МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
ТАВРИЧЕСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
им. В.И. ВЕРНАДСКОГО
ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ
КАФЕДРА АЛГЕБРЫ И ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
*-АЛГЕБРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
Дипломная работа специалиста
студент 5 курса специальности математика
_________________________________
НАУЧНЫЕ РУКОВОДИТЕЛИ:
ассистент каф. алгебры и функционального анализа
_________________________________
профессор, доктор физико-математических наук
_________________________________
РЕШЕНИЕ О ДОПУСКЕ К ЗАЩИТЕ:
зав. кафедрой, профессор, д.ф.м.н.
_________________________________
|
СИМФЕРОПОЛЬ
2003
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
……………………………………………………………………………..4
Глава
I
. Основные понятия и определения
…………………………………….6
§ 1.
* - алгебры
……………………………………………………………………...6
1.1. Определение * - алгебры……………………………………………………….6
1.2. Примеры…………………………………………………………………………7
1.3. Алгебры с единицей…………………………………………………………….7
1.4. Простейшие свойства * - алгебр……………………………………………….9
1.5. Гомоморфизм и изоморфизм алгебр…………………………………………11
§ 2. Представления
……………………………………………………………….13
2.1. Определение и простейшие свойства представлений……………………….13
2.2. Прямая сумма представлений ………………………………………………..15
2.3. Неприводимые представления………………………………………………..16
2.4. Конечномерные представления……………………………………………….19
2.5. Интегрирование и дезинтегрирование представлений ……………………..20
§ 3. Тензорные произведения
……………………………………………………26
3.1. Тензорные произведения пространств……………………………………….26
3.2. Тензорные произведения операторов………………………………………..28
Глава
II
. Задача о двух ортопроекторах
………………………………………..31
§ 1. Два ортопроектора в унитарном пространстве
…………………………..31
1.1. Постановка задачи……………………………………………………………..31
1.2. Одномерные *-представления *-алгебры P
2
……………………………….31
1.3. Двумерные *-представления *-алгебры P
2
……………………………….32
1.4. n-мерные *-представления *-алгебры P
2
…………………………………35
1.5. Спектральная теорема…………………………………………………………37
§ 2. Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве
……39
2.1. Неприводимые *-представления *-алгебры P
2
…………………………...39
2.2. Спектральная теорема…………………………………………………………41
Глава
III
. Спектр суммы двух ортопроекторов
……………………………...45
§ 1. Спектр суммы двух ортопроекторов в унитарном пространстве
……...45
1.1. Спектр ортопроектора в гильбертовом пространстве……………………….45
1.2. Постановка задачи……………………………………………………………..45
1.3. Спектр в одномерном пространстве………………………………………….45
1.4. Спектр в двумерном пространстве……………………………………….…..46
1.5. Спектр в n-мерном пространстве……………………………………………..47
1.6. Линейная комбинация ортопроекторов………………………………………49
§ 2. Спектр суммы двух ортопроекторов в сепарабельном
гильбертовом пространстве
…………………………………………………….52
2.1. Спектр оператора А = Р1
+Р2
…………………………………………………52
2.2. Спектр линейной комбинации А = а
Р1
+ b
Р2
(0<а<
b
)
……………………..53
Заключение
………………………………………………………………………..55
Литература
………………………………………………………………………..56
ВВЕДЕНИЕ
Пусть Н
– гильбертово пространство, L
(Н)
– множество непрерывных линейных операторов в Н
. Рассмотрим подмножество А
в L
(Н)
, сохраняющееся при сложении, умножении, умножении на скаляры и сопряжении. Тогда А
– операторная *-алгебра. Если дана абстрактная *-алгебра А
, то одна из основных задач теории линейных представлений (*-гомоморфизмов А
в L
(Н)
) – перечислить все ее неприводимые представления (с точностью до эквивалентности).
Теория унитарных представлений групп восходит к XIX веку и связана с именами Г.Фробениуса, И.Шура, В.Бернсайда, Ф.Э. Молина и др. В связи с предложениями к квантовой физике теория унитарных представлений топологических групп, групп Ли, С
*-алгебр была разработана И.М.Гельфандом, М.А. Наймарком, И.Сигалом, Ж.Диксмье, А.А. Кирилловым и др. в 60-70-х годах XX века. В дальнейшем интенсивно развивается теория представлений *-алгебр, заданных образующими и соотношениями.
Дипломная работа посвящена развитию теории представлений (конечномерных и бесконечномерных) *-алгебр, порожденных двумя проекторами.
Глава I в краткой форме содержит необходимые для дальнейшего сведения из теории представлений и функционального анализа. В §1 дано определение *-алгебры и приведены простейшие свойства этих алгебр. В §2 излагаются основные свойства представлений, вводятся следующие понятия: неприводимость, эквивалентность, прямая сумма, интегрирование и дезинтегрирование представлений. В §3 определяются тензорные произведения пространств, тензорные произведения операторов и др. (см. [2], [3], [4], [8], [9])
В Главе II изучаются представления *-алгебры P
2
P
2
= С
<
p
1
,
p
2
|
p
1
2
=
p
1
* =
p
1
,
p
2
2
=
p
2
* =
p
2
>
,
порожденной двумя самосопряженными идемпотентами, то есть проекторами (см., например, [12]). Найдены все неприводимые *-представления *-алгебры P
2
, с точностью до эквивалентности., доказаны соответствующие спектральные теоремы.
В §1 рассматриваются только конечномерные *-представления π в унитарном пространстве Н
. Описаны все неприводимые и неэквивалентные *-представления *-алгебры P
2
. Неприводимые *-представления P
2
одномерны и двумерны:
4 одномерных: π0,0
(
p
1
) = 0,
π0,0
(
p
2
) = 0;
π0,1
(
p
1
) = 0,
π0,1
(
p
2
) = 1;
π1,0
(
p
1
) = 1,
π1,0
(
p
2
) = 0;
π1,1
(
p
1
) = 1,
π1,1
(
p
2
) = 1.
И двумерные:
,
τ
(0, 1).
Доказана спектральная теорема о разложении пространства Н
в ортогональную сумму инвариантных относительно π подпространств Н
, а также получено разложение π на неприводимые *-представления. Результаты §1 относятся к математическому фольклору.
В §2 получены основные результаты работы. Для пары проекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве Н
приведено описание всех неприводимых представлений, доказана спектральная теорема.
В Главе III спектральная теорема для пары проекторов Р1,
Р2
,
применяется к изучению сумм Р1
+Р2
, аР1
+
b
Р2
(0 <
a
<
b
).
Получены необходимое и достаточное условие на самосопряженный оператор А
для того чтобы А
= Р1
+Р2
или А
= аР1
+
b
Р2
, 0 <
a
<
b
,
(этот частный случай задачи Г.Вейля (1912 г.) о спектре суммы пары самосопряженных операторов).
