Теория управления - реферат

Общая постановка задачи управляемости.

Для задачи ОУ характерно наличие динамического объекта. Динамический объект- объект, состояние которого меняется со временем. Состояние любого динамического объекта в момент времени характеризуется параметрами . Такие параметры наз. Фазовые координаты, а сам вектор- фазовый вектор.

Предполагается, что движением объекта можно управлять. Набор параметров - параметры управления, u(t)- вектор управления. Положение объекта зависит только от того, какое управление было до момента времени , и не зависит от того, какое управление будет в будущем. В зависимости от описания дин. Объекта рассматриваются различные задачи.

Состояние динамического объекта описывается диф. уравнением

1) - эта система решается приближенным методом.

2) x(t) должны принадлежать , . Класс допустимых управлений x(t), не можат быть произвольным. , как правило мн-во замкнуто и ограничено, а это не позволяет применять класс вариационого исчесления, кроме этого на могут быть наложены ограничения по времени.

3)Начальное и конечное состояние объекта. на интервале , , .Задача управления заключается в том, чтобы динамический объект, описываемый системой (1), удовлетворяющий условиям (2), перенести за промежуток времени , из состояния .Это может быть достигнуто разными способами.

4) Критерий управления. Это некоторый функционал вида . Находим такие , что

2. Основные вопросы в теории ОУ.

1. 1) Управляемость. Можно ли осуществить перевод динамического объекта из состояния , за промежуток времени .

2. Существует ли ОУ.

3) Необходимые условия оптимальности- принцип максимума Понтрягина.

4) Достаточные условия ОУ.

5) Единственность ОУ.

3. Постановка линейной задачи.

Линейная задача имеет вид: Рассматриваем динамический объект, поведение которого описывается системой (1) , x- n-мерный вектор, , A-матрица nxn, u имеет ту же размерность, что и , , -замкнуто и ограничено. Допустимое управление u(t) на отр.I осуществляет переход из начального мн-ва в конечное множество , если существует решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям и . Цель управления - перевод динамический объекта из в , а качество определяет функционал. Таким функционалом явл. время, следовательно задача быстродействия заключается в нахождении такого допустимого управления, которое осуществляет переход из множества в за наименьшее время.

4. Пространство , алгебраическая сумма , произведение множества на число .

Пространство -пространство состоящее из всевозможных не пустых компактных подмножеств пр-ва .

Мн-во F компактное, если оно замкнуто и ограничено.

Мн-во F ограничено, если оно содержится в шарк некоторого радиуса.

Мн-во F замкнуто, если оно содержит все свои предельные точки.

Точка f предельная точка F, если в любой ее окрестности содержится хотя бы одна точка мн-ва F отличная от f.

Операции:1) алгебраической суммой наз. мн-во C такое, что любой элемент , .

2) произведением множества на число наз. мн-во C такое, что любой элемент .

5., хаусдорффова норма, лемма про определенность хаус. нормы.

-это минимальный радиус шара с центром в начале координат, где .

Хаусдорффова норма- это расстояние между мн-ми A и B:

-расстояние между мн-ми A и B ( ) явл. наименьшее положительное число r.

Лемма: Пусть - выпуклы, тогда хаусдорффова норма

6. Опорные функции.

Задано множество и вектор . Для этих двух элементов можно определить опорную функцию следующим образом , где C опорная функция. ,

, .

, .

Пусть -некоторый фиксированный вектор, а один из векторов множества F, на котором опорная функция достигает максимум: . В этом случае наз. опорным вектором мн-ва F в точке . А совокупность всех векторов наз. опорным множеством к множеству F в направлении .Гиперплоскость - наз. опорной гиперплоскостью к множеству F в направлении . Гиперплоскость разбивает на два подпространства, при этом множество F находится в отрезке получаемый относительно , т.к. для всех точек выполняется неравенство . Если считать, что - единичный вектор, ,

. опорных

7. Свойства опорной функции.

