Главная              Рефераты - Математика

Шпаргалки по математическому анализу для 1-го семестра в МАИ - реферат

Экзаменационная программа

По курсу математического анализа для студентов групп 03-112 - 116.

1. Понятие n-мерного арифметического пространства Rn. Метрика. Метрические простран­ства. Открытые и замкнутые множества в Rn.

2. Общее определение функции. Сложная, неявно и параметрически заданная функции, об­ратная функция.

3. Предел числовой последовательности. Теорема о единственности предела числовой по­следовательности. Ограниченность сходящейся последовательности.

4. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями. Пере­ход к пределу в неравенствах.

5. Понятие предела функции. Односторонние пределы. Теорема о единственности преЯсла. Теорема об ограниченности (на некоторой окрестности точки а } функции f(х), имею­щей конечный предел при х а. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства.

6. Связь функции с ее пределом. Арифметические операции над пределами функций. Пре­дельный переход в неравенствах.

7. Теорема о пределе сложной функции.

8. Сравнение функций. Эквивалентные функции. Сравнение бесконечно малых функций.

9. Непрерывность функций в точкеке. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва функ­ции их классификация. Теорема о сохранении -знака непрерырывной функции.

10. Свойства непрерывных функций на промежутках. Равномерная непрерывность.

11. Теорема о непрерывности сложной функции.

12. Теорема о непрерывности обратной функции.

13. Непрерывность элементарных функций.

14. Понятие числового ряда. частичные суммы, определение сходимости ряда. Критерий Коши сходимости ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Исследование на сходи­мость ряда

15. Свойства сходящихся рядов.

16. Ряды с неотрицательными членами. Признак сравнения и предельный признак сравнения.

17. Признаки Даламбера и Коши.

18. Знакопеременные числовые ряды Теорема Лейбница для знакочередующегося ряда. Оценка остатка ряда.

19. Абсолютная и условная сходимость. Теорема о связи между сходимостью рядов и

. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов.

20. Ряды с комплексными членами.

21. Производная и дифференциал функции. Необходимое условие существования производ­ной. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке.

22. Геометрический смысл производной и дифференциала. Уравнение касательной и норма­ли к графику функции.

23. Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функ­циями.

24. Производная сложной функции.

25. Производная обратной функции.

26. Логарифмическая производная. Производные основных элементарных функций.

27. Производые и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.

28. Параметрическое дифференцирование.

29. Теорема Ферма. Геометрическая ннтерпритадия.

30. Теорема Ролля. Геометрическая интерпрнтация.

31. Теорема Лагранжа. Геометрическая интерпретация.

32. Теорема Коши.

33. Правило Лопиталя.

34. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано.

35. Разложение основных элементарных функции по формуле Маклорена.

36. Признак монотонности функции.

37. Необходимое условие экстремума функции. Достагочное условие экстремума функции.

38. Выпуклость и точки перегиба.

39. Асимптоты.

40. Первообразная и ее свойства.

41. Неопределенный интеграл и его свойства.

42. Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям.

43. Основные свойства из алгебры многочленов. Интегрирование рациональных дробей.

44. Интегрирование иррациональностей.

45. Интегрирование тригонометрических выражений.

46. Определенный интеграл. Ограниченность интегрируемой функции

47. Свойства определенного интеграла,

48. Теорема о среднем.

49. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Его непрерывность и дифференцируемость.

50. Формула Ньютона - Лейбница

51. Формулы замены переменной в определенном интеграле и интегрирование по частям.

52. Площадь плоской фигуры.

53.Несобственные интефалы. Основные определения и свойства.

54. Несобственные интегралы от неотрицательных функций. Признак сравнения и предель­ный признак сравнения.

55. Абсолютная и условная сходимость. Главное значение несобственного интеграла.


#1{ пространство}Множ всех упорядоченных наборов n действ чисел с определенными на этом мн-ве функциями p(x,y) называется n-мерным арифметическим пространством и обозн Rn. {Открытые и замкнутые множ в прос-ве R ''}Множ xR'' назыв открытым если весь Х лежит в R то для любой точки xX >0 такая что U(x,) принадл Х любое открытое множ содерж данную точку называется его окрестностью. Точка х принадл пространству R'' назыв точкой прикосновения Х содержащейся в R'' если любая окрестность этой точки содержит точки множ-ва Х Множ-во содерж все свои точки прикосновения называется замкнутым {Метрическое пр-во.} Метрическим пространством называется пара (x,) состоящая из мн-ва Х и действит не отриц функции опред на множ Х и удовл след св-вам 1 (x,y)=0 x=y1; 2) p(x,y)= p(y,x) x,yX; 3) p(x,y)<= p(x,z)+p(z,y) x,y,z X в этом случае функция метрикой число р(х,у)- расст м/у точками х и у

#2Если каждому значению перем величины х принадл мн-ву Е соотв одно и только одно значение величины у то у называется ф-ей от оси х или зависимой переменной определенной на множ Е, х называется аргументом или независ переменной. Если кажд знач х принадл некоторому мн-ву Е соотв одно или несколько знач переменноой величины у то то у называется многозначной функцией. {}Ф-ия у от х заданная цепью равенств у=f(u) u=(x) и т.п. назыв сложной ф-ией или композицией ф-ий f и u {}Ф-ия заданная ур-нием не разрешенным относит завис перееменной назыв неявной пример: х*х*х +у*у*у=1 у – неявная ф-ия от х {}пусть на множ Т заданы 2 ф-ии х=(t) у=(t) :TX :TY причем для функции ф существует обратная t=(x) :X T тогда на множ Х опред ф-ия f:XY следующим равенством f(x)=((x)) ф-ия f назыв параметрич заданной ф-иями (t) (t) {}обр ф-ия пусть f:ХY взаимно однозначное отображение множ Х на множ Y тогда опред отображение g:YX yY g(y)=x где хХ такой что f(x)=y такое отображ называется обратным к f и обознач f( в степ -1)

#3Пусть Х какое либо мн-во всякое отобр f: N®X называется послед эл-тов Х элемент f(n) n-ый член последовательности и обозн хn cама послед f:N®X обозн {Xn} или Хn n=1,2,3… число а назыв пределом послед {Xn} и обозн А=lim(n®Ґ)xn если "e>0 $ne =n(e)ОN тако что при n>ne выполн нер-во /Хn-А/<e нер-во эквивал след.: А-ee обознач на граф чертеже эти точки тогда данное нер-во означ что все члены послед начиная с нек номера попадают в интервал (А-e;А+e). Если {Хn} имеет предел то он единственный {Док-во} предп обратное lim(n®Ґ)xn=a lim(n®Ґ)xn=b aЮ для e1=r-a>0 $n1 при n>n1 /xn-a/<e1=r-a Ю a-r Ю xnn1 для e2=b-r>0 $ n2 такое что при n>n2 /xn-b/<e2=b-r Ю r-b xn>r при n>n2 пусть no=max(n1,n2)=> при n>no xn>r xn a=b Теор док.{Т} Сходящаяся последовательность ограничена. {Док} Пусть последовательность аN сходится к числу а. Возьмем какое-либо эпсилон, вне эпсилон-окрестности точки а лежит конечное число членов последо вательности, значит всегда можно раздвинуть окрестность так, чтобы все члены последовательности в нее попали, а это и означает что последователь ность ограничена.

