Математический анализ

Понятие функции является одним из основных в математике. С его помощью выражают зависимости между различными переменными величинами. Изучение свойств функций, основанное на методе пределов, составляет содержание математического анализа.

Пусть

- некоторое числовое множество, и пусть каждому элементу

поставлено в соответствие число

. Тогда говорят, что на множестве

определена числовая функция. Функцию обозначают некоторым символом, например

, и пишут

Множество

называется областью определения функции

- ее аргументом, а

- значением функции в точке

. Используются также обозначения:

для области определения и

для множества значений функции.

Графиком функции

называется множество всех точек координатной плоскости вида

, где

. График дает наглядное представление о поведении функции, однако более удобным в теоретических исследованиях является аналитический способ задания функций с помощью формул. На практике используют также табличный способ, когда значения функции указываются для отдельных значений аргумента.

В качестве области определения функции могут выступать различные числовые множества, например:

Под областью определения функции, заданной формулой, понимают обычно множество всех значений аргумента, для которых эта формула имеет смысл.

Примеры. 1) Для функции

область определения и множество значений

имеют вид:

; график функции представлен на рис. 1.

2) Для функции

имеем

; график функции изображен на рис. 2.

Напомним определения и свойства некоторых элементарных функций, известные из школьного курса математики. В каждом случае укажем аналитическое выражение и область определения функции, приведем ее график.

где

– некоторые постоянные (числа); график – прямая с угловым коэффициен-

где

- постоянные коэффициенты; график – парабола, ее расположение существенно зависит от величины

называемой дискриминантом функции, и от знака первого коэффициента

где

- постоянные; область определения существенно зависит от

. В п. в) рассмотрен случай

, а в примере 1 - случай

. Приведем еще графики функций для

где

- постоянная; график в зависимости от значения

имеет вид:

Все перечисленные здесь функции, а также логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические функции основными элементарными функциями.

Пусть заданы функции

, причем множество значений функции

принадлежит области определения функции

. Тогда можно определить сложную функцию

Пример. Из функций

с помощью указанной операции можно составить две сложные функции:

Используя операцию композиции, можно из основных элементарных функций, получать новые функции, также называемые элементарными. Вообще, элементарной функцией называют функцию, которую можно получить из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и композиций.

П
ример. Функция

(читается: “модуль

”) является элементарной, так как для всех

R справедливо представление

. График этой функции приведен на рис. 9.

Рассмотрим функцию

с областью определения

и множеством значений

. Предположим, что для любого

уравнение

имеет единственное решение

. Тогда на множестве

можно определить функцию, сопоставляющую каждому

такое значение

, что

. Эту функцию называют обратной для функции

и обозначают

Функцию, у которой существует обратная функция, назовем обратимой.

Обозначая, как обычно, аргумент функции через

, а значение функции через

, можно записать

Поскольку взаимная перестановка переменных

равносильна переобозначению координатных осей, можно показать, что график функции

симметричен графику функции

относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (то есть относительно прямой

Примеры. 1) Для линейной функции

обратная функция также линейна и имеет вид

. Меняя местами

, получаем

. Графики исходной и обратной функций приведены на рис. 10.

2) Для функции

, множество значений имеет вид

. Для каждого

уравнение

имеет единственное решение

. Поменяв местами

, получим

. Графики функций приведены на рис. 11 .

3) Обратной к показательной функции

является логарифмическая функция

. На рис. 12 представлены графики функций

1. Найти области определения следующих функций:

Пределом функции в точке называется число, к которому приближаются значения функции при приближении аргумента к этой точке. Строгое определение предела дается сначала для функций частного вида – последовательностей, а затем переносится на функции общего вида. На основе понятия предела определяются важнейшие понятия математического анализа – производная и интеграл.