1. Опорные функция- положительно однородная по переменной .

. Это значит что , .

2. Для опорные функции удовлетворяют неравенству: 3. Два множества и , , Пусть матрица A размера n на n, и рассмотрим лин. образ множества F при лин. преобразовании A и наз.

.

4. ,где -матр. сопряженная с матр. .

5. Опорная функция положительная и однородная по первому аргументу. , . Пусть и пользуемся : 1) условием однородности: 6. Пусть задано множество и его опорная фун. . Выпуклая оболочка мн-ва F

, .

7. Если и A=B, то опорная фун. . И наоборот, если ,то. Следствие: Выпуклые мн-ва равны тогда и только тогда, когда равны их опорные функции.

8. Если и . В этом случае . Если ,то. Следствие: Выпуклые мн-ва тогда и только тогда, когда равны их опорные функции .

9. Пусть задано множество , тогда . В обратную сторону: , когда . Следствие: Точка выпуклому мн-ву , тогда и только тогда , когда .

10. Пусть задано множество , а , тогда . . Следствие: Пусть задано множество , , тогда и только тогда, когда .

и если , то . И наоборот: Если ,то .Следствие: Два вып. Мн-ва пересекаются тогда и только тогда, когда .

8. Непрерывные функции. Условия Липшица. Лемма 1,2 об условиях Липшица для опорных функций.

Пусть -два метрических пространства с метриками и пусть f отображает . f непрерывна в точке , если такое что Условие Липшица: Функция f, отображающая , удовлетворяет условию Липшица с const L , если для любых двух точек , выполняется неравенство ,для опорных функций , , :

Лемма: Опорная функция удовлетворяет условию Липшеца по f с const L= .

Лемма: Пусть - выпуклы, тогда хаусдорффова норма

9. Многозначные отображ­ения.

Многозначным отображением будем называть функцию у которой аргументом является число, а значением некоторые множества

10. Непрерывные и равномерно непрерывные многозначные отображения.

Многозначное отображение F(t) непрерывно в точке , если для .

Лемма: Пусть непрерывное многозначное отображение , когда непрерывна по t при всяком фиксированном , более того равномерно непрерывно по t .

Если равномерно непрерывно по t , то многозначное отображение conv F(t) непрерывно.

11. Измеримые многознач­ные отображения. Лемма о равномерной непрерыв­ности многозначного отображения.

Функция f(t) отображающая в некоторое метрическое пр-во с метрикой называется измеримой, если праобраз любого шара есть мн-во измеримое.

12. Интеграл от многоз­начного отображения. Теорема о непрерывности от многозначного отоб­ражения.

F-многозначное отображение, такое что F: I , где , -замкнутое, ограниченное, не пустое, компактное множество.

Интегралом от многозначного отображения на отрезке I называется множество G (G ) вида: . Это мн-во значений интеграла по всем однозначным ветвям отображения

F(t) .

Теорема 3: Пусть многоз­начное отображение F(t) измеримо и удовлетворяет условию: , где k(t)- скалярная функция, интегрируемая по Лебегу на отрезке I и измерима, тогда непрерывна на отр. I .

Опорная функция , где F , .

13. Теоремы 1, 2 о других видах многозначных отображений.

F-многозначное отображение, такое что F: I , где , -замкнутое, ограниченное, не пустое, компактное множество.

Интегралом от многозначного отображения на отрезке I называется множество G (G ) вида: . Это мн-во значений интеграла по всем однозначным ветвям отображения

F(t) .

Теорема 1: Пусть многозначное отображение F(t) измеримо и удовлетворяет условию: , где k(t)- скалярная функция, интегрируемая по Лебегу на отрезке I и измерима, тогда G является не пустым, компактным множеством в пространстве , и выпукло.

Теорема 2 : Пусть многозначное отображение F(t) измеримо и удовлетворяет условию: , где k(t)- скалярная функция, интегрируемая по Лебегу на отрезке I и измерима, тогда опорная функция .

