#7{Теорема
о пределе сложной
ф-ции} Пусть
limxaf(x)=A
limyAg(y)=B
и в некоторой
U(a,1)
определена
сложная ф-ция
g(f(x))
и f(x)А
тогда limxag(f(x))=limyAg(y)
{Док-во} E>0
т.к.
limyAg(y)=B
>0
|y
, 0<|y-A|<
|g(y)-B|
limxaf(x)=A
для
Е1=
<1
| x
, 0<|x-a|<
0<|f(x)-A|<
x,
0<|x-a|<
|g(x)-B|limxag(f(x))=B=limyAg(y)
#8{сравнение
ф-ций} f(x)
есть O-большое
от ф-ци от ф-ции
g(x)
на мн-ве Е и пишут
f(x)
=O(g(x))
на E
, если
C>0
| |f(x)|C(g(x))
x
E
f(x)=O(1)
на E
f(x)
ограничена
на Е т.е.
С>0 | |f(x)|C
xE
Пусть ф-ция
f(x)
и g(x)
–определены
в некоторой
окрестности
(.) а за исключением
быть может
самой этой (.)
f(x)
есть o-малое
от g(x)
при xa
и пишут f(x)=o(g(x)),
xa
, если в некоторой
выколотой
окрестности
а имеет место
f(x)=E(x)g(x),
где limxfE(x)=0
x=o(x),
x0
f(x)=og(x)
, xa
E(x)=x
h(x)=o(g(x)),
xa;
(x)+h(x)=o(g(0))+o(g(x)=o(g(x))
xa
f(x)
есть O-большое
от g(x)
при xa,
если
U(a)
| f(x)=O(g(x))
на U(a)
пишут f(x)=O(g(x)),
xa
Ф-ции f(x)
и g(x)
называется
эквивалентами
xa,
если эти ф-ции
определены
и отличны и
отличны от 0 в
некоторой
окрестности
(.) а за исключением
быть может
самой этой
точки и существует
предел
limxaf(x)/g(x)=1
пишут f(x)g(x)
xa
{Т} Для того, чтобы
ф-ция f(x)
и g(x)
были эквивалентны,
необходимо
и достаточно
f(x)=g(x)+o(g(x))
xa
g(x)0
(xa)
{Док-во} Пусть
f(x)g(x)
, xa
тогда по определению
g(x)
отлично от 0 в
U(0)
и
limxaf(x)/g(x)=1
E(x),
E(x)0
при xa
| f(x)/g(x)=1+E(x)
f(x)=g(x)+E(x)g(x)=g(x)+o(g(x)),
xa.
Обратно Пусть
f(x)=g(X)+o(g(x))
xa
, g(x)+o(x+a)
f(x)=g(x)+E(x)g(x),
где limxaE(x)=0
f(x)/g(x)=1+E(x)
limxaf(x)/g(x)=1
f~g(x)
xa
{Сранение бесконечно
малых ф-ций}
Пусть f(x)
и g(x)
–б.м. ф-ции при
xa
g(x)0
в некоторой
U(a)
{O}
Если отношение
f(x)/g(x)
при xa
имеет конечный
и отличный от
0 предел, то ф-
ции называются
б.м. одного порядка.
Если f(x)/g(x)=0
то f(x)
само является
бесконечно
б.м. более высокого
порядка по
сравнению с
g(x)
при xa
{O}
Ф-ция f(x)
называется
б.м. к-ого относительно
б.м. g(x)
при xa,
Если ф-ция f(x)
и gk(x)
б.м. одного порядка
при xa
№9{Непрерывность
ф-ции в точке}
Ф-ия назыв
непрерывной
в точке а если
(дельта)f(a)=f(a+h)-f(a)
определена
в окр точки
h=0
и для
>0
=()>0
такое что h
/h/<
/f(a+h)-f(a)/<
Для того чтобы
ф-ия была f(x)
была непрерывна
в т а необход
и достаточно
чтобы сущ f(a+0),
f(a-0)
и f(a+0)=f(a)=f(a-0){Одностороняя
непрерывность}
Ф-ция наз. непрерывной
справа (слева)
если существует
f(a+0)=limxa+0f(x)
(f(a-0)=limxa-0f(x))
и f(a+0)=f(a)
(f(a-0)=f(a))
{классифик
точек разрыва}
если для ф-ии
f(x)
в т а
f(a+0),
f(a-0)
конечные значения
но ф-ия в точке
а имеет разрыв.
то говорят что
она имеет разрыв
1-го рода если
ф-ия в точке а
имеет разрыв
не 1-го рода то
такой разрыв
называется
разрывом второго
рода.{Теорема
о сохранении
знака непрерывной
ф-ции} пусть
ф-ия f(x)
непрерывна
в т а и f(a)0
тогда существует
окрестность
точки а :U(a)
и с>0 такое что
f(x)>c
xU(a,)
((1)f(a)>0)
f(x)<
-c
xU(a)
при f(a)<0
{Док-во} возьмем
=/f(a)//2>0
тогда
>0
такое что xU(a)
=> /f(x)-f(a)/<
=/f(a)//2
f(x)0
=> /f(a)/=f(a)=>
xU(a)
f(a)/2 c
= f(a)/2;
2) f(a)<0
=> /f(a)/=-f(a)=>
xU(a)
f(a)/2>f(x)
=> c
= - f(a)/2
>0 => f(x)<-c
чтд
#10{Св-ва
непрерывных
ф-ций на промежутках}
{Т Больцано-Каши}
Пусть ф-ция
f(x)
определена
и непрерывеа
на отр [a,b]
и принимает
на его концах
значения разных
знаков. Тогда
существует
(.) с принадлежащая
интервалу (a,b)
в которой f(c)=0
{T2}
Пусть ф-ция
f(x)
определенна
и непрерывна
на промежутке
X([c,d],[c,d),(c,d],(c,d))
и принимает
в т. a,b
X
, af(b)=B,
тогда для любого
числа С лежащего
между А и В
c(a,b)
/ f(с)=С
{Док} Рассмотрим
[a;b]
вспомогат ф-цию
(x)=f(x)-C
Пусть для
определённости
A
A(x)
непрерывна
на [a,b]
и принимает
на его концах
разные знаки
(a)=f(a)-C=A-C<0;
(b)=f(b)-C=B-C>0
по теореме
Больцана –Каши
с(a,b)
| (c)=0
f(c)-C=0
f(c)=C
{Т}Ф-ция f(x)
непрерывная
на отр [a,b]
ограничена
на этом отрезке.{Т}
Ф-ция f(x)-непрерывна
на отр[a,b]
в некоторых
точках этого
отрезка минимального
и мах значения
.