Последовательностью называется функция, определенная на множестве натуральных чисел N = . Значения этой функции

N, называются элементами или членами последовательности, число

называется номером элемента

. Для последовательностей используется обозначение

или более наглядная запись

. Задать последовательность можно с помощью формулы, связывающей

Приведем примеры последовательностей, указав их различные представления:

Заметим, что элементы этих последовательностей ведут себя по-разному с увеличением номера

: в первом случае убывают, приближаясь к нулю; во втором случае неограниченно возрастают; в третьем случае не приближаются ни к какому определенному числу, принимая поочередно значения

. Для описания поведения элементов последовательности при неограниченном увеличении n вводится понятие предела.

Число а называется пределом последовательности

, если для любого положительного числа

существует такой номер

, что для всех

выполняется неравенство

(то есть

отличается от

менее, чем на

Если предел существует, то говорят, что последовательность сходится, и пишут

(читается: “предел

равен

”) или

при

(“

стремится к

при

, стремящемся к бесконечности”). В противном случае говорят, что последовательность расходится.

Примеры. а) Последовательность

сходится, ее предел равен нулю:

. Это непосредственно следует из определения предела, поскольку при любом

неравенство

выполняется для всех

, и в качестве

можно взять любое натуральное число, большее

б) Аналогично доказывается более общее утверждение:

При вычислении пределов последовательностей используются следующие правила:

I. Если последовательности

сходятся, то сходятся их сумма, разность и произведение, причем:

II. Предел последовательности

, где

- постоянная, равен этой постоянной:

III. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

Применению указанных правил часто предшествуют некоторые предварительные преобразования выражения, стоящего под знаком предела.

Последовательность

называется бесконечно малой, если

. Это означает, что для любого

найдется номер

такой, что для всех

выполняется неравенство

Последовательность

называется бесконечно большой, если для любого числа

найдется такой номер

, что для всех

справедливо неравенство

. В этом случае пишут

(читается: “предел

равен бесконечности”) или

при

(“

стремится к бесконечности при

, стремящемся к бесконечности”). Если при этом все элементы

положительны, начиная с некоторого номера, то пишут

(“предел

равен плюс бесконечности”), а если отрицательны - используют запись

(“предел

равен минус бесконечности”).

Заметим, что если

, то

(при

), то есть последовательность, обратная к бесконечно большой, является бесконечно малой. Аналогично, если

, то

(при

), – последовательность, обратная к бесконечно малой, является бесконечно большой.

сумма и произведение двух бесконечно малых последовательностей являются бесконечно малыми последовательностями;

произведение двух бесконечно больших последовательностей является бесконечно большой последовательностью;

если оба предела

равны

(или

), то

(соответственно

являются бесконечно малыми, а обратные к ним последовательности

б) Последовательности

бесконечно большие, поэтому их сумма

– также бесконечно большая. Отсюда следует, что

– бесконечно малая последовательность, поскольку

Рассмотрим последовательность

. Можно показать, что эта последовательность сходится; ее предел обозначается буквой

Число

играет важную роль в математике (служит основанием натуральных логарифмов); оно не является рациональным и приближенно равно

Исходя из определения числа

, можно получить более общую формулу:

Приведем пример экономической задачи, в которой возникает число

. Предположим, что в банк помещена сумма

под

годовых. Тогда через год сумма вклада составит

Предположим, что вклад можно снять по истечении любого срока в течение года, и начисление на вклад пропорционально этому сроку, т.е. за полгода будет начислено

, за месяц -

, за один день -

. Тогда к концу года можно получить доход больший, чем

, действуя следующим образом. Если, например, в середине года закрыть счет и полученную сумму

снова положить в банк на оставшиеся полгода, то в конце года сумма вклада составит

Если повторять операцию закрытия-открытия счета чаще, например, каждый месяц, то к концу года будем иметь

, а если каждый день, то

. Если предположить, что операция закрытия-открытия счета производится

раз в году через равные промежутки времени, то в конце года сумма вклада составит

, а если представить, что проценты начисляются непрерывно (число операций закрытия-открытия счета неограниченно растет), то

Таким образом, максимальное число процентов, на которое гипотетически может увеличиться вклад при данной схеме начисления, составляет

. Например, при номинальной ставке 100 % (

максимальная эффективная ставка составит

Пусть функция определена на некотором интервале

, содержащем точку

, за исключением быть может самой этой точки. В дальнейшем любой интервал, содержащий некоторую точку

, будем называть окрестностью данной точки.