Глава
I
. Основные понятия и определения
§ 1.
- алгебры
1.1.
Определение
- алгебры.
Определение 1.1.
Совокупность А
элементов x
,
y
,
… называется алгеб- рой, если:
1) А
есть линейное пространство;
2) в А
введена операция умножения (вообще некоммутативного), удовлет- воряющая следующим условиям:
α
(x y) = (
α
x) y,
x (
α
y) =
α
(x y),
(x y) z = x (y z),
(x + y) = xz +xy,
x
(
y
+
z
) =
xy
+
xz
для любых x
,
y
,
z
А
и любых чисел α.
Два элемента x
,
y
алгебры А
называются перестановочными, если xy
=
yx
. Алгебра А
называется коммутативной, если все ее элементы попарно пере- становочны.
Определение 1.2.
Пусть А
– алгебра над полем С
комплексных чисел. Инволюцией в А
называется такое отображение x
→
x
*
алгебры А
в А
, что
(i)
(x*)* = x;
(ii)
(x + y)* = x* + y*;
(iii)
(
α
x)* =
x*;
(iv) (
x
y
)* =
y
*
x
*
для любых x
,
y
С
.
Алгебра над С
, снабженная инволюцией, называется инволютивной алгеброй или *- алгеброй. Элемент х*
называют сопряженным к х
. Подмножество А
, сохраняющееся при инволюции, называется само- сопряженным.
Из свойства (
i
)
следует, что инволюция в А
необходимо является биекцией А
на А
.
1.2. Примеры
1) На А
= С
отображение z
→
(комплексное число, сопряженное к z
) есть инволюция, превращающая С
в коммутативную *- алгебру.
2) Пусть Т
– локально компактное пространство, А
= С(Т)
– алгебра непре- рывных комплексных функций на Т
, стремящихся к нулю на бесконечности (то есть для любого ε > 0
множество {t
T
: |f
(
t
)
|
ε} компактно, f
(
t
)
А
. Снабжая А
отображением f
→
получаем коммутативную *- алгебру. Если Т
сводится к одной точке, то возвращаемся к примеру 1).
3) Пусть Н
– гильбертово пространство. А =
L
(
H
)
– алгебра ограниченных линейных операторов в Н
. Зададим инволюцию как переход к сопряженному оператору. Тогда А
- *- алгебра.
4) Обозначим через К(Н)
совокупность всех компактных операторов в гильбертовом пространстве Н
; операции сложения, умножения на число и умножения определим как соответствующие действия с операторами. Тогда К(Н)
будет *- алгеброй, если ввести инволюцию А
→А*
(А
К(Н))
. Алгебра К(Н)
в случае бесконечного Н
есть алгебра без единицы. Действительно, если единичный оператор I
принадлежит К(Н)
, то он переводит открытый единичный шар S
H
в себя. Значит I
не может быть компактным оператором.
5) Обозначим через W
совокупность всех абсолютно сходящихся рядов
.
Алгебра W
есть *- алгебра, если положить
. (
)
1.3. Алгебры с единицей
Определение 1.3
. Алгебра А
называется алгеброй с единицей, если А
содержит элемент е
, удовлетворяющий условию
ех = хе = х
для всех х
А
(1.1.)
Элемент е
называют единицей алгебры А
.
Теорема 1.1.
Алгебра А
не может иметь больше одной единицы.
Доказательство. Действительно, если е΄
- также единица в А
, то
е΄х = хе΄ = х
, для всех х
А
(1.2.)
Полагая в (1.1.) х = е΄
, а в (1.2.) х = е
, получим:
ее΄ = е΄е = е΄
и е΄е = ее΄ =е
, следовательно е΄ = е
.
Теорема 1.2.
Всякую алгебру А
без единицы можно рассматривать как подалгебру некоторой алгебры А΄
с единицей.
Доказательство. Искомая алгебра должна содержать все суммы х΄=αе + х
, х
А
; с другой стороны, совокупность всех таких сумм образует алгебру А΄
, в которой основные операции определяются формулами:
β(αе + х) = βαе + βх, (α1
е + х1
) + (α2
е + х2
) = (α1
+ α2
)е + (х1
+ х2
),
(α1
е + х1
)(α2
е+ х2
)=α1
α2
е +α1
х2
+α2
х1
+ х1
х2
(1.3.)
Каждый элемент х΄
из А΄
представляется единственным образом в виде
х΄ = αе + х, х
А
, так как по условию А
не содержит единицы. Поэтому А΄
можно реализовать как совокупность всех формальных сумм х΄ = αе + х, х
А
, в которой основные операции определяются формулами (1.3.); сама алгебра А
получится при α = 0
.
Алгебру А΄
можно также реализовать как совокупность всех пар (α, х), х
А
, в которой основные операции определяются по формулам:
β (α, х) = (βα, βх), (α1
,х1
) + (α2
, х2
) = (α1
+ α2
, х1
+ х2
),
(α1
,х1
)(α2
, х2
) = (α1
α2
, α1
х2
+ α2
х1
+ х1
х2
),
(1.4.)
аналогично тому, как определяются комплексные числа. Саму алгебру А
можно тогда рассматривать как совокупность всех пар (0, х), х
А
и не делать различия между х
и (0, х).
Полагая е = (0, х)
, мы получим:
(α, х) = α(1, 0) + (0, х) = αе + х,
так что вторая реализация алгебры А΄
равносильна первой.
Переход от А
к А΄
называется присоединением единицы.
Определение 1.4.
Элемент y
называется левым обратным элемента х
, если xy
=
e
. Элемент z
называется правым обратным элемента х
, если xz
=
e
.
Если элемент х
имеет и левый, и правый обратные, то все левые и правые обратные элемента х
совпадают. Действительно, умножая обе части равенства yx
=
e
справа на z
, получим
z = (yx)z = y(xz) = ye
,
В этом случае говорят, что существует обратный х-1
элемента х
.
1.4. Простейшие свойства
- алгебр
Определение 1.5.
Элемент х
*-алгебры А
называется эрмитовым или самосопряженным, если х* = х
, нормальным, если хх* = х*х
. Идемпотентный эрмитов элемент называется проектором. Элемент алгебры называется идемпотентным, если все его (натуральные) степени совпадают.
Каждый эрмитов элемент нормален. Множество эрмитовых элементов есть вещественное векторное подпространство А
. Если х
и y
эрмитовы, то (
xy
)*=
y
*
x
* =
yx
; следовательно, xy
эрмитов, если x
и y
перестановочны. Для каждого х
А
элементы хх*
и х*х
эрмитовы. Но, вообще говоря, эрмитов элемент не всегда представим в этом виде, как показывает пример 1 из пункта 1.2. Действительно, для любого z
C
, но если z
действительно отрицательное число, то его нельзя представить в виде
.
Теорема 1.3.