#4послед {xn} назыв б м п если lim(n®Ґ)xn=0 послед {xn} назыв б б п если она имеет своим пределом бесконечнось. Если {xn} ббп то 1/{xn} бмп Док-во т.к {xn} ббп => "e>0 $ne=n(e) такое что при n>ne вып неравенство /xn/>1/e => 1//xn/<e при n>ne = lim(n®Ґ) 1/xn=0 {T}произвед беск малой на огранич есть бмп {док-во} пусть {xn}- бмп а {уn}- огранич => $M>0 такое что /уn/" n пусть e>0 тогда тк {xn}- бмп =>$ne=n(e) при n>ne /Xn/<e/M => при n>ne /xnyn/=/xn/yn<(e/M)*M=e => lim(n®Ґ)(xnyn)=0 чтд {Т} Если n0:n>n0 aNbNcN и Lim aN=a, Lim cN=c, причем a=c, то Lim bN=b => a=b=c. {Док} Возьмем произвольно Е>0, тогда n’: n>n’ => cN<(a+E) & n”: n>n” => (a-E)N. При n>max{n0,n’,n”} (a-E)NbNcN<(a+E), т.е. n>max{n0,n’,n”}=>bN(a-E,a+E) {Т переход от к пределу в неравенствах} Если Lim xN=x, Lim yN=y, n0: n>n0 хNyN, тогда xy {Док-во} (от противного): Пусть х>у => по определению предела n0’: n>n0’ |хN-х| n0”: n>n0” |yN-y|n>max{n0’, n0”}: |хN-х|<|х-у|/2 & |уN-у|<|х-у|/2, т.е. получаем 2 интервала (у-Е,у+Е) & (х-Е,х+Е)], причем (у-Е,у+Е)(х-Е,х+Е)=. n>max{n0’, n0”} хN(х-Е,х+Е) & уN(у-Е,у+Е) учитывая, что х>у получаем: n>max{n0’, n0”} хN>yN - противоречие с условием.

#5 {О предела ф-ции} Пусть f(x) определенна в некоторой окрестности т. «а» за исключунием быть может самой этой точки а. Число А – называется пределом ф-ции при xa если E>0 =(E)>0 : x 0<|x-a|< вып. |f(x)-A|xaf(x)=} Если E{бол}>0 =(E)>0 | x 0<|x-a|< |f(x)| limxaf(x)= {O limxaf(x)=+} Если E>0 =(E)>0 : x 0<|x-a|< вып f(x)>E {O limxaf(x)=-} Если E>0 =(E)>0 : x 0<|x-a|< вып f(x)<-E {O limxf(x)=A} Если >0 =()>0 : x |x|> вып |f(x)-A|< {O limxf(x)=} Если E{бол}>0 =(E)>0 : x |x|> вып |f(x)|>E {Односторонние пределы} Правым (левым) пределом ф-ции f(x) ghb xa+0(-0) называется число А / >0 =()>0 при x a(-)) |f(x)-A|< A=limxa+0(-0)f(x){Теорема о единственности предела} Если ф-ция f(x) имеет limxa, то он единственный. {Д} Предположим обратное пусть limxaf(x)=A limxaf(x)=B выберем окрестности точек А и В так, чтобы они не пересекались U(A;); U(B;), тогда для данного 1) =()>0 | при x 0<|x-a|< |f(x)-A|< f(x)U(A;) 2) 2=2()>0 | при x 0<|x-a|<2 |f(x)-B|< f(x)U(B;) Пусть 0=max(1,2), тогда при х уд. 0<|x-a|<0 вып. f(x)U(A;E), f(x)U(B;E) Эти две окрестности пересекаются, что противоречит выбору этих окрестностей т.о. А=В Ч.т.д.{Теорема об орграниченности на нек окрестности (.)а f(x)} Если при xa f(x) имеет конеч lim=A , то она ограничена в некоторой окрестности точки а.{Док-во} Т.к. limxaf(x)=A, то для =1 >0 | при x 0<|x-a|< вып. |f(x)-A|<1 |f(x)|=|f(x)-A+A||f(x)-A|<|f(x)-A|+|A|<1+|A| при х уд 0<|x-a|< -это означает что f(x) ограничена (.)а {ББ и БМ ф-ции}{О} Ф-ция f(x) называется БМ ха если limxaf(x)=0 {o} ф-ция ББ если limxaf(x)=+(-) {T} Если f(x) бб при ха, то 1/f(x) бм при ха. Если f(x) бм при ха и она отлична от 0 в некоторой окрестности (.) a, то 1/f(x) – бб при ха {Док} Возьмём E>0 =(E) >0 | при x уд. 0<|x-a|< |f(x)|>1/E 1/f(x)x уд 0<|x-a|< 1/f(x) бм при xa Пусть f(x) – бм при xa и 1>0 | x, уд. 0<|x-a|<1 f(x)0 возьмём E{бол}>0 тогда 2>0 | при 0<|x-a|<2 |f(x)|<1/E{бол}, пусть =min(,2) при x , 0<|x-a|< вып-ся f(x)0, |f(x)|<1/E 1/f(x)>E 1/f(x) –бб при ха {T} Сумма двух б.м при xa есть бм при xa {Д} Пусть limxaf1(x)=0 limxaf2(x)=0 >0, тогда 1=1()>0 | при х 0<|x-a|<1 |f1(x)|</2 2=2()>0 | при x, 0<|x-a|<2 |f2(x)|</2 Пусть =min(1,2) x 0<|x-a|< |f1(x)+f2(x)|<=|f1(x)|+|f2(x)|=/2+/2= limxa(f1(x)+f2(x))=0 {T}Произведение бм при xa на ф-цию ограниченную в некоторой окрестности есть бм при xa {Док} Пусть limxag(x)=0, а ф-ция g(x) ограничена в U(,1) т.е. >0 | х U(a,1) |g(x)|< >0 2>0 | при x, 0<|x-a|<2 |g(x)|</ ; Пусть =min(1,2) x, 0<|x-a|< |f(x)g(x)|=|f(x)||g(x)|</= limxaf(x)g(x)=0

#6 {Т о связи ф-ии и ее пределов.}Для того чтобы А было lim ф-ии f(x) при ха А=lim(a)f(x) f(x)=A+(x) ;Где (x) – б м ф-ия при ха {док-во} Пусть А=lim(ха) f(x) предположим ; (x)=f(x)-A и докажем что (x)-б м ф при ха. Возьмем >0 завис от такое что ()>0 такое что х, 0 => /f(x)-A/< => /(x)/=/f(x)-A/< таким образом (x) – бмф при ха пусть f(x)= (x)+A где (x) – бмф при ха тогда при >0 >0 такая что х удв 0 выполняется /(x)/< => /f(x)-A/=/(x)/ < => limа)f(x)=A {Арифмитические операции над пределами ф-ций Т }пусть сущ предел f1(x) при ха =А и сущ limа)f2(x)=B 1)сущ lim(f1(x)+f2(x))=A+B 2) сущ lim(f1(x)*f2(x))=AB 3) сущ lim(f1(x)/f2(x))=A/B при В0 ; 1-e св-во тк lim(ха)f1(x)=A и lim(ха)f2(x)=B => f1(x)=A+1(x) f2(x)=B+2(x) где 12 бм ф-ии при ха тогда f1(x)+f2(x)=A+B+12= A+B+(x)== где (х) бмф т.к. сумма 2х бм ==lim(ха)(f1(x)+f2(x))=A+B {предельный переход в неравенство} пусть limа)f1(x)=b1 limа)f2(x)=b2 и b1 U(a,) такая что х U(a,) => f1(x) 1)1=c-b1>0 1>0 так что хU(a,) /f1(x)-b1/<1 = c-b1 => b1-c f1(x)2=b2-c 2>0 так что хU(a,) =>/f2(x)-b2/<=b2-c => c-b2 =min(12) =>хU(a,) => f1(x) f1(x)а)f1(x)=b1 limа)f2(x)=b2 и U(a,) так что хU(a,) f1(x)<=f2(x)=> b1<=b2 {док} противоп утверждение те b1>=b2 в силу предыдущ теоремы сущ U(a,) так что хU(a1,1) => f1(x)>f2(x) o =min(12) =>хU(a1,o) => f1(x)f2(x)- по док-ву => противор =>b1<=b2 чтд {Т} Пусть существует limxa(x) ; limxaf(x) причём limxa(x)=A limxa(x)=A и в некоторой окр-ти U(a,) вып-ся (x)f(x)(x) тогда limxaf(x)=A {Док-во} E>0 2>0 | x 0<|x-a|<2 A-E<(x)3>0 | x, 0<|x-a|<3 A-E<(x)=min(1,2,3) x 0<|x-a|< A-E<(x)f(x)(x) |f(x)-A|

