Кольцом
называется
числ. множ. На
котором выполняются
три опер-ии:
слож, умнож,
вычит. Полем
наз.
Числ множ. На
котором выполняются
4 операции: слож,
умнож, вычит,
деление(кроме
деления на 0).
Впопрос
1. Система натуральных
чисел. Принцип
мат. Индукции.
Аксиомы
Пиано: 1.В N
cущ.
! элем. a’
непосредст.
следующий за
а. 2.Для люб-го
числа а из N
сущ-т ! эл-т а’
непосредственно
следующий за
а. 3.
Для люб.
элем-та из N
сущ. не более
1 эл-та за которым
непосредственно
следует данный
эл-т. 4.
Пусть М ċ
N
и выполн-ся: 1.
1€ М 2. если а€М
след-но а’€M
тогда М=N
опр:
Любое
множество N
для эл-тов которого
установлено
отношение
‘непосредственно
следовать за’
удавлет-щее
аксиомама Пиано
наз-ся множеством
натуральных
чисел.
Алгебр-ие
операц-и на N:
1.
Сложение – это
алг. опер-я
определенная
на N
и обладающая
свойствами:
1.(для люб. а) а+1=а’
2. (для люб. а,b)
a+b’=
(a+b)’
(a+b-сумма,
а,b
-слогаемые)
Т.Сложение
нат. чисел сущ
и !.
2. Умножение:
1. для люб а а*1=а
2. для люб а,b
a*b’=ab+a
T/
Умножение нат
чисел сущ. и !.
Свойства
сложения: 1.
для люб. а,bˆN
a+b=b+a
(комут-ть) 2. Длб
люб.
a,b,cˆN (a+b)+c=a+(b+c) (ассац-ть)
Свойства
умнож-я: 1.(Для
люб. а,bˆN)
ab=ba
2. (для
люб.
a,b,c ˆN) (ab)c=a(bc) 3.(a,b,cˆN) a(b+c)=ab+ac
Операции
вычитания и
деления лишь
частично выполняются
на N.
Отношение
порядка на N:
На N
введем
отношение ‘<’
cледующим
образом: a
Принцип
мат. индукции
и его формулировки:
1. Если
некоторое
утвержд. А(n)
с натураль.
переменной
n
справедливо
при n=1
и из справедливости
при n=k
следует справедливость
при n=k+1
, то даное утверждение
справедливо
при любом nˆN.
2.
Если некоторое
утвер-е А(n)
справедлино
при n=1
и из справедливости
его для всех
n
3.
Если А(n)
справедливо
при n=a
и из справ-ти
при n=k
следует его
справ-ть при
n=k+1,
то данное утверж-е
будет справедл-во
при na.
Cвойства
N:
1. N-упорядоченное.
2. N
линейно упорядоченное
(т.е.вероно только
одно ab.)
3Сложение монотонно
на N
4. Умножение
монотонно. 5. N
бесконечное
и ограниченное
снизу еденицей.
6. Любое непустое
подмножество
множ. N
содержит наименьший
эл-т. 7. N
дискретно 8
Выполняется
принцип Архимда
(Va,bˆN)
(сущ. nˆN)
a*n>b
Вопрос
2.
Простые
числа. Беск-ть
мн-ва простых
чисел. Канонич.
разложение
составного
числа и его !.
Всякое
число р€N,
р>1 не имеющее
др. натур-х делит-й,
кроме 1 и р, наз-ся
простым.
Всякое число
р€N≠1
и не явл-ся простым,
наз-ся составным.
Число 1 не явл-ся
ни простым, ни
сост-м. Мн-во N
можно разбить
на: простые,
сост-е и 1. Св-ва:
1. Наим-й делитель
всякого нат-го
числа есть
число простое.
2. Нат-е число
n
и простое число
р либо взаимнопростые,
либо р|n.
3. Если р-простое
и р|a1*a2*…*an
, то р|a1
или
р|a2
…или
р|an.
4. Если р|р1*р2*…*рn
и р, р1,
р2…
рn
– простые числа,
то р=р1
или р=р2
или… р=рn.
Наим-й
простой делитель
нат-го числа
n
не превос-т √n.
Док-во: пусть
р-наим-й простой
дел-ль n.
Покажем р≤√n.
р|n
=> n=р*q
(1), р≤q.
Заменим в (1) q
на р: n≥р2,
т.к. р2≤n,
р≤√n.
■
Всякое
нат-е число n>1
либо явл-ся
простым, либо
м.б. предст-а в
виде произв-я
простых множ-й
n=р1*р2*…*рr,
r≥1
(1) и (1) явл-ся ! с
точностью до
порядка следования
множ-й.
(1) наз-ся разл-м
числа n
на простые
множ-ли. Док-во:
1. док-во сущ-я
предст-я (1): Если
n
–число простое,
то ■. Пусть n-сост-е
и р1
его натур-й
дел-ль. Как было
док-но р1
число простое
и можно записать:
n=р*n1,
где р≤n1.
Если n1
число простое,
то ■; если n1
сост-е, то р2
– его наименьший
простой делитель.
n1=р2*n2,
n=р1*р2*n2.
Если n2
сост-е, то рассуждаем
аналог. Это
можно прод-ть
пока не придем
к какому-либо
ns=1.
То, что после
конечного числа
шагов такое
ns
должно получ-ся
=> из того, что
n>n1>n2>…>ns
мн-во
нат-х чисел,
т.е. все эти числа
меньше n.
Итак, через
конеч-е число
шагов число
n
можно пред-ть
в виде (1). 2. Док-во
!: Предпол-м, что
сущ-т 2 разлож-я
числа n
на простые
множ-ли n=p1*p2*…*pr
и n=q1*q1*…*qs,
где р1,
…рr,
q1,…qs
простые числа.
p1*p2*…*pr=
q1*q2*…*qs.
Нужно показ-ть
r=s.
Левая часть
делит-ся на р1
=> на р1
делит-ся и правая
часть. Учит-я,
что в правой
части стоят
также простые
числа, то по
свойству простых
чисел р совпадает
с одним из них.
Пусть р1=q1,
тогда после
сокращ-я: p2*…*pr=
q2*…*qs.
Аналог. рассуж-я,
убеждаемся,
что р2
совп-т с одним
из множ-й q.
Пусть р2=q2,
после сокр-я:
p3*…*pr=
q3*…*qs
и т.д. Предпол-м,
что r≠s.
Пусть rr+1*…*qs,
но это равен-во
невозм-но, т.к.
произв-е простых
чисел ≠1. Итак,
r=s
и представ-е
(1) ! с точностью
до порядка
следования
множ-й.■
N=p1
α1*
p2
α2*…
*pk
αk
– каноническое
разлож-е числа
n
на простые
множ-ли. Показ-т,
что все делители
числа n
исчерпыв-ся
числами вида
p1
β1*
p2
β2*…
*pk
βk,
где 0≤β1
≤α1,
…0≤βк
≤αк.
Теорема
Евклида:
мн-во сех простых
чисел бесконечно.
Решето
Эратосферна.
Выписать все
нат-е числа от
2 до m
из них вычеркивают
каждое второе
после простого
числа 2. Первым
не зачеркнутым
числом остается
простое число
3. Теперь выч-т
каждое 3-е число,
причем считают
и те числа, кот.
выч-ты ранее
и т.д. После выч-я
всех чисел
кратных простому
числу рn
первое не зач-е
число будет
простым – рn+1.
рn+1-
простое число,
т.к. иначе оно
имело бы простой
делит-ль ≤рn,
но все числа
кратные простым
≤рn
уже вычеркнуты.
Поэтому выч-е
кратные простому
числу рn+1
следует начинать
с (рn+1)2
и состав-е таблиц
простых чисел
≤m
=> считать закон-м
как только
найдено число
>√m.
Вопрос
3.
Кольцо
целых чисел.
Теорема о делении
с остатком. НОД
и НОК двух чисел.
На
N
вып-ы опер-и
“+” и “*”, но опер-я
“-” вып-ся частично,
т.е. ур-е а+х=в в
N
не всегда разреш-о.
Это одна из
причин разширения
N.
При расщ-и одной
с-ы чисел до
др-й должны
вып-ся несколько
треб-й: 1) NЄZ.