Всякий элемент х
*-алгебры А
можно представить, и притом единственным образом, в виде х = х1
+
i
х2
, где х1
, х2
– эрмитовы элементы.
Доказательство. Если такое представление имеет место, то х* = х1
+
i
х2
, следовательно:
,
(1.5.)
Таким образом, это представление единственно. Обратно, элементы х1
, х2
, определенные равенством (1.5.), эрмитовы и х = х1
+
i
х2
.
Эти элементы х1
, х2
называются эрмитовыми компонентами элемента х
.
Заметим, что хх* = х1
2
+ х2
2
+
i
(х2
х1
– х1
х2
)
,
хх* = х1
2
+ х22 -
i
(х2
х1 – х1х2)
так что х
нормален тогда и только тогда, когда х1
и х2
перестановочны.
Так как е*е = е*
есть эрмитов элемент, то е* = е
, то есть единица эрмитов элемент.
Если А
- *-алгебра без единицы, а А΄
- алгебра, полученная из А
присоединением единицы, то, положив
при х
А
, мы определим инволюцию в А΄
, удовлетворяющую всем требованиям определения 2. Так что А΄
станет *-алгеброй. Говорят, что А΄
есть *-алгебра, полученная из А
присоединением единицы.
Теорема 1.4.
Если х-1
существует, то (х*)-1
также существует и
(х*)-1
= (х-1
)*
Доказательство. Применяя операцию * к обеим частям соотношения
х-1
х = хх-1
= е,
получим х*
(х-1
)*= (х*)-1
х*=е.
Но это означает, что (х-1
)* есть обратный к х*
.
Подалгебра А1
алгебры А
называется *-подалгеброй, если из х
А1
следует, что х*
А1
.
Непустое пересечение *-подалгебр есть также *-подалгебра. В частности, пересечение всех *-поалгебр, содержащих данное множество S
А
, есть минимальная *-подалгебра, содержащая S
.
Коммутативная *-алгебра называется максимальной, если она не содержится ни в какой другой коммутативной *-подалгебре.
Теорема 1.5.
Если В
– максимальная коммутативная *-подалгебра, содержащая нормальный элемент х
, и если х-1
существует, то х-1
В
.
Доказательство. Так как х
т х*
перестановочны со всеми элементами из В
, то этим же свойством обладают х-1
и (х*)-1
= (х-1
)*. В силу максимальности В
отсюда следует, что х-1
В
.
Определение 1.6.
Элемент х
А -
*-алгебры называется унитарным, если хх* = х*х = е
, иначе говоря, если х
обратим и х = (х*)-1
.
В примере 1 п.1.2. унитарные элементы – комплексные числа с модулем, равным 1.
Унитарные элементы А
образуют группу по умножению – унитарную группу А
. Действительно, если x
и y
– унитарные элементы *-алгебры А
, то
((х
y
)*)-1
= (у*х*)-1
=(х*)-1
(y
*)-1
= xy
,
поэтому xy
унитарен, и так как ((х-1
)*)-1
= ((х*)-1
)-1
= х-1
, то х-1
унитарен.
1.5. Гомоморфизм и изоморфизм алгебр
Определение 1.7.
Пусть А
и В
– две *-алгебры. Назовем гомоморфизмом (*-гомоморфизмом) А
в В
такое отображение f
множества А
в В
, что
f (x + y) = f (x) + f (y),
f (αx) = α f (x),
f (xy) = f (x) f (y),
f (x*) = f (x)*
для любых х,
y
А
, α
С
. Если отображение f
биективно, то f
называют изоморфизмом (*-изоморфизмом).
Определение 1.8.
Совокупность I
элементов алгебры А
называется левым идеалом, если:
(i) I
≠ A
;
(ii) Из х,
y
I
следует x
+
y
I
;
(iii) Из х
I
, аα
А
следует αх
I
.
Если I
= А
, то I
называют несобственным идеалом.
Аналогично определяется и правый идеал. Идеал, являющийся одновременно и левым, и правым, называется двусторонним.
Всякий идеал автоматически оказывается алгеброй.
Пусть I
– двусторонний идеал в алгебре А
. Два элемента х,
y
из А
назовем эквивалентными относительно идеала I
, если х-
y
I
. Тогда вся алгебра А
разбивается на классы эквивалентных между собой элементов. Обозначим через А
совокупность всех этих классов. Введем в А1
операции сложения, умножения на число и умножения, производя эти действия над представителями классов. Так как I
– двусторонний идеал, то результат операций не зависит от выбора этих представителей.
Следовательно, А1
становится алгеброй. Эта алгебра называется фактор-алгеброй алгебры А
по идеалу I
и обозначается A
/
I
.
*-гомоморфизм алгебр описывается при помощи так называемых самосопряженных двусторонних идеалов.
Определение 1.9.
Идеал I
(левый, правый или двусторонний) называется самосопряженным, если из х
I
следует х*
I
.
Самосопряженный идеал автоматически является двусторонним. Действительно, отображение х → х*
переводит левый идеал в правый и правый идеал в левый; если поэтому отображение х → х*
переводит I
в I
, то I
есть одновременно и левый и правый идеал.
В фактор-алгебре A
/
I
по самосопряженному двустороннему идеалу I
можно определить инволюцию следующим образом. Если х-
y
I
, то х*-
y
*
I
. Поэтому при переходе от х
к х*
каждый класс вычетов х
по идеалу I
переходит в некоторый другой класс вычетов по I
. Все условия из определения 1.2. выполнены; следовательно, A
/
I
есть *-алгебра.
Если х → х΄
есть *-гомоморфизм А
на А΄
, то полный прообраз I
нуля (то есть ядро данного гомоморфизма) есть самосопряженный двусторонний идеал в А
. Фактор-алгебра A
/
I
*-изоморфна *-алгебре А΄
.
Обратно, отображение х → [х]
каждого элемента х
А
в содержащий его класс вычетов по I
есть *-гомоморфизм алгебра А
на A
/
I
.
§ 2. Представления
2.1. Определения и простейшие свойства представлений.
Определение 2.1.
Пусть А
- *-алгебра, Н
– гильбертово пространство. Представлением А
в Н
называется *-гомоморфизм *-алгебры А
в *-алгебру ограниченных линейных операторов L
(
H
)
.
Иначе говоря, представление *-алгебры А
в Н
есть такое отображение из А
в L
(
H
)
, что
π (
x
+
y
) =
π(
x
)
+ π(
y
)
, π (α
x
)
= απ(
x
)
,
π (
xy
) =
π(
x
)
π(
y
)
, π (
x
*)
= π (
x
)*
для любых х,
y
А
и α
С
.
Размерность гильбертова пространства Н
называется размеренностью π и обозначается dimπ. Пространство Н
называется пространством представления π.
Определение 2.2.