#7{Теорема о пределе сложной ф-ции} Пусть limxaf(x)=A limyAg(y)=B и в некоторой U(a,1) определена сложная ф-ция g(f(x)) и f(x)А тогда limxag(f(x))=limyAg(y) {Док-во} E>0 т.к. limyAg(y)=B >0 |y , 0<|y-A|< |g(y)-B| limxaf(x)=A для Е1= <1 | x , 0<|x-a|< 0<|f(x)-A|< x, 0<|x-a|< |g(x)-B|limxag(f(x))=B=limyAg(y)

#8{сравнение ф-ций} f(x) есть O-большое от ф-ци от ф-ции g(x) на мн-ве Е и пишут f(x) =O(g(x)) на E , если C>0 | |f(x)|C(g(x)) x E f(x)=O(1) на E f(x) ограничена на Е т.е. С>0 | |f(x)|C xE Пусть ф-ция f(x) и g(x) –определены в некоторой окрестности (.) а за исключением быть может самой этой (.) f(x) есть o-малое от g(x) при xa и пишут f(x)=o(g(x)), xa , если в некоторой выколотой окрестности а имеет место f(x)=E(x)g(x), где limxfE(x)=0 x=o(x), x0 f(x)=og(x) , xa E(x)=x h(x)=o(g(x)), xa; (x)+h(x)=o(g(0))+o(g(x)=o(g(x)) xa f(x) есть O-большое от g(x) при xa, если U(a) | f(x)=O(g(x)) на U(a) пишут f(x)=O(g(x)), xa Ф-ции f(x) и g(x) называется эквивалентами xa, если эти ф-ции определены и отличны и отличны от 0 в некоторой окрестности (.) а за исключением быть может самой этой точки и существует предел limxaf(x)/g(x)=1 пишут f(x)g(x) xa {Т} Для того, чтобы ф-ция f(x) и g(x) были эквивалентны, необходимо и достаточно f(x)=g(x)+o(g(x)) xa g(x)0 (xa) {Док-во} Пусть f(x)g(x) , xa тогда по определению g(x) отлично от 0 в U(0) и limxaf(x)/g(x)=1 E(x), E(x)0 при xa | f(x)/g(x)=1+E(x) f(x)=g(x)+E(x)g(x)=g(x)+o(g(x)), xa. Обратно Пусть f(x)=g(X)+o(g(x)) xa , g(x)+o(x+a) f(x)=g(x)+E(x)g(x), где limxaE(x)=0 f(x)/g(x)=1+E(x) limxaf(x)/g(x)=1 f~g(x) xa {Сранение бесконечно малых ф-ций} Пусть f(x) и g(x) –б.м. ф-ции при xa g(x)0 в некоторой U(a) {O} Если отношение f(x)/g(x) при xa имеет конечный и отличный от 0 предел, то ф- ции называются б.м. одного порядка. Если f(x)/g(x)=0 то f(x) само является бесконечно б.м. более высокого порядка по сравнению с g(x) при xa {O} Ф-ция f(x) называется б.м. к-ого относительно б.м. g(x) при xa, Если ф-ция f(x) и gk(x) б.м. одного порядка при xa

9{Непрерывность ф-ции в точке} Ф-ия назыв непрерывной в точке а если (дельта)f(a)=f(a+h)-f(a) определена в окр точки h=0 и для  >0 =()>0 такое что h /h/< /f(a+h)-f(a)/< Для того чтобы ф-ия была f(x) была непрерывна в т а необход и достаточно чтобы сущ f(a+0), f(a-0) и f(a+0)=f(a)=f(a-0){Одностороняя непрерывность} Ф-ция наз. непрерывной справа (слева) если существует f(a+0)=limxa+0f(x) (f(a-0)=limxa-0f(x)) и f(a+0)=f(a) (f(a-0)=f(a)) {классифик точек разрыва} если для ф-ии f(x) в т а f(a+0), f(a-0) конечные значения но ф-ия в точке а имеет разрыв. то говорят что она имеет разрыв 1-го рода если ф-ия в точке а имеет разрыв не 1-го рода то такой разрыв называется разрывом второго рода.{Теорема о сохранении знака непрерывной ф-ции} пусть ф-ия f(x) непрерывна в т а и f(a)0 тогда существует окрестность точки а :U(a) и с>0 такое что f(x)>c xU(a,) ((1)f(a)>0) f(x)< -c xU(a) при f(a)<0 {Док-во} возьмем =/f(a)//2>0 тогда >0 такое что xU(a) => /f(x)-f(a)/< =/f(a)//2 f(x)0 => /f(a)/=f(a)=> xU(a) f(a)/2 c = f(a)/2; 2) f(a)<0 => /f(a)/=-f(a)=> xU(a) f(a)/2>f(x) => c = - f(a)/2 >0 => f(x)<-c чтд

#10{Св-ва непрерывных ф-ций на промежутках} {Т Больцано-Каши} Пусть ф-ция f(x) определена и непрерывеа на отр [a,b] и принимает на его концах значения разных знаков. Тогда существует (.) с принадлежащая интервалу (a,b) в которой f(c)=0 {T2} Пусть ф-ция f(x) определенна и непрерывна на промежутке X([c,d],[c,d),(c,d],(c,d)) и принимает в т. a,b X , af(b)=B, тогда для любого числа С лежащего между А и В c(a,b) / f(с)=С {Док} Рассмотрим [a;b] вспомогат ф-цию (x)=f(x)-C Пусть для определённости A A(x) непрерывна на [a,b] и принимает на его концах разные знаки (a)=f(a)-C=A-C<0; (b)=f(b)-C=B-C>0 по теореме Больцана –Каши с(a,b) | (c)=0 f(c)-C=0 f(c)=C {Т}Ф-ция f(x) непрерывная на отр [a,b] ограничена на этом отрезке.{Т} Ф-ция f(x)-непрерывна на отр[a,b] в некоторых точках этого отрезка минимального и мах значения . [a,b] | f()=minf(x) x[a,b]; f()=maxf(x) x[a,b] f()<=f(x)<=f() x [a,b]. {Равномерная непрерывность} Ф-ция y=f(x) определённая на мн-ве ХRn называется равномерно непрерывной на Х если для >0 =()>0 | x’,x’’X,(x’,x’’)<|f(x’)-f(x’’)|<; Прим f(x) –равномерно непрерывна на всей числовой прямой т.к. для >0 = | x’,x’’R, |x’-x’’|<= {Т Картера} ф-ция непрерывная на огран замкн. мн-ве равномерно непрерывна на нём.

#11 {Т о непрерывн сложн ф-ии } Пусть ф-ия f(x) непрерывна в т. а, a ф-я g(y) непрер в т b =f(a) тогда сущ ф-ия=g(f(x)) в некоторой окр точки а которая непрерывна в точке а {Док-во}Возьмем >0 тогда из непрерывности ф-ии g(у) в т b следует что сущ число >0 так что у /у-b/< так что ф-ия g(y) определена и /g(y)-g(b)/< из непрерывности ф-ии g(x) в т а >0 (х) опред на (а-;а+) и х(а-;а+) => /f(x)-f(a)/<. На интервале (а-;а+) опред сложная ф-ия g(f(x)) причем х(а-;а+) /g(f(x))-g(f(a))/< => по опред непрерывности => g(f(x)) непрерывна вт а чтд.