2) +,* должны вып-ся
в Z,
причем рез-ы
опер-й для чисел
из N
в N
и Z
должны совп-ть.
3) +,* - комут-ы, ассоц-ы
и связ. дистр-м
законом. 4) в Z
должна вып-ся
опер-я “-”. т.е.
ур-е а+х=в одноз-о
разрешимо в
Z
для люб-х а,вЄZ.
5) Z
должно быть
миним. расш-м
из всех расш-й
мн-ва N
облад-е св-ми
1-4.
Число
в делит а, если
сущ-т qЄZ,
что а=b*q.
Отношение “b
делит а” наз-ют
отношением
делимости и
зап-т b|а. Св-ва:
1) (Ґа)(а|a).
2) (Ґa,b,c)(a|b^b|c=>a|c).
3) (Ґа)(а|0). 4) (Ґа)(0ła).
5) (Ґа)(1|a^-1|a).
6) a|b^b|a=>
b=±a.
7) (Ґx)(а|b=>a|b*x).
8)
(Ґx1,x2,…xr)(b|a1^b|a2…^b|ar=>b|(x1a1+x2a2+…+xrar)).9)(Ґа,b)(b|a=>|b|0^b>0=>bb|(-a)=>(-b)|a.
Теорема
о делении с
остатком.
Разделить целое
число a
на bЄZ,
это значит
найти 2 таких
q
и rЄZ,
что a=b*q+r
(1) 0≤r<|b|,
q-
неполное частное,
r-остаток.
(Ґa,bЄZ^b#0
сущ-т !q,
r,
что a=b*q+r,
0≤r<|b|).
Док-во: 1) Возм-ть
дел-я с ост-м.
2 случая: 1. aЄZ,
b>0,
т.е. bЄN.
Рассм. всевоз-е
кратные числа
b.Пусть
b*q
наиб. кратные
числа b
не превыш-е a,
т.е. b*q≤a0,
т.е. –bЄN
и имеем случай
1. т.е. сущ-т q,rЄZ,
что a=(-b)*q+r,
0≤r<|-b|
=> a=b*(-q)+r,
0≤r<|b|.
2) !-ть дел-я. Пусть
деление a
на b
не !, т.е. сущ-ют
2 неполных частных
q1,
q2
и два остатка
r1,
r2,
тогда a=b*q1+r1,
0≤r1<|b|,
a=b*q2+r2,
0≤r2<|b|.
b*q1+r1=b*q2+r2;
b*(q1-q2)=r2-r1
=> b|(r2-r1).
Но т.к. 0≤r1<|b|
и 0≤r2<|b|
=> |r2-r1|<|b|.
b|(r2-r1)^
|b|>|r2-r1|
=> r2-r1=0.
т.е. r1=r2,
но и тогда q1=q2.■
Следствие.
ҐaЄZ^bЄN
сущ-т !q,
r,
что a=b*q+r,
0≤r
Общим
делителем чисел
a1,a2,…ar
наз-ся такое
число c,
что с|a1^
с|a2^…с|ar.
c=ОД(а1,а2,…аr).
НОД (а1,а2,…аr)
наз-ся такой
их общий дел-ль
d,
кот делится
на всякий др.
общ дел-ль. чисел
а1,а2,…аr.
Обозн. d=НОД(а1,а2,…аr).
Итак, d=НОД(а1,а2,…аr)
1. d|
а1^d|а2^…d|аr.
2. c=ОД(а1,а2,…аr)
=> с|d.
Алгоритм
Евклида.
Пусть Ґa,bЄZ,
b#0.
т.к. отнош-е
делимости
сохр-ся при
измен-и знаков
чисел, то
НОД(a,b)=НОД(a,-b).
Поэтому огран-ся
случ-м aЄZ,
bЄN.
Делим a
на b
c
остатком a=b*q+r1.
Если r1=0,
т.е. a=b*q,
то НОД(a,b)=b.
Пусть r#0,
011
c
остатком. Если
r2
– остаток, то
делим r1
на r2
и т.д. Получ сов-ть
равенств: a=b*q+r1,
011*q1+r2,
021;
r1=r2*q2+r3,
032;
… rn-2=rn-1*qn-1+rn,
0nn-1;
rn-1=rn*qn.
Этот процесс
явл-ся конеч,
т.к. мы имеем
ряд убыв-х целых,
кот. фвл-ся неотриц.
т.е. непременно
придем к остатку
на кот-й разд-ся
предыд. остаток.
Последние
рав-ва наз-ют
алгор. Евклида
для чисел (a,b).
Св-ва НОД. 1. Последний
не равный 0 остаток
в алгоритме
Евклида явл-ся
НОД(a,b).
2. (ҐmЄN)
НОД(a*m,b*m)=m*НОД(a,b).3.m|a^m|b=>НОД(a/m,b/m)=(НОД(a,b))/m.
Числа а1,а2,…аr
наз-ся взамно-простыми
числами, если
НОД(а1,а2,…аr)=1.
Всякое целое
число, кот. делится
и на a,
и на b,
наз-ся общим
кратным делителем.
Наим. из всех
натур-х ОК наз-ся
НОК.
Св-ва НОК: 1. НОК(a,b)=
их произведению,
деленному на
НОД. 2. Совокуп-ть
ОК 2-х чисел совп.
с совокуп-ю
кратных их НОК.
3. Числа (НОК(a,b)/a)
и (НОК(a,b)/b)
взаимно-просты.
4.
Если
a,b вз.-пр.,
то
НОК(a,b)=a*b.
5. (ҐmЄN) НОК(a*m,b*m)=НОК(a,b)*m.
Нахождение
НОД и НОК Чтобы
найти НОД нужно
взять произведение
общих простых
множ-й, вход-х
в канонич-е
разлож-е этих
чисел, причем
каждый такой
простой множ-ль
нужно взять
с наим. показ-м.
НОК тоже самое,
но каждый множ-ль
взять с наиб.
показ-м.
Вопрос
4.
Система
рацион-х чисел.
Если
рассм. мн-во Z,
то в Z
ур-е a*x=b
не всегда разрешимо.
=> расшир-е кольца
целых чисел
до поля Q-рац-х
чисел. (Др. причина
– измерение
отрезков не
всегда выр-ся
целым числом).
При этом должны
вып-ся усл-я:
1. Z
подкольцо
кольца Q.
2. ур-е a*x=b,
a#0
одноз-но разреш.
Ґa,bЄQ.
3. Q
должно быть
миним. расш.
с-ы Z.
С-а Q
явл-ся полем,
кот. наз-ся поле
рац-х чисел.
Рассм.
мн-во Q={p/q|
pЄZ,qЄN}.
на мн-ве дробей
рассм. отнош.
равносильности
“~”: p/q~k/l
p*l=k*q.
Покажем, что
это отнош-е
эквивал-ти. 1.
a/b~a/b. т.к.
a*b=a*b (рефл-ть).
2. a/b~c/d => c/d~a/b (сим-ть).
Проверим a/b~c/d
a*b=b*c => c*b=d*a
c/d~a/b. 3. a/b~c/d ^ c/d~e/f => a/b~e/f (тран-ть).
a/b~c/d ^ c/d~e/f => a*d=c*b ^ c*f=d*e => a*d*c*f=c*b*d*e.
a*f=b*e =>a/b~e/f. Если
с=0,
то
все
3 др.
0, т.е.
равн-ы.
Отнош-е
равн-ти дроби
на Q
явл-ся отнош-м
экв-ти => равнос-е
дроби также
явл-ся эквив-ми.
Св-во
экв-х дробей:
1. a/b~(a*c)/(b*c)
c#0.
Всякому отнош-ю
эквивл-ти соот-т
разбиение на
классы экв-ти.
Класс эквив-х
дробей наз-ся
рац-м
числом.
Рац-е число
хар-ся Ґ из своих
представителей.
Дроби, вход-е
в один и тот же
класс пред-т
! рац-е число
=> считаются
равными. p/q,
где q≠0
наз-ся несократ-й
записью, если
НОД(a,b)=1.
Для Ґ положит-го
q
сущ-т ! запись
в виде несократ-й
дроби. Введем
на Q
отнош-е «меньше»
так, что q0.