Число

называется пределом функции

в точке

, если для любой последовательности

, сходящейся к

, последовательность значений функции

сходится к

. Обозначения:

При вычислении пределов функций используются те же правила, что и при вычислении пределов последовательностей. В частности, если существуют пределы

, то

если, кроме того,

(тогда

для всех

, достаточно близких к

), то

Примеры. а) Найдем предел функции

в точке

. Для произвольной последовательности

такой, что

, на основании свойств пределов последовательностей имеем

Отсюда по определению предела функции получаем

б) Найдем предел функции

в точке

, в которой функция не определена. Для произвольной последовательности

такой, что

, имеем

Данное выше определение предела функции можно распространить на случаи, когда

или

(по отдельности или вместе) являются не числами, а символами

или

. Так, например, запись

где

- число, означает, что для любой бесконечно большой последовательности

, стремящейся к

, последовательность

сходится к

. Аналогично, запись

означает, что для любой последовательности

, стремящейся к

, последовательность

стремится к

В качестве более сложного примера приведем равенство

которое можно доказать, исходя из определения числа

. Заметим, что этому равенству можно придать вид

Функция , определенная в некоторой окрестности точки

, называется непрерывной в точке

, если

Если ввести обозначения

(

называется приращением аргумента, а

- соответствующим приращением функции), то определению непрерывности можно придать вид

Таким образом, непрерывность означает, что малым приращениям аргумента соответствуют малые приращения функции.

Функция называется непрерывной на множестве

, если она непрерывна в каждой точке этого множества. Справедливо следующее утверждение: все основные элементарные функции непрерывны на своих областях определения.

Примеры. Следующие функции непрерывны на указанных множествах:

Производная характеризует скорость изменения функции при изменении ее аргумента. Она является основным инструментом исследования функций в математическом анализе, в частности, используется для отыскания точек экстремума: в этих точках производная либо равна нулю, либо не существует. Через производную определяется понятие эластичности функции, применяемое в экономических приложениях.

1. Определение производной и правила дифференцирования

Пусть функция

определена в некоторой окрестности точки

. Пусть

– приращение аргумента в точке

, а

– соответствующее приращение функции. Составим отношение

этих приращений и рассмотрим его предел при

. Если указанный предел существует, то он называется производной функции

в точке

и обозначается

или

, то есть

Операция вычисления производной называется дифференцированием, а функция, имеющая производную в точке, – дифференцируемой в этой точке. Если функция имеет производную в каждой точке интервала

, то она называется дифференцируемой на этом интервале.

Примеры. Найдем производные функций в произвольной точке

Заметим, что на практике при вычислении производных редко прибегают к определению. Вместо этого используют таблицу, содержащую выражения для производных всех основных элементарных функций, а также правила дифференцирования, позволяющие находить производную суммы, разности, произведения, частного и композиции функций.

Приведем таблицу производных некоторых основных элементарных функций и правила дифференцирования.

Таблица производных

где , и - произвольные постоянные, , .

Примеры. Получим некоторые следствия формулы 2:

а) ,

б) ;

в) .

Правила дифференцирования

;
, где - постоянная;
;
;

если , а , то производная сложной функции находится по формуле

где индексы указывают, по какому аргументу производится дифференцирование.

Примеры. Найдем производные функций, используя правила 1-4:

а) ;

б) ;

в) ;

Примеры. Найдем производные сложных функций по правилу 5:

а) ; положим , тогда , и, следовательно,

;

б) ; положим , тогда , и

Заметим, что производная , называемая также первой производной функции , сама является функцией аргумента . Производная этой функции называется второй производной функции и обозначается , то есть . Аналогично можно ввести третью и более высокие производные.

Примеры. Найдем вторые производные:

а) ;

б) .

2. Геометрический и физический смысл производной

а) Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции , дифференцируемой в точке (рис. 13). Проведем через точки и графика прямую , и пусть - угол ее наклона к оси . Тогда

. (1)

Рис. 13.

Если стремится к нулю, то также стремится к нулю, и точка приближается к точке , а прямая - к касательной , образующей с осью угол . При этом равенство (1) принимает вид:

, (2)

откуда следует, что производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.

Пример. Найдем угол наклона касательной к графику функции в точке . Поскольку , то в силу формулы (2) получаем . Следовательно угол , то есть касательная параллельна оси .

б) Физический смысл производной. Если - время движения, а - путь, пройденный за это время, то отношение есть средняя скорость движения на отрезке , а - мгновенная скорость в момент времени .

3. Исследование функций с помощью производной

Функция называется возрастающей (убывающей) на интервале , если для любых из следует ( ).

Интервалы возрастания или убывания могут быть найдены на основании следующего утверждения.

Теорема 1. Если для всех , то функция возрастает на интервале ; если для всех , то функция убывает на интервале .

Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции , если для всех из некоторой окрестности точки , , выполнено неравенство ( ). Точки максимума и минимума называются точками экстремума функции.

Для отыскания точек экстремума используются следующие теоремы.

Теорема 2 (необходимое условие экстремума). Если функция имеет экстремум в точке и дифференцируема в этой точке, то .

Из этой теоремы вытекает, что в точках экстремума функции производная либо равна нулю, либо не существует. Такие точки называются критическими. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.

Теорема 3 (достаточное условие экстремума). Пусть - критическая точка функции . Если при переходе через точку производная меняет знак с "+" на "–", то в точке функция имеет максимум, а если с "–" на "+", то – минимум. Если производная не меняет знак при переходе через точку , то в этой точке экстремума нет.

Проводимый на основе сформулированных теорем анализ поведения функций используют при построении их графиков.

Примеры. а) Найдем интервалы возрастания и убывания функции

и ее экстремумы.

Производная рассматриваемой функции существует при любом и равна . Приравняв производную нулю и решив полученное квадратное уравнение, найдем две критические точки: и . Ось разбивается этими точками на три интервала: , и , причем на каждом из них сохраняет знак. Определим эти знаки, например, вычислив в произвольных точках указанных интервалов, получим:

на и , и на .

Отсюда в силу теорем 1-3 заключаем, что функция возрастает на интервалах и , убывает на интервале , в точке достигает максимального значения , а в точке - минимального значения .

б) Пусть . Тогда , и единственной критической точкой является . Так как знак производной не меняется при переходе через эту точку, то она не является точкой экстремума. График этой функции приведен в § 1 на рис. 7.

в) Пусть , . Тогда при всех . Это означает, что данная функция возрастает на интервалах ( ) и ( ).

г) Точка является критической точкой функции - производная функции в этой точке не существует. Функция достигает в этой точке минимума, что иллюстрирует ее график (рис. 5).

4. Эластичность функции

Пусть аргумент функции получает приращение . Тогда значение функции изменяется на величину . Отношение характеризует среднее изменение функции, приходящееся на единицу изменения ее аргумента, а предел этого отношения при равен производной .

Рассмотрим относительные изменения переменных и , выраженные, например, в процентах: и . Их отношение

показывает, на сколько процентов в среднем меняется при изменении на . Предел этого отношения при называется эластичностью функции и обозначается , то есть

Так как

то справедлива формула

Примеры. а) Пусть , тогда и, следовательно, . При получаем , то есть при увеличении от 2 до 2,02 (на 1%) значение изменяется примерно на .

б) Пусть , тогда и, следовательно, . При получим . Следовательно, увеличение от 3 до 3,03 ведет к уменьшению примерно на .

в) Пусть , тогда и, следовательно, . В этом случае эластичность постоянна и равна , то есть при любом значении аргумента его увеличение на 1% ведет к уменьшению значения функции также на .

Функция называется эластичной в точке , если , нейтральной, если , и неэластичной, если .

Пример. Дана зависимость спроса от цены :

Найдем эластичность спроса , и рассмотрим ее значения при некоторых . Так как , то . При имеем , откуда , то есть спрос неэластичен. Если , то , , – спрос нейтрален. При получим , то есть и, значит, спрос эластичен.

Эластичность спроса означает, что его относительное изменение по абсолютной величине превосходит относительное изменение цены; неэластичность означает меньшее относительное изменение спроса по сравнению с ценой; нейтральность – равенство этих изменений по абсолютной величине.

Пример. Пусть зависимость спроса от цены представлена функцией . Величина

равна выручке, получаемой от продажи товара в объеме, равном спросу на товар. Выясним, как изменяется спрос с увеличением цены. Для этого найдем производную :

откуда

Будем предполагать, что , поскольку, как правило, спрос уменьшается с ростом цены. В этом случае и, следовательно, имеем

Отсюда видно, что если спрос эластичен ( ), то , и с повышением цены выручка от продажи товара снижается; если спрос нейтрален ( ), то , и выручка мало зависит от изменения цены; если спрос неэластичен ( ), то , и выручка увеличивается с ростом цены.

Упражнения

1. Найти производные функций:

К понятию неопределенного интеграла приводит задача о нахождении функции по ее производной. Эта задача решается с помощью операции интегрирования, обратной по отношению к операции дифференцирования.

1. Определение интеграла и правила интегрирования

Пусть для всех

, принадлежащих интервалу

, выполнено равенство

тогда функция

называется первообразной функции

на

Заметим, что первообразная функции

определяется не однозначно: вместе с

первообразными являются функции вида

, где

– произвольная постоянная. Справедливо утверждение: любая первообразная функции представима в виде

при некотором значении

Совокупность всех первообразных функции

называется ее неопределенным интегралом и обозначается символом

при этом

называется подынтегральной функцией, а

- переменной интегрирования. Операция нахождения интеграла называется интегрированием.

Пример. а) Из равенства

заключаем, что функция

является первообразной функции

. Следовательно, можно записать

В отличие от производной интеграл элементарной функции может не быть элементарной функцией. Это относится, например, к интегралам от

. Однако интегралы всех основных элементарных функций выражаются через элементарные функции. Приведем таблицу некоторых из них, получаемую из таблицы производных, и правила, по которым можно находить интегралы других функций.

Отметим, что приведенные правила аналогичны соответствующим правилам дифференцирования.

Примеры. Найдем интегралы, применяя указанные правила и таблицу:

2. Замена переменной в неопределенном интеграле

В некоторых случаях нахождение интеграла упрощается при переходе к другой переменной интегрирования. При этом если исходная и новая переменные

связаны соотношением

, где

- обратимая дифференцируемая функция, то для интегралов справедливо равенство

в правой части которого после вычисления интеграла следует сделать обратную замену

В частности, используя замену

(или

), получаем формулу

позволяющую обобщить табличные интегралы. Например:

Примеры. Найдем интегралы, применяя полученные формулы:

Определенный интеграл функции равен пределу интегральных сумм, сопоставляемых ей по некоторым правилам. Для непрерывной неотрицательной функции определенный интеграл равен площади фигуры, заключенной между графиком функции и осью

. При вычислении определенного интеграла от непрерывной на отрезке функции используется формула Ньютона-Лейбница, выражающая определенный интеграл через первообразную функции.