#12 {Непрерывность обратной ф-ции} Пусть у=f(x) – непрерывна при х [a,b] у[A,B] и пусть она строго возрастает, тогда ф-ция x=(y) также непрерывна {Д} Пусть y0[A,B] x0=(y0), f(x0)=y0 x0(a,b) ; возьмём >0 столь малое, что [x0-,x0+][a,b] Пусть y1=f(x0-) y2=f(x0+) Тогда в силу строго возрастания ф-ции f y(y1,y2)x=(y)(x0-,x0+) тогда для у из [A,B] получаем [a,b] мы получили на нём >0 удовлетв этому условию мы не взяли существ окрестность в (.) 0 (у1,у2) | у(у1,у2) соответсвует (y)(x0-;x0+) Если это утверждение справедливо для мал то оно справедливо для + ф-ция - непрерывна в т. н0 по определению. {} Пусть у0=В х0=(y0)=b Возьмём ) тогда в силу строгого возрастания ф-ции f y(y,y0] x=(y) при отображении пойдёт в а (x0-,x0) ф-ция непрерывна в (.) у0 по определению. аналогично рассматривается случай с убыванием.

#13 {Непрерывность элементарных ф-ций} 1)f(x)=C –непрерывна на всей числовой прямой. f(x)=f(x+h)-f(x)=C-C=0; limh0f(x)=0; 2) f(x)=x; f(x)=x+h-x=h limh0h=0; 3)f(x)=xn, nN –непрерывна на всей числовой прямой, непрерывна как произведение непрерывных ф-ций по индукции xn=xn-1x; 4)f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-непрерывная на всей числовой прямой как сумма конечного числа непрерывных ф-ций; 5)R(x)=P(x)/Q(x)=(a0xn+a1xn-1+…+an)/(b0xm+b1xm-1+..+bm)-непрерывна на всей числовой прямой за исключением тех х, при которых значение знам. обращ в 0 как частное двух непрерывных ф-ций.;6) f(x)=sinx Лемма xR, |sinx|<=|x| Рассмотрим еденичную окружность.(OB,ox)=x; (OB’,ox)=x 0<=x<=/2 т.к. длина отрезка соед две точки не превосходит длины дуги окружности соединяющей теже точки |BB’|<=BAB’ ; |BB’|=2Rsinx; BAB’{дуг}=2Rx 2Rsinx<=2rx; sinx<=x ; Если -/2<=x<0 то |sinx|=-sinx=sin(-x)<=-x=|x| ; 0<-x<=/2 Если |x|>/2 |sinx|<=1</2<|x| {док} что sinx- непрерывна. |f(x)|=|sin(x+h)-sinx|=|2sinh/2cos(x+h/2)|<=2|sinh/2| limh0sinh/2=0 7.f(x)=cosx – непрерывна на всей числовой прямой |f(x)|=|cos|x+h|-cosx|=(2sinh/2sin(x+h/2)<=2|h/2| |h|0; 8)f(x)=ax –непр на всей числ пр,a>=0 f=(ax+h-ax)=ax(ah-1) limh0ax(ah-1)=0; 9)f(x)=logax a>0 a1 непрерывна на (0,+) 10)arcsinx, arccosx – на всей числ. пр.

#14 {Понятие числового ряда} пусть дана числовая последовательность {an} составленный из членов этой последовательности символ. а1+а2+а3…аn назыв беск числовым рядом а1а2-члены этого ряда для обознач исп сумма n 1-ых членов ряда назыв частичной суммой ряда если предел послед частичных сумм конечный то говорят что ряд сход в прот случае расход {Т необход условие сходимости} если ряд аn сход то lim(n)an=0 док-во если ряд an сх то lim(n)Sn=S=lim(n)S(n-1) тогда lim(n)an = lim(n)(Sn-S(n-1)) = lim(n)Sn-lim(n)(Sn-1)=0 т док. {Т Критерий Коши } Для сх-ти ряда (n=1,)an   >0 n такое что при n>n и р Z p>=0 вып неравенство /аn+an+1+an+2+an+p/<; {} (n=1..)1/n( в степ ) >1 сход <1 расход; n<=n Пусть <=1 1/n+1/(n+1)+…+1/(2n-1)>=1/n+1/(n+1)+…+1/(2n-1)>1/2n+1/2n+…+1/2n=n/2n=1/2 для =1/2 при n p=n-1 | вып-ся нер-во |an+…+an+p|> ряд расх. Пусть >1, =2-1>0 расходится частичная сумма ряда S2k=1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+…+(1/(2k-1+1)+,,,+1/(2k)); 1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n)>1/n+1/n+1/n=n/n=1/n-1=1/n<1+1/2+1/2/(1-1/2) {S2k} –ограничена сверху т.к. n k |n<2k Sn2k ряд сход.

#15 {Св-ва сходящихся рядов} Если +n=1an сх-ся то сх-ся и любой его остаток, если сходится какой либо остаток то сходися и сам ряд. {Д} Пусть k=m+1+ak-остаток ряда. Обозначим Аn=a1+…+an – n-ая частная сумма ряда (1,+)an A’s=am+1+…+am+s –s-ая частная сумма k=m+1+ak, тогда A’s=Am+s-Am т.к. limnaAn limS+Am+S limS+A’S=lims+Am+S-Am k=m+1+ak cx-cя; Пусть k=m+1+ak сх-ся ; Am+S=AS’+Am; n=m+s An=A’n-m+Am (n>m) Т.к. lims+A’Slimn+A’n=m limn+A=limn+An-n+Am n=1+an ряд сх. {Следствие} Если ряд (1,+)an сх-ся и n=(k=n+1,+)ak limn+n=0 {Док} Пусть An=(1,n)ak, A=limn+An A=An+nn=A-A1 limn+n=A-limn+An=0 {Т} Если ряды (n=1,+)an и (n=1,+)bn сх-ся и -число, то (n=1,+)(an+bn) сх-ся и (n=1,+)an сх-ся {Д} Пусть Аn=(k=1,n)ak, Bn=k=1nbk; A=limn+An, B=limn+Bn; limn+(An+Bn)=A+B, limn+An=A Т.к. An+Bn=(a1+b1)+…+(an+bn)- n-ая частичная сумма ряда (n=1,+)(an+bn) и An=a1+…+an- n-ая частичная сумма ряда то данные ряды сходятся.

#16{T признак сравнения} пусть даны 2 ряда (n=1..)an и (n=1..)bn аn>=0 bn>=0 (n=1,2,3…) и no такое что при n>no аn расход ряда Bn и наоборот. {Док-во} пусть ряд Вn сход (к=no+1..)bk сход Аn = a(no+1)+…+a(no+m), Bn=b(no+1)+…+b(no+n) => M>0 такое что Bnn An<=Bn<=M => (k=no+1..)ak сх-ся =>(k=1..)ak сход {Предельный признак сравнения}Если сущ предел lim(n) an/bn =k то; 1).0<=k<+ из сход bn следует сходимость an; 2).0 из расх bn следует расходимость an {док-во} если 0<=к<+ => =1 no такое что при n>no an/bn =k+1 => an<(n+1)bn n>no => из сх bn следует сходимость an => aк сходится 0<к<=+ =к/2 (к<+) и =1 к=+ no такое что при n>no an/bn>k/2 (k<+) an/bn>1; k=+ => при n>no аn>(k/2)bn (k<+) => из расход bn =>аn расх =>ак а>bn (k=+) Утв.