[a,b]
| f()=minf(x)
x[a,b];
f()=maxf(x)
x[a,b]
f()<=f(x)<=f()
x
[a,b].
{Равномерная
непрерывность}
Ф-ция y=f(x)
определённая
на мн-ве ХRn
называется
равномерно
непрерывной
на Х если для
>0
=()>0
| x’,x’’X,(x’,x’’)<|f(x’)-f(x’’)|<;
Прим f(x)
–равномерно
непрерывна
на всей числовой
прямой т.к. для
>0
=
| x’,x’’R,
|x’-x’’|<=
{Т Картера} ф-ция
непрерывная
на огран замкн.
мн-ве равномерно
непрерывна
на нём.
#11
{Т о непрерывн
сложн ф-ии } Пусть
ф-ия f(x)
непрерывна
в т. а, a
ф-я g(y)
непрер в т b
=f(a)
тогда сущ
ф-ия=g(f(x))
в некоторой
окр точки а
которая непрерывна
в точке а {Док-во}Возьмем
>0
тогда из непрерывности
ф-ии g(у)
в т b
следует что
сущ число >0
так что у
/у-b/<
так что ф-ия
g(y)
определена
и /g(y)-g(b)/<
из непрерывности
ф-ии g(x)
в т а
>0
(х)
опред на (а-;а+)
и х(а-;а+)
=> /f(x)-f(a)/<.
На интервале
(а-;а+)
опред сложная
ф-ия g(f(x))
причем х(а-;а+)
/g(f(x))-g(f(a))/<
=> по опред
непрерывности
=> g(f(x))
непрерывна
вт а чтд.
#12
{Непрерывность
обратной ф-ции}
Пусть у=f(x)
– непрерывна
при х
[a,b]
у[A,B]
и пусть она
строго возрастает,
тогда ф-ция
x=(y)
также непрерывна
{Д} Пусть y0[A,B]
x0=(y0),
f(x0)=y0
x0(a,b)
; возьмём >0
столь малое,
что [x0-,x0+][a,b]
Пусть y1=f(x0-)
y2=f(x0+)
Тогда в силу
строго возрастания
ф-ции f
y(y1,y2)x=(y)(x0-,x0+)
тогда для у из
[A,B]
получаем [a,b]
мы получили
на нём >0
удовлетв этому
условию мы не
взяли существ
окрестность
в (.) 0 (у1,у2) | у(у1,у2)
соответсвует
(y)(x0-;x0+)
Если это утверждение
справедливо
для мал
то оно справедливо
для +
ф-ция
- непрерывна
в т. н0 по определению.
{} Пусть у0=В
х0=(y0)=b
Возьмём )
тогда в силу
строгого возрастания
ф-ции f
y(y,y0]
x=(y)
при отображении
пойдёт в а (x0-,x0)
ф-ция
непрерывна
в (.) у0 по определению.
аналогично
рассматривается
случай с убыванием.
#13
{Непрерывность
элементарных
ф-ций} 1)f(x)=C
–непрерывна
на всей числовой
прямой. f(x)=f(x+h)-f(x)=C-C=0;
limh0f(x)=0;
2) f(x)=x;
f(x)=x+h-x=h
limh0h=0;
3)f(x)=xn,
nN
–непрерывна
на всей числовой
прямой, непрерывна
как произведение
непрерывных
ф-ций
по индукции
xn=xn-1x;
4)f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-непрерывная
на всей числовой
прямой как
сумма конечного
числа непрерывных
ф-ций;
5)R(x)=P(x)/Q(x)=(a0xn+a1xn-1+…+an)/(b0xm+b1xm-1+..+bm)-непрерывна
на всей числовой
прямой за исключением
тех х, при которых
значение знам.
обращ в 0 как
частное двух
непрерывных
ф-ций.;6) f(x)=sinx
Лемма xR,
|sinx|<=|x|
Рассмотрим
еденичную
окружность.(OB,ox)=x;
(OB’,ox)=x
0<=x<=/2
т.к.
длина
отрезка
соед
две
точки
не
превосходит
длины
дуги
окружности
соединяющей
теже
точки
|BB’|<=BAB’ ; |BB’|=2Rsinx; BAB’{дуг}=2Rx
2Rsinx<=2rx; sinx<=x ; Если
-/2<=x<0
то
|sinx|=-sinx=sin(-x)<=-x=|x| ; 0<-x<=/2
Если
|x|>/2
|sinx|<=1</2<|x|
{док}
что
sinx- непрерывна.
|f(x)|=|sin(x+h)-sinx|=|2sinh/2cos(x+h/2)|<=2|sinh/2|
limh0sinh/2=0
7.f(x)=cosx – непрерывна
на
всей
числовой
прямой
|f(x)|=|cos|x+h|-cosx|=(2sinh/2sin(x+h/2)<=2|h/2|
|h|0;
8)f(x)=ax
–непр
на
всей
числ
пр,a>=0
f=(ax+h-ax)=ax(ah-1)
limh0ax(ah-1)=0;
9)f(x)=logax
a>0 a1
непрерывна
на
(0,+)
10)arcsinx, arccosx – на
всей
числ.
пр.
#14
{Понятие числового
ряда} пусть
дана числовая
последовательность
{an}
составленный
из членов этой
последовательности
символ. а1+а2+а3…аn
назыв беск
числовым рядом
а1а2-члены этого
ряда для обознач
исп
сумма n
1-ых членов ряда
назыв частичной
суммой ряда
если предел
послед частичных
сумм конечный
то говорят что
ряд сход в прот
случае расход
{Т необход условие
сходимости}
если ряд аn
сход то lim(n)an=0
док-во если
ряд an
сх то
lim(n)Sn=S=lim(n)S(n-1)
тогда lim(n)an
= lim(n)(Sn-S(n-1))
= lim(n)Sn-lim(n)(Sn-1)=0
т док. {Т Критерий
Коши } Для сх-ти
ряда (n=1,)an
>0
n
такое что при
n>n
и р
Z
p>=0
вып неравенство
/аn+an+1+an+2+an+p/<;
{} (n=1..)1/n(
в степ )
>1 сход <1
расход; n<=n
Пусть <=1
1/n+1/(n+1)+…+1/(2n-1)>=1/n+1/(n+1)+…+1/(2n-1)>1/2n+1/2n+…+1/2n=n/2n=1/2
для =1/2
при
n
p=n-1
| вып-ся нер-во
|an+…+an+p|>
ряд расх. Пусть
>1,
=2-1>0
расходится
частичная сумма
ряда
S2k=1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+…+(1/(2k-1+1)+,,,+1/(2k));
1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n)>1/n+1/n+1/n=n/n=1/n-1=1/n<1+1/2+1/2/(1-1/2)
{S2k}
–ограничена
сверху т.к. n
k
|n<2k
Sn2k
ряд
сход.