14. Линейная задача быстродействия. Определение абс. непрерывной функции. Теорема Каратеодори.

Рассматриваем динамический объект, поведение которого описывается системой (1) , x- n-мерный вектор, , A-матрица nxn, u имеет ту же размерность, что и , .Задано , u: I и полагается, что u(t) измеримо и - где k(t) скалярная функция интегрируемая по Лебегу на отрезке I .Функция u(t)- называется допустимым управлением, если измерима и является однозначной ветвью (2) u(t) U(t) - ограничения на управления . В фазовом пространстве заданы два не пустых множества . Допустимое управление u(t) на отр.I осуществляете переход из начального мн-ва в конечное множество , если существует решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям (4) и . Цель управления- перевод динамический объекта из в , а качество определяет функционал. Таким функционалом явл. время, следовательно

задача быстродействия заключается в нахождении такого допустимого управления, которое осуществляет переход из множества в за наименьшее время. (4).

Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений: , , где u известное . Решение задачи Коши записывается в виде: , оно справедливо, если u- непрерывная.

Вычислим (это следует из ).

Определение: Функцию x(t) наз. абсолютно непрерывной на отр. I, если ее производная существует для почти всех t, принадлежащих I, интегрируемая по Лебегу производная и выполняется условие: .

Если имеем измеримое допустимое управление u(t), то решение системы (1) также можно определить с помощью формулы Коши, но в этом случае x(t) не будет непрерывно дифференцируема, а будет абсолютно непрерывной.

Теорема Каратеородори: Если функция u(t) интегрируемая по Лебегу на отр. I, то для любого начального значения существует и при том единое абс. непрерывное решение задачи Коши, которая задается формулой Коши.

15. Множество достижи­мости и его свойства.

Рассматриваем динамический объект, поведение которого описывается системой (1) , x- n-мерный вектор, , A-матрица nxn, u имеет ту же размерность, что и , .Задано , u: I и полагается, что u(t) измеримо и - где k(t) скалярная функция интегрируемая по Лебегу на отрезке I .Функция u(t)- называется допустимым управлением, если измерима и является однозначной ветвью (2) u(t) U(t)- ограничения на управления . В фазовом пространстве заданы два не пустых множества . Допустимое управление u(t) на отр.I осуществляете переход из начального мн-ва в конечное множество , если существует решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям (4) и . Цель управления- перевод динамический объекта из в , а качество определяет функционал. Таким функционалом явл. время, следовательно

задача быстродействия заключается в нахождении такого допустимого управления, которое осуществляет переход из множества в за наименьшее время. (4).

Введем понятия мн-ва достижимости: -это множество все точек фазового пространства , в котором можно перейти на отр. из начального множества по решениям (1) при всех допустимых значениях управления u(t) в момент времени .

Рассмотрим свойства множества достижимости:

1) Используем формулу Коши: , -интеграл от многозначного отображения. Доказательство непосредственно подстав­ле­нием в уравн (1).

2) Множество достижимости является не пустым, компактным подмножеством пр-ва . .

Доказательство следует из формулы Коши и 1-ой теоремы для интеграла многозначных отображений.

3) Если начальное множество выпукло, то множество достижимости также выпукло. Доказательство следует из формулы и теоремы о выпуклости интеграла от многозначного отображения.

4) Опорная функция множества достижимости имеет вид: , u(s)=U. Доказательство следует из формулы , свойств (3), (4) опорных функций , теоремы 2 и того факта, что .

Доказательство:

.

5) Мн-во достижимости: : I непрерывно зависит от аргумента . Множество достижимости имеет вид : -непрерывна по теореме 3, матрица также непрерывна по , следовательно линейное отображение непрерывная функция.

Пример: Найти мн-во достижимости для управляемого объекта, описываемого уравнением: .

, и , I .

,, , , , . , .

16. Общая задача управляемости. Теорема об управляемости.