Легко видеть,
что отн-е «<»
явл-ся отн-м
строгог порядка,
т.е. оно антиреф.,
антисим., транзит.
И явл-ся отнош-м
линейного
порядка,т.е.
Ґq1,q2ЄQ
вып-ся ! из: q12,
q1=q2,
q1>q2.
Можно показ-ть,
что для отнош-я
«<» вып-ся монот-ть
сложения и
монот-ть умнож-я:
1. (Ґq1,q2,cЄQ)(q12
=> q1+c2+c).
2. (Ґq1,q2,cЄQ)(q12
^ c>0
=> q1*c2*c).
Док-во: Пусть
q11,
тогда q2-q1>0.
Найдем: q2*c-q1*c=c*(q2-q1)>0
(т.к.c>0,
q2-q1>0).
q2*c-q1*c>0
=> q1*c2*c.
Св-ва мн-ва Q.
1. ВQ
нет ни наим, ни
наиб. числа. 2.
Q
– счетное мн-во,
т.к. можно устанть
биек-е отображ-е,
f:Q>--->>N.
Q-полтно,
т.е. что между
Ґ 2 пац-ми числами
нах=ся беск-но
много рац-х
чисел. 4.Q-
поле рац-х чисел.
5. Поле Q
явл-ся лин.-упор-м
полем.
При
обращ-и обыкнов-й
несокр-й a/b
в десят-ю возм-ы
случаи: 1) Если
в разлож. знамен.
b
на простые
множ-ли встреч-ся
только 2 или 5,
то несокр. дробь
a/b
обращ-ся в конеч.
дес-ю. 2) Если
НОД(b,10)=1,
то a/b
представима
в виде бескон-й
чисто период-й
десят-й дроби.
3) Если в разлож-и
b
на простые
множ-ли кроме
2 и 5 встреч-ся
другие числа,
то дробь обращся
в смешан-ю период-ю
десят-ю дробь.
Вопрос
5.
Поле
комплексных
чисел(к.ч.). Геом-е
предс-е к.ч. и
операции над
ними. Тригон-я
форма к.ч.
Х1+1=0
(1) не разрешимо
в R
– причина расширения
с-ы R
до с-ы чисел, в
кот-й (1) имело
бы реш-е. В кач-ве
строит-го матер-ла
можно взять
точки плоск-ти:
M={(a,b)|a,bЄR}.
Т.к. точки плос-т
нам не приход-сь
умн-ть и склад-ть,
то опер-ции над
ними можно
задать так,
чтобы мн-во
было полем,
содерж-е поле
R
и в кот-м (1) имело
бы реш-е: (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d);
(a,b)*(c,d)=(a*c-b*d,a*d+b*c)
и (a,b)=(c,d)
a=c
^ b=d.
Можно док-ть,
что слож-е и
умнож-е комут-ы,
ассоц-ы и связ-ы
дист-м законом.
Для них вып-ся
обратные опер-ции:
вычит-е, делен-е,
кроме дел-я на
0,т.е. ур-я (c,d)+(x,Y)=(a,b)
и (c,d)*(x,y)=(a,b),
где (c,d)≠(0,0)
одноз-но разр-мы.
Нейтр-й Эл-т
относ-о слож-я:
0=(0;0).
Нейтр-й Эл-т
отн-о умнож-я:
1=(1;0).
1) С-а M=(M,0,1,+,-,*)
поле. 2) M
явл-ся расш-м
поля R,
т.е. R’
содер-ся
в M
изоморф-е
полю R.
R’={(a,0)|aЄR}.
R’-подполе
поля M,
т.е.R’
замкнуто относ-о
всех опер-й
кольца и Ґ эл-а
≠0
из R’
обратный Эл-т
также ЄR’.
3) R
изоморфно
R’.
Можно уст-ть
биект-е отобр-е:
φ:R
R’;
φ: a
(a,0)
и вып-ся 2 усл-я:
образ суммы
двух эл-в = сумме
образов, образ
произв-я 2 эл-в
= произв-ю образов.
С
– поле к.ч. Покажем,
что (1) разреш.
Возьмем точку
i=(0,1):
(0,1)*(0,1)=(-1,0)≡-1. i
– корень ур-я
(1), мнимая единица,
расп-я на ОУ.
Запись: (a,b)=a+b*i
алгеб-я, α=|α|*(cosφ+i*sinφ)
триг-я, где |α|=
;
cosφ=a/|α|;
sinφ=b/|α|.
1. Чтобы умнож-ть
2 к.ч. в триг-м виде,
нужно переем-ть
их модули и
сложить аргументы
(углы). 2. Разд-ть
2 к.ч.: разд-ть их
модули и вычесть
аргум-ы. 3. Чтобы
возвести к.ч.
в целую полож-ю
степень, нужно
воз-ти в эту
степень модуль
и аргумент
умнож-ть на
показ-ль степени.
4. Чтобы извлечь
из к.ч. корень
n
степени нужно
извлечь корень
из модуля и
(аргумент +2Пк)/n,
где кЄZ.
Придавая к
разл-е знач-я,
получ-т серии
повтор-ся знач-й,
т.е. к=0,1,…n-1.
Вопрос
6.
Мн-ны
от одной переменной.
Пусть
А=(А,0,1,+,-,*) – обл-ть
целостности.
Построим с
пом-ю его новое
комут-е кольцо
A[x],
основанное
на мн-ве,, которое
есть мн-во
бесконечных
послед-й, облад-х
св-м: в них лишь
конечное число
коэф-в ≠0,
т.е. A[x]={(a0,a1,…)|a0,a1,…ЄA},
ai≠0
конеч-е число.
Такие посл-ти
наз-ся полиномами
от 1 неиз-го.
Равенство
полиномов и
операции над
ними опре-ся
так: 1. (a0,a1,…)=(b0,b1,…)
a0=b0
и
a1=b1
и….
2. (a0,a1,…)+(b0,b1,…)=(a0+b0,
a1+b1…).
3. (a0,a1,…)*(b0,b1,…)=(a0b0,
a1b1…).
4.
0=(0,0,0,…).
5. 1=(1,0,0,…).
6. -(a0,a1,…)=(-a0,
-a1…).
Нетрудно проверить:
1) с-а (A[x],0,+,-)
аддитивная
абелева группа,
2) с-а A[x],1,*)
– мультипликативный
моноид, 3) + и * связаны
дистрибутивным
законом. С-а
A[x]=(A[x],0,1,+,-,*)
– комут-е кольцо.
Другой вид
записи полинома:
f(x)=a0+a1x+a2x2+…+amxm.
Слагаемые в
записи f(x)
наз-ся одночлекнами,
а f(x)
наз-ся мн-м
от 1 неизв-го.
Эл-ы аЄА наз-ся
мн-ми нулевой
степени. Св-ва.
Пусть А – обл-ть
целостности.
Кольцо полиномов
от 1 неизв-го
A[x]=(A[x],у,
1,+, -,*) – обл-ть целостности.
=> Если степень
f(x)=n
и степень g(x)=m
=> степень f(x)g(x)=n+m.
Пусть А – обл-ть
целостности.
Делителем
единицы кольца
полиномов A[x]
явл-ся делители
единицы кольца
А. В обл-ти цел-ти
A[x]
других делителей
единицы нет.
Рассм-м
кольцо мн-на
Р[x]
над полем Р. Мы
знаем, что Ґ
числов-е поле
явл-ся обл-ю
целостности
с бескон-м числом
эл-в. В кольце
полиномов Р[х]
теорема о делении
с остатком
имеет место
для Ґf(x),
g(x)ЄP[x],
что g(x)≠0.
Мн-н f(x)
делится
на мн-н
g(x)≠0,
если сущ-т мн-н
n(x)ЄP[x],
что f(x)=g(x)n(x).
Деление не
всегда будет
выполнимо в
кольце Р[x].
Св-ва.
1. Ґf(x)ЄP[x],
f(x)|f(x).
2. f(x),
g(x)ЄP[x],
g(x)|f(x)
и f(x)|g(x)
=> f(x)
и g(x)
ассоц-ы, f(x)=cg(x),
cЄP[x].
3. g(x)|f(x)
и φ(x)|g(x)
=> g(x)|(f(x)±φ(x)).
