами поділяється на такі етапи: 1) обрання обчислювального методу (зазвичай наближених чисельних методів буває декілька); 2) вивчення або складання алгоритму метода; 3) реалізація алгоритму за допомогою обчислювальних засобів. При виборі чисельного методу суттєвими є обсяг обчислень, швидкість збіжності обчислень (як швидко здобувається результат) та інші чинники. Зокрема, обрання методу залежить і від вхідних даних. Крім того, на вибір метода впливають засоби його реалізації (ручний розрахунок, наявність обчислювальної машини, наявність готової програми тощо). Так, якщо буде використані швидкодіюча ЕОМ і готова програма, то обсяг обчислень не повинен засмучувати виконавця і бути визначальним фактором при обранні метода. При ручному ж розрахункові слід віддати перевагу методу, який, можливо, потребує деяких певних попередніх досліджень і перетворень математичної моделі, але завдяки цьому потребує й значно меншу кількість обчислень. 1.5.2 Алгоритм методуАлгоритмом метода називається система правил, яка задає точно визначену послідовність операцій, яка приводить до шуканого результату (точного або наближеного). Алгоритм - одне із ґрунтовних понять математики. Хід розв'язування обчислювальної (і взагалі будь-якої) задачі має бути поданий через алгоритм. Алгоритм можна записати словесно-формульно або у вигляді схеми. Так, словесно-формульний опис алгоритму розв'язування задачі 1 за формулою (8) має наступний вигляд: 1. Обчислити 2. Обчислити 3. Якщо 4. Обчислити 5. Подати на пристрій виведення інформацію: "Рівняння має два дійсні корені:" і роздрукувати значення шуканих коренів 6. Перейти до п. 8. 7. Вивести на пристрій виведення інформацію: «Коефіцієнт загасання дорівнює « і вивести значення «Частота власних коливань дорівнює» і роздрукувати значення 8. Кінець обчислень. При виконанні алгоритму перехід від однієї дії до іншої здійснюється строго у порядку їхнього запису. Якщо ж потрібно перервати природний хід дій за деякої умови, слід указувати на це (див. п. 3 наведеного алгоритму). Структурною схемою алгоритму називають графічне зображення послідовності дій обчислювального процесу. У схемі кожна дія розміщується у певному геометричному символі (фігурі). Послідовність дій указується на схемі напрямком стрілок на лініях, якими з'єднують ці символи. Зазвичай прийнято початок і кінець обчислень зображувати овалами, введення даних і виведення результатів - у вигляді паралелограма. Обчислювальні операції розміщуються у прямокутниках, а операція перевірки деякої умови зображується у вигляді ромбу. Усередині кожної фігури розміщується стислий формульний опис відповідної операції. Символи операцій перевірки умови мають два виходи: "так" і "ні". Стрілка на лінії, що виходить із виходу "так" вказує на операцію, до виконання якої потрібно перейти, якщо умову, яка перевіряється, виконано. Стрілка з написом "ні" вказує на операцію, до виконання якої слід перейти у випадку, коли умову не виконано. На рис. 1.2. подані зображуючи елементи блок-схеми алгоритму обчислень. Фігури з'єднуються лініями зі стрілками, які вказують на операцію, до виконання якої слід перейти. Для прикладу на рис 1.3 зображено схему алгоритму відшукування коренів квадратного рівняння. -
так ні Рис. 1.2 Елементи блок-схеми алгоритму
Рис. 1.3. Схема алгоритму відшукання коренів квадратного рівняння 1.5.3 Реалізація методу обчисленьОбчислення по алгоритмах відбувається за допомогою різних обчислювальних засобів. При ручних (безпосередніх) розрахунках зазвичай використовуються найпростіші обчислювальні засоби: логарифмічна лінійка, таблиці, механічні, електричні, електронні клавішні обчислювальні машини. Проміжні результати дій алгоритму треба записувати у спеціальний розрахунковий бланк. Наявність програмувальних мікрокалькуляторів дозволяє реалізовувати обчислення автоматично, під керуванням програми. Суттєвим є контроль обчислень, який проводять за так званим контрольним прикладом (тестом). Результат контрольного прикладу має бути заздалегідь відомим, тобто він або є очевидним, або його відшукують яким-небудь іншим способом. При ручному рахунку контроль рекомендується проводити поетапно. При розрахунках на ЕОМ за складеною програмою контрольний приклад заздалегідь прораховують вручну, а потім звіряють поетапно результати розрахунків із здійснюваними машиною. Розв’язання нелінійних рівнянь методом дихотоміїМетод дихотомії (ділення навпіл)Алгоритм методу легко зрозуміти з мал.1
f(b)
f(a) a+b b x Мал.1 Схема методу дихотомії Заданий інтервал За остаточне значення кореня при цьому слід узяти значення (4). Якщо обчислення потрібно проводити з максимальною точністю, процес звуження інтервалу слід продовжувати доти, поки нижня й верхня межі інтервалу Схема алгоритму метода дихотомії для останнього випадку наведена на Мал.2.
Мал 2. Схема алгоритму метода дихотомії До переваг метода дихотомії слід віднести те, що він може бути застосований навіть до тих неперервних функцій, що є недиференційованими у деяких точках усередині заданого інтервалу визначення кореня. Список літератури 1. Бахвалов Н.С. и др. Численные методы. -М. : Наука, 1987. 2. Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование. -М.: Высшая школа, 1990. 3. Демидович Б.П. , Марон И.А. Основы вычислительной математики. -М. : Наука, 1970. 4. Войцехівський, І.П. Гаврилюк та ін. – К.: Вища шк., 1995, 303 с. 5. Воробьева Г.Н. , Данилова А.Н. Практикум по вычислительной математике. -М. : Высшая школа, 1990, 208. 6. Гаврилюк І.П., Макаров В.Л. Методи обчислень: Підручник: У 2ч. – К.: Вища шк., 1995. – Ч.1., 367 с. 7. Гаврилюк І.П., Макаров В.Л. Методи обчислень: Підручник: У 2ч. – К.: Вища шк., 1995. – Ч.2., 431 с. 8. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на Фортране. - М.: Мир, 1977. |