Два представления π1
и π2
инволютивной алгебры А
в Н1
и Н2
соответственно, эквивалентны (или унитарно эквивалентны), если существует унитарный оператор U
, действующий из гильбертова пространства Н1
в гильбертово пространство Н2
, переводящий π1
(х)
в π2
(х)
для любого х
А
, то есть
U
π1
(х)
= π2
(х)
U
для всех х
А.
Определение 2.3. Представление π называется циклическим, если в пространстве Н
существует вектор f
такой, что множество всех векторов π(х)
f
(для всех х
А
) плотно в Н
. Вектор f
называют циклическим (или тотализирующим) для представления π.
Определение 2.4.
Подпространство Н1
Н
называется инвариантным, относительно представления π, если π (А
)Н1
Н1
.
Если Н1
инвариантное подпространство, то все операторы π(х)
(х
А
) можно рассматривать как операторы Н1
. Сужения π(х)
на Н1
определяют подпредставления π1
*-алгебры А
в Н1
.
Теорема 2.1.
Если Н1
инвариантное подпространство Н
, то его ортогональное дополнение также инвариантно.
Доказательство. Пусть f
ортогонален к Н1
, то есть (
f
,
g
) = 0
для всех g
Н1
. Тогда для любого х
А
(π(х)
f
,
g
) = (f
, π(х)
*g
) = (f
, π(х*)
g
) =
0
, так как π(х*)
g
Н1
. Следовательно, вектор π(х)
f
также ортогонален к Н1
.
Обозначим через Р1
оператор проектирования в Н
на подпространство Н1
Н1
.
Теорема 2.2.
Н1
– инвариантное подпространство тогда и только тогда, когда все операторы представления перестановочны с оператором проектирования Р1
на Н1
.
Доказательство. Пусть Н1
– инвариантное подпространство и f
Н1
, но также π(х)
f
Н1
. Отсюда для любого вектора f
Н
π(х)
Р1
f
Н1
следовательно, Р1
π(х)
Р1
f
= π(х)
Р1
f
,
то есть Р1
π(х)
Р1
= π(х)
Р1
.
Применяя операцию инволюции к обеим частям этого равенства и подставляя затем х*
вместо х
, получаем, что также
Р1
π(х)
Р1
= Р1
π(х)
.
Следовательно, Р1
π(х) =
π(х)
Р1
; операторы Р1
и π(х)
коммутируют.
Обратно, если эти операторы перестановочны, то для f
Н1
Р1
π(х)
f =
π(х)
Р1
f =
π(х)
f
;
Следовательно, также π(х)
f
Н1
. Это означает, что Н1
– инвариантное подпространство.
Теорема 2.3.
Замкнутая линейная оболочка К
инвариантных подпрост- ранств есть также инвариантное подпространство.
Доказательство. Всякий элемент g
из К
есть предел конечных сумм вида
h
= f
1
+ … +
fn
, где f
1
, …
,fn
– векторы исходных подпространств. С другой стороны, π(х)
h
=
π(х)
f
1
+…+ π(х)
fn
есть сумма того же вида и имеет своим пределом π(х)
g
.
2.2. Прямая сумма представлений.
Пусть I
– произвольное множество. Пусть (πi
)
i
I
- семейство представлений *-алгебры А
в гильбертовом пространстве Н
i
(i
I
). Пусть
|| πi
(
х)
|| ≤ сх
где сх
– положительная константа, не зависящая от i
.
Обозначим через Н
прямую сумму пространств Н
i
, то есть Н =
Н
i
.
В силу (2.1.) можно образовать непрерывный линейный оператор π(х)
в Н
, который индуцирует πi
(х)
в каждом Н
i
. Тогда отображение х →
π(х)
есть представление А
в Н
, называемое прямой суммой представлений πi
и обозначаемое
πi
или π1
…..
πn
в случае конечного семейства представлений (π1
…..πn
). Если (πi
)
i
I
–
семейство представлений *-алгебры А
, совпадающих с представлением π, и если CardI
= c
, то представления
πi
обозначается через с
π. Всякое представление, эквивалентное представлению этого типа, называется кратным π.
Для доказательства следующего понадобится лемма Цорна. Напомним ее.
Лемма Цорна. Если в частично упорядоченном подмножестве Х
всякое линейно упорядоченное подмножество имеет в Х
верхнюю грань, то Х
содержит максимальный элемент.
Теорема 2.4.
Всякое представление есть прямая сумма цикличных представлений.
Доказательство. Пусть f
0
≠ 0
– какой-либо вектор из Н
. Рассмотрим совокупность всех векторов π(х)
f
0
, где х пробегает всю *-алгебру А
. Замыкание этой совокупности обозначим через Н1
. Тогда Н1
– инвариантное подпространство, в котором f
0
есть циклический вектор. Другими словами, Н1
есть циклическое подпространство представления π.
Если Н1
= H
, то предложение доказано; в противном случае H
-Н1
есть отличное от {0} инвариантное подпространство. Применяя к нему тот же прием, мы выделим циклическое подпространство Н2
ортогональное Н1
.
Обозначим через М
совокупность всех систем {Н
α
}, состоящих из взаимно ортогональных циклических подпространств представления; одной из таких систем является построенная выше система {Н1
, Н2
}. Упорядоченная при помощи соотношения включения совокупность М
образует частично упорядоченное множество, удовлетворяющее условиям леммы Цорна; именно, верхней гранью линейно упорядоченного множества систем {Н
α
}
М
будет объединение этих систем. Поэтому в М
существует максимальная система {Н
α
}. Но тогда Н=
Н
α
; в противном случае в инвариантном подпространстве Н
-(
Н
α
) существовало бы отличное от {0} циклическое подпространство Н0
и мы получили бы систему {Н
α
}
Н0
М
, содержащую максимальную систему {Н
α
}, что невозможно.
2.3. Неприводимые представления.
Определение 2.5.
Представление называется неприводимым, если в пространстве Н
не существует инвариантного подпространства, отличного от {0} и всего Н
.
Согласно теореме 2.2. это означает, что всякий оператор проектирования, перестановочный со всеми операторами представления, равен 0 или 1.
Всякое представление в одномерном пространстве неприводимо.
Теорема 2.5.
Представление π в пространстве Н
неприводимо тогда и только тогда, когда всякий отличный от нуля вектор пространства Н
есть циклический вектор этого представления.
Доказательство. Пусть представление π неприводимо. Приf
Н
, f
≠ 0
, подпространство, натянутое на векторы π(х)
f
, х
А
, есть инвариантное подпространство; в силу неприводимости представления оно совпадает с {0} или Н
. Но первый случай невозможен, ибо тогда одномерное пространство
{αf
| α
C
} инвариантно и потому совпадает с Н
, то есть π(х)=0
в Н
. Во втором же случае f
есть циклический вектор.