4. Если f1(x),
f2(x),…,
fk(x)
делятся на
g(x),
для Ґc1,
c2,…ckЄР,
то сумма
[c1f1(x)+c2f2(x),…,ckfk(x)]
делится на
g(x).
5. Если g(x)|f1(x)
=> f1(x)f2(x)…fk(x)
делится на
g(x).
6. Если f1(x)|g(x),
f2(x)|g(x),…fk(x)|g(x)
=> g(x)|[
n1(x)f1(x)+
n2(x)f2(x)+…+nk(x)fk(x)],
ni(x),
fi(x),
gi(x)ЄP[x],
i=1,2,…k.
7. Если n(x),
f(x),
g(x)ЄP[x]
и n(x)|f(x)
и g(x)|n(x),
то g(x)|f(x).
8. Мн-ны нулевой
степени из Р[х]
явл-ся делителями
Ґf(x)ЄP[x].
9. Мн-ны cf(x),
где с≠0 и только
они будут делителями
мн-на f(x)
имеюш-ми такую
же степень, что
и f(x).
10. ҐДелитель
f(x),
cf(x),
c≠0
будут делителями
и для другого
мн-на. Пусть
Ґf(x),
g(x)ЄP[x].
Общим
делителем
мн-в f(x),
g(x)
явл-ся такой
мн-н d(x)ЄP[x],
что d(x)|f(x)
и d(x)|g(x).
Нод(f(x),
g(x))
наз-ся мн-н D(x)
такой, что 1.
D(x)=ОД(f(x),
g(x)),
2. d(x)|D(x),
где d(x)=ҐОД(f(x),
g(x)).
Покажем, что
НОД сущ-т для
Ґмн-в f(x),
g(x)ЄP[x]≠0.
пусть степень
f(x)
≥ степени g(x).
Делим f(x)
на g(x)
с остатком
f(x)=g(x)q(x)+r1(x).
Если r1(x)=0,
тогда НОД(f(x),
g(x))=q(x).
Если r1(x)≠0,
то степень
r1(x)<
степени g(x),
но >0. Делим g(x)
на r1(x)
с остатком
g(x)=r1(x)q1(x)+r2(x).
Если r2(x)≠0,
0< степень r2(x)
< степень r1(x),
делим r1(x)
на r2(x)
с ост-м r1(x)=r2(x)q2(x)+r3(x).
и т.д. Т.к. степень
остатков понижается
оставаясь не
отриц-й, то через
конечное число
шагов мы придем
к остатку rk(x),
на который
разделится
предыд-й остаток.
Этот процесс
наз-ся Алгоритмом
Евклида.
Итак, применяя
алгор-м Евкл-а
для мн-в f(x)
и g(x)
мы получили
совокупность
f(x)
= g(x)q(x)+r1(x),
g(x)
= r1(x)q1(x)+r2(x),
r1(x)
= r2(x)q2(x)+r3(x)
… rk-2(x)
= rk-1(x)qk-1(x)+rk(x),
rk-1(x)
= rk(x)qk(x)
(1). Док-м, что послед-й
≠0 остаток rk(x)
в алгоритме
Евк-а явл-ся
НОД. Будем рассм-ть
(1) снизу вверх:
rk(x)|σk-1(x),
rk(x)|σk(x)
и σk(x)|σk-1(x)
=> rk(x)|rk-2(x)…,
rk(x)|rk-2(x)
и rk(x)|r1(x)
=> rk(x)|g(x),
rk(x)|r1(x)
и rk(x)|g(x)
=> rk(x)|f(x).
Получим, что
rk(x)|f(x)
и σk(x)|g(x)
=> σk(x)=
ОД(f(x),g(x)).
Покажем, что
rk(x)=НОД(f(x),
g(x)).
Пусть n(x)
- Ґдругой ОД(f(x),
g(x)).
Рассм-м (1) сверху
вниз: n(x)|f(x)
и n(x)|g(x)
=> n(x)|r1(x),
n(x)|g(x)
и n(x)|r1(x)
=> n(x)|r2(x),
n(x)|r1(x)
и n(x)|r2(x)
=> n(x)|r3(x)…
n(x)|rk-2(x)
и n(x)|rk-1(x)
=> n(x)|rk(x).
Получили:
n(x)|rk(x)=ОД(f(x),
g(x))
=> rk(x)=НОД(f(x),
g(x)).
Итак, мы док-ли,
что последний
≠0 остаток в
алгор-е Евклида
явл-ся НОД для
мн-в f(x)
и g(x).
Нетрудно убелиться,
что НОД мн-в
f(x)
и g(x)
явл-ся ! с точностью
до мн-ля нулевой
степени. Действительно,
пердположим,
что D1(x)=НОД(f(x),
g(x))
и D2(x)=НОД(f(x),
g(x)).
Т.к. D1(x)=НОД(f(x),
g(x))
=> D2(x)|D1(x),
а т.к. D2(x)=НОД(f(x),
g(x)),
то имеем D1(x)|D2(x).
Получим: D2(x)|D1(x)
и D1(x)|D2(x)
=> св-во 2 D1(x)=cD2(x).
Алгоритм Евклида
показываем,
что если f(x)
и g(x)
имеют оба рац-е
коэф-ы или оба
действ-е коэф-ы,
то и коэф-ы их
НОД будут соотв-о
или рац-ми, или
дейст-ми.
Если D(x)=НОД(f(x),
g(x)),
где f(x),
g(x)ЄP[x],
то сущ-т φ(x),
ψ(x)ЄP[x],
что f(x)φ(x)+g(x)ψ(x)=D(x).
Обратимся к
алгор-у Евклида
для мн-на f(x)
и g(x):
f(x)
= g(x)q(x)+r1(x),
g(x)
= r1(x)q1(x)+r2(x),
r1(x)
= r2(x)q2(x)+r3(x)
… rk-2(x)
= rk-1(x)qk-1(x)+rk(x),
rk-1(x)
= rk(x)qk(x).
Перепишем все
рав-ва алго-а
Евклида, кроме
послед-го (1).
Выразим остаток
из каждого
равенства
r1(x)=f(x)-g(x)q(x),
r2(x)=g(x)-r1(x)q1(x),
r3(x)=r1(x)-r2(x)q2(x)…rk(x)=rk-2(x)-rk-1(x)qk-1(x)
(1). Перепишем
первое рав-во
(1): r1(x)=f(x)*1+g(x)(-q(x)).
Обозначим
φ1(x)=1,
ψ1(x)=-q(x),
тогда имеем
r1(x)=f(x)φ1(x)+g(x)ψ1(x).
Теперь второе
из (1): r2(x)
= g(x)-r1(x)q1(x)
= g(x)-(f(x),φ1(x)
+ g(x)ψ1(x))
q1(x)
= g(x)-f(x)φ1(x)q1(x)-g(x)ψ1(x)q1(x)
= f(x)(-φ1(x)q1(x))
+ g(x)(1-ψ1(x)q1(x))
= f(x)φ2(x)+g(x)ψ2(x).
r2(x)
= f(x)φ2(x)+g(x)ψ2(x).
Подставим
полученное
выражение для
r1(x)
и r2(x)
в выражение
для r3(x)
из (1). Получим,
проделывая
аналогичные
преобразования
r3(x)=
f(x)φ3(x)+g(x)ψ3(x).
и т.д. опускаясь
ниже получим
rk(x)=
f(x)φk(x)+g(x)ψk(x).
Как было док-но
выше rk(x)
явл-ся НОД мн-в
f(x)
и g(x)
, причем НОД
определен с
точностью до
множ-ля нулевой
сиепени. Умножая
обе части последнего
равенства на
с: crk(x)=
f(x)(cφk(x))+g(x)(cψk(x)).
Вопрос
7.
Неприводимые
над полем многочлены.
Мн-н
f(x)ЄP[x]
наз-ся неприводимым
над полем Р,
если он не
разлагается
в произведение
многоч-в положительной
степени над
полем Р. Мн-н
наз-ся приводимым
над полем Р,
если он разлагается
в произведение
мн-в положит-й
степени. Вопрос
приводимости
зависит от того
поля, над которым
мы его рассматриваем.