#15
{Св-ва сходящихся
рядов} Если
+n=1an
сх-ся то сх-ся
и любой его
остаток, если
сходится какой
либо остаток
то сходися и
сам ряд. {Д} Пусть
k=m+1+ak-остаток
ряда. Обозначим
Аn=a1+…+an
– n-ая
частная сумма
ряда (1,+)an
A’s=am+1+…+am+s
–s-ая
частная сумма
k=m+1+ak,
тогда A’s=Am+s-Am
т.к. limnaAn
limS+Am+S
limS+A’S=lims+Am+S-Am
k=m+1+ak
cx-cя;
Пусть
k=m+1+ak
сх-ся
; Am+S=AS’+Am;
n=m+s
An=A’n-m+Am (n>m) Т.к.
lims+A’Slimn+A’n=m
limn+A=limn+An-n+Am
n=1+an
ряд
сх.
{Следствие}
Если
ряд
(1,+)an
сх-ся
и
n=(k=n+1,+)ak
limn+n=0
{Док}
Пусть
An=(1,n)ak,
A=limn+An
A=An+nn=A-A1
limn+n=A-limn+An=0
{Т}
Если
ряды
(n=1,+)an
и
(n=1,+)bn
сх-ся
и
-число,
то
(n=1,+)(an+bn)
сх-ся
и
(n=1,+)an
сх-ся
{Д}
Пусть
Аn=(k=1,n)ak,
Bn=k=1nbk;
A=limn+An,
B=limn+Bn;
limn+(An+Bn)=A+B,
limn+An=A
Т.к.
An+Bn=(a1+b1)+…+(an+bn)-
n-ая
частичная
сумма
ряда
(n=1,+)(an+bn)
и
An=a1+…+an-
n-ая
частичная
сумма
ряда
то
данные
ряды
сходятся.
#16{T
признак сравнения}
пусть даны 2
ряда (n=1..)an
и (n=1..)bn
аn>=0
bn>=0
(n=1,2,3…)
и
no
такое что при
n>no
аn
расход ряда
Bn
и наоборот.
{Док-во} пусть
ряд Вn
сход (к=no+1..)bk
сход Аn
= a(no+1)+…+a(no+m),
Bn=b(no+1)+…+b(no+n)
=>
M>0
такое что Bnn
An<=Bn<=M
=> (k=no+1..)ak
сх-ся =>(k=1..)ak
сход {Предельный
признак сравнения}Если
сущ предел
lim(n)
an/bn
=k
то; 1).0<=k<+
из сход bn
следует сходимость
an;
2).0
из расх bn
следует расходимость
an
{док-во} если
0<=к<+
=> =1
no
такое что при
n>no
an/bn
=k+1
=> an<(n+1)bn
n>no
=> из сх bn
следует сходимость
an
=> aк
сходится 0<к<=+
=к/2
(к<+)
и =1
к=+
no
такое что при
n>no
an/bn>k/2
(k<+)
an/bn>1;
k=+
=> при n>no
аn>(k/2)bn
(k<+)
=> из расход bn
=>аn
расх =>ак
а>bn
(k=+)
Утв.
#17{Признак
Даламбера не
предельный(пр
Тейлора)} an
an>0
n=1,2,3…
Если а(n+1)/an
<=q<1
(n=1,2,3…)
=>
ряд
сход
если
q>=1 ряд
расх
{Док-во}
аn=
a1*a2/a1*a3/a2…an/a(n-1)<=a1q…q=a1qn-1
q<1 т.к.
(n=1,+)qn-1
cх-ся
как бесконечная
=> (n=1,+)аn
cх-ся
Пусть а(n+1)/an
>=1 => а(n+1)>=an>=…>=a1>=0
lim(n)an0
=>ряд расход
{Признак Дплмбера
предельный}
Пусть существует
предел: limn+an+1/an=k;
1)k<1
ряд сх; 2)k>1
ряд расх. {Док-во}
k<1
>0
|k+<1
n0
| n>n0
an+1/an{=q}<1
(k=n0+1,+)ak
–сх-ся
n=1+an
сх-ся. Пусть
k>1;
k<+
>0
| k->1
n0
| при n>n0
an+1/an>k->1
n=1+an
расход { Радик
Признак Коши}
пусть дан ряд
an>0
кор n-ой
степ(аn)<=q<1
ряд сх-ся если
кор n-ой
степ(аn)>1
ряд расход
{cледствие}
пусть
lim(кор
n-ой
степ(аn))=k;
k<1
– ряд сх к>1 –
ряд расход
#18
{O}
Знакопеременными
рядами называют
n=1+(-1)n-1an,
an>0{Т
Лейбница} пусть
дан знакоперем
ряд (-1)n-1
сn
cn>0;
1)C(n+1)<=C(n)
n=1,2,3;
2)Lim(n)(Cn)=0
то ряд сход
{Док-во} рассм
частичные суммы
ряда c
чётными номерами
S2k
можно представить
в виде:
S2k=(c1-c2)+(c3-c4)+…+(c(2k-1)-c(2k))
Т.к. каждая из
скобок положительна
то данная частичная
сумма образует
возрастающую
последовательность
по усл теоремы
S2k=c1-(c2-c3)-…-(c(2n-2)-c(2n-1))-c2nlim(n)(S2n)=S
Рассм теперь
сумму с нечётными
номерами
S2k+1=S2k+C2k+1
т к limC2k+1
= 0 =>
lim(k)S2k+1=lim(k)S2k=S;
Из вышесказанного
следует
lim(n)Sn=lim(n)S2k
= lim(k)S2k+1=S
{Док-ть самим}
{Оценка
остатка ряда}
При выполнении
Т Лейбница знак
остатка ряда
совпад со знаком
своего 1-го члена
и не превосходит
его по модулю
#19
Ряд n=1an
–наз абс сход
если сход ряд
|an|.