Рассмотрим вопрос: «Оптимален ли объект?»

Рассматриваем динамический объект, поведение которого описывается системой (1) , x- n-мерный вектор, , A-матрица nxn, u имеет ту же размерность, что и , .Задано , u: I и полагается, что u(t) измеримо и - где k(t) скалярная функция интегрируемая по Лебегу на отрезке I .Функция u(t)- называется допустимым управлением, если измерима и является однозначной ветвью из многозначного отображения U (2) u(t) U(t)- ограничения на управления . В фазовом пространстве заданы два не пустых множества . Допустимое управление u(t) на отр.I осуществляете переход из начального мн-ва в конечное множество , если существует решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям (4) и . Цель управления- перевод динамический объекта из в , а качество определяет функционал. Таким функционалом явл. время, следовательно

задача быстродействия заключается в нахождении такого допустимого управления, которое осуществляет переход из множества в за наименьшее время. (4).

Задача управления- решение вопроса : существует хотя бы одно допустимое управление u(t) , переводящий динамический объекта из в , на отр. времени I. Это соответствует решению краевой задачи: , .

Определим таким образом.

Теорема об уравляемости.Если и выпуклы, то объект явл. управляемым на отр. I из мн-ва в , тогда и только тогда, когда для

Док-во: Очевидно, объект управляем тогда и только тогда, когда множество достижимости и пересекаются. Т.к. и

выпуклы, то для него применим следствие из 11 св-ва опорных фун-ий ( ).

, ;

;

Bocпользуемся еще одним св-ом опрных функий: если - невырожденная матрица, то можно воспользоваться св-вом , что :

.

В силу положительной опорной фун-ии относительно аргумента , получаем, что это верно .

Теорема док-на, т.к. левая часть неравенства и есть .

17.Численное решение задачи управляемости.

Объект управляем на I= , если выполняется . Если множнство ,, таковы что аналитически невозможно получить значение опорной функции u

Вычисление матрицы и интеграл, тогда задача решается с применением ЭВМ. На ЭВМ решается для конечного числа . Для этого сфера покрывается -сетью. В двумерном пространстве -сеть определяется углом . В трехмерном пространстве -сеть определяется двумя углами. Пусть некоторая -сеть некоторой единичной сферы S, где -конечное множество. Какой бы вектор , найдется , такой что . Пусть вычислимое приближенное значение в точках -сети. , . Необходимо, чтобы - в этом случае говорим, что объект -управляем и при этом . Отсюда имеем следующее . Если , то -объект E-управляем. Если -объект не управляем. Если , то в этом случае неопределенность. Выясним вопрос о погрешности. и -погрешность для вычисления опорной функций и .- погрешность для вычисления . По условию Липшица ,

. Используем эти формулы , получим следующие погрешности: - погрешность для вычисления -предполагается, что она интегрируема по Лебегу. -это вычисление интеграла . - погрешность для вычисления . -погрешность вычисления минимума функций. , . + + + + + + +

18. Лемма о внутренней точке.

Пусть А- квадратичная матрица размера nxn , V-произвольный вектор пр-ва , отрезок I= . Тогда , тогда и только тогда , когда векторы линейно независимы.

Под интегралом- многозначное отображения, интеграл от многозначного отображения – тоже многозначное отображения.

Доказательство : Обозначим F= . По свойствам опорной функции для того чтобы нужно, чтобы выполнялось условие , . =

= =

= = .Т.к. подынтегральная функция непрерывна и неотрицательна, то условие , выполняется тогда и только тогда, когда на интервале I . Покажем, что для этого необходимо и достаточно, чтобы векторы были лин. независимы.

Необходимость: (доказательство от противного)

эквивалентно , -лин.независимы .Предположим, что векторы лин. зависимы. Для 3-х векторов : ; - лежат в одной плоскости, ; . Тоже самое для n- векторов: , Пришли к противоречию, необходимость доказана.