#17{Признак Даламбера не предельный(пр Тейлора)} an an>0 n=1,2,3… Если а(n+1)/an <=q<1 (n=1,2,3…) => ряд сход если q>=1 ряд расх {Док-во} аn= a1*a2/a1*a3/a2…an/a(n-1)<=a1q…q=a1qn-1 q<1 т.к. (n=1,+)qn-1 cх-ся как бесконечная => (n=1,+)аn cх-ся Пусть а(n+1)/an >=1 => а(n+1)>=an>=…>=a1>=0 lim(n)an0 =>ряд расход {Признак Дплмбера предельный} Пусть существует предел: limn+an+1/an=k; 1)k<1 ряд сх; 2)k>1 ряд расх. {Док-во} k<1 >0 |k+<1 n0 | n>n0 an+1/an{=q}<1 (k=n0+1,+)ak –сх-ся n=1+an сх-ся. Пусть k>1; k<+ >0 | k->1 n0 | при n>n0 an+1/an>k->1 n=1+an расход { Радик Признак Коши} пусть дан ряд an>0 кор n-ой степ(аn)<=q<1 ряд сх-ся если кор n-ой степ(аn)>1 ряд расход {cледствие} пусть lim(кор n-ой степ(аn))=k; k<1 – ряд сх к>1 – ряд расход

#18 {O} Знакопеременными рядами называют n=1+(-1)n-1an, an>0{Т Лейбница} пусть дан знакоперем ряд (-1)n-1 сn cn>0; 1)C(n+1)<=C(n) n=1,2,3; 2)Lim(n)(Cn)=0 то ряд сход {Док-во} рассм частичные суммы ряда c чётными номерами S2k можно представить в виде: S2k=(c1-c2)+(c3-c4)+…+(c(2k-1)-c(2k)) Т.к. каждая из скобок положительна то данная частичная сумма образует возрастающую последовательность по усл теоремы S2k=c1-(c2-c3)-…-(c(2n-2)-c(2n-1))-c2nlim(n)(S2n)=S Рассм теперь сумму с нечётными номерами S2k+1=S2k+C2k+1 т к limC2k+1 = 0 => lim(k)S2k+1=lim(k)S2k=S; Из вышесказанного следует lim(n)Sn=lim(n)S2k = lim(k)S2k+1=S {Док-ть самим}

{Оценка остатка ряда} При выполнении Т Лейбница знак остатка ряда совпад со знаком своего 1-го члена и не превосходит его по модулю

#19 Ряд n=1an –наз абс сход если сход ряд |an|. Если an – cх а |an| - расх то такой ряд наз усл сх. {Теорема о связи между сх абс и об} Если ряд абсолютно сходится то он и просто сходится {Док} Пусть ряд n=1+an -абс сх n=1+|аn| -сх-ся по критерию Коши >0 n| при n>n и pZ p>=0 вып-ся нер-во: |an+an+1+…+an+p|<=|an|+…+|an+p|< по критерию Коши n=1+an-сх-ся.{Св-ва абс сх рядов} {Т1} Если n=1+an –абс сход, то ряд полученный из него произвольной перестановкой членов также абс сх и имеет тужу сумму. {Т2} Если ряды n=1+an и n=1+bn абс сх то ряд сост из возм попарн произведений aibi взятых в произвольном порядке также абсолютно сход и сумма его = произведению сумм рядов an и bn {Признаки Даламбера и Каши для рядов с произвольными членами} При исследовании ряда n=1+an на абс сход к ряду из модулей его членов могут быть применены все признаки сходимости для знакоположительных рядов. {Т1}|an-1|/|an| ; limn+|an-1|/|an|=k; при k<1 ряд еn=1+Ґan- сход при k<1 ряд еn=1+Ґan-сх при k>1 ряд еn=1+Ґan- расх {Т2} Если для посл-ности еn|an|; k=limn+ n|an|; при k<1 ряд еn=1+Ґan-сх при k>1 ряд еn=1+Ґan- расх.

#20{Ряды с комплексными членами} {О} Посл-ность zn=xn+iyn, n=1,2… имеет своим пределом число z0=x0+y0 Если для >0 n | при n>n вып |zn-z0|< ; Для того чтобы посл-ность zn=xn+iyn сход необходимо и достаточно чтобы последовательность хn сход х0 и посл. yn сход у0. {Док-во} Пусть z0=limnzn >0 n | при n>n =|zn-z0|< Т.к. |zn-z0|=((xn-x0)+(yn-y0)) |zn-z0|>=|xn-x0| и |zn-zo|>= |yn-y0| при n>n вып. нер-во |xn-x0|<=|zn-z0|< ; |yn-y0|<=|zn-z0|< по опр. limnXn=x0 а limnyn=y0 {}Пусьт дана пос-ность компл. чисел {Zn}. Если существует предел последовательности его частичных сумм в этом случае этот предел называют суммой ряда. В проти вном сл ряд расх. {Т} Для того чтобы ряд zn=xn+iyn сходился и имел своей суммой число s=+i Необх. и достаточно чтобы сход ряды (n=1,+)xn и (n=1,+)уn и имели своими суммами числа и - соответственно Sn=(k=1,n)xk+i(k=1,n)yk и если ряд (n=1,+)zn –сх то limn+zn=0 {Д} Пусть zn=xn+iyn т.к. (n=1,+)zn –сх (n=1,+)xn сх и (n=1,+)уn –сх limn+xn=limn+yn=0 limn+zn=limn+xn+ilimn+yn=0 чтд. {О} Ряд zn назыв абс сход если сход ряд мод zn если сход ряд zn а ряд |zn| расход то усл. сход. {Т} Абсолютно сходящийся ряд сходится.{Д} Пусть (n=1,+)zn –абс сход (n=1,+)|zn| -сх Т.к. |xn|<=(xn+yn)=|zn|, |yn|<=|zn| (zn=xn+iyn) по признаку сравнения (n=1,+)|xn| -cх и (n=1,+)|yn| -сх (n=1,+)xn –сх и (n=1,+)уn-сх (n=1,+)zn –cх {Т} Для того чтобы ряд абс сходился (zn=xn+iyn) необходимо и достаточно, чтобы ряды xn и yn – абс сход {Д} Пусть (n=1,+)|xn| и (n=1,+)|уn| сх |zn=(xn+yn)<= (yn+2|xn||yn|+yn) <= (|xn|+|yn|)=|xn|+|yn| то по признаку сравнения (n=1,+)|zn| - cх-ся.


#21{Производная диф…} {O} Производной f(x) в т. х0- называется предел отношение приращения ф-ции к соответсвующему приращению аргумента, когда последние 0; f'(x0)=limx0(f(x0+x)-f(x0))/x {O} A=const Вырожение Ах –назыв. дифференциалом ф-ции f в т. х0 и обозначают dy или df(x); Приращение х обозначают dx и называют дефференциалом независимой переменной т.о. dy=Adx {Т} Если у ф-ции f(x) в (.) x0 существут производная то ф-ция непрерывна в (.) х0 {Док-во} Пусть y=f(x0+x)-f(x0) т.к. limx0y/x=f’(x0) y/x=f’(x0)+(x), где (x) 0 при х0 y=f’(x0)x+(x), где (х)0 при х0 y=f’(x0)x+(x)x limx0y=0 в f(x)-непрерывно в т.х0 {O}y=f(x)-определённая в U(x0) в т.х0 называется дифференцируемой при х=х0 исли её приращение у=f(x0+x)-f(x0), x0+xU(x0) можно представить в виде у=Ах+о(х), х0{Т} Для того, чтобы ф-ция y=f(x) была дифференцируема, необходимо и достаточно чтобы она в этой точке имела дифференциал. {Док-во} Пусть y=f(x) диффер-ма в х0 y =f(x0+x)-f(x0)= Ax+o(x), x0; limx0y/x= limx0(A+o(x)/x)=A; т.о. в т. х0 f’(x0)=limx0y/x=A {Обратно} Пусть ф-ция y=f(x) имеет в т. х0 f’(x0)=limx0y/xy/x=f’(x0)+(x), limx0(x)=0 y=f’(x0)x +(x)x y=f’(x0)x+o(x), x0 ф-ция f- дифференцируема в т. х0