Если an
– cх
а |an|
- расх то такой
ряд наз усл сх.
{Теорема о связи
между сх абс
и об} Если ряд
абсолютно
сходится то
он и просто
сходится {Док}
Пусть ряд n=1+an
-абс
сх
n=1+|аn|
-сх-ся
по критерию
Коши >0
n|
при n>n
и pZ
p>=0
вып-ся нер-во:
|an+an+1+…+an+p|<=|an|+…+|an+p|<
по критерию
Коши
n=1+an-сх-ся.{Св-ва
абс сх рядов}
{Т1} Если n=1+an
–абс сход, то
ряд полученный
из него произвольной
перестановкой
членов также
абс сх и имеет
тужу сумму.
{Т2} Если ряды
n=1+an
и n=1+bn
абс сх то ряд
сост из возм
попарн произведений
aibi
взятых в произвольном
порядке также
абсолютно сход
и сумма его =
произведению
сумм рядов an
и bn
{Признаки Даламбера
и Каши для рядов
с произвольными
членами} При
исследовании
ряда n=1+an
на абс сход к
ряду из модулей
его членов
могут быть
применены все
признаки сходимости
для знакоположительных
рядов. {Т1}|an-1|/|an| ;
limn+|an-1|/|an|=k;
при k<1
ряд еn=1+Ґan-
сход при k<1
ряд еn=1+Ґan-сх
при k>1
ряд еn=1+Ґan-
расх {Т2} Если
для посл-ности
еn|an|;
k=limn+
n|an|;
при k<1
ряд еn=1+Ґan-сх
при k>1
ряд еn=1+Ґan-
расх.
#20{Ряды
с комплексными
членами} {О}
Посл-ность
zn=xn+iyn,
n=1,2…
имеет своим
пределом число
z0=x0+y0
Если для >0
n
| при n>n
вып
|zn-z0|<
; Для того чтобы
посл-ность
zn=xn+iyn
сход необходимо
и достаточно
чтобы последовательность
хn
сход х0 и посл.
yn
сход у0. {Док-во}
Пусть z0=limnzn
>0
n
| при
n>n
=|zn-z0|<
Т.к. |zn-z0|=((xn-x0)+(yn-y0))
|zn-z0|>=|xn-x0|
и |zn-zo|>=
|yn-y0|
при n>n
вып. нер-во
|xn-x0|<=|zn-z0|<
; |yn-y0|<=|zn-z0|<
по опр. limnXn=x0
а limnyn=y0
{}Пусьт дана
пос-ность компл.
чисел {Zn}.
Если существует
предел последовательности
его частичных
сумм в этом
случае этот
предел называют
суммой ряда.
В проти вном
сл ряд расх.
{Т} Для того чтобы
ряд zn=xn+iyn
сходился и имел
своей суммой
число s=+i
Необх. и достаточно
чтобы сход ряды
(n=1,+)xn
и (n=1,+)уn
и имели своими
суммами числа
и
- соответственно
Sn=(k=1,n)xk+i(k=1,n)yk
и если ряд
(n=1,+)zn
–сх то limn+zn=0
{Д} Пусть zn=xn+iyn
т.к. (n=1,+)zn
–сх
(n=1,+)xn
сх и (n=1,+)уn
–сх
limn+xn=limn+yn=0
limn+zn=limn+xn+ilimn+yn=0
чтд. {О} Ряд zn
назыв абс сход
если сход ряд
мод zn
если сход ряд
zn
а ряд |zn|
расход то усл.
сход. {Т} Абсолютно
сходящийся
ряд сходится.{Д}
Пусть (n=1,+)zn
–абс сход
(n=1,+)|zn|
-сх
Т.к. |xn|<=(xn+yn)=|zn|,
|yn|<=|zn|
(zn=xn+iyn)
по признаку
сравнения
(n=1,+)|xn|
-cх
и (n=1,+)|yn|
-сх
(n=1,+)xn
–сх и (n=1,+)уn-сх
(n=1,+)zn
–cх
{Т} Для того чтобы
ряд абс сходился
(zn=xn+iyn)
необходимо
и достаточно,
чтобы ряды xn
и yn
– абс сход {Д}
Пусть (n=1,+)|xn|
и (n=1,+)|уn|
сх |zn=(xn+yn)<=
(yn+2|xn||yn|+yn)
<= (|xn|+|yn|)=|xn|+|yn|
то по признаку
сравнения
(n=1,+)|zn|
- cх-ся.
#21{Производная
диф…} {O}
Производной
f(x)
в т. х0- называется
предел отношение
приращения
ф-ции к соответсвующему
приращению
аргумента,
когда последние
0;
f'(x0)=limx0(f(x0+x)-f(x0))/x
{O}
A=const
Вырожение Ах
–назыв. дифференциалом
ф-ции f
в т. х0 и обозначают
dy
или df(x);
Приращение
х
обозначают
dx
и называют
дефференциалом
независимой
переменной
т.о. dy=Adx
{Т} Если у ф-ции
f(x)
в (.) x0
существут
производная
то ф-ция непрерывна
в (.) х0 {Док-во} Пусть
y=f(x0+x)-f(x0)
т.к.
limx0y/x=f’(x0)
y/x=f’(x0)+(x),
где (x)
0
при х0
y=f’(x0)x+(x),
где (х)0
при х0
y=f’(x0)x+(x)x
limx0y=0
в f(x)-непрерывно
в т.х0 {O}y=f(x)-определённая
в U(x0) в т.х0 называется
дифференцируемой
при х=х0 исли
её приращение
у=f(x0+x)-f(x0),
x0+xU(x0)
можно представить
в виде у=Ах+о(х),
х0{Т}
Для того, чтобы
ф-ция y=f(x)
была дифференцируема,
необходимо
и достаточно
чтобы она в
этой точке
имела дифференциал.