Н-р, 1)f(x)=x2-2
неприводим
над полем Q,
но приводим
над полем R.
2) f(x)=x2+1
неприводим
над R,
приводим над
C.
3)φ(x)=x+1
непривд-м ни
над одним числовым
полем. Над полем
ком-х чисел
неприво-м только
мн-ы 1-й степени.
Над полем дейст-х
чисел неприводимы
мн-ны 1-й степени
и квадратный
трехчлен, у
которого дискр-т
<0. Иначе в поле
рац-х чисел.
Здесь Ґ n
нат-го можно
подобрать мн-н
n-й
степени неприводимого
над полем Q
рац-х чисел.
Критерий
Эйзенштейна.
Если для
f(x)=a0xn+a1xn-1+…an-1x+an,
f(x)ЄQ[x]
можно подобрать
р – простое
число, что 1)
р|a0(черта)
– не делится
на р, 2) все остальные
коэф-ы делятся
на р: p|a1,
p|a2,…p|an
3) p|an,
но
p2|an(с
чертой) – не
делится на р,
то f(x)
неприводима
над полем Q.
Если для мн-на
f(x)
нельзя подобрать
р простое число,
чтобы вып-сь
требование
Эйз-на, то мн-н
может быть как
приводимым,
так и не приводимым
над полем Q.
Св-ва.
1. p1(x),
p2(x)ЄP[x]
неприводимы
над полем P
и p2(x)|p1(x)
=> эти мн-ны отлич-ся
друг от друга
множ-м нулевой
степени. (Док-во.
Т.к. p1(x)
- неприводим,
то в p1(x)
= p2(x)g(x)
один из множ-й
есть мног-н
нулевой степени
g(x)=c-const.
Т.о. p1(x)
= p2(x)c.
Мног-ны p1(x),
p2(x)
явл-ся ассоциированными.)
2. Ґf(x)ЄP[x],
p(x)ЄP[x]
– непривомн-н
=> либо f(x),
p(x)
взаимно просты,
либо p(x)|f(x).
(Док-во. Т.к. p(x)
неприводимый
мн-н, то возм-ы
2 случая:1)
НОД(f(x),p(x))=c-const,
тогда f(x),
p(x)
– взаимно просты.
2) НОД(f(x),p(x))=D(x),
где D(x)=cp(x),
но тогда т.к.
D(x)|f(x)
=> cp(x)|f(x)
=> p(x)|f(x)).
3) Если произ-е
p(x)|f(x)g(x),
где p(x),
f(x),
g(x)ЄP[x]
и p(x)
– непривод-м
над полем P,
р(x)|f(x)
или p(x)|g(x).
Это св-во можно
распрост-ть
и на случай
произвольного
числа множ-й.
Теорема.
Ґ мн-н f(x)ЄP
выше нулевой
степени явл-ся
неприводимым
над полем Р или
разлагается
в произведение
неприводимых
мн-в. f(x)=p1(x)p2(x)…pn(x)
(*), где pi(x)
– неприводимые
мн-ны над полем
Р, i=1,2,…n,
причем это
разложение
явл-ся ! с точностью
до порядка.
Док-во. 1) Док-м
возможность
представления
(*). Пусть мн-н f(x)
выше нулевой
степени. Если
f(x)
неприводим,
то теорема
док-на. Если
f(x)
приводим, то
f(x)=f1(x)f2(x).
Если оба мн-на
f1(x)
и f2(x)
неприводимы
над полем Р, то
теорема док-на,
если хотя бы
1 из них приводим
над полем Р, то
его разлагают
в произведение
множ-й положит-й
степени. и т.д.
Этот процесс
конечен, т.к.
степень мн-й
в разложении
f(x)
уменьшается,
оставаясь
положит-ми и
их может быть
лишь конечное
число. Итак, в
конце концов
мн-н f(x)
будет предст-н
в виде произвед-я
непривод-х
мн-й, т.е. в виде
(*). 2) Док-м ! разложения
мн-на f(x)
на непривод-е
мн-ли. Пусть
f(x)
допускает 2
разложения:
f(x)=p1(x)p2(x)…pn(x)
(1) и f(x)=
q1(x)q2(x)…qn(x)
(2). p1(x),
…pn(x),
q1(x),…,qn(x)
неприводимые
над полем Р
мн-ны. Левые
части равны
=> равны и правые
части.
p1(x)p2(x)…pn(x)=q1(x)q2(x)…qn(x)
(3). Левая часть
делится на
р1(х)
=> и правая часть
делится. Т.к.
р1(х)
неприводим,
то на р1(х)
разделится
хотя бы один
мн-ль правой
части. Пусть
р1(х)|q1(x).
А т.к. р1(х)
и q1(x)
неприво-ы и
один из них
дел-ся на другой,
то они ассоциированы,
т.е. q1(x)=ср1(х).
Подставляя
это выр-е в (3) и
сокращая обе
части на р1(х):
p2(x)…pk(x)=c1q2(x)q3(x)…ql(x)
(4). Аналогично
расс-я относительно
p2(x)
из (4): p3(x)…pk(x)=c1с2
q3(x)q4(x)…ql(x).
И т.д. утверждаем,
что k=l.
Предположим
противное.
Пусть k1с2…qk+1(x)…ql(x).
Но это рав-во
невозможно,
т.к. в левой части
стоит мн-н нулевой
степени, а в
правой – мн-н
выше нулевой
степени. Итак,
k=l,
Разложение
(1) и (2) сост-т из
одинакого числа
множ-й и могут
отлич-ся лишь
ассоц-и множ-ми.■
В разложении
мн-на f(x)
могут встречаться
ассоц-е множ-ли.
Объединяя в
разложении
f(x)
на неприводимые
мн-ли, ассоц-е
мн-ли мы получим
каноническое
разложение.
Вопрос10.
С-ы
лин-х ур-й. Равнос-е
с-ы ур-й. Критерий
совм-ти с-ы лин-х
ур-й.
Пусть
Р- поле скаляров.
С-й
лин-х ур-й с n
неизв-ми
х1,
х2,
…хn
наз-ся с-а вида:
а11*х1+а12*х2
+…+а1n*xn=b1,
… аm1*х1+аm2*х2
+…+аmn*xn=bn
(1), aij,biЄP.
Числа aij
наз-т коэф-ми
с-ы, bi
своб-е члены.
Вектор О(а11,а12,…а1n)ЄР
наз-т решением
с-ы
(1), если он удов-т
Ґ ур-ю с-ы. С-а лин-х
ур-й наз-ся
совм-й,
если она имеет
хотя бы 1 реш-е,
и несовм-й
в противном
случае. Если
совм-я с-а лин-х
ур-й имеет ! реш-е,
то она наз-ся
определ-й,
если реш-й бескон-е
мн-во, то она
неопределенная.
2-е с-ы лин-х ур-й
наз-ся равносильными,
если Ґ реш-е Ґ
из этих с-м явл-ся
реш-м другой
с-ы. Элемен-е
преобр-я: 1) перестан-ка
2 ур-й в с-е. 2) умнож-е
обих частей
ур-я на ≠0
скаляр.
3) удаление ур-я
вида 0=0. 4) прибавл-е
к обеим частям
какого-либо
ур-я соответ-х
часте другого
ур-я, умнож-е
на одно и тоже
число. При Ґ
элем-м преоб-и
матрицы Ā получ-ся
с-а лин-х ур-й
равнос-я первонач-й
с-е ур-й.
Матрица
А, сост-я из коэф-в
при неизв-х с-ы
(1), наз-ся главной
матрицей с-ы.
Если к глав-й
мат-е А присоед-ть
столбец своб-х
членов, то получ-ся
расшир-я
мат-ца с-ы.
Т.
Кронекера-Капелли.
С-а
ур-й лин-но незав-х
ур-й совместна
ранг глав-й
мат-цы = рангу
расш-й мат-цы.
Док-во. 1) Пусть
(1) совм-на. α1,α2,…αn
– реш-е с-ы (1). Тогда
получим вер-е
рав-ва:
а11*α1+а12*α2
+…+а1n*αn=b1,
а21*α1+а22*α2
+…+а2n*αn=b2,…
аm1*α1+аm2*α2
+…+аmn*αn=bm
(2). Выч-м ранг
расш-й мат-цы:
rangĀ=rang
=
rang
=
rang
=
rangA.