22 {Геометрический смысл произ} Пусть ф-ция y=f(x)- определена и непрерывна на (a;b) x0, x0+x(a,b), y0=f(x0), y0+y=f(x0+x) M0(x0,y0) M(x0+x,y0+y){картинка} проведём секущую MM0 её ур-ние имеет вид y=y0+k(x)(x-x0), k(x)=y/x; Всилу непрерывности y=f(x) в т.(х0) у0 при х0 |M0M|=(x+y)0 при х0 В этом случае говорят что MM0 {О} Если limx0k(x)=k0 то прямая уравнение которой y=y0+k(x)(x-x0) получается из ур-ния k(x)=y/x при х0 называется наклонной касательной к графику ф-ции у=f(x) в (.) (х0,у0) Т.к. k(x)=y/x, то k0=limx0k(x)= limx0y/x=f’(x0) уравнение касательной имеет вид y=y0+f’(x0)(x-x0) ; f’(x0)=tg; причём y=y0+k0(x-x0) –называется предельным положением; y=y0+k(x)(x-x0) касательная есть предельное положение секущей при M0M т.к. f’(x0)(x-x0)=dy то dy=y-y0 где у-текущая ордината касательной. Т.е. дифференциал ф-ции в (.) х0 есть приращение ординаты касательной.{Уравнение нормали.} Нормалью к графику ф-ции y=f(x) в (.) (х0,у0) называется прямая роходящая через эту точку перпендикулярно касат к графикуэтй ф-ции. Его можно написать, зная точку, через которую она проходит и угловой коэффициент k=-1/f’(x0) ; y-f(x0)=-1(x-x0)/f’(x0) x и y – точки на нормали

#23 Пусть ф-ции U(x) и V(x) –дифференцируемы в (.) х тогда d(U+(-)V)=(U+(-)V)’dx=(U’+(-)V’)dx=U’dx+(-)V’dx=dU+(-)dV; 2)d(UV)=(UV)’dx=(U’V+V’U)dx=U’Xdx+V’Udx=Vdu+Udv; 3)d(U/V)=(U/V)'dx=(U'V+v'U)dx/V=(U'Vdx-V’Udx)/V=(Vdu-Udv)/V

24 {Производная от сложной ф-ии.} Dh: Пусть: z=f(y) - дифф. в точке y0 ; y=(x)  дифф. в точке х0 .   y0=(x0) тогда сложная ф-ия z=f((x))- дифф. в точке х0 и справедлива формула: z’x=z’yy’x=f’(y)’(x) ; dz/dx=dz/dy dy/dx {Док}Т.к. z=f(y) - дифф. в точке y0 z=f’(y0)y+(y); Т.к. y=(x)- дифф. в точке х0 y=’(x0)x+(x); z=f’(y0)’(x0)x+f’(y0)(x)+(y); Т.к y=(x) - дифф. в точке х0 а значит непрерывна в этой точке (x0y0). (x)=f’(x0)(x)+(y); limx0/x; limx0(x)/x= limx0[f’(x0)(x)/x+(y)/x]= limx0(y)/x= limx0(y)/y limx0y/x=’(x0); (f((x)))=(f’(y0)’(x0))x+(x), где limx0(x)/x=0 (f((x)))’x=z’x=f’(y0)’(x0)

#25 {Производная от обратной ф-ии.} Пусть y=f(x) в точке х0 имеет: 1) f’(x)0, 2) на промежутке, содержащем х0, обратную ф-цию y=f-1(x)=(y) 3) y0=f(x0); тогда в (.) х0 существует f’()0, равная '(y0)=1/f’(x0). {Док-во} Пусть x=(y) и двум различным значениям х соответсвует е различных значений у. xx0yy0x0 y0 y/x=1/y/x ; Пусть y=f(x) дифф. в точке x0 тогда limx0y=0x0y0 f’(x0)=limx0y/x= limy01/y/x=1/limy0x/y=1/’(y0) ; f’(x0)0’(y0)=1/f’(x0)

#26 {Логарифмическая производная} y=[u(x)]v(x),u(x)>0; lny=v(x)lnu(x); y'/y=v’(x)lnu(x)+v(x)u’(x)/u(x); y’=uv(v’lnu+vu’/u); (lny)’=y’/y-логарифмическая производная ф-ции {Производные основных элементарных ф-ций} 1) y=Const y=c-c=0limx0y/x(C)’=0 ; 2) y=sinx y’=cosx 3)(cosx)’=-sinx 4) (ax)’=axlna 5)(arcsinx)’=1/1-x 6)(arccosx)’=-1/(1-x) 7) (arctgx)’=1/(1+x) 8) (arcctgx)’=-1/(1+x) 9) (lnx)’=1/x ; 10) (x)’=x-1

#27 {Производные и дифференциалы выс. порядков}{О} Пусть y=f(x); f(n)(x)=(f(n-1)(x))’ т.о. если говорят что у ф-ции y=f(x) в (.) существует производная n-ого порядка то это означает, что в некоторой окресности (.) х0 определено произведение n-1 –ого порядка, которая сама имеет производную в (.) х0 f(n-1)(x0) Эта последняя производная и наз. n-ого порядка от ф-ции f {}Дифференциал n-ого порядка} {О} dnf(x)=d(dn-1f(x)) При взятии дифференциала следует учитывать, что величина dx есть произвольное не зависящее от х число которое надо рассматривать как постоянный множитель при взятии производной dy=d(dy)=d(f’(x)dx)=df’(x)dx=f’’(x)dx; dny=f(n)(x)dxn ;f(n)=dny/dxn ) uv(n) = u(n)v + Cn1 u(n-1)v' +Cn2 u(n-2)v'' + … +C1n u(n-k)v(k) + uv(n) =k=0nCkn u(n-k)v(k),(формула Лейбница), Где Cnk =n!/k!(n-k)! , 0! = 1, v(0) = v. (u + v)(n) = k=0nCkn u(n-k)v(k) - бином Ньютона. формула Лейбница доказывается по индукции.

#28 {Параметрическое дифференцирование} Пусть x=x(t), y=y(t) определены в окрестности t0 t=t(x) x0=x(t0) Определена сложная ф-ция Ф(х)=у(t(x)) которая называется параметрически заданным уравнением. Предположим что x(t) и g(t) имеют производные в т. х0 тогда ф-ции Ф(х)=у(t(x)) также имеют производную в (.) х0 и она равна Ф’(x)=y’t(t0)/x’t(t0) Действительно по правилу дифференцирования сложной ф-ции Ф’(x0)=y’t(t0)t’x(x0); t’x(x0)=1/x’t(t0) Ф(э(х0)=y’t(t0)/x’t(t0) x’(t0)0 Если ф-ция x(t) и g(t) имеет производную x’’(t0) y’’(t0) то Ф’’(x0) равно =(Ф’(x))’x|x=0=(y’t/x’)’ x|x=x0=(y’t/x’t|t|t=t0t’x|x=x0=y’’tt(t0)x’t(t0)-y’t(t0)xtt’’(t0)/(x’t(t0))

#29 Теорема (Ферма). Если функция f(x) имеет про­изводную в точке с и достигает в этой точке наибольшее(наим) значение, то f’(с)=0. Доказательство. Для определенности будем считать, что f(x) имеет в точке с локальный максимум. По оп­ределению производной имеем f’(c)=limx(f(c+x)-f(c))/x ;Так как у нас f(c)>=f (x) xU(с), то для достаточно малых x> 0 ;(f(c+x)-f(c))/x откуда в пределе при x0 получим, что f’(с)<=0. Если же x<0, то (f(c+x)-f(c))/x>=0 поэтому, переходя к пределу при x0 в этом нера­венстве, получаем, что f’(с)>=0.Из соотношений вытекает, что f'(c)=0.