Обратно, если представление π приводимо и К
– отличное от {0} и Н
инвариантное подпространство в Н
, то никакой вектор f
из К
не будет циклическим для представления π в Н
.
Теорема 2.6.
(И.Шур) Представление π неприводимо тогда и только тогда, когда коммутант π (А
) в L
(
H
)
сводится к скалярам (то есть операторам кратным единичному).
Доказательство. Пусть представление π неприводимо и пусть ограни- ченный оператор В перестановочен со всеми операторами π(х)
. Предположим сначала, что В – эрмитов оператор; обозначим через E(λ) спектральные проекторы оператора В. Тогда при любом λ оператор E(λ) перестановочен со всеми операторами π(х)
; в виду неприводимости представления E(λ) =0 или E(λ) =1, так как (E(λ) f,
f
) не убывает при возрастании λ, то отсюда следует, что существует λ0
такое, что E(λ) =0 при λ<λ0
и E(λ) =1 при λ>λ0
. Отсюда
В=
λ dE(λ) = λ0
1.
Пусть теперь В – произвольный ограниченный оператор, переста- новочный со всеми операторами π(х)
. Тогда В* также перестановочен со всеми операторами π(х)
. Действительно,
В*π(х)
= (π(х*)
В)* = (Вπ(х*))* =
π(х)
В*
Поэтому эрмитовы операторы В1
=
, В2
=
также перестановочны со всеми операторами π
(х)
и, следовательно, кратны единице. Но тогда и оператор В = В1
+i
В2
кратен единице, то есть В – скаляр.
Обратно, пусть всякий ограниченный оператор, перестановочный со всеми операторами π(х)
, кратен единице. Тогда, в частности, всякий оператор проектирования, перестановочный со всеми операторами π(х)
кратен единице. Но оператор проектирования может быть кратным единице только тогда, когда он равен 0 или 1. Следовательно, представление неприводимо.
Определение 2.6
Всякий линейный оператор Т : Н →
Н΄
такой, что Т
π(х)=
π΄
(х)
Т
для любого х
А
, называется оператором сплетающим π и π΄
.
Пусть Т : Н →
Н΄
- оператор, сплетающий π и π΄
. Тогда Т
* : Н΄ →
Н
является оператором, сплетающим π΄
иπ, так как
Т
*π΄
(х)
= (π΄
(х)
Т
)* = (Т
π
(х*)
)* = π(х)
Т
*
Отсюда получаем, что
Т
* Т
π(х)=
Т
*π΄
(х)
Т
= π(х)
Т
*Т
(2.1.)
Поэтому |
T
|
= (T
*T
)1/2
перестановочен с π(
А
)
. Пусть Т
= U
|
T
|
- полярное разложение Т
. Тогда для любого х
А
U
π(х)
|
T
|
= U
|
T
|
π(х)
= Т
π(х)
= π΄
(х)
Т=
π΄
(х)
U
|
T
|
(2.2.)
Если KerT
={0}, то |
T
|
(Н)
всюду плотно в Н
и из (2.2.) следует
U
π(х)
= π΄
(х)
U
(2.3.)
Если, кроме того,
= Н΄
, то есть если KerT
*={0}, то U
является изоморфизмом Н
и Н΄
и (2.3.) доказывает что π и π΄
эквивалентны.
Пусть π и π΄
- неприводимые представления *-алгебры А
в гильбертовых пространствах Н
и Н΄
соответственно. Допустим, что существует ненулевой сплетающий оператор Т : Н →
Н΄
. Тогда из (2.1.) и теоремы 2.6. следует, что Т
*Т
и ТТ
* - скалярны (≠0) и π, π΄
эквивалентны.
2.4. Конечномерные представления.
Теорема 2.7.
Пусть π – конечномерное представление *-алгебры А
. Тогда π = π1
…..
πn
, где πi
неприводимы.
Доказательство. Если dimπ = 0 (n=0), то все доказано. Предположим, что dimπ = q
и что наше предложение доказано при dimπ<
q
. Если π неприводимо, то предложение снова доказано. В противном случае π = π΄
π΄΄
, причем dimπ΄<q
, dimπ΄΄
<q
, и достаточно применить предположение индукции.
Разложение π = π1
…..
πn
не единственно. Тем не менее, мы получим некоторую теорему единственности.
Пусть ρ1
, ρ2
– два неприводимых подпредставления π. Им отвечают инвариантные подпространства Н1
и Н2
. Пусть Р1
и Р2
– проекторы Н
на Н1
и Н2
. Они коммутируют с π(А
). Поэтому ограничение Р2
на Н1
есть оператор, сплетающий ρ1
и ρ2
. Следовательно, если Н1
и Н2
не ортогональны, то из пункта 2.3. следует, что ρ1
и ρ2
эквивалентны. Это доказывает, что любое неприводимое подпредставление π эквивалентно одному из πi
. Итак, перегруп- пировав πi
, получаем, что π = ν
1
…..
ν
m
, где каждоеν
i
есть кратное ρ
i
ν
i
΄
неприводимого представления ν
i
΄
, и ν
i
΄
попарно эквивалентны. Если ρ
– неприводимое представление π, то предыдущее рассуждение показывает, что соответствующее инвариантное подпространство Н΄
ортогонально всем инвариантным подпространствам Н
i
, отвечающих ν
i
, кроме одного. Поэтому Н΄
содержится в одном из Н
i
. Это доказывает, что каждое пространство Н
i
определяется однозначно: Н
i
– это подпространство Н
, порожденное пространствами подпредставлений π, эквивалентных ν
i
΄
. Таким образом, доказано предложение.
Теорема 2.8.
В разложении π = ρ1
ν
1
΄
…..
ρm
ν
m
΄
представления π, (где ν
1
΄
,…, ν
m
΄
неприводимы и неэквивалентны) целые числа ρ
i
и классы представлений ν
i
΄
определяются единственным образом, как и пространства представлений.
2.5. Интегрирование и дезинтегрирование представлений.
Напомним определение борелевского пространства.
Определение 2.7.
Борелевским пространством называется множество Т
, снабженное множеством В
подмножеств Т
, обладающим следующими свойствами: Т
В
, Ø
В
, В инвариантно относительно счетного объединения, счетного пересечения и перехода к дополнению.
Определение 2.8.
Пусть Т1
, Т2
– борелевские пространства. Отображение f
:
Т1
→
Т2
называется борелевским, если полный прообраз относительно f
любого множества в Т2
есть борелевское множество в Т1
.
Дадим несколько вспомогательных определений и утверждений.
Пусть Т
– борелевское пространство и μ
– положительная мера на Т
.
Определение 2.9.