{Док-во} Пусть
y=f(x)
диффер-ма в х0
y
=f(x0+x)-f(x0)=
Ax+o(x),
x0;
limx0y/x=
limx0(A+o(x)/x)=A;
т.о. в т. х0 f’(x0)=limx0y/x=A
{Обратно} Пусть
ф-ция y=f(x)
имеет в т. х0
f’(x0)=limx0y/xy/x=f’(x0)+(x),
limx0(x)=0
y=f’(x0)x
+(x)x
y=f’(x0)x+o(x),
x0
ф-ция f-
дифференцируема
в т. х0
№22
{Геометрический
смысл произ}
Пусть ф-ция
y=f(x)-
определена
и непрерывна
на (a;b)
x0,
x0+x(a,b),
y0=f(x0),
y0+y=f(x0+x)
M0(x0,y0)
M(x0+x,y0+y){картинка}
проведём секущую
MM0
её ур-ние имеет
вид y=y0+k(x)(x-x0),
k(x)=y/x;
Всилу непрерывности
y=f(x)
в т.(х0) у0
при х0
|M0M|=(x+y)0
при х0
В этом случае
говорят что
MM0
{О} Если
limx0k(x)=k0
то прямая уравнение
которой y=y0+k(x)(x-x0)
получается
из ур-ния k(x)=y/x
при х0
называется
наклонной
касательной
к графику ф-ции
у=f(x)
в (.) (х0,у0) Т.к. k(x)=y/x,
то k0=limx0k(x)=
limx0y/x=f’(x0)
уравнение
касательной
имеет вид
y=y0+f’(x0)(x-x0)
; f’(x0)=tg;
причём y=y0+k0(x-x0)
–называется
предельным
положением;
y=y0+k(x)(x-x0)
касательная
есть предельное
положение
секущей при
M0M
т.к. f’(x0)(x-x0)=dy
то dy=y-y0
где у-текущая
ордината касательной.
Т.е. дифференциал
ф-ции в (.) х0 есть
приращение
ординаты
касательной.{Уравнение
нормали.} Нормалью
к графику ф-ции
y=f(x)
в (.) (х0,у0) называется
прямая роходящая
через эту точку
перпендикулярно
касат к графикуэтй
ф-ции. Его можно
написать, зная
точку, через
которую она
проходит и
угловой коэффициент
k=-1/f’(x0)
; y-f(x0)=-1(x-x0)/f’(x0)
x
и y
– точки на нормали
#23
Пусть ф-ции
U(x)
и V(x)
–дифференцируемы
в (.) х тогда
d(U+(-)V)=(U+(-)V)’dx=(U’+(-)V’)dx=U’dx+(-)V’dx=dU+(-)dV;
2)d(UV)=(UV)’dx=(U’V+V’U)dx=U’Xdx+V’Udx=Vdu+Udv;
3)d(U/V)=(U/V)'dx=(U'V+v'U)dx/V=(U'Vdx-V’Udx)/V=(Vdu-Udv)/V
№24 {Производная
от сложной
ф-ии.} Dh:
Пусть: z=f(y)
- дифф. в точке
y0
; y=(x)
дифф.
в точке х0
. y0=(x0)
тогда сложная
ф-ия z=f((x))-
дифф. в точке
х0
и справедлива
формула:
z’x=z’yy’x=f’(y)’(x)
; dz/dx=dz/dy
dy/dx
{Док}Т.к. z=f(y)
- дифф. в точке
y0
z=f’(y0)y+(y);
Т.к. y=(x)-
дифф. в точке
х0
y=’(x0)x+(x);
z=f’(y0)’(x0)x+f’(y0)(x)+(y);
Т.к y=(x)
- дифф. в точке
х0
а значит непрерывна
в этой точке
(x0y0).
(x)=f’(x0)(x)+(y);
limx0/x;
limx0(x)/x=
limx0[f’(x0)(x)/x+(y)/x]=
limx0(y)/x=
limx0(y)/y
limx0y/x=’(x0);
(f((x)))=(f’(y0)’(x0))x+(x),
где
limx0(x)/x=0
(f((x)))’x=z’x=f’(y0)’(x0)
#25
{Производная
от обратной
ф-ии.} Пусть y=f(x)
в точке х0 имеет:
1) f’(x)0,
2) на промежутке,
содержащем
х0, обратную
ф-цию y=f-1(x)=(y)
3) y0=f(x0);
тогда в (.) х0 существует
f’()0,
равная '(y0)=1/f’(x0).
{Док-во} Пусть
x=(y)
и двум различным
значениям х
соответсвует
е различных
значений у.
xx0yy0x0
y0
y/x=1/y/x
; Пусть y=f(x)
дифф. в точке
x0
тогда limx0y=0x0y0
f’(x0)=limx0y/x=
limy01/y/x=1/limy0x/y=1/’(y0)
; f’(x0)0’(y0)=1/f’(x0)
#26
{Логарифмическая
производная}
y=[u(x)]v(x),u(x)>0;
lny=v(x)lnu(x);
y'/y=v’(x)lnu(x)+v(x)u’(x)/u(x);
y’=uv(v’lnu+vu’/u);
(lny)’=y’/y-логарифмическая
производная
ф-ции {Производные
основных элементарных
ф-ций} 1) y=Const
y=c-c=0limx0y/x(C)’=0
; 2) y=sinx
y’=cosx
3)(cosx)’=-sinx
4) (ax)’=axlna
5)(arcsinx)’=1/1-x
6)(arccosx)’=-1/(1-x)
7) (arctgx)’=1/(1+x)
8) (arcctgx)’=-1/(1+x)
9) (lnx)’=1/x
; 10) (x)’=x-1
#27 {Производные
и дифференциалы
выс. порядков}{О}
Пусть y=f(x);
f(n)(x)=(f(n-1)(x))’
т.о. если говорят
что у ф-ции y=f(x)
в (.) существует
производная
n-ого
порядка то это
означает, что
в некоторой
окресности
(.) х0 определено
произведение
n-1
–ого порядка,
которая сама
имеет производную
в (.) х0 f(n-1)(x0)
Эта последняя
производная
и наз. n-ого
порядка от
ф-ции f
{}Дифференциал
n-ого
порядка} {О}
dnf(x)=d(dn-1f(x))
При взятии
дифференциала
следует учитывать,
что величина
dx
есть произвольное
не зависящее
от х число которое
надо рассматривать
как постоянный
множитель при
взятии производной
dy=d(dy)=d(f’(x)dx)=df’(x)dx=f’’(x)dx;
dny=f(n)(x)dxn
;f(n)=dny/dxn
) uv(n)
= u(n)v
+ Cn1
u(n-1)v'
+Cn2
u(n-2)v''
+ … +C1n
u(n-k)v(k)
+ uv(n)
=k=0nCkn
u(n-k)v(k),(формула
Лейбница), Где
Cnk
=n!/k!(n-k)!