#30 Теорема (Ролля). Если функция y=f(x) непре­рывна на [а, b], дифференцируема на (а, b) и f (а) ==f(b), то существует точка c0(а,b), такая, что f'(c)=0. Доказательство. Если f постоянна на [а, b], то для всех c(a, b) производная f'(c)=0.

Будем теперь считать, что f непостоянна на [а, b]. Так как f непрерывна на [а, b], то существует точка x1 [а, b], в которой f достигает максимума на [а, b] и существует точка х2[а, b], в кото­рой f достигает минимума на [а, b]. Обе точки не могут быть концевыми точками отрезка [а,b], потому что иначе maxf(x)=minf(x)=f(a) =f(b) и f была бы постоянной на [а, b]. Следовательно, одна из точек x1,х2 принадлежит к интервалу (а, b). Обозна­чим ее через c. В ней достигается локальный экстремум. Кроме того, f'(c) существует, потому что по условию f'(x) существует для всех х(а, b). Поэтому по теореме Ферма f’(c)=0.{} Теорема Ролля имеет простой геометри­ческий смысл. Если выполнены условия теоремы, то на графике функции y=f(x) существует точка (c,f(c)) касательная в кото­рой параллельна оси х.

#31 Теорема(Лагранжа). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b] и имеет про­изводную на интервале (а,b). Тогда существует на ин­тервале (а, b) точка с, для которой выполняется равенство (f(b)-f(a))/(b-a)=f'(c) (а<с tg=k=(f(b)-f(a))/(b-a) существует т. с в которой касат. к графику параллельна стяг прям концов крив. Рассмотрим вспомогательную функ-цию F(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))(x-a)/(b-a) данная функ-ция удовлетворяет всем условиям теор Ролля, т.к. она непрерыва на [a,b] в силу непрерывнотси f(x) и (x-a) и имеет на интервале(a,b) F’(x)=f’(x)-(f(b)-f(a))/(f-a) x(a,b) и F(a)=0=F(b) по теореме Ролля с(a,b) | F’(c)=0 f(c)-(f(b)-f(a))/(b-a)=0

Теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл, если записать ее в виде (f(b)-f(a))/(b-a)=f’(c) (a<c<b) Левая часть этого равенства есть тангенс угла наклона к оси х хорды, стягивающей точки (a, f(a)) и (b,f(b)) графика функции y=f(x), а правая часть есть тангенс угла наклона касательной к графику в некоторой про­межуточной точке с абсциссой с(а, b). Теорема Лагранжа утверждает, что если кривая есть график непре­рывной на [а, b] функции, имеющей производную на (a, b), то на этой кри­вой существует точка, соответствующая некоторой абсциссе с (а < с < b) такая, что касательная к кривой в этой точке параллельна хорде, стягивающей концы кривой (а, f(а)) и (b, f(b))

#32Теорема(Коши). Если функции f(x) и g(x) не­прерывны на [а, b] и дифференцируемы на (а, b), и g'(x)0 в (а, b), то существует точка c(a, b) такая, что( f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f’(c)/g’(c)

Доказательство. Отметим, что g(b)-g(a)0, так как в противном случае, по теореме Ролля нашлась бы точка g такая, что g'(c)=0, чего быть не может по условию теоремы. Составим вспомогательную функцию F(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))(g(x)-g(a))/(g(b)-g(a)) В силу условия теоремы эта функция F непрерывна на [а, b], дифференцируема на (а, b) и F(a)=0, F(b)=0. Применяя теорему Ролля, получим, что существует точка c(a, b), в которой F'(c)=0 Но F’(x)=f’(x)-(f(b)-f(a))g’(x)/(g(b)-g(a)) поэтому, подставляя вместо х точку c, получаем утверж­дение теоремы.

#33(Правило Лапиталя) 1)Ф-ции f(x) и g(x) опред на полуинтервале (a,b] ;2) limxa+0f(x)=limxa+0g(x)=0; 3) Существуют произв (конечн) f’(x) and g’(x) на (a,b] y’0 ; 4) Сущесвует (конечн или нет) limxa+0f’(x)/g’(x)=k тогда limxa+0f(x)/g(x)=k {Док-во} доопределим ф-ции f(x) и g(x) при x=a наложив f(0)=g(0)=0 ; Тогда мы получим непрерывные на отрезке [a;b] ф-ции (т.к. в т.a знак а f и g совпадают со значениями пределов, а в остальных точках непрерывность вытекает из существования производных) По теореме Коши. f(x)/g(x)=(f(x)-f(a))/(g(x)-g(a)=f’(c)/g’(c); где a0 ( т.к. если g(x)=0=g(0) (a,x) g’()=0-это не возможно по условию. Если xa ca limxa+0f(x)/g(x)= limxa+0f’(x)/g’(x)=k {}{T2}Пусть 1)f,g опр и непр на положит [c;+) c>0 ; 2) limx+f(x)=limxa+g(x)=0; 3)Сущ(кон) произв f’(x) and g’(x) на [c,+) g’(x)0 ;4) limxa+f’(x)/g’(x)=k Тогда limxa+f(x)/g(x)=k {д} Замена t=1/x, если x+t0 по условию 2) limt0f(1/x)= limt0g(1/x)=0 ;По усл 4) limt0f’(1/t)/g’(1/t)=k по т1 limxa+f(x)/g(x)= limxa+f’(x)/g’(x)=k {}{T3}1)Ф-ции f(x) и g(x) опред на полуинтервале (a,b] ;2) limxa+0f(x)=+; limxa+0g(x)=+; 3) Существуют произв (конечн) f’(x) and g’(x) на (a,b] y’0 ; 4) Сущесвует (конечн или нет) limxa+0f’(x)/g’(x)=k тогда limxa+0f(x)/g(x)=k

#34 Ф-ла Тейлора {Т} Путь ф-ция y=f(x) опред и непр на (a,b) и имеет в т.х(a,b) производные до порядка n включительно f’(x),f’’(x),…,f(n)(x); f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+ f’(x0)(x-x0)/2!+…+ f(n)(x0)(x-x0)(n)/n!+o((x-x0)n)-формула Тейлора с остаточным членом Пеано. f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+ f’(x0)(x-x0)/2!+…+ f(n)(x0)(x-x0)(n)/n!+f(n+1)(c)(x-x0)n+1/(n+1)!-формула Тейлора с остаточным членом Лагранжа. Pn(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+…+f(n)(x0)(x-x0)n/n!-ф-ла Тейлора в степени n, а ф-ция rn(x)=f(x)-Pn(x)-остаточный член ф-лы Тейлора; При х=0 ф-ла Маклорена. {Д} Найдём многочлен Pn(x)=A0+A,(x-x0)n ;Pn(x0)=f(x0), Pn’(x0)=f’(x0),…,Pn(n)(x0)=f(n)(x0) (1) Дифференцируя данный многочлен получим Pn(x)=A0+a1(x-x0)+…+An(x-x0)n;Pn(x0)=f(x0),Pn’(x0)=f’(x0),…,Pn(n)(xn)=f(n)(x0); Pn’(x)=A1+2A2(x-x0)+…+nAn(x-x0)n-1 ; P’’n(x)=2A2+32A3(x-x0)+….+n(n-1)An(x-x0)n-2 ;Pn(n)=n(n-1)(n-2)An; P(x0)=A0=f(x0); Pn(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+fn(x0)(x-x0)/2!+…+f(n)(x0)(x-x0)n/n!; Pn(x0)=f(x0), Pn’(x0)-f’(x0),…,Pn(n)(x0)=f(n)(x0) ; rn(x)=f(x)-Pn(x) Т.к. деференцир rn(n-1)(x) диф-фма в () x0 то limxx0rn(n-1)(x)/(x-x0)= limxx0 (rn(n-1)(x))-rnn-1(x0)/(x-x0)=rnn(x0) Раскрывая по правилу Лапиталя получим limxx0rn(x)/(x-x0)n= limxx0rn’(x)/n(x-x0)n-1=…= limxx0rn(n-1)(x)/n!(x-x0)=rn(n)(x)/n!=0 rn(x)=o((x-x0)n),xx0