Достаточность: (от противного)

Если векторы линейно независимы, то такой, что , . Продифференцируем n-1 раз:0= .Отсюда следует: , где - невырожденная матрица, -не нулевой вектор и , а это означает, что векторы лин.зависимы .Получили противоречие. перпендикуярен .

19. Локальная управляемость. Теорема о локальной управляемости..

Рассматриваем динамический объект, поведение которого описывается системой (1) , x- n-мерный вектор, , A-матрица nxn, u имеет ту же размерность, что и , .Задано , u: I и полагается, что u(t) измеримо и - где k(t) скалярная функция интегрируемая по Лебегу на отрезке I .Функция u(t)- называется допустимым управлением, если измерима и является однозначной ветвью из многозначного отображения U (2) u(t) U(t)- ограничения на управления . В фазовом пространстве заданы два не пустых множества . Допустимое управление u(t) на отр.I осуществляете переход из начального мн-ва в конечное множество , если существует решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям (4) и . Цель управления- перевод динамический объекта из в , а качество определяет функционал. Таким функционалом явл. время, следовательно

задача быстродействия заключается в нахождении такого допустимого управления, которое осуществляет переход из

множества в за наименьшее время. (4).

Предположим, что , а мн-во -произвольные точки из окрестности .

Сделаем линейную замену: ,где -функции, получим , , где ,, поэтому вместо точки можно рассматривать т.0 и будем говорить о локальной управляемости в т.0. Т.е. если объект локально управляем в т.0, то он локально управляем в любой точки .

Определение: Объект наз. локально управляем в т. =0 на отр.I , если объект явл. Управляемым на отр.I из т. .

Для решения задачи применим теорему об управляемости, но для конкретной местности. Исходя из теоремы об управляемости, объект явл. управляемым из в на I , если >=0.

20. Теорема о локальной управляемости. (дает достаточное условие локальной управляемости)

Если вектор и выполняются два условия:

1) , ;

2) -лин. независимы, тогда объект явл. локально управляем в точке x=0 на отр. I.

Доказательство: В силу определения локальной управляемости выполняется условие .

, получим (1) . Покажем, что , такое , что выполняется (1) и . По предположению теоремы 1) выполняется , получим . Сделаем оценку для левой части неравенства. Оценим интеграл: ,

т.к. и выполняется 2) , то 0 явл. внутренней точкой интеграла: , а это означает, что опорная функция >0, . Из свойств опорной функции следует, что опорная функция непрерывна по . Если опорная функция непрерывна, >0, и S –компактное, это означает, что , такое что , , . Т.о. оценили левую часть неравенства (1), покажем , что для правой части , которая зависит от , по этому можно найти .

Покажем , что . Оценим

, отсюда имеем .

,, а это значит , объект локально управляем в точке x=0.

21. Теорема о сущест­вовании оптимального управления.

Если объект является управляемым из множества на отр. , то существует переводящее объект из за время - оптимально управляем.

Рассмотрим -множество всех допустимых управлений, переводящих объект из . Т.к. объект является управляемым , то . Обозначим через попадания фазового вектора на множестве , т.е. . Следовательно за меньшее невозможно перейти.

Докажем, что , переводящее объект из за , при этом считается фиксированым. Т.к. , то последовательность перехода, сходящаяся к . удовлетворяет мн-во достижимости (пустое мн-во). Пусть для . Т.к. множество замкнуто и ограничено, то из можно выбрать подпоследовательность .

Пусть дано . Т.к. сходящаяся к .

Т.о. . Множество непрерывно по аргументу , т.е. начиная с какого-то номера . . Т.к. произвольная, а мн-во компактно, то . Т.к. и , то это обозначает, что (пустое мн-во) и это означает, что , переводящее объект из за . И т.к. , то - оптимальное управление. Теорема док-на.

22. Принцип максимума Понтрягина на языке опорных функций.