2) Пусть rangA=rangĀ=r.
Док-м, что (1) совм-а.
Мат-ца А имеет
r
лин-но незав-х
столб-в. Эти
столб-ы лин-но
незав-ы в мат-це
Ā и сохр-т св-во
максим-ти. В
силу совпад-я
рага: найдутся
такие числа
х1=α1,
х2=α2,
…хn=αn,
что столбец
своб-х чл-в будет
выраж-ся через
первые r
столб-в => и через
всю с-у столб-в
матницы Ā, т.е.
справед-о (2). =>
Веркор (α1,α2,…αn)
– реш-е с-ы (1).
Метод
Гаусса
– м-д последов-го
исключения
неизв-х. Сводится
к привед-ю с-ы
лин-х ур-й к ступен-у
виду, при этом
получ-ся с-а
равнос-я данной.
Если в рез-те
элем-х преоб-й
получ-но ур-е
с коэф-ми в левой
части =0 , а своб-е
члены ≠0,
то с-а несовм-на.
Если и своб-е
члены =0, то это
ур-е удаляется
из с-ы. С-а лин-х
ур-й явл-ся опред-й,
т.е. имеет ! реш-е,
если ступ-я с-а
лин-х ур-й имеет
треуг-й вид. В
этом случ-е
послед-е Ур-е
с-ы содержит
только 1 неизв-ю.
Если ступ-я с-а
имеет вид трапеции,
то с-а неопределенная.
Тогда в послед-м
Ур-и с-ы несколько
неизв-х (k
Вопрос
11.
Векторные
пространства.
Пусть
Р=
(Р,0,1,+,-,*)-поле скаляров.
С-а V=(V,ό,+,-,ωα),
V-основное
мн-во, ό-выдел-й
элемент, “+”-бинар-я
опер-я, “-”-унарн-я
опер-я, ωα
- унарн-я опер-я
умнож-е эл-а из
V
на скаляр из
Р ωα:
V-->
V,
ωα(α)=α*xЄV,
αЄP,
xЄV.
С-а V
–
наз-ся век-м
прост-м над
полем Р,
а эл-ы мн-ва V
– векторами
= a,
b,c,…x,
y,
если 1. (V,
ό, +,-)- аддит-я абел-я
группа, 2. (α*β)*a=α*(β*α),
Ґα,βЄP,aЄV.
3. (α+β)*a=α*a+β*a,
Ґα,βЄP,aЄV. 4. α*(a+b)=α*a+α*b,
Ґa,bЄV,ҐαЄP. 5. 1*a=a,
Ґa.
Например, ариф-е
вект-е прост-во
n
мерных векторов
V=Pn,
мн-во C-
к.ч. есть век-е
прост-во над
полем R
действ-х чисел
относ-о опер-й
“+” к.ч. и “*” их
на дейст-е число.
Простейшие
св-ва.
Пусть V=(V,ό,+,-,ωα)
– вектор-е прост-во.
Р
– поле скаляров.
Ґa,bЄV, Ґα, βЄP. 1. a+b=a => b=0.
2. 0*α=ό. 3. α*ό=ό. 4. a+b=ό =>
b=(-1)*a=-a. 5. α*a=α*b ^ α≠0 =>a=b. 6. α*a=ό
=> α=0 или
a=ό.
7. α*a=β*a ^ a≠ό => α=β. Пусть
V
– вект-е
прост-во
над
Р,
a1,a2,…amЄV,
с-а
вект-в
a1,a2,…am
наз-ся лин-о
незав-й,
если α1*a1+α2*a2*…αm
am=ό
возм-но
при
всех
коэф-х
= 0. a1,a2,…am
– лин-но завис-ы,
если α1*a1+α2*a2*…αm
am=ό
возм-но хотя
бы при 1 коэф-е
αi≠0.
Вект-е
прост-во наз-ся
конечномерны,
если оно породж-ся
конечным мн-м
вект-в или сущ-ют
a1,a2,…amЄV,
что V
– лин-я оболочка
порожд. этим
мн-м V=L(a1,a2,…am).
Базисом
(базой)
конеч-го век-го
прос-ва наз-ся
непуст-я конеч-я
лин-но незав-я
с-а векторов
порожда-я это
прост-во. ???не
доконца.
Вопрос
12.
Линейные
преобразования
век-х прост-в.
Пусть
u
и v
векторные
простр-ва над
полем Р. Отобр-е
φ:
uv
наз-ся лин-м
отображ-м
или гомоморфизмом,
если Ґа,bЄu,ҐαЄP:
1. φ(a+b)=φ(a)+φ(b).
2. φ(αa)=αφ(a).
Если бы лин-е
отоб-е u
на v
было бы биективным,
то тогда его
наз-и бы изоморфизмом
вект-х прост-в.
Мн-во всех лин-х
отображ-й прост-ва
u
в v
обозн-ся Hom(u,v).
Св-ва.
1.
Всякий лин-й
опер-р φ
в прост-ве v
оставл-т неподвижный
нулевой вектор,т.е.φ(ό)=
ό.
2.
φ(-x)=-φ(x).
3.
Всякий лин-й
опре-р φ
в прост-ве v
переводит Ґ
лин-ю комбин-ю
произвольно
выбранных
вект-в a1,a2,…am
прост-ва V
прост-ва в лин-ю
комбин-ю образов
этих вект-в,
причем с теми
же самыми коэф-ми,
т.е. φ(α1a1+α2a2+…αmam)
= α1φ(a1)+α2(a2)+…+αmφ(am).
Док-во. Применим
метод мат-й
индукции. 1) Проверим
справ-ть при
m=2.
φ(α1a1+α2a2)
= φ(α1a1)+φ(α2a2)
= α1φ(a1)+α2(a2).
2) Предположим
справ-ть утвер-я
для m-1
вектора, т.е.
φ(α1a1+α2a2+…αm-1am-1)
= α1φ(a1)+α2(a2)+…+αm-1φ(am-1).
3) Док-м справ-ть
данного утвер-я
для m
век-а, т.е. φ(α1a1+α2a2+…+
αm-1am-1+αmam)
= φ[(α1a1+α2a2+…αm-1am-1)+
αmam]
= φ(α1a1+α2a2+…αm-1am-1)
+ φ(αmam)
= α1φ(a1)+α2(a2)+…+αm-1φ(am-1)+αmφ(am).
4.
Совокупность
L
всех образов
φ(a)
вектора а вектор-го
простр-ва v,
получ-е при
данном преоб-ии
φ,
есть некоторое
подпростр-во
вект-го простр-ва
v.
Пусть
φ
некоторая лин-я
опре-я прос-ва
vn.
Выберем в прос-ве
vn
некот-й базис
e1,e2,…en.
Тогда опре-р
φ
переводит век-ы
базиса в векторы
φ(e1),φ(e2),…φ(en).
Каждый из этих
век-в ! образом
выраж-ся через
век-ры базиса:
φ(e1)
= α11*e1+α21*e2+…+αn1*en,
φ(e2)
= α12*e1+α22*e2+…+αn2*en,…
φ(en)
= α1n*e1+α2n*e2+…+αnn*en.
Матрица Aφ=
k–й
столбец которой
явл-ся коорд-ми
столбца
век-ра φ(ek)
относительно
базиса e1,e2,…en,
наз-ся матрицей
лин-го
опрер-ра
φ
в базисе e1,e2,…en.
Т.о. при фиксир-м
базисе e1,e2,…en,
каждому лин-у
опрер-у φ
прост-ва vn
соответ-т вполне
опред-я матрица
n–го
порядка. И наоборот,
каждая матрица
n–го
пор-ка явл-ся
матрицей некот-го
вполне опред-го
лин-го опре-ра
φ
прост-ва vn
в базисе e1,e2,…en.
Совокупность
φ(vn)
образов всех
век-в прост-ва
vn
при действии
оператора φ
наз-ся областью
значений опер-ра
φ.
Размерность
области значений
φ(vn)
наз-ся рангом
лин-го опер-а
φ.
Ядром
линей-го опер-а
φ
прост-а Vn
наз-ся совокупность
всех век-в прост-ва
Vn
отображ-ся
операторов
φ
в нулевой вектор
т. Ker
φ=
{aЄVn|φ(a)=т}.
Размерность
ядра Ker
φ
опер-ра φ
прост-ва Vn
наз-ся дефектом
этого опер-ра.
Сумма ранга
и дефекта лин-го
опер-а φ
прост-ва Vn
= размерности
этого прост-ва.
Если век-р b
≠0
переводится
оператором
φ
в пропорц-й
самому себе,т.е.
φ(b)
= λ0b,
где λ0
– действ-е число,
то b
наз-ся собст-м
вектором
опер-а φ,
а λ0
собственным
знач-м
этого опер-ра.
Причем гов-т,
что собст-й
век-р b
относ-я к собств-у
знач-ю λ0.
Нулевой век-р
не считается
собственным
для опер-ра .
Матрица А-λЕ,
где Е един-я
матрица n
пор-ка наз-ся
харак-й
матрицей
матрицы А (по
главной диагонали
от Эл-в «-«λ).
Многочлен n
степени |А-λЕ|
наз-ся харак-м
мног-м
матрицы А, а
его корни, которые
могут быть как
компл-е так и
действ-е, наз-ся
характер-ми
корнями
этой матрмцы.
λ0ЄR
был собств-м
значением
лин-го опер-а
φ
λ0
было характ-м
корнем опер-ра
φ.
Лин-е
преоб-е наз-ся
невыроженным,
если определитель
матрицы А≠0.
Рассм-м преоб-е
x1=y1,…xn=yn
(I).
Это преоб-е
наз-ся тождеств-м.
Оно ведет себя
точно также
как число 1 при
арифм-м умнож-и,т.е.
(ҐS)
S*I=I*S=S.
Т.е. преоб-е I
это нейтр-й
эл-т относ-о
умнож-я преоб-я.
Обратным
преоб-м преобразованию
S
наз-ся преоб-е
S-1
такое, что
S*S-1=S-1*S=I.
Подпрост-во
L
явл-ся инвариантным
относ-о преоб-я
φ
пространства
Vn,
если образ Ґ
век-ра из снова
есть вектор
L.
Вопрос
13.
Определители.
Опред-м
(детерминантом)
n-го
порядка составл-м
из n2
чисел
матрицы А наз-ся
алгеб-я сумма
всевозм-х членов,
каждый из которых
представл-т
собой произвед-е
n
эл-в, каждый из
которых взят
по 1 из каждой
строки и столбца,
взятый со знаком
(-1)t
, где t
число инверсий
перестановки
вторых индексов,
при усл-и, что
первые индексы
расположены
в натуральном
порядке.
Δ=Σ(-1)ta1αa2β…anω,
α,β,…ω
n!
перестан-к
1,2,…n.
Правило Саррюса.
Св-ва
опред-й.
1. Равноправность
сторк и столбцов
(транспонирование).
2. Опред-ль n-го
порядка, у которого
2 строки (2 столбца)
одинаковы =0.
3. Если все Эл-ты
какого-либо
столбца (строки)
опред-ля n
порядка * на
одно и то же
число m,
то и значение
опред-я *m.
4. Если все Эл-ты
какого-либо
столбца (строки)
опред-я n-го
пор-ка облад-т
общим множителем,
то его можно
вынести за знак
опред-ля. 5. Опред-ль
n-го
пор-ка, у которого
Эл-ты 2-х строк
(столбцов) соответ-о
пропорциональны
,=0. 6. Если все Эл-ты
k
строки (столбца)
опред-я n-го
пор-ка явл-ся
суммой 2-х слагаемых,
то такой опред-ль
= сумме 2-х опред-й
n-го
пор-ка. В одном
из них k-я
строка (столбец)
состоит из
первых слаг-х,
а в другом - из
вторых слаг-х,
все остальные
строки (столбцы)
те же, что и в
данном опред-е.
7. Если в опред-е
какая-либо
строка есть
линейная комбинация
других строк,
то такой опред-ль
=0. 8. Если к Эл-м
какой-либо
строки (столбца)
опред-я n-го
пор-ка прибавить
соответ-ие
Эл-ты другой
строки (столбца)
умноженные
на одно и то же
число, то значение
опред-я не изменится.
9. Если поменять
местами 2 строки
(столбца) в опред-е
n-го
пор-ка, то опред-ль
сменит свой
знак на противоположный,
а его абсол-я
величина не
изменится.
Минором
Мij
Эл-та aij
опред-я n-го
пор-ка наз-ся
опрде-ль n-1
порядка, который
получается
из опред-я
вычеркиванием
i
строки и j
столбца. Алгебаическим
дополнением
Aij
Эл-та aij
наз-ся произ-е
(-1)i+j*Mij.
Теорема.
Какую бы строку
(столбец) опред-я
n
пор-ка мы не
взяли, значение
опред-я = сумме
произв=й Эл=в
этой строки
(столбца) на их
же алгеб-е
дополнения.
Δ=ai1Ai1+
ai2Ai2+…ainAin
(i=1,2,…n)(1). Δ=
a1jA1j+a2jA2j+…anjAnj
(2).
Док-во.
В силу справ-ти
строк и столбцов
ограничимся
выводом разлож-я
по строкам (1).
1) мы знаем, aijAij
есть также член
опред-я, причем
в опред-ль входит
с тем же знаком,
что и в это произв-е.
Т.о. Ґ слагаемое
(1) состоит из
членов опред-я.
2) Никакие 2 слагаемых
в (1) не содержат
общих членов
(всего Ґ слаг-й
содержит (n-1)!
членов). Действительно,
пусть aikAik
и ailAil
из (1) содержат
общий член,
тогда в него
будут входить
мн-ли aik
,ail,
чего не может
быть, т.к. из i
строки взяты
2 эл-та. Итак (1)
состоит из всех
различных
членов опред-я.
3) ai1Ai1+ai2Ai2+…ainAin
(3). Док-м, что (3)
исчерпывает
все члены опред-я,
т.е. Ґ член опред-я
обязательно
входит в (3). Рассм-м
произв-е членов
опред-я: (4)
a1αa2β…ai-1μaijai+1ν…anω,
α,β,…ω
пробегают n!
перестан-к
чисел 1,2,…n.
aija1αa2β…ai-1μai+1ν…anω,
α,β,…ω
пробегают n!
перестан-к
чисел 1,2,…n.
Но произведение
a1αa2β…ai-1μai+1ν…anωчлен
минора Мij
=> входит в алгеб-е
доп-е Aij
=> член (4) входит
в произвеление
aijAij.■
1) Если
в опред-е пор-ка
все эл-ы I
строки, кроме
эл-а aij
, =0, то такой опред-ль
= произв-ю его
эл-та на его
алгеб-е допол-е.
2)
Если в опред-е
n
пор-ка все эл-ты
лежащие ниже
главной диагонали
=0, то опрд-ль =
произв-ю диагональных
эл-в. 3)
Сумма произведений
эл-в какой-либо
строки на алгеб-е
дополнения
соответствующих
эл-в другой
строки = 0.
Формулы
Крамера.
Если Δ≠0,
то опред-ль
имеет ! решение
хn=Δn/Δ.
Вопрос
14
Основ-ы
св-ва срав-й.
Приложение
теории срав-й
к выводу признаков
делимости.
Отнош-е
сравним-ти в
кольце цел-х
чисел: 1 опр. a≡b(mod
m)
m|(a-b).
2 опр. a≡b(mod
m)
a=b+m*t,
tЄZ.
3 опр. a≡b(mod
m)a=m*q1+z
^ b=m*q2+r.
Из опр. 3 =>что
сравнимые по
(mod
m)
числа явл-ся
равноостаточными
при делении
на m.
Док-во: 1) опр. 12.
Пусть a≡b
(mod
m)
в смысле опр.1,
т.е. m|(a-b)
=> сущ-т tЄZ,
a=b+m*t,
т.е. a≡b(mod
m)
в смысле опр.2.
Пусть a≡b(mod
m)
в смысле опр.2,
т.е. a=b+m*t
=> a-b=m*t
=> m|(a-b),
т.е. a≡b(mod
m)
в смысле опр.1.
2)Док-м, что опр.1опр.2.
Пусть a≡b(mod
m)
в смысле опр.3,
т.е. a=m*q1+r
^ b=m*q2+r
=> a-b=m*(q1-q2),
где q1-q2ЄZ
=> m|(a-b)
=> a≡b(mod
m)
в смысле опр.1.
Пусть a≡b(mod
m)
в смысле опр.1,
т.е. m|(a-b).
Пусть
a=m*q1+r1,
b=m*q2,
0≤r121-q2)+(r1-r2).
Пусть
r1>r2.
m|(a-b) по
усл.
и
m|m*(q1-q2)
=> m|(r1-r2).
m|(r1-r2)
и
0≤r1-r2 r1-r2=0
=> r1=r2,
т.е.
a≡b(mod m) в
смысле
опр.3.
т.к.
отеош-е
равнос.
явл-ся
эквивал-ти,
т.е.
оно
симмет-о,
тран-о,
рефл-о,
то
опр.1опр.2
опр.3.
Сл-е
1. Если
a=m*q+r,
0≤r a≡r(mod m). Сл-е 2. Если
m|a => a=0(mod m). Сл-е
3. ҐtЄZ, m*t≡0(mod m). Св-ва
срав-й: 1)Отнош-е
сравнимости
в Z
явл-ся отнош-м
эквив-ти. 2)Сравнимые
числа по mod
m
можно почленно
складывать,
вычитать. Док-во:
a1≡b1(mod
m)
=> a1=b1+m*t1,
t1ЄZ.
a2≡b2(mod
m)
=> a2=b2+m*t2,
t2ЄZ.
a1±a2=(b1±b2)+m*(t1±t2)
=> ( по опр.2) (a1+a2)≡(b1±b2)(mod
m).
Сл-е 1.Слаг-е можно
из одной части
сравн-я переносить
в др-ю, изменив
знак на против-й.
2. К Ґ части сравн-я
можно прибавить
число кратное
модулю. 3)Сравн-е
числа по mod
m
можно почл-о
перем-ть. a1≡b1(mod
m)
и a2≡b2(mod
m)
=> a1*a2≡b1*b2
(mod
m).
Док-во: a1≡b1(mod
m)
=>(по опр.2) a1=b1+m*t1,
t1ЄZ.
a2≡b2(mod
m)
=>(по опр.2) a2=b2+m*t2,
t2ЄZ.
a1*a2=b1*b2+m*(t1*b2+t2*b1+m*t1*t2)
=> a1*a2≡b1*b2(mod
m)
tЄZ.
Сл-е
1. a1≡b1(mod
m) и a2≡b2(mod
m) и … an≡bn(mod
m) => a1*a2*…an=b1*b2*…bn(mod
m). 2. a≡b(mod m) => an≡bn(mod
m). ҐnЄN. 3. a≡b(mod m) => k*a≡k*b(mod m),
ҐkЄZ. 4. Выраж-я
сост-е путем
умнож-я, выч-я,
слож-я срав-х
чисел, срав-ы
между собой
по тому же модулю.
5. f(x)=a0*xn+
a1*xn-1+…+
an-1*x+an,
мн-н с цкл-ми
коэф-ми Ґх1,х1,...ЄZ,
тогда x1≡x2(mod
m)
=> f(x1)≡f(x2)(mod
m).
6. В сравн-х по
mod
m
числах можно
замен-ть слаг-е
и множ-ли с сран-ми
с ними числами.
4)На общий делитель
взаим-о простой
с mod
m
можно разд-ть
обе части сравнения,
оставив mod
без измен-я.
a*d=b*d(mod
m)
и НОД(d,m)=1
=> a≡b(mod
m).
Док-во.
a*d=b*d(mod m)=> m|(a*d-b*d) => m|d*(a-b). т.к.
НОД(d,m)=1,
то m|(a-b) => a≡b(mod m). Замтим,
что если усл-е
взаим-ной простоты
не выпол-ся, то
сокр-е обеих
частей на одно
и то же число
можно привести
к нарушению
срав-ти. 5)a*d≡b*d(mod
m*d)
=> a≡b(mod
m),
dЄN.
Док-во. a*d≡b*d(mod
m*d)
=> m*d|(a*d-b*d)
=> m*d|d*(a-b)
=> m|(a-b)
=> a≡b(mod
m).
6) a≡b(mod
m1)
и a≡b(mod
m2)
=> a≡b(mod[m1,m2]),
[m1,m2]=НОК(m1,m2).
Признак
дел-ть
на
3. m=3. a=an10n+
an-110n-1+…
a110+a0.
10≡1(mod 3), 102≡1(mod
3), 103≡1(mod
3),… 10n≡1(mod
3). R3=a0r0+
a1r1+…+
anrn=
a0
*1+
a1
*1+
…+an
1=
a0+
a1+…+an.
3|a 3|R3.
Признак
дел-ти
на
11: a=an10n+
an-110n-1+…
a110+a0.
r0=1.
10≡-1(mod 11), 102≡1(mod
11), 103≡-1(mod
11),… 10n≡(-1)n(mod
11). a≡R11(mod
11). R11=a0r0+
a1r1+…+
anrn=
a0
-a1+
…+(-1)n
an
=
(a0+
a2+…)-(a1+a3+…).
11|a 11|R11,
т.е.
число
дел-ся
на
11
на
11 дел-ся
раз-ть
суммы
цифр
числа
стоящих
на
неч-й
и
чет-х
местах.
Вопрос
15
Полная
и приведенная
с-а вычетов.
Теор-а Эйлера
и Ферма.
Все
числа сравнимые
с a
по mod
m
объединим в
одно мн-во, кот-е
наз-м классом-вычитов
по
mod
m.
Обозн-м ā={xЄ|x≡a(mod
m)}.
Ґ предст-ль мн-ва
ā наз-м вычитом.
Рассм-м класс
вычитов по mod
m:
ā={xЄ|x≡a(mod
m)}.
Т.к. сравн-е
числа,т.е. все
числа Є-щие
одному и тому
же классу вычитов
по mod
m
имеют одинак-е
ост-ки при делении
на m,
то и все различ-е
классы вычитов
можно обоз-ть
с пом-ю этих
ост-в,т.к. при
делении Z
на m
получ-ся m
ост-в 0,1,…, m-1,
то и мн-во Z
распад-ся на
m
классов 0,1,...m-1
(с черт-ми). Обоз-м
мн-во всех
классов-вычитов
по mod
m
через Zm.
Св-ва классов-вычитов:
1. ā={a+m*t|ҐtЄZ}.
2. xЄā
^ xЄđ => ā=đ. 3. ҐбЄā
=> б(с чер-й)=ā. 4.
a≡d(mod
m)
=> ā≡đ.
5. a≡0(mod
m)
=> aЄ0(чер-й).
6. a=m*q+r,
0≤rm
комут-ы, ассоц-ы
и связ-ы дист-м
законом. Это
=> из того, что
соотв-е опре-и
на этом мн-ве
ком-ы, ассоц-ы
и св-я дист-м
законом. Нетру-о
пров-ть, что
класс 0(с чер-й)
нейтр-й Эл-т
относ-о «+», 1(с
чер-й) нейтр-й
эл-т относ-о
«*». Т.о. мн-во Zm
явл-ся кольцом
относ-о «+», «*»
классов-вычитов
по mod
m
и кольцо Zm=(Zm,0(с
чер-й), 1(с чер-й),
+,-,*) наз-ся кольцом
классов-вычитов
по mod
m.
Т.к. число классов-вычитов
всегда конечно
и =m,то
все кольца
конечны.
Если
из Ґ класса-вычитов
по mod
m
взять по одному
представ-ю, то
получ-я с-а вычетов
наз-я полной
с-й вычитов по
mod
m.
Н-р:1. полная с-а
наим-х неот-х
вычитов по mod
m
Rm={0,1,2,..m-1},
пол-я с-а наим-х
полож-х вычитов
по mod
m
Rm+={1,2,…m},
пол-я с-а абсолютно
наим-х вычитов
по mod
m.
Ґ
совокуп-ть m
целых чисел
х1,
х2,
…хm
попарно не
сравн-х между
собой по mod
образ-т полную
с-у вычитов по
mod
m.
|