#35Разложение основных элементарных ф-ций по формуле Маклорена. 1)f(x)=ex, f(0)=1, f(k)(x)=ex, f(k)(0)=1, ex=1+x+x/2!+…+xn/n!+o(xn), x0; 2)f(x)=sinx, f(0)=0, f’(x)=cosx, f’’(x)=-sinx, f’’’(x)=-cosx, f(IV)(x)=sinx,…; f(k)(x)={(-1)msinx, k=2m {(-1)m-1cosx, k=2m-1 m=1,2,…; f(2m-1)(0)=(-1)m-1 полагая n=2m получим sinx=x-x3/3!+x5/5!-…+(-1)n-1x2m-1/(2m-1)!+o(x)2m,x0; cosx=1-x/2!+x4/2!-x6/6!+….+(-1)mx2m/(2m)!+o(x2m+1),x0; 4)f(x)=ln(1+x)…f(0)=ln1=0, f’(x)=1/(1+x), f’’(x)=-1/(1+x), f’’’(x)=2/(1+x)3…,f(k)(x)=(-1)k-1(k-1)/(1+x)k ;f(k)(0)=(-1)k-1(k-1)! Подставим в формулу Тейлора l(1+x)=x-x/2+x3/3+..+(-1)n-1xn/n+o(xn),x0 ; 5)f(x)=(1+x) f(0)=1, f’(x)=(1+x)-1, f’’(x)=(-1)(1+x)-2; f(k)(x)=(-1)…(-k+1)(1+x)-k ;f(k)(0)=(-1)…(-k+1); (1+x)=1+x+(-1)x/2!+…+(-1)…(-n+1)xn/n!+o(xn), x0

#36 Признак монотонности ф-ции. {Т} Пусть ф-ция f(x) дифференцируема на (a,b), для того, чтобы ф-ция возрастала(убывала) на этом интервале необходимо и достаточно чтобы во всех точках этого интервала выполнялось f’(x)>=0 (f’(x)<=0) Если во всех точках интервала f’(x)>0 (f’(x)<0), то ф-ция строго возрастает (убывает) на интервале (a;b) {Д} Пусть f-возрастает (убывает) x0(a,b), x>0, тогда f(x0+x)-f(x0)>=0; x0; (y<=0) y/x>=0 (y/x<=0) f’(x0)=limx0y/x>=0 (f’(x0)<=0); {}Пусть x(a,b) f’(x)>=0 (f’(x)<=0) a0, f’(c)>=0 (f’(c)<=0) f(x2)-f(x1)>=0 (f(x2)-f(x1)<=0) f(x2)>=f(x1) (f(x2)<=f(x1)) ф-ция возрастает (убывает) Если f’(x)>0 x(a,b) (f’(x)<0,x(a,b))f’(c)>0 (f’(c)<0)f(x2)-f(x1)>0 (f(x2)-f(x1)<0)

#37{Т}Пусть () x0 –является точкой экстремума ф-ции f(x), тогда производная в этой точке =0 либо не существует. {Док} Т.к. (.) x0 –экстремум U(x0,) | xU(x0,) f(x)>=f(x0) или f(x)<=f(x0) т.е. в (.) x0 ф-ция y=f(x) принимает наибольшее или наименьшее значение в окр.U(x0,) по теорме Ферма произв если она сущ то =0 {Т} Достаточное условие экстремума: Пусть ф-ция y=f(x) дифференцируема в некоторой окресности (.) x0 за исключением быть может самой точки х0 в которой она непрерывна. Тогда если при переходе через точку х0 производная ф-ции меняет знак (т.е. >=0 | x(x0,x0+] f’(x)<0 (or f’(x)>0), а x(x0-,x0] f’(x)<0 (or f”(x)>0) то х0 является экстремумом при этом для x(,x0+); f’(x)>0,a для x(x0-,x0) f’(x)<0 то x0 –макс , а для x(x0-,x0) f’(x)<0, а для x(x0,x0+) f’(x)>0 то xo-мин. {До} Пусть для x(x0-,x0) f’(x)>0 для x(x0,x0+) f”(x)<0. По теореме Лагранжа f=f(x)-f(x0)=f’()(x-x0) между х0 и х Если х>x0 x-x0>0 x0<)<0f<0. Если х x-x0<0, x<)>0f>0 f(x)

#38 Пусть y=f(x) определена и непрерывна на промежутке Х ф-ции называется выпуклой (вогнутой) если x1,x2 X выполняется нер-во f(q1x1+q2x2)<=q1f(x1)+q2f(x2) (f(q1x1+q2x2)>=q1f(x1)+q2f(x2)), где q1>0,q2>0, q1+q2=1 Геом интопрет: x=q1x1+q2x2 (x10,q2>0, q1+q2=1 тогда т.х лежит между точками х1 и х2{Док-во} (x-x1=q1x1+q2x2-x2=x1(q1-1)+q2x2=-x1q2+q2x2=q2(x2-x1)>0x>x1x2-x=x2-q1x1-q2x2=x(1-q2)-q1x1=x2q1-q1x1=q2(x2-x1)>0x1х q1x1+q2x2 q1=(x2-x)/(x2-x1); q1=(x-x1)/(x2-x1) выполнено неравенство (f(x)-f(x1))/(x-x1)<=(>=)(f(x2)-f(x))/x2-x1) (1) {Т1} Пусть ф f(x) опред. и непрерыв. на пром. Х и имеет на этом пром. кон . произв. Для того чтобы выпукла(вогнута) f’(x)- возратала(убывала) на Х {Док-во} Пусть ф-ция выпукла на Х и х1<х<х2 Тогда вып нер-во (1) переходя в этом нер-ве к пределу хх1 или хх2 получим f’(x1)<=(f(x2)-f(x1))/(x2-x1) xx1 (f(x2)-f(x1))/(x2-x1)<=f’(x2) xx1 f’(x)<=f’(x2) производная возрастает {Обр} Пусть произв. возрост. то по теор Лагранжа (f(x2)-f(x1))/(x2-x1)=f’() Причём т.к. (f’(1)<=f’(2) выполнено нер-во 1 ф-ция выпукла. {Т} Пусть ф-ция y=f(x) определена и непрерывна вместе со своей производной на промежутке (Х) и имеет на этом промежутке конечную вторую производную, для того чтобы ф-ция была выпуклой ( вогнутой) на X необходимо и достаточно, чтобы на этом промежутке выполнялось нер-во f’’(x)>=0 (f’’(x)<=0) {Док} f-выпуклая(вогнутая) f’ – возрастает(убывает) f’’<=0 (f’’>=0) {(.) перегиба} Пусть y=f(x) –дифференцируема в (.) x0 и y=e(x)-ур-ние касательной к графику ф-ции у=f(x) в (.) х0. Если при переходе через (.) х0 выражение f(x)-e(x)- меняет свой знак то (.) х0 называется точкой перегиба. {T}Достаточное условие точки перегиба. Если х0 является точкой перегиба ф-ции f(x) и вэтой точке существует вторая производная, то она равна 0 {Д} Уравнение касательной к графику ф-ции y=f(x) в т. х0 имеет вид