, 0! = 1, v(0)
=
v. (u + v)(n)
= k=0nCkn
u(n-k)v(k)
-
бином
Ньютона.
формула
Лейбница доказывается
по индукции.
#28
{Параметрическое
дифференцирование}
Пусть x=x(t),
y=y(t)
определены
в окрестности
t0
t=t(x)
x0=x(t0)
Определена
сложная ф-ция
Ф(х)=у(t(x))
которая называется
параметрически
заданным уравнением.
Предположим
что x(t)
и g(t)
имеют производные
в т. х0 тогда ф-ции
Ф(х)=у(t(x))
также имеют
производную
в (.) х0 и она равна
Ф’(x)=y’t(t0)/x’t(t0)
Действительно
по правилу
дифференцирования
сложной ф-ции
Ф’(x0)=y’t(t0)t’x(x0);
t’x(x0)=1/x’t(t0)
Ф(э(х0)=y’t(t0)/x’t(t0)
x’(t0)0
Если ф-ция x(t)
и g(t)
имеет производную
x’’(t0)
y’’(t0)
то Ф’’(x0)
равно =(Ф’(x))’x|x=0=(y’t/x’)’
x|x=x0=(y’t/x’t|t|t=t0t’x|x=x0=y’’tt(t0)x’t(t0)-y’t(t0)xtt’’(t0)/(x’t(t0))
#29
Теорема (Ферма).
Если
функция
f(x)
имеет производную
в точке с и достигает
в этой точке
наибольшее(наим)
значение, то
f’(с)=0.
Доказательство.
Для определенности
будем считать,
что
f(x)
имеет в точке
с
локальный
максимум. По
определению
производной
имеем f’(c)=limx(f(c+x)-f(c))/x
;Так как у нас
f(c)>=f
(x)
xU(с),
то для достаточно
малых x>
0
;(f(c+x)-f(c))/x
откуда
в пределе при
x0
получим, что
f’(с)<=0.
Если
же x<0,
то (f(c+x)-f(c))/x>=0
поэтому, переходя
к пределу при
x0
в этом неравенстве,
получаем, что
f’(с)>=0.Из
соотношений
вытекает,
что f'(c)=0.
#30
Теорема
(Ролля).
Если
функция y=f(x)
непрерывна
на [а,
b], дифференцируема
на (а, b) и f
(а)
==f(b), то
существует
точка
c0(а,b),
такая,
что
f'(c)=0.
Доказательство.
Если
f
постоянна на
[а, b],
то для всех
c(a,
b) производная
f'(c)=0.
Будем
теперь считать,
что
f
непостоянна
на [а, b].
Так
как
f
непрерывна
на [а, b],
то существует
точка x1
[а, b],
в которой
f
достигает
максимума на
[а, b] и существует
точка х2[а,
b],
в которой f
достигает
минимума на
[а, b].
Обе точки не
могут быть
концевыми
точками отрезка
[а,b],
потому что
иначе maxf(x)=minf(x)=f(a)
=f(b)
и
f была
бы постоянной
на [а,
b].
Следовательно,
одна из точек
x1,х2
принадлежит
к интервалу
(а, b).
Обозначим
ее через c.
В ней достигается
локальный
экстремум.
Кроме того,
f'(c)
существует,
потому что по
условию
f'(x)
существует
для всех х(а,
b).
Поэтому по
теореме Ферма
f’(c)=0.{}
Теорема Ролля
имеет простой
геометрический
смысл. Если
выполнены
условия теоремы,
то на графике
функции y=f(x)
существует
точка (c,f(c))
касательная
в которой
параллельна
оси х.
#31 Теорема(Лагранжа).
Пусть
функция f(x)
непрерывна
на отрезке [а,
b] и
имеет производную
на интервале
(а,b).
Тогда существует
на интервале
(а, b) точка с, для
которой выполняется
равенство
(f(b)-f(a))/(b-a)=f'(c)
(а<с
tg=k=(f(b)-f(a))/(b-a)
существует
т. с в которой
касат. к графику
параллельна
стяг прям концов
крив. Рассмотрим
вспомогательную
функ-цию
F(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))(x-a)/(b-a)
данная функ-ция
удовлетворяет
всем условиям
теор Ролля,
т.к. она непрерыва
на [a,b]
в силу непрерывнотси
f(x)
и (x-a)
и имеет на
интервале(a,b)
F’(x)=f’(x)-(f(b)-f(a))/(f-a)
x(a,b)
и F(a)=0=F(b)
по теореме
Ролля
с(a,b)
| F’(c)=0
f’(c)-(f(b)-f(a))/(b-a)=0
Теорема
Лагранжа имеет
простой геометрический
смысл, если
записать ее
в виде
(f(b)-f(a))/(b-a)=f’(c)
(a<c<b)
Левая
часть этого
равенства есть
тангенс угла
наклона к оси
х
хорды, стягивающей
точки (a,
f(a))
и (b,f(b))
графика
функции y=f(x),
а правая часть
есть тангенс
угла наклона
касательной
к графику в
некоторой
промежуточной
точке с абсциссой
с(а,
b). Теорема
Лагранжа утверждает,
что если кривая
есть график
непрерывной
на [а, b] функции,
имеющей производную
на (a, b),
то на этой кривой
существует
точка, соответствующая
некоторой
абсциссе с
(а
< с
< b)
такая, что
касательная
к кривой в этой
точке параллельна
хорде, стягивающей
концы кривой
(а, f(а)) и (b,
f(b))
#32Теорема(Коши).
Если
функции f(x)
и g(x)
непрерывны
на [а, b] и дифференцируемы
на (а, b), и g'(x)0
в (а, b), то существует
точка
c(a,
b) такая,
что( f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f’(c)/g’(c)
Доказательство.
Отметим, что
g(b)-g(a)0,
так
как в противном
случае, по теореме
Ролля нашлась
бы точка g
такая, что g'(c)=0,
чего быть не
может по условию
теоремы. Составим
вспомогательную
функцию
F(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))(g(x)-g(a))/(g(b)-g(a))
В силу условия
теоремы эта
функция F
непрерывна
на [а,
b], дифференцируема
на (а,
b) и F(a)=0,
F(b)=0.
Применяя
теорему Ролля,
получим, что
существует
точка c(a,
b),
в которой F'(c)=0
Но F’(x)=f’(x)-(f(b)-f(a))g’(x)/(g(b)-g(a))
поэтому, подставляя
вместо х
точку
c, получаем
утверждение
теоремы.
#33(Правило
Лапиталя) 1)Ф-ции
f(x)
и g(x)
опред на полуинтервале
(a,b]
;2) limxa+0f(x)=limxa+0g(x)=0;
3) Существуют
произв (конечн)
f’(x)
and
g’(x)
на (a,b]
y’0
; 4) Сущесвует
(конечн или
нет) limxa+0f’(x)/g’(x)=k
тогда limxa+0f(x)/g(x)=k
{Док-во} доопределим
ф-ции f(x)
и g(x)
при x=a
наложив f(0)=g(0)=0
; Тогда мы получим
непрерывные
на отрезке
[a;b]
ф-ции (т.к. в т.a
знак а f
и g
совпадают со
значениями
пределов, а в
остальных
точках непрерывность
вытекает из
существования
производных)
По теореме
Коши.
f(x)/g(x)=(f(x)-f(a))/(g(x)-g(a)=f’(c)/g’(c);
где a0
( т.к. если g(x)=0=g(0)
(a,x)
g’()=0-это
не возможно
по условию.
Если xa
ca
limxa+0f(x)/g(x)=
limxa+0f’(x)/g’(x)=k
{}{T2}Пусть
1)f,g
опр и непр на
положит [c;+)
c>0
; 2) limx+f(x)=limxa+g(x)=0;
3)Сущ(кон) произв
f’(x)
and
g’(x)
на [c,+)
g’(x)0
;4)
limxa+f’(x)/g’(x)=k
Тогда limxa+f(x)/g(x)=k
{д} Замена t=1/x,
если x+t0
по условию 2)
limt0f(1/x)=
limt0g(1/x)=0
;По усл 4) limt0f’(1/t)/g’(1/t)=k
по
т1 limxa+f(x)/g(x)=
limxa+f’(x)/g’(x)=k
{}{T3}1)Ф-ции
f(x)
и g(x)
опред на полуинтервале
(a,b]
;2) limxa+0f(x)=+;
limxa+0g(x)=+;
3) Существуют
произв (конечн)
f’(x)
and
g’(x)
на (a,b]
y’0
; 4) Сущесвует
(конечн или
нет) limxa+0f’(x)/g’(x)=k
тогда limxa+0f(x)/g(x)=k
#34
Ф-ла Тейлора
{Т} Путь ф-ция
y=f(x)
опред и непр
на (a,b)
и имеет в т.х(a,b)
производные
до порядка n
включительно
f’(x),f’’(x),…,f(n)(x);
f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+
f’(x0)(x-x0)/2!+…+
f(n)(x0)(x-x0)(n)/n!+o((x-x0)n)-формула
Тейлора с остаточным
членом Пеано.
f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+
f’(x0)(x-x0)/2!+…+
f(n)(x0)(x-x0)(n)/n!+f(n+1)(c)(x-x0)n+1/(n+1)!-формула
Тейлора с остаточным
членом Лагранжа.
Pn(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+…+f(n)(x0)(x-x0)n/n!-ф-ла
Тейлора в степени
n,
а ф-ция rn(x)=f(x)-Pn(x)-остаточный
член ф-лы Тейлора;
При х=0 ф-ла Маклорена.
{Д} Найдём многочлен
Pn(x)=A0+A,(x-x0)n
;Pn(x0)=f(x0),
Pn’(x0)=f’(x0),…,Pn(n)(x0)=f(n)(x0)
(1) Дифференцируя
данный многочлен
получим
Pn(x)=A0+a1(x-x0)+…+An(x-x0)n;Pn(x0)=f(x0),Pn’(x0)=f’(x0),…,Pn(n)(xn)=f(n)(x0);
Pn’(x)=A1+2A2(x-x0)+…+nAn(x-x0)n-1
; P’’n(x)=2A2+32A3(x-x0)+….+n(n-1)An(x-x0)n-2
;Pn(n)=n(n-1)(n-2)…An;
P(x0)=A0=f(x0);
Pn(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+fn(x0)(x-x0)/2!+…+f(n)(x0)(x-x0)n/n!;
Pn(x0)=f(x0),
Pn’(x0)-f’(x0),…,Pn(n)(x0)=f(n)(x0)
; rn(x)=f(x)-Pn(x)
Т.к. деференцир
rn(n-1)(x)
диф-фма в ()
x0
то limxx0rn(n-1)(x)/(x-x0)=
limxx0
(rn(n-1)(x))-rnn-1(x0)/(x-x0)=rnn(x0)
Раскрывая по
правилу Лапиталя
получим
limxx0rn(x)/(x-x0)n=
limxx0rn’(x)/n(x-x0)n-1=…=
limxx0rn(n-1)(x)/n!(x-x0)=rn(n)(x)/n!=0
rn(x)=o((x-x0)n),xx0
#35Разложение
основных элементарных
ф-ций по формуле
Маклорена.
1)f(x)=ex,
f(0)=1,
f(k)(x)=ex,
f(k)(0)=1,
ex=1+x+x/2!+…+xn/n!+o(xn),
x0;
2)f(x)=sinx,
f(0)=0,
f’(x)=cosx,
f’’(x)=-sinx,
f’’’(x)=-cosx,
f(IV)(x)=sinx,…;
f(k)(x)={(-1)msinx,
k=2m
{(-1)m-1cosx,
k=2m-1
m=1,2,…;
f(2m-1)(0)=(-1)m-1
полагая
n=2m
получим
sinx=x-x3/3!+x5/5!-…+(-1)n-1x2m-1/(2m-1)!+o(x)2m,x0;
cosx=1-x/2!+x4/2!-x6/6!+….+(-1)mx2m/(2m)!+o(x2m+1),x0;
4)f(x)=ln(1+x)…f(0)=ln1=0,
f’(x)=1/(1+x),
f’’(x)=-1/(1+x),
f’’’(x)=2/(1+x)3…,f(k)(x)=(-1)k-1(k-1)/(1+x)k
;f(k)(0)=(-1)k-1(k-1)!
Подставим в
формулу Тейлора
l(1+x)=x-x/2+x3/3+..+(-1)n-1xn/n+o(xn),x0
; 5)f(x)=(1+x)
f(0)=1,
f’(x)=(1+x)-1,
f’’(x)=(-1)(1+x)-2;
f(k)(x)=(-1)…(-k+1)(1+x)-k
;f(k)(0)=(-1)…(-k+1);
(1+x)=1+x+(-1)x/2!+…+(-1)…(-n+1)xn/n!+o(xn),
x0
#36 Признак
монотонности
ф-ции. {Т} Пусть
ф-ция f(x)
дифференцируема
на (a,b),
для того, чтобы
ф-ция возрастала(убывала)
на этом интервале
необходимо
и достаточно
чтобы во всех
точках этого
интервала
выполнялось
f’(x)>=0
(f’(x)<=0)
Если во всех
точках интервала
f’(x)>0
(f’(x)<0),
то ф-ция строго
возрастает
(убывает) на
интервале (a;b)
{Д} Пусть f-возрастает
(убывает) x0(a,b),
x>0,
тогда f(x0+x)-f(x0)>=0;
x0;
(y<=0)
y/x>=0
(y/x<=0)
f’(x0)=limx0y/x>=0
(f’(x0)<=0);
{}Пусть
x(a,b)
f’(x)>=0
(f’(x)<=0)
a0,
f’(c)>=0
(f’(c)<=0)
f(x2)-f(x1)>=0
(f(x2)-f(x1)<=0)
f(x2)>=f(x1)
(f(x2)<=f(x1))
ф-ция возрастает
(убывает) Если
f’(x)>0
x(a,b)
(f’(x)<0,x(a,b))f’(c)>0
(f’(c)<0)f(x2)-f(x1)>0
(f(x2)-f(x1)<0)
#37{Т}Пусть
()
x0
–является
точкой экстремума
ф-ции f(x),
тогда производная
в этой точке
=0 либо не существует.
{Док} Т.к. (.) x0
–экстремум
U(x0,)
|
xU(x0,)
f(x)>=f(x0)
или f(x)<=f(x0)
т.е. в (.) x0
ф-ция y=f(x)
принимает
наибольшее
или наименьшее
значение в
окр.U(x0,)
по теорме Ферма
произв если
она сущ то =0 {Т}
Достаточное
условие экстремума:
Пусть ф-ция
y=f(x)
дифференцируема
в некоторой
окресности
(.) x0
за исключением
быть может
самой точки
х0 в которой
она непрерывна.
Тогда если при
переходе через
точку х0 производная
ф-ции меняет
знак (т.е.
>=0
|
x(x0,x0+]
f’(x)<0
(or
f’(x)>0),
а
x(x0-,x0]
f’(x)<0
(or
f”(x)>0)
то х0 является
экстремумом
при этом для
x(,x0+);
f’(x)>0,a
для x(x0-,x0)
f’(x)<0
то x0
–макс , а для
x(x0-,x0)
f’(x)<0,
а для x(x0,x0+)
f’(x)>0
то xo-мин.
{До} Пусть для
x(x0-,x0)
f’(x)>0
для x(x0,x0+)
f”(x)<0.
По теореме
Лагранжа
f=f(x)-f(x0)=f’()(x-x0)
между х0 и х Если
х>x0
x-x0>0
x0<)<0f<0.
Если х
x-x0<0,
x<)>0f>0
f(x)
#38
Пусть y=f(x)
определена
и непрерывна
на промежутке
Х ф-ции называется
выпуклой (вогнутой)
если x1,x2
X
выполняется
нер-во f(q1x1+q2x2)<=q1f(x1)+q2f(x2)
(f(q1x1+q2x2)>=q1f(x1)+q2f(x2)),
где
q1>0,q2>0,
q1+q2=1
Геом интопрет:
x=q1x1+q2x2
(x10,q2>0,
q1+q2=1
тогда т.х лежит
между точками
х1 и х2{Док-во}
(x-x1=q1x1+q2x2-x2=x1(q1-1)+q2x2=-x1q2+q2x2=q2(x2-x1)>0x>x1x2-x=x2-q1x1-q2x2=x(1-q2)-q1x1=x2q1-q1x1=q2(x2-x1)>0x1х
q1x1+q2x2
q1=(x2-x)/(x2-x1);
q1=(x-x1)/(x2-x1)
выполнено
неравенство
(f(x)-f(x1))/(x-x1)<=(>=)(f(x2)-f(x))/x2-x1)
(1) {Т1} Пусть ф f(x)
опред. и непрерыв.
на пром. Х и имеет
на этом пром.
кон . произв.
Для того чтобы
выпукла(вогнута)
f’(x)-
возратала(убывала)
на Х {Док-во} Пусть
ф-ция выпукла
на Х и х1<х<х2 Тогда
вып нер-во (1)
переходя в этом
нер-ве к пределу
хх1
или хх2
получим
f’(x1)<=(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)
xx1
(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)<=f’(x2)
xx1
f’(x)<=f’(x2)
производная
возрастает
{Обр} Пусть произв.
возрост. то по
теор Лагранжа
(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)=f’()
Причём т.к.
(f’(1)<=f’(2)
выполнено
нер-во 1
ф-ция выпукла.
{Т} Пусть ф-ция
y=f(x)
определена
и непрерывна
вместе со своей
производной
на промежутке
(Х) и имеет на
этом промежутке
конечную вторую
производную,
для того чтобы
ф-ция была выпуклой
( вогнутой) на
X
необходимо
и достаточно,
чтобы на этом
промежутке
выполнялось
нер-во f’’(x)>=0
(f’’(x)<=0)
{Док} f-выпуклая(вогнутая)
f’
– возрастает(убывает)
f’’<=0
(f’’>=0)
{(.) перегиба} Пусть
y=f(x)
–дифференцируема
в (.) x0
и y=e(x)-ур-ние
касательной
к графику ф-ции
у=f(x)
в (.) х0. Если при
переходе через
(.) х0 выражение
f(x)-e(x)-
меняет свой
знак то (.) х0 называется
точкой перегиба.
{T}Достаточное
условие точки
перегиба. Если
х0 является
точкой перегиба
ф-ции f(x)
и вэтой точке
существует
вторая производная,
то она равна
0 {Д} Уравнение
касательной
к графику ф-ции
y=f(x)
в т. х0 имеет вид