Рассматриваем динамичес­кий объект, поведение которого описывается системой (1) , x- n-мерный вектор, , .Задано , u: I и полагается, что u(t) измеримо и - где k(t) скалярная функция интегрируемая по Лебегу на отрезке I . В фазовом пространстве заданы два не пустых множества . Допустимое управление u(t) на отр.I осуществляете переход из начального мн-ва в конечное множество , если существует решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям и . Цель управления- перевод динамический объекта из в , а качество определяет функционал. Таким функционалом явл. время, следовательно задача быстродействия заключается в нахождении такого допустимого управления, которое осуществляет переход из множества в за наименьшее время. (4).

, где -ненулевая вектор-функция. , . Если -оптимальное управление, переводящее , то .

Для нашей задачи : . удовлетворяет принципу максимума Понтрягина на , если существует не нулевая вектор -функция. , удовлетворяющая системе с нач. условием , такая что выполняется условие:

1. -здесь достигается максимум.

2) ;

3) .

Теорема о необходимых условиях оптимальности. Если в линейной задаче быстродействия мн-ва выпуклы, -оптимальное управление, переводящее на отр. , а -соответствующая траектория, то пара удовлетворяет принципу максимума Понтрягина.

23. Применение необхо­димых условий оптималь­ности(схема и пояснения к ней).

Рассматриваем динамический объект, поведение которого описывается системой (1) , x- n-мерный вектор, , A-матрица nxn, u имеет ту же размерность, что и , .Задано , u: I и полагается, что u(t) измеримо и - где k(t) скалярная функция интегрируемая по Лебегу на отрезке I .Функция u(t)- называется допустимым управлением, если измерима и является однозначной ветвью из многозначного отображения U u(t) U(t) - ограничения на управления . В фазовом пространстве заданы два не пустых множества , -выпуклы. Допустимое управление u(t) на отр.I осуществляете переход из начального мн-ва в конечное множество , если существует решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям и . Цель управления- перевод динамический объекта из в , а качество определяет функционал. Таким функционалом явл. время, следовательно

задача быстродействия заключается в нахождении такого допустимого управления, которое осуществляет переход из

множества в за наименьшее время. .

Пусть оптимальное управление, -соответствующая траектория, переводящая за время I . И - ненулевая функция, такая что (2).

1) (3);

2) (4);

3) (5)

Найти :

24. Достаточное условие оптимальности.

( Вначале написать вопрос «Применение необходимых условий оптимальности(схема и пояснения к ней»)

Для линейной задачи существует дост. условие. Для этого необходимо выполнение дополнительных условий: усиление условия трансверсальности 4) решение удовлетворяет усиленному условию трансверсальности на на отр. , если для (6).

Достаточное условие: если допустимое управление, -соответствующая траектория, переводящая за время I и пара удовлетворяет принципу максимума Понтрягина (2-5) и усиленному условию трансверсальности (6), то - оптимальное управление.

Следствие из теоремы достаточного условия трансверсальности. Используем локальную управляемость: .Если некоторое допустимое управление, а - соответствующее решение (1), переводящее за время I, удовлетворяет принципу максимума Понтрягина и объект явл. локально управляемым в т.0 на любом отр. , то управление - оптимально.

25. Единственность оптима­льного управления для линейной задачи.

( В начале написать вопрос «Применение необходимых условий оптимальности(схема и пояснения к ней)»)

При решении с использованием принципа максимума Понтрягина в пунктах 3,4 нарушается единственность. При выборе из условия 4 и выборе из условия (3). Пусть задана и сопряженная функция удовлетворяющая системе (2), если опорная функция является дифференцируемой по в точке , т.е. в этой точке существует градиент функции и для почти всех дифференцируемая по , то соответствующая пара , удовлетворяющая принципу максимума Понтрягина, является единственной.

Следствие: Если мн-во и строго выпуклы для почти всех t , принадлежащих I, тогда для любого начального значения , соответствующая пара , удовлетворяющая принципу максимума Понтрягина, является единственной.