μ
– измеримое поле гильбертовых пространств на Т
есть пара ε= ((H
(t
))t
T
, Г
), где (H
(t
))t
T
– семейство гильбертовых пространств, индексы которых пробегают Т
, а Г
– множество векторных полей, удовлетворяющее следующим условиям:
(i
) Г
– векторное подпространство
Н
(t
);
(ii)
существует последовательность (х1
, х2
,…) элементов Г
таких, что для любого t
T
элементы х
n
(
t
)
образуют последовательность H
(t
);
(iii)
для любого х
Г
функция t
→
||x
(
t
)
|| μ
– измерима;
(iv)
пусть х
– векторное поле; если для любого y
Г
функция t
→
(x
(
t
)
, y
(
t
)
) μ
– измерима, то х
Г
.
Пусть ε= ((H
(t
))t
T
, Г
) μ
– измеримое поле гильбертовых пространств на Т
. Векторное поле х
называется полем с интегрируемым квадратом, если х
Г
и
||x(
t)
||2
dμ(
t) < +
∞.
Если х
, y
– с интегрируемым квадратом, то х+
y
и λх
(λ
С
) – тоже и функция t
→(
x
(
t
),
y
(
t
))
интегрируема; положим
(x, y)
=
(x(t), y(t)
) d
μ
(t)
Тогда векторные поля с интегрируемым квадратом образуют гильбертово пространство Н
, называемое прямым интегралом Н
(
t
)
и обозначаемое
x
(
t
)
d
μ(
t
)
.
Определение 2.10.
Пусть ε= ((H
(t
))t
T
, Г
)– измеримое поле гильбер- товых пространств на Т
. Пусть для любого t
T
определен оператор S
(
t
)
L
(H
(
t
)
). Если для любого х
T
поле t
→
S
(
t
)
x
(
t
)
измеримо, то t
→
S
(
t
)
называется измеримым операторным полем.
Пусть Т
– борелевское пространство, μ
- положительная мера на Т
, t
→
Н
(
t
)
- μ
- измеримое поле гильбертовых пространств на Т
. Пусть для каждого t
T
задано представление π(
t
)
*-алгебры А
в Н
(
t
)
: говорят, что t
→
π(
t
)
есть поле представлений А
.
Определение 2.11.
Поле представлений t
→
π(
t
)
называется измеримым, если для каждого х
А
поле операторов t
→
π(
t
)х
измеримо.
Если поле представлений t
→
π(
t
)
измеримо, то для каждого х
А
можно образовать непрерывный оператор π(х)
=
π(
t
) (
x
)
d
μ(
t
)
в гильбертовом прост- ранстве Н
=
Н
(
t
)
dμ(
t
)
.
Теорема 2.9.
Отображение х→
π(х)
есть представление А
в Н
.
Доказательство. Для любых х,
y
А
имеем
π(х+
y
)
=
π(t) (x+y) dμ(
t
) =
(π(t) (x) +
π(t) (y)
) dμ(
t
) =
π(t) (x )dμ(
t
) +
+
π(
t
) (
y
)
d
μ(
t
) =
π(х) +
π(
y
)
Аналогично π(
λх) =
λπ(х),
π(х
y
)
= π(х)
π(
y
)
, π(х*)=
π(х)*
Определение 2.12.
В предыдущих обозначениях π называется прямым интегралом π(
t
)
и обозначается π=
π(t) dμ(
t
)
.
Определение 2.13.
Операторное поле t
→φ(
t
)
I
(
t
)
L
(
H
(
t
)
)
где I
(
t
)
-единичный оператор в H
(
t
)
, называется диагональным оператором в Н
=
Н
(
t
)dμ(
t
)
.
Пусть ε= ((H
(t
))t
T
, Г
) – μ
-измеримое поле гильбертовых пространств на Т
, μ
1
– мера на Т
, эквивалентная μ
(то есть каждая из мер μ
1
, μ
абсолютно непрерывна по другой), и ρ(
t)=
. Тогда отображение, которое каждому х
Н
==
Н
(
t)dμ(
t)
составляет поле t→ρ(
t)
-1/2
х(
t)
Н1
=
Н
(
t) dμ1
(
t)
,
есть изометрический изоморфизм Н
на Н1
, называемый каноническим.
Действительно,
||
ρ(
t
)
-1/2
х(
t
)dμ1
(
t
)
||2
=
||х(
t
)
||2
ρ(
t
)
-1
dμ1
(
t
)
=
||х(
t
)
||2
dμ1
(
t
)
= ||х(
t
)
||2
Теорема 2.10.
Пусть Т
– борелевское пространство, μ
– мера на Т
, t
→
Н
(
t
)
– измеримое поле гильбертовых пространств на Т
, t
→
π(
t
)
– измеримое поле представлений А
в Н
(
t
)
,
Н
=
Н
(
t
) dμ(
t
)
, π1
==
π(t )dμ(
t
)
,
Д
– алгебра диагональных операторов в Н
. Пусть μ
1
– мера на Т
, эквивалентная μ
,
Н1
=
Н
(
t
) dμ1
(
t
)
, π1
=
π(t) dμ
1
(
t
)
,
Д1
– алгебра диагональных операторов в Н1
. Тогда канонический изоморфизм преобразует π в π1
и Д
в Д1
.
Доказательство. Пусть ρ(
t
)=
. Канонический изоморфизм из Н
в Н1
есть изометрический изоморфизм, который переводит х
=
x
(
t
)
d
μ(
t
)
Н
в
Ux
=
ρ
-1/2
х(
t
)
d
μ1
(
t
)
.
Пусть α
А
. Имеем
π1
(
α)Ux
=
π(t)(
α) ρ
-1/2
х(
t
)
d
μ1
(
t
)
= U
π(t)(
α) х(
t
)
d
μ(
t
)
= U
π(
α)x
,
поэтому и преобразуем π в π1
. Тогда если S
Д
, то аналогично SUx
= USx
, для любого х
Н
.
Определение 2.14.
Пусть Т
, Т1
– борелевские пространства; μ
, μ
1
– меры на Т
и Т1
соответственно; ε= ((H
(t
))t
T
, Г
), Z
1
= ((H
1
(t
1
))t
1
T
1
, Г
), - μ
-измеримое и μ
1
-измеримое поля гильбертовых пространств. Пусть η
: Т
→
Т1
– борелевский изоморфизм, переводящий μ
в μ
1
; η
-изоморфизм ε на ε1
называется семейство (V
(t
))t
T
, обладающееследующими свойствами:
(i) для любого t
T
отображение V
(
t
)
является изоморфизмом Н
(
t
)
на Н1
(η(
t
))
;
(ii) для того, чтобы поле векторов t
→
x
(
t
)
H
(
t
)
на Т
было μ
-измеримо, необходимо и достаточно, чтобы поле η(
t
)→
V
(t
)х(
t
)
Н1
(η(
t
))
на Т1
было μ
1
-измеримо.
Отображение, переводящее поле х
Н
=
Н
(
t) dμ(
t)
в поле η(
t))→
V
(t
)х(
t)
Н1
=
Н1
(
t) dμ
1
(
t)
, есть изоморфизм Н
на Н1
, обозначаемый
V
(
t) dμ(
t)
.
Теорема 2.11.
Пусть Т
– борелевское пространство; μ
– мера на Т
, t
→
H
(
t
)
– μ
- измеримое поле гильбертовых пространств на Т
, t
→
π(
t
)
- μ
- измеримое поле представлений А
в H
(
t
)
,
Н
=
Н
(
t
) dμ(
t
)
, π ==
π(t) dμ(
t
)
,
Д
– алгебра диагональных операторов в Н
. Определим аналогичным образом Т1
, μ
1
, t
1
→
H
1
(
t
1
),
t
1
→
π1
(
t
1
)
, Н1
, π1
, Д1
.
Предположим, что существует:
1. N
, N
1
– борелевские подмножества Т
и Т1
, такие что μ
(N
) = μ
(N
1
) = 0;
2. борелевский изоморфизм η
: T
\
N
→
T
\
N
1
, преобразует μ
в μ
1
;
3. η
-изоморфизм t
→
V
(t
) поля t
→
Н
(t
) (t
Z
\
N
) на поле t
1
→
Н1
(t
1
) (t
1
Т1
\
N
1
) такой, что V
(t
) преобразует π(
t
)
в π1
(η(
t
))
для каждого t
.
Тогда V
=
V
(
t)dμ(
t)
преобразует Д
в Д1
и π в π1
.
Доказательство. Обозначим через I
t
, I
t
1
единичные операторы в Н
(t
) и Н1
(t
1
). Если f
L
∞
(T
, μ
) и если f
1
– функция на Т1
\
N
1
, получаемая из f
|(T
\
N
) при помощи η
, то V
преобразует
f
(
t
)
I
t
dμ(
t
)
в
f
1
(
t
1
)
I
t
1
dμ
1
(
t
1
)
, поэтому V
преоб- разует Д
в Д1
. С другой стороны, пусть α
А
и х
=
х(
t
) dμ(
t
)
Н
.
Тогда
V
π(
α)х
= V
π(t)(
α) х(
t
)
d
μ(
t
)
=
V
(η
-1
(t
1
))
π(η
-1
(t
1
))(
α) х(η
-1
(t
1
))
d
μ
1
(
t
1
)
=
π1
(t
1
)(
α) V
(η
-1
(t
1
))
х(η
-1
(t
1
))
d
μ
1
(
t
1
)
= π1
(
α) V
х
Поэтому V
преобразует π в π1
.
Приведем примеры прямых интегралов.
1. Пусть имеется последовательность гильбертовых пространств
и дискретная мера μ
на N
, то есть μ(
n
)
=1 для любого n
N
. Тогда
Н
(
n
)
d
μ(
n
)
=
Н
(
n
)
, то есть прямой интеграл сводится к ортогональ- ной сумме.
2. Пусть Т
=[0, 1] и в каждой точке t
Т
соответствует поле комплексных чисел С
, и на Т
задана линейная мера Лебега dt
. Тогда
С
dt
= L
2
(0, 1).
Изоморфизм устанавливается отображением х
=
х(
t)
dt
→х(
t)
L2
(0, 1).
Разложения представления на неприводимые представления в прямой интеграл называют дезинтегрированием.
§ 3. Тензорные произведения пространств
3.1. Тензорные произведения пространств.
Пусть
- конечная последовательность сепарабельных гильбертовых пространств,
- некоторый ортонормированный базис в Нк
.
Образуем формальное произведение
(3.1.)
α = (α1
,…, αn
)
(n
раз), то есть рассмотрим упорядо- ченную последовательность (
) и на формальные векторы (3.1.) натянем гильбертово пространство, считая, что они образуют его ортонормиро- ванный базис. Полученное сепарабельное гильбертово пространство называется тензорным произведением пространств Н1
,…, Н
n
и обозначается Н1
,…,
Н
n
=
. Его векторы имеют вид:
f
=
(f
α
C
), || f
||2
=
< ∞ (3.2.)
Пусть g
=
, тогда скалярное произведение опреде- ляется формулой
(
f,
g)
=
(3.3.)
Пусть f(
k)
=
(к
= 1,…, n) – некоторые векторы. По определению
f
= f(1)
…
f(n)
=
(3.4.)
Коэффициенты f
α
=
разложения (3.4.) удовлетворяют условию (3.2.), поэтому вектор (3.4.) принадлежит
, при этом
|| f
|| =
(3.5.)
Функция Н1
,…,
Н
n
<
>
линейна по каждому фрагменту, а линейная оболочка L
векторов (3.4.) плотна в
- эта линейная оболочка называется алгебраическим (непополненным) тензорным произведением пространств Н1
,…, Н
n
и обозначается α.
Приведенное определение тензорного произведения зависит от выбора ортогонального базиса
в каждом сомножителе
. При изменении базисов получаем тензорное произведение, изоморфное с сохранением своей структуры исходному произведению.
Пусть Н1
и Н2
– гильбертовы сепарабельные пространства. Тогда конструкция тензорного произведения означает следующее. Рассматривается линейная оболочка L
формальных произведений f1
f2
, причем считается, что
(f1
+ g1
)
f2
= f1
f2
+ g1
f2
(3.6.)
f1
(f2
+ g2
) = f1
f2
+ f1
g2
(3.7.)
(λ f1
)
f2
=
λ (f1
f2
) (3.8.)
f1
λ (f2
) = λ (f1
f2
) (3.9.)
f1
,g1
Н1
; f2
,g2
Н2
; λ
С
.
Иными словами, линейное пространство L
факторизируется по его линейному подмножеству, натянутому на всевозможные векторы, имеющие вид разностей между правыми и левыми частями равенств (3.6.) – (3.9.).
Затем вводится скалярное произведение в L
.
(f1
f2
, g1
g2
) = (f1
g1
)(f2
g2
) (3.10.)
f1
,g1
Н1
; f2
,g2
Н2
,
а затем распространяется на другие элементы из факторизованного L
билинейным образом.
3.2. Тензорные произведения операторов.
Определим тензорное произведение ограниченных операторов.
Теорема 3.1.
Пусть
,
- две последовательности гильбер- товых пространств,
- последовательность операторов Ак
L
(Нк
, Gк
). Определим тензорное произведение А1
…
А
n
=
Ак
формулой
(
) f
=
(
) =
(3.11.)
(f
).
Утверждается, что ряд в правой части (3.11.) сходится слабо в
и определяет оператор
L
(
,
), причем
||
|| =
||
|| (3.12.)
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай n=2, так как в силу равенства Н1
,…,
Н
n
= (Н1
,…,
Н
n-1
)
Н
n
общий случай получается по индукции.
Пусть
- некоторый ортонормированный базис в Gк
(к = 1, 2) и пусть g =
G1
G2
. В качестве f
возьмем вектор из Н1
Н2
с конечным числом отличных от нуля координат f
α
.
Зафиксируем α2
, β1
Z+
и обозначим через f
(α2
)
Н1
вектор f
(α2
) =
и через g
(β1
)
G2
–
вектор g
(β1
) =
. Получим
=
=
=
≤
=
=
≤
=
=
Из этого неравенства следует слабая сходимость в G1
G2
ряда
уже при произвольном c
Н1
Н2
и оценка его нормы в G1
G2
сверху через ||A1
|| ||A2
|| ||f
||. Таким образом, оператор A1
A2
: Н1
Н2
→
G1
G2
определен посредством (3.11.) корректно, ограничен и его норма не превосходит ||A1
|| ||A2
||.
Из (3.5.) и (3.11.) следует
||(A1
A2
) (f1
f2
)|| = ||A1
f1
||||A2
f2
|| (fк
Нк
, к = 1, 2)
Подбирая должным образом орты f1
, f2
последнее произведение можно сделать сколь угодно близким к ||A1
|| ||A2
||, поэтому неравенство ||(A1
A2
)|| ≤ ||A1
|| ||A2
|| не может выполняться, то есть (3.12.) при n=2 доказано.
Из (3.11.) получаем для Ак
L
(Hк
, Gк
), Вк
L
(Hк
, Gк
) (к = 1,…, n) соотношения
(
Вк
) (
Ак
) =
(Вк
Ак
) (3.13.)
(
Ак
)* =
Ак
*(3.14)
(
Ак
) (f1
…
f
n
) = A1
f1
…
An
fn
(3.15.)
(fк
Hк
; к = 1,…, n)
(3.15) однозначно определяет оператор
Ак
.
Приведем пример. Пусть Hк
= L2
(
(0,1), d
(
mк
)) = L2
Действительно, вектору вида (3.1.)
поставим в соответствие функцию
L2
. Такие функции образуют ортонормированный базис пространства L2
, поэтому такое соответствие порождает требуемый изоморфизм между
и L2
.
Глава
II
. Задача о двух ортопроекторах
§ 1. Два ортопроектора в унитарном пространстве
1.1.
Постановка задачи.
Пусть дана *-алгебра P
2
P
2
= С
< р1
, р2
| р1
2
= р1
*
= р1
, р2
2
=р2
*
= р2
>
порожденная двумя проекторами, то есть двумя идемпотентными самосопряженными элементами.
Положим u
= 2
p
1
– 1, v
= 2
p
2
– 1, тогда u
, v
самосопряженные элементы.
u2
= (2p1
– 1)2
= 4p1
– 4p1
+ 1 = 1, v2
= 1. Таким образом u
, v
– унитарные самосопряженные элементы.
Тогда *-алгебру P
2
можно задать иначе:
P
2
= С
< p1
*
= p1
, p2
*
=p2
| p1
2
= p1
, p2
2
= p2
> = C
<u
* = u
, v
* = v
| u2
= 1, v2
=1 >
Это групповая *-алгебра, порожденная двумя унитарными самосопряженными элементами.
Требуется найти все неприводимые представления *-алгебры P
2
, с точностью до унитарной эквивалентности.
1.2. Одномерные *-представления *-алгебры
P
2
. Пусть π: P
2
→
L(
H)
- *-представление *-алгебры P
2
. Рассмотрим сначала случай, когда dim
H
= 1, то есть dim
π = 1.
P
2
= С
< р1
, р2
| р1
2
= р1
*
= р1
, р2
2
=р2
*
= р2
>
Обозначим через Рк
= π(рк
)
, к = 1,2. Поскольку рк
2
= рк
*
= рк
(к = 1, 2) и π - *-представление, то Рк
2
= Рк
* = Рк
(к =1, 2) – ортопроекторы в Н
на подпространстве Нк
= {y
H |
Рк
y
= y
} к = 1, 2.
Возможны следующие случаи:
1. Н1
= Н2
= {0}; тогда Р1
= 0, Р2
= 0.
2. Н1
= Н
(то есть dim
H
1
=1), Н2
= {0}, тогда Р1
= 1, Р2
= 0.
3. Н1
= {0}, Н2
= Н
(то есть dim
H2
=1), тогда Р1
= 0, Р2
= 1.
4. Н1
= Н2
= Н
(dim
H1
= dim
H2
=1), тогда Р1
= 1, Р2
= 1.
Так как dim
H
=1, то мы можем получить 4 одномерных неприводимых *-представлений P
2
, причем они неэквивалентны.
1.3. Двумерные *-представления *-алгебры
P
2 .
Обозначим через Нк
область значений оператора Рк
при к = 1,2. Пусть Нк
┴
- ортогональное дополнение подпространства Нк
(к = 1,2) в Н
. Тогда Н
=H1
Н1
┴
, Н
=H2
Н2
┴
Введем дополнительные обозначения :
Н0,0
= Н1
┴
∩Н2
┴
, Н0,1
= Н1
┴
∩Н2
, Н1,0
= Н1
∩Н2
┴
, Н1,1
= Н1
∩Н2
. (1.1.)
Пусть dim
H
= 2. предположим, что существуют i
и j
такие, что Hij
нетривиально, то есть dim
Hij
=1. Пусть, например, dim Н1,0
= 1 (остальные случаи аналогичны). Тогда в H
существует ненулевой вектор h
такой, что Н1,0
= л.о. {h
}, но тогда P1
h
= h
, P2
h
= 0; следовательно Н1,0
инвариантное подпространство. Значит в этом случае *-представление π не может быть неприводимым.
Будем считать, что Hij
={0} для любых i
= 0, 1 и j
=0, 1, (то есть Hij
линейно независимы) и dim
H1
= dim
H2
=1. Тогда в Н
можно найти два ортогональных базиса {e1
,
e2
} и {g1
,
g2
}, в которых матрицы операторов Р1
и Р2
имеют вид
. Найдем матрицу оператора Р2
в базисе {e1
,
e2
}.
Пустьg1
= a11
e1
+ a12
e2
g2
= a21
e1
+ a22
e2
e1
= b11
g1
+ b12
g2
e2
= b21
g1
+ b22
g2
Рассмотрим векторы h1
=
eit
e1
и h2
=
eil
e2
, тогда
|| h1
||
= ||
eit
e1
|| = || e1
||
= 1, || h2
||
= ||
eil
e2
|| = || e2
||
= 1
(h1
,
h2
) = (eit
e1
, eil
e2
) = ei
(
t-
l)
(
e1
,
e2
)
= 0, то есть {h1
,
h2
} – ортонормированный базис.
Р1
h1
=ei
t
Р1
e1
= h1
,
Р1
h2
=eil
Р1
e2
= 0.
Значит в базисе {h1
|