). Перемножив эти числа, получим:
В рассмотренной задаче мы сопоставили каждому набору из k
1
белых и k
-
k
1
черных шаров вероятность получить этот набор при выборе k
шаров из урны, содержащей n
1
белых и n
-
n
1
черных шаров:
Определение 8
. Соответствие или следующий набор вероятностейНазывается гипергеометрическим распределением
.
Раздел 2. Геометрическая вероятность
2.1 Что это такое
Рассмотрим какую-нибудь область Ω
в Rm
,(на прямой, на плоскости, в пространстве). Предположим, что «мера» Ω
(длина, площадь, объем, соответственно) конечна. Пусть случайный эксперимент состоит в том, что мы наудачу бросаем в эту область точку а
. Термин «наудачу» здесь означает, что вероятность попадания точки в любую часть А
ÍΩ
не зависит от формы или расположения А
внутри Ω
, а зависит лишь от «меры» области.
Определение 9
. Эксперимент удовлетворяет условиям «геометрического определения вероятности», если его исходы можно
изобразить точками некоторой области Ω
в Rm
так, что вероятность попадания точки в любую А
ÍΩ
не зависит от формы или расположения А
внутри Ω
, а зависит лишь от меры области А
(и, следовательно, пропорциональна этой мере):«Мерой» мы пока будем называть длину, площадь, объем и т.д.
Если для точки, брошенной в область Ω
, выполнены условия геометрического определения вероятности, то говорят, что точка равномерно распределена в области
Ω.
Пример 8
. Точка наудачу бросается на отрезок [0,1]. Вероятность точке попасть в точку {0,5} равна нулю, так как мера множества, состоящего из одной точки («длина точки»), есть 0. Вместе с тем попадание в точку {0,5} не является невозможным событием — это один из элементарных исходов эксперимента.
2.2 Задача о встрече
Пример 9
. Два лица Х
и У
условились встретиться в определенном месте между двумя и тремя часами дня. Пришедший первым ждет другого в течении 10 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи этих лиц, если каждый из них может прийти в любое время в течение указанного часа независимо от другого?
Будем считать интервал с 14 до 15 часов дня отрезком [0,1] длиной 1 час. Пусть ξ
(«кси») и η
(«эта») — моменты прихода Х
и У
(точки отрезка [0,1]).Все возможные результаты эксперимента — множество точек квадрата со стороной 1:Ω = {( ξ , η): 0
£
ξ
£
1 0
£
η
£
1 }=[0,1]
x[0,1]
Можно считать, что эксперимент сводится к бросанию точки наудачу в квадрат. При этом благоприятными исходами являются точки множества A
= {( ξ , η): │ξ - η│
£
1/6 }
(10 минут = 1/6 часа). То есть попадание в множество A
наудачу брошенной в квадрат точки означает, что Х
и У
встретятся.Тогда вероятность встреч и равна
2.3 Задача Бюффона
Пример 10
. На плоскости начерчены параллельные прямые, находящиеся друг от друга на расстоянии 2
a
. На плоскость наудачу брошена игла длины 2
l
< 2
a
. Какова вероятность того, что игла пересечет одну из прямых?
Поймем, что означает здесь «наудачу брошена игла». Возможные положения иглы (отрезка) на плоскости полностью определяются положением середины иглы и углом поворота иглы относительно какого-либо направления. Причем две эти переменные (положение центра и угол поворота) меняются независимо друг от друга. Обозначим через х
Î
[0,
a
]
расстояние от середины иглы до ближайшей прямой, аφ
Î
[0,
π
]
—
угол между каким-то направлением прямых и иглой. Множество возможных положений иглы целиком определяется выбором наудачу точки из прямоугольника Ω
= [0,
π
]
x[0,
a
]
. Игла пересекает ближайшую прямую, если координаты выбранной наудачу точки удовлетворяют неравенству: х
£
. l
sin
φ
Площадь области А
Í Ω
, точки которой удовлетворяют такому неравенству, равна
И так как μ(Ω) =
a
π
, то искомая вероятность равна2.4 Парадокс Бертрана
Пример
11
( Josef Bertrand, “Calcul des Probabilites", 1888).
В круге единичного радиуса наудачу выбирается хорда. Какова вероятность того, что ее длина будет больше, чем длина стороны вписанного в круг правильного треугольника?
Есть по крайней мере три способа «выбрать наудачу хорду в круге». 1. Зафиксируем одну точку (конец хорды) на окружности и выберем наудачу на окружности другую точку (второй конец хорды). Здесь Ω = [0, 2π]
, а благоприятными являются положения второй точки на интервале [2π/3, 4π/3]
(хорды, помеченные на рисунке красным цветом). Вероятность получить «длинную» хорду равна 1/3.
2. Существует ровно одна хорда, для которой данная точка в круге является серединой (кроме того случая, когда брошенная наудачу точка попадет в центр круга. Но поскольку вероятность этого события равна нулю, то учет или неучет такого события не влияет на итоговую вероятность). Можно поэтому выбирать наудачу хорду, бросая наудачу точку (середину хорды) в круг. Здесь Ω
— круг радиуса 1, μ(Ω) = π
, а благоприятными являются положения середины хорды внутри вписанного в треугольник круга (радиусом 1/2).Вероятность получить «длинную» хорду равна отношению площадей кругов, то есть 1/4.
3. Наконец, можно ограничиться рассмотрением только хорд, перпендикулярных какому-либо диаметру (остальные могут быть получены поворотом). То есть эксперимент может состоять в выборе середины хорды наудачу на диаметре круга — отрезке длиной 2. Благоприятными являются положения середины хорды на отрезке длиной 1. Искомая вероятность для такого эксперимента равна 1/2.
В чем причина разницы в ответах на, казалось бы, один и тот же вопрос? На самом деле формулировка задач и не корректна с математической точки зрения. «Выбор наудачу хорды в круге» может быть по-разному описан с помощью геометрического определения вероятности (что мы и сделали). То есть этот «эксперимент» можно по-разному описать с помощью выбора наудачу точки в некоторой области.
Слово «эксперимент» взято в кавычки не напрасно: сказав «в круге наудачу выбирается хорда», мы еще не описали физического эксперимента. Действительно, каждому из трех предложенных способов выбора хорд можно сопоставить конкретный физический эксперимент (всякий раз другой).
Так что парадокс исчезает сразу, как только получен ответ на вопрос: что значит «в круге наудачу выбирается хорда»?
Заканчивая обсуждение понятия геометрической вероятности, сделаем очень важное для дальнейшего замечание.
Замечание 7
. Если даже эксперимент удовлетворяет геометрическому определению вероятности, далеко не для всех множеств А
Í Ω
вероятность может быть вычислена как отношение меры А
к мере Ω
. Причиной этого является существование так называемых «неизмеримых» множеств, то есть множеств, мера которых не существует.
А если не для всех подмножеств Ω
мы можем определить их вероятности, следует сузить класс множеств, называемых «событиями», оставив в этом классе только те множества, для которых мы можем определить вероятность.
В следующей главе мы займемся построением (вслед за Андреем Николаевичем Колмогоровым) аксиоматики теории вероятностей: познакомимся с понятиями σ
-алгебры (или поля) событий, вероятностной меры, вероятностного пространства.
Раздел 3. Аксиоматика теории вероятностей
3.1 σ
-алгебра событий
Пусть Ω
— пространство элементарных исходов некоторого случайного эксперимента (то есть, вообще говоря, множество произвольной природы). Мы собираемся определить набор подмножеств Ω
, которые будут называться событиями, и затем задать вероятность как функцию, определенную только на множестве событий.
То есть событиями мы будем называть не любые подмножества Ω
, а лишь подмножества из некоторого «множества подмножеств» Ψ. При этом необходимо позаботиться, чтобы это множество Ψ подмножеств Ω
было «замкнуто» относительно введенных в параграфе 1.2 операций над событиями, то есть чтобы объединение, пересечение, дополнение событий (то есть элементов Ψ) снова давало событие (то есть элемент Ψ).
Определение 10
. Множество Ψ, состоящее из подмножеств множества Ω
, (не обязательно всех!) называется σ - алгеброй событий
, или σ – алгеброй подмножеств
Ω
, если выполнены следующие условия:
(A1
) Ω
Î Ψ (σ
-алгебра событий содержит достоверное событие);
(A2
) если
, то
(вместе с любым событием σ
-алгебра содержит противоположное событие);
(A3
) если А1
, А2
…
Î Ψ, то
(вместе с любым конечным или счетным набором событий σ
-алгебра содержит их объединение).
Условия (A1
)–(A3
) часто называют «аксиомами σ
- алгебры».
Проверим, что этого набора аксиом достаточно для замкнутости множества Ψ относительно других операций над событиями.
Вместо первой аксиомы достаточно предположить, что
Ψ не пусто, т.е. содержит хоть один элемент.
Свойство 1
. ÆÎΨ (σ
-алгебра событий содержит невозможное событие).
Доказательство
. По (A1), Ω
Î Ψ, но Æ = Ω/ Ω
= ¬ Ω
ÎΨ в силу (A2
).
Свойство 2
. При выполнении (A1
),(A2
) свойство (A3
) эквивалентно свойству (A4
)
(A4
) если А1
, А2
…
ÎΨ, то
(вместе с любым конечным или счетным набором событий σ
-алгебра содержит их пересечение).
Доказательство
. Докажем, что при выполнении (A1
),(A2
) из (A3
) следует (A4
).
Если А1
, А2
…
ÎΨ, то при всех i
= 1, 2,…
по свойству (A2
) выполнено
Тогда из (A3
) следует, что
и, по (A2
), дополнение к этому множеству также принадлежит Ψ
, то есть
Но, в силу формул двойственности,
Доказательство в обратную сторону выглядит совершенно аналогично.
Свойство 3
. Если А, В
Î Ψ, то А\ В
ÎΨ
Пример 12
. Пусть Ω
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}— пространство элементарных исходов (например, при бросании игрального кубика). Следующие наборы подмножеств Ω
являются σ
-алгебрами (доказать
!):
1. Ψ= { Ω ,
Æ}
={ {1, 2, 3, 4, 5, 6},Æ }— тривиальная σ
-алгебра.
2. Ψ= { Ω ,
Æ
,{1},¬{1}} ={ {1, 2, 3, 4, 5, 6},
Æ
,{1},{2, 3, 4, 5, 6} }.
3. Ψ= { Ω ,
A
,¬
A
} ={ {1, 2, 3, 4, 5, 6},
Æ
,
A
,¬
A
}.
, где A
— произвольное подмножество Ω
(в предыдущем примере A
={1}
).
Итак, мы определили специальный класс Ψ подмножеств пространства элементарных исходов Ω
, названный σ
-алгеброй событий, причем применение счетного числа любых операций (таких, как объединение, пересечение, дополнение) к множествам из Ψ снова дает множество из Ψ (не выводит за рамки этого класса). Множества А
ÎΨ мы и назвали «событиями».
Определим теперь понятие «вероятности» как функции, определенной на множестве событий (то есть функции, которая каждому событию
ставит в соответствие число). А чтобы читателю сразу стало понятно, о чем пойдет речь, добавим: вероятность мы определим как неотрицательную нормированную меру
, заданную на σ
-алгебре Ψ подмножеств Ω.
3.2 Вероятность как нормированная мера
Определение 11
.
Пусть Ω
— некоторое множество и Ψ — σ
-алгебра его подмножеств. Функция μ:
Ψ →
R
U
{∞}
называется мерой
на (
Ω,
Ψ)
, если она удовлетворяет условиям:
(M1
) Для любого множества А
ÎΨ его мера неотрицательна: μ(А)≥ 0
.
(M2
) Для любого счетного набора попарно непересекающихся множеств А1
, А2
…
ÎΨ мера их объединения равна сумме их мер:
(«счетная аддитивность» или «σ
-аддитивность»). Иначе говоря, мера есть неотрицательная, счетно-аддитивная функция множеств.Определение 12.
Пусть Ω
— некоторое множество и Ψ — σ
-алгебра его подмножеств. Мера μ:
Ψ →
R
называется нормированной
, если μ(Ω) = 1
. Другое название нормированной меры — «вероятность
» или «вероятностная мера
».
То же самое еще раз и подробно:
Определение 13.
Пусть Ω
— пространство элементарных исходов и Ψ — σ
-алгебра его подмножеств (событий). Вероятностью
или вероятностной мерой
на (
Ω,
Ψ)
, называется функция P Ψ →
R
, обладающая свойствами:
(P1
) Для любого события А
ÎΨ выполняется неравенство P(А)≥ 0
;
(P2
) Для любого счетного набора попарно несовместных событий А1
, А2
…
ÎΨ имеет место равенство
(P3
) Вероятность достоверного события равна единице:
P(Ω) = 1
.
Свойства (P1
)–(P3
) часто называют «аксиомами вероятности».
Определение 14.
Тройка (
Ω,
Ψ,Р
)
, в которой Ω
— пространство элементарных исходов, Ψ — σ
-алгебра его подмножеств и P — вероятностная мера на Ψ, называется вероятностным пространством
.
Выпишем свойства вероятности:
0.
1. Для любого конечного набора попарно несовместимых событий А1
, А2
…
Î Ψимеет место равенство
2.
3. Если
, то
4. Если
, то
5.
6.
7.
8.
9.
(2)
Раздел 4. Условная вероятность, независимость
4.1 Условная вероятность
Пример 13
. Кубик подбрасывается один раз. Известно, что выпало более трех очков. Какова при этом вероятность того, что выпало четное число очков?
В данном случае пространство элементарных исходов состоит из трех равновозможных элементарных исходов: Ω = {4, 5, 6}
, и событию A
= {выпало четное число очков}
благоприятствуют 2 из них: A
= {4, 6}
. Поэтому P(
A
) = 2/3
.
Посмотрим на этот вопрос с точки зрения первоначального эксперимента. Пространство элементарных исходов при одном подбрасывании кубика состоит из шести точек: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
. Слова «известно, что выпало более трех очков» означают, что в эксперименте произошло событие B = {4, 5, 6},
. Слова «какова при этом вероятность того, что выпало четное число очков?» означают, что нас интересует, в какой доле случаев при осуществлении B
происходит и А
. Вероятность события А
, вычисленную в предположении, что нечто о результате эксперимента уже известно (событие B
произошло), мы будем обозначать через P(A/B)
Мы хотим вычислить отношение числа исходов, благоприятствующих А
внутри B
(то есть благоприятствующих одновременно A
и B
), к числу исходов, благоприятствующих B
.
Определение 15
. Условной вероятностью события А
, при условии, что произошло событие В
, называется числоБудем считать, что условная вероятность определена только в случае, когда P(В) > 0
.
Следующее свойство называется "теоремой умножения":
Теорема 6
. P(A∩B) = P(B)P(A\B) = P(A)P(B\A),
если соответствующие условные вероятности определены (то есть если P(В) > 0,
P(A) > 0)
.
Теорема умножения для большего числа событий:
Теорема
7.
P(A1
∩ A2
∩…∩ An
) = P(A1
) P(A2
\A1
) P(A3
\A1
∩A2
)…
P(An
\A1
∩…∩An-1
)
если соответствующие условные вероятности определены.
4.2 Независимость
Определение 16
. События A
иB
называются независимыми
, если P(A∩B) = P(A)P(B)
Пример 14.
1. Точка с координатами ξ, η
бросается наудачу в квадрат со стороной 1. Доказать, что для любых х, у
Î
R
события A
= { ξ <
x
}
иB
= { η <
y
}
независимы.
2. Точка с координатами ξ
,
η
бросается наудачу в треугольник с вершинами (1,0), (0,0) и (0,1). Доказать, что события A
= {
ξ
<1/2} и
B
= {
η
<1/2}
зависимы.1. Рассмотрим х, у
Î
[0,1]). Видим, что P
(
A
) =
x
,
P
(
B
) =
y
,
P
(
A
∩
B
) =
x
y
, так что A
= {
ξ
<1/2}
и B
= {
η
<1/2}
независимы.
2. На рисунке видим, что P(
A
) = 3/4, P(
B
) = 3/4 P(
A
∩
B
) = 1/2ч≠ (3/4)2
, так что события A
= { ξ <1/2}
и B
= {
η
<1/2}
зависимы.
Замечание 8
. Если события A
и B
несовместны, то они независимы, если и только если P
(
A
) = 0
или P
(
B
) = 0
Следствие 2
. Если P
(
B
) > 0
, то события А
и В
независимы P
(А\В) =Р(А)
Если P(А) > 0
, то события А
и В
независимы P(В\А) =Р(В)
Лемма 1
. Если события А
и В
независимы, то независимы и события
.
Определение 17
. События А1
, А2
…А
n
называются независимыми в совокупности
, если для любого набора
1 ≤ i1
, i2
…ik
≤ n
)
(3)
Замечание 9
. Если события А1
, А2
…А
n
независимы в совокупности, то они попарно независимы, то есть любые два события А
i
,
А
j
независимы. Достаточно в равенстве (3) взять k
=2
. Обратное, как показывает следующий пример, неверно.
Пример 15
(Пример С. Н. Бернштейна).
Рассмотрим правильный тетраэдр, 3 грани которого окрашены, соответственно, в красный, синий, зеленый цвета, а четвертая грань содержит все три цвета. Событие A
,
(B
,
C
) означает, что выпала грань, содержащая красный (синий, зеленый) цвета.
Вероятность каждого из этих событий равна 1/2, так как каждый цвет есть на двух гранях из четырех. Вероятность пересечения любых двух из них равна 1/4, так как только одна грань содержит два цвета. А так как 1/4 = 1/2 1/2, то все события попарно независимы.
Но вероятность пересечения всех трех тоже равна 1/4, а не 1/8, то есть события не являются независимыми в совокупности.
Заметьте, что равенство (6) выполнено для k = 2
, но не выполнено для k = 3
.
4.3 Формула полной вероятности
Пример 16
. Есть 3 завода, производящих одну и ту же продукцию. При этом 1-й завод производит 25%, 2-й завод — 35% и 3-й завод — 40% всей производимой продукции. Брак составляет 5% от продукции 1-го завода, 3% от продукции 2-го и 4% от продукции 3-го завода. Вся продукция смешивается и поступает в продажу. Найти а) вероятность купить бракованное изделие; б) условную вероятность того, что купленное изделие изготовлено 1-м заводом, если это изделие бракованное.
Первая вероятность равна доле бракованных изделий в объеме всей продукции, то есть
0,05*0,25 + 0,03*0,35 + 0,04*0,4
.
Вторая вероятность равна доле брака 1-го завода среди всего брака, то есть
Определение 18
. Набор попарно несовместных событий Н1
, Н2
…
таких, что P(А
i
) > 0
для всех i
и
называется полной группой событий
или разбиение пространства
Ω
События Н1
, Н2
…, образующие полную группу событий, часто называют гипотезами
. При подходящем выборе гипотез для произвольного события А
могут быть сравнительно просто вычислены P(А/ Н
i
)
(вероятность событию А
произойти при выполнении «гипотезы» Н
i
) и собственно P(Н
i
)
(вероятность выполнения «гипотезы» Н
i
).
Теорема 8
(Формула полной вероятности
).
Пусть Н1
, Н2
— полная группа событий. Тогда вероятность любого события A
может быть вычислена по формуле:
4.4 Формула Байеса
Теорема 9
(Формула Байеса
).
Пусть Н1
, Н2
…— полная группа событий и A
— некоторое событие положительной вероятности. Тогда условная вероятность того, что имело место событие Н
k
, если в результате эксперимента наблюдалось событие A
, может быть вычислена по формуле:
Пример 17
. Вернемся к примеру 15. Изделие выбирается наудачу из всей произведенной продукции. Рассмотрим три гипотезы: Н
i
= {изделие изготовлено i
-м заводом }, i
= 1, 2, 3. Вероятности этих событий даны: P(Н1
)
= 0,25, P(Н2
)
= 0,35, P(Н3
)
= 0,4 . Пусть A
= {изделие оказалось бракованным }. Даны также условные вероятности P(
A
\Н1
)
= 0,05, P(
A
\Н2
)
= 0,03, P(
A
\Н3
)
= 0,04
Пример 18
. Два стрелка подбрасывают монетку и выбирают, кто из них стреляет по мишени (одной пулей). Первый стрелок попадает по мишени с вероятностью 1, второй стрелок — с вероятностью 0,00001. Можно сделать два предположения об эксперименте:
Н1
= {стреляет 1-й стрелок}
Н2
= { стреляет 2-й стрелок } .
Априорные (a’priori —«до опыта») вероятности этих гипотез одинаковы: P(Н1
)
= P(Н1
)
= 1/2.
Рассмотрим событие A
= {пуля попала в мишень}. Известно, что
P(
A
\Н1
)
= 1, P(
A
\Н2
)
= 0,00001
Поэтому вероятность пуле попасть в мишень P(
A
)
= 1/2*1 + 1/2*0,00001. . Предположим, что событие A
произошло. Какова теперь апостериорная (a’posteriori — «после опыта») вероятность каждой из гипотез Н
i
? Очевидно, что первая из этих гипотез много вероятнее второй (а именно, в 100000 раз). Действительно,Раздел 5. Схема Бернулли
5.1 Распределение числа успехов в n
испытаниях
Определение 19
. Схемой Бернулли
называется последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода — «успех» и «неудача», при этом «успех» в одном испытании происходит с вероятность р
Î
[0,1], «неудача» — с вероятностью q
= 1 -
p
.
Теорема 10
(Формула Бернулли
).
Обозначим через vn
число успехов в n
испытаниях схемы Бернулли. Тогда для любого k
= 0, 1, …
n
Доказательство
. Событие A
={vn
=
k
} означает, что в n
испытаниях схемы Бернулли произошло ровноk
успехов. Рассмотрим один из благоприятствующих событию A
элементарных исходов: Здесь буквами «у» и «н» обозначены, соответственно, успешный и неудачный результаты испытаний. Поскольку испытания независимы, вероятность такого элементарного исхода (первые k
испытаний завершились успехом, остальные неудачей) равна pk
(1 -
p
)
n
-
k
.
Другие благоприятствующие событию A
элементарные исходы отличаются от рассмотренного выше лишь расположением k
успехов на n
местах. Есть ровно
способов расположить k
успехов на n
местах. Поэтому событие A
состоит из
элементарных исходов, вероятность каждого из которых равна pk
(1 -
p
)
n
-
k
.
Определение 20
. Набор чисел
называется биноминальным распределением вероятностей
и обозначается В
np
или B
(
n
,
p
)
.Теорема 11
Пусть m
1
, m
2
целые числа,0
£
m
1
£
m
£
m
2
£
n
Обозначим через Рn
(m
1
,
m
2
)
вероятность того, что событие А наступило не менее m
1
и не более m
2
раз в n испытаниях. Тогда
5.2 Наиболее вероятное число успехов
По формуле Бернулли, событие «произошло 0 успехов в n
испытаниях» имеет вероятность qn
, 1 успех — вероятность n
p
qn
и т.д. Какое же число успехов наиболее вероятно
? Иначе говоря, при каком k
достигается максимум P
(vn
=
k
)?
Чтобы выяснить это, сравним отношение P
(vn
=
k
)и P
(vn
=
k
-1
)с единицей.Видим, что
(a
) Р(
vn
=
k
) > Р(
vn
=
k
-1)
при np + p – k > 0
, то есть при k < np + p
;
(b
) Р(
vn
=
k
) < Р(
vn
=
k
-1 )
при np + p – k < 0
, то есть при k > np + p
;
(c
) Р(
vn
=
k
) = Р(
vn
=
k
-1
при np + p – k = 0
, что возможно лишь если np + p
— целое число.
Рассмотрим два случая: np + p
–целое число и np + p –
дробное число. В первом случае пусть k
0
=
np + p
. Из полученных выше неравенств, сразу следует, что
Во втором случае пусть k
0
=
[np + p
] (целая часть числа np + p
, то есть наибольшее целое число, не превосходящее np + p
). Из неравенств (a
), (b
) следует, чтоДействительно, неравенство Р(
vn
=
k
0
) > Р(
vn
=
k
0
+1)
, например, следует из (b
), примененного для
k = k0
+1 > np + p
.
Видим, что в зависимости от того, является число 1 >
np
+
p
целым или нет, имеется либо два равновероятных «наиболее вероятных» числа успехов k
0
=
np
+
p
и k
0
–1 >
np
+
p
- 1
,либо одно «наиболее вероятное» число успехов k
0
=
[np + p
].
Сформулируем уже доказанное утверждение в виде теоремы.
Теорема 12
. В n
испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха p
наиболее вероятным числом успехов является
a) единственное число k
0
=
[np + p
], если число np + p
не целое;
б) два числа k
0
=
np + p
и k
0
-1= np + p -1
, если число np + p
целое.
Пример 19
. Если p
=
q
= 1/2
, то при четном числе испытаний n
число np
+
p
=
n
/2 + 1 /2
— не целое, так что наиболее вероятным является единственное число успехов [n
/2 + 1 /2
] =
n
/2.
Что совершенно понятно, так как есть нечетное число возможностей — получить 0, 1, …
n
успехов, причем вероятности получить k
и n
-
k
успехов одинаковы.
При нечетном же числе испытаний n
число np
+
p
=
n
/2 + 1 /2
— целое, так что наиболее вероятными (и одинаково вероятными) являются два числа успехов n
/2 + 1 /2
и n
/2 - 1 /2
.
5.3 Номер первого успешного испытания
Рассмотрим схему Бернулли с вероятностью успеха p
в одном испытании. Испытания проводятся до появления первого успеха. Введем величину τ
, равную номеру первого успешного испытания.
Теорема 13
. Вероятность того, что первый успех произойдет в испытании с номером k
, равна
P(
τ
= k) = p qk-1
.
Доказательство
. Действительно,Определение 21
. Набор чисел {
p
qk
-1
}
называется геометрическим распределением вероятностей
и обозначается Gp
или G(p).
Геометрическое распределение вероятностей обладает интересным свойством, которое можно назвать свойством «нестарения». Пусть величина τ обозначает, скажем, время безотказной работы (измеряемое целым числом часов) некоторого устройства. Предположим, что для величины τ вероятность принять любое свое значение k в точности равна pqk
-1
. Справедливо следующее утверждение.
Теорема 14
. Пусть P(τ =
k
)
= p
qk
-1
. Тогда для произвольных n
,
k
³
0
P(τ >
n
+
k
\ τ >
n
) =
P(τ >
k
)
Данному равенству можно придать следующее звучание: если известно, что устройство проработало без отказов
n часов, то вероятность ему работать еще не менее
k часов точно такая же, как вероятность проработать не менее
k часов для нового устройства.
Можно прочесть эту формулу и так: вероятность работающему устройству проработать еще сколько-то часов не зависит от того момента, когда мы начали отсчет времени, или от того, сколько уже работает устройство.
Доказательство.
По определению условной вероятности,
(4)
Последнее равенство следует из того, что событие {τ >
n
+
k
}
влечет событие {
τ
>
n
}
, так что пересечение этих событий есть {
τ
>
n
+
k
}
. Найдем для произвольного m
³
0
вероятность P(τ >
m
)
.
Можно также заметить, что событие
{τ >
m
} означает, что в схеме Бернулли первые
m испытаний завершились «неудачами», а это событие имеет вероятность как раз
qm
.
Возвращаясь к (4), получим
5.4 Приближение гипергеометрического распределения биномиальным
Рассмотрим урну, содержащую N
шаров, из которых K
шаров — белые, а оставшиеся N
-
K
шаров — черные. Из урны наудачу (без возвращения) выбираются n
шаров. Вероятность PN
,
K
(
n
,
k
)
того, что будет выбрано ровно k
белых и n-
k
черных шаров, находится по формуле (см. определение 8 гипергеометрического распределения вероятностей):
Если число шаров в урне очень велико, то извлечение одного, двух, трех шаров почти не меняет пропорцию белых и черных шаров в урне, так что вероятности PN
,
K
(
n
,
k
)
не очень отличаются от вероятностей в процедуре выбора с возвращением
P(получить ровно k
белых шаров при выборе n
шаров с возвращением) = Сформулируем нашу первую предельную теорему.
Теорема 15
. Если N
→ ∞
и K
→ ∞
так, что K
/
N
→
p
Î
(0, 1)
то для любых фиксированных n
, 0<=
k
<=
n
5.5 Независимые испытания с несколькими исходами
Рассмотрим следующий пример, когда из двух очень похожих вопросов на один можно ответить, пользуясь формулой Бернулли, а для другого этой формулы оказывается недостаточно:
Пример
20
. Игральная кость подбрасывается 15 раз. Найти вероятности следующих событий:
а) выпадет ровно 10 шестерок; б) выпадет ровно 10 шестерок и три единицы.
а) есть 15 испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха 1/6 (выпадение шестерки). Вероятность десяти успехов в 15 испытаниях равна
б) здесь каждое испытание имеет три, а не два исхода: выпадение шестерки, выпадение единицы, выпадение остальных граней. Воспользоваться формулой для числа успехов в схеме Бернулли не удается — перед нами уже не схема Бернулли.
Осталось изобрести формулу для подсчета вероятности каждому исходу в нескольких независимых испытаниях выпасть нужное число раз, если в одном испытании возможно не два, а более исходов.
Пусть в одном испытании возможны
m исходов. Обозначим их цифрами
1, 2, …
m. Пусть исход
i в одном испытании случается с вероятностью
р
i
,
1 ≤
i
≤
m и
Обозначим через
Р(
n
1
,
n
2
,…,
nm
) вероятность того, что в
n
=
n
1
+
n
2
+ …+
nm
независимых испытаний исход 1 появился
n
1
, раз, исход 2 –
n
2
раз,…
Теорема 16
. Для любого n
и любых целых n
1
≥ 0
…nm
≥ 0
таких, что n
1
+
n
2
+ …+
nm
= n
, верна формула:
Доказательство.
Рассмотрим один элементарный исход, благоприятствующий выпадению n
1
единиц, n
2
двоек, … , nm
раз m
-ок:
Это результат n
экспериментов, когда все нужные исходы появились в некотором заранее заданном порядке. Вероятность такого результата n
независимых испытаний равна
Все остальные благоприятные исходы отличаются лишь расположением чисел 1, 2, …
m
на n
местах. Число таких исходов равно числу способов расставить на n
местах n
1
единиц, n
2
двоек, , … , nm
раз чисел m
, то есть
Теперь мы можем вернуться к примеру 20(б) и выписать ответ: так как вероятности выпадения шестерки и единицы равны 1/6, а вероятность третьего исхода (выпали любые другие грани) равна 4/6, то вероятность получить 10 шестерок, 3 единицы и еще 2 других очка равна
5.6 Теорема Пуассона для схемы Бернулли
Предположим, нам нужна вероятность получить не менее десяти успехов в 1000 испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха 0.003. Вероятность этого события равна любому из следующих выражений:
и вычисление даже одного слагаемого в каждом из этих выражений весьма проблематично.
Сформулируем теорему о приближенном вычислении вероятности какого-либо числа успехов в большом числе испытаний схемы Бернулли с маленькой вероятностью успеха. Термин «большое число» должен означать n
→ ∞. Если при этом p
=
pn
→ 0,то, очевидно, вероятность получить любое конечное число успехов при растущем числе испытаний стремится к нулю. Необходимо чтобы вероятность успеха p
=
pn
→ 0 одновременно с ростом числа испытаний. Но от испытания к испытанию вероятность успеха меняться не может (см. определение схемы Бернулли).
Поэтому рассмотрим «схему серий»: есть
одно испытание ○ с вероятностью успеха
p
1
два испытания ○ , ○ с вероятностью успеха
p
2
…
n испытаний ○ , … , ○ с вероятностью успеха
pn
…
Вероятность успеха меняется не внутри одной серии испытаний, а от серии к серии, когда меняется общее число испытаний.
Обозначим черезvn
число успехов вn-
той серии испытаний.
Теорема 17
(Теорема Пуассона
).
Пусть n
→ ∞
, pn
→ 0 так, что n
pn
→ λ
> 0
. Тогда для любого k
≥
0 вероятность получить k
успехов в n
испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха pn
стремится к величине
(5)
дляn
→ ∞
, pn
→ 0 так, что n
pn
→ λ
Определение 22.
Пусть λ
> 0
— некоторая постоянная. Набор чисел
называется распределением Пуассона с параметром
λ
.
Пользуясь теоремой 17, можно приближенно посчитать вероятность получить не менее десяти успехов в 1000 испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха 0.003, с вычисления которой мы начали. Поскольку n = 1000
«велико», а pn
= 0.003 «мало», то, взяв λ =
n
pn
= 3
, можно написать приближенное равенство
(6)
Осталось решить, а достаточно ли n=103
«велико», а pn
= 0.003
«мало», чтобы заменить точную вероятность P(
vn
=
k
)
на приближенное значение
Для этого нужно уметь оценивать разницу между этими двумя вероятностями.
Теорема 18
(Теорема Пуассона с оценкой погрешности
).
Пусть A
Í
{0, 1, …,
n
}
— произвольное множество целых неотрицательных чисел, vn
— число успехов в n
испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха p
, λ
=
n
p
. Тогда
Таким образом, теорема 18 предоставляет нам возможность самим решать, достаточно ли n
«велико», а p
«мало», руководствуясь полученной величиной погрешности.
Какова же погрешность в формуле (6)?
Погрешность не более 0,009 (при вероятности около 0,001). Во всяком случае, можно утверждать, что искомая вероятность никак не больше, чем 0,01=0,001+0,009.
Рассмотрим еще одну формулу приближенного вычисления pn
(m) когда n
велико. В отличии от предыдущего результата число успехов m в этом случае тоже растет с ростом n, а вероятность успеха постоянна.
Локальная теорема Муавра – Лапласа
Пусть
.Предположим, что
и величины
являются ограниченными. Тогда
В частности, если
, то
Доказательство:
В силу ограниченности величин
разность
вместе с n
и m
Воспользуемся формулой Стирлинга
В силу определения
Раздел 6. Случайные величины и их распределения
6.1 Случайные величины
Мы уже видели, что для очень многих экспериментов нет никаких различий в подсчете вероятностей
событий, тогда как элементарные исходы в этих экспериментах очень различаются. Но нас и должны интересовать именно вероятности событий, а не структура пространства элементарных исходов. Поэтому пора во всех таких «похожих» экспериментах вместо самых разных элементарных исходов использовать, например, числа. То есть ввести соответствие (иначе говоря, отображение) между элементарными исходами и вещественными числами (с ними удобно работать).
Пусть имеется случайный эксперимент и задано вероятностное пространство (
Ω,
Ψ,Р)
.
Определение 23
. Функция ξ: Ω →
R
называется случайной величиной
, если для любого х
Î
R
множество { ξ <
x
} = {
ω
:
ξ
(
ω
) <
x
}
является событием, то есть принадлежит σ
-алгебре событий Ψ.
Замечание 10
. Можно смело считать, что любое множество элементарных исходов есть событие, и, следовательно, случайная величина есть произвольная
функция из Ω
в R
. Никаких неприятностей на практике это обычно не влечет.
Определение 24
. Будем говорить, что функция ξ
:
Ω
→
R
является Ψ -измеримой
, если {
ω
:
ξ
(
ω
) <
x
}
принадлежит Ψ для любого х
Î
R
.
Итак, случайная величина есть Ψ - измеримая функция, ставящая в соответствие каждому элементарному исходу ω
Î
Ω
число ξ
(
ω
)
Î
R
.
Пример 21
. Подбрасываем 1 раз кубик. Пусть Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
, и две функции из Ω
в заданы так: ξ(ω)= ω , η(ω)= ω2
.
Если Ψ есть множество всех
подмножеств Ω
, то ξ
и η
являются случайными величинами, поскольку любое множество элементарных исходов принадлежит Ψ, в том числе и {ω: ξ(ω) < x}
или {ω: η (ω) < x}
. Можно записать соответствие между значениями случайных величин ξ
и η
вероятностями принимать эти значения в виде «таблицы распределения вероятностей» или, коротко, «таблицы распределения»:
| ξ
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
| Р
|
1/6 |
1/6 |
1/6 |
1/6 |
1/6 |
1/6 |
| η
|
1
|
4
|
9
|
16
|
25
|
36
|
| Р
|
1/6 |
1/6 |
1/6 |
1/6 |
1/6 |
1/6 |
Здесь 1/6 = Р(
ξ
=1)=…= Р(
ξ
=6) = Р(
η
=1)= …= Р(
η
=36)
Пусть σ
-алгебра событий Ψ состоит всего из четырех множеств:
Ψ= { Ω ,
Æ
, {1,3,5},{2,4,6} }
то есть событием является, кроме достоверного и невозможного событий, выпадение четного (соответственно, нечетного) числа очков. Убедимся, что при такой «бедной» σ
-алгебре ни ξ
,
ни η
не являются случайными величинами, так как эти функции не Ψ - измеримы. Возьмем (например) x = 3,967
. Видим, что
{
ω
Î
Ω:
ξ
(
ω
) < 3,967}= {1, 2, 3}
Ï
Ψи{
ω
Î
Ω:
η
(
ω
) < 3,967}= {1}
Ï
Ψ
Теперь попробуем понять, зачем нужна Ψ - измеримость и почему требуется, чтобы {
ω
:
ξ
(
ω
) <
x
}
являлось событием.
Если задана случайная величина ξ
, нам может потребоваться вычислить вероятности типа
P(
ξ
= 5)
= P{
ω
:
ξ
(
ω
) = 5}
,
P (ξ
Î
[-3,7])
,
P(ξ
³
3,2)
,
P(
ξ
> 0)
(и вообще самые разные вероятности попадания в различные множества на прямой). Это возможно только если множества, стоящие под знаком вероятности, являются событиями (напомню, что вероятность есть функция из σ
- алгебры событий в [0,1]).
Но если потребовать, чтобы Ax
=
{
ω
:
ξ
(
ω
) <
x
}
было событием при любом x
, то мы из свойств σ
- алгебры сразу получим, что
и
— событие, и
— событие,
и
— событие,
и {
ω
:
ξ
(
ω
) =
x
}=
Bx
\Ax
— событие, (7)
и т.д., и т.п. (операции пересечения, объединения, дополнения событий не выводят из класса событий).
Можно потребовать в определении 23 чего-нибудь другого. Например, чтобы событием было попадание в любой интервал: (
ω
:
ξ
(
ω
)
Î
[
a
,
b
])
для любых a
<
b
.
Или чтобы {
ω
:
ξ
(
ω
)
³
x
}
было событием для любого x
. Любое такое определение эквивалентно исходному.
Опишем различные типы распределений случайных величин. Под распределением
случайной величины мы будем понимать соответствие
«значение случайной величины ↔ вероятность принимать это значение»,
либо (чаще)
«множество на прямой ↔ вероятность случайной величине попасть в это множество».
6.2 Дискретные распределения
Определение 25
. Говорят, что случайная величина ξ
имеет дискретное
распределение, если существует конечный или счетный набор чисел {
a
1
,
a
2
, …}
такой, что:
а) pi
=
P
{
ξ
=
ai
} > 0
для всехi
;
б)
.
То есть случайная величина ξ
имеет дискретное распределение, если она принимает не более чем счетное число значений.
Определение 26
. Если случайная величина ξ
имеет дискретное распределение, назовем таблицей распределения
соответствие ai
↔
pi
, которое чаще всего рисуют так:
| ξ
|
а1
|
а2
|
а3
|
…
|
| Р
|
р1
|
р2
|
р3
|
… |
6.3 Примеры дискретных распределений
Вырожденное распределение.
Говорят, что случайная величина ξ
имеет вырожденное распределение с параметром а
, и пишут ξ
Î
I
a
если ξ
принимает единственное значение а
с вероятностью 1, то есть P(
ξ
=
a
) = 1
. Таблица распределения ξ
имеет вид
Распределение Бернулли.
Говорят, что случайная величина ξ
имеет распределение Бернулли с параметром р
, и пишут ξ
Î
В
р
, если ξ
принимает значения 1 и 0 с вероятностями р
и 1 - р
, соответственно. Случайная величина ξ
с таким распределением равна числу успехов в одном испытании схемы Бернулли с вероятностью успеха
(0 успехов или 1 успех). Таблица распределения ξ
имеет вид
Биномиальное распределение.
Говорят, что случайная величина ξ
имеет биномиальное распределение с параметрами n
и p
, где 0
£
p
£
,
n
и пишут ξ
Î
В
n
,
р
, если ξ
принимает значения 0, 1, …,
n
с вероятностями P(
ξ
=
k
)
= Cn
k
pk
(1-
p
)
n
-
k
. Случайная величина ξ
с таким распределением имеет смысл числа успехов в
n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха
р
.
Таблица распределения ξ
имеет вид
| ξ
|
0
|
1
|
… |
k
|
… |
n
|
| Р
|
(1-p)n
|
n p(1-p)n-1
|
… |
Cn
k
pk
(1-p)n-k
|
… |
Pn
|
Геометрическое распределение.
Говорят, что случайная величина τ
имеет геометрическое распределение с параметром р
, где 0
£
p
£
, n
, и пишут τ
Î
G
р
, если τ
принимает значения 1, 2, 3, …
с вероятностями P(τ =
k
)
= p
(1-
p
)
k
-1
. Случайная величина τ
с таким распределением имеет смысл номера первого успешного испытания в схеме Бернулли с вероятностью успеха
р
.
Таблица распределения τ
имеет вид
| τ
|
1
|
2
|
… |
k
|
… |
| Р
|
p
|
Р (1 – р)
|
… |
p (1-p)k-1
|
… |
Распределение Пуассона.
Говорят, что случайная величина ξ
имеет распределение Пуассона с параметром λ
, где λ > 0
, и ξ
Î
П
λ
, если ξ
принимает значения 0, 1, 2 …
с вероятностями
Таблица распределения ξ
имеет вид
| ξ
|
1
|
2
|
… |
k
|
… |
| Р
|
е- λ
|
λ е- λ
|
… |
(λ
k
/
k
!)е- λ
|
… |
Гипергеометрическое распределение.
Говорят, что случайная величина ξ
имеет гипергеометрическое распределение с параметрами n
, N
и K
, K
£
N
, n
£
N
если ξ
принимает целые значения от max
(0,
N
-
K
–
n
)
до min
(
K
,
n
)
с вероятностями
. Случайная величина ξ
с таким распределением имеет смысл числа белых шаров среди
n шаров выбранных наудачу и без возвращения из урны, содержащей
К белых шаров и
N
-
K не белых
.
Заметьте, что со всеми этими распределениями мы уже хорошо знакомы.
Но распределения случайных величин далеко не исчерпываются дискретными распределениями. Так, например, если точка бросается наудачу на отрезок [0,1], то можно задать случайную величину, равную координате этой точки. Но число значений этой случайной величины несчетно, так что ее распределение дискретным не является. Да и вероятность этой случайной величине принять каждое из своих возможных значений (попасть в точку) равна нулю. Так что не только таблица распределения не существует, но и соответствие «значение величины « вероятность его принять» ничего не говорит о распределении случайной величины.
Какими же характеристиками еще можно описать распределение?
Раздел 7. Функция распределения
Заметим, что на том же отрезке [0, 1]
вероятности попадания в множества положительной меры совсем не нулевые. И термин «наудачу» мы когда-то описывали как раз в терминах вероятностей попадания в множество. Может быть, разумно описать распределение случайной величины, задав для любого множества, вероятность принять значения из этого множества? Это действительно полное описание распределения, но уж очень трудно с ней работать — слишком много множеств на прямой.
Нельзя ли обойтись заданием вероятностей попадания в какой-нибудь меньший набор множеств на прямой? Оказывается, что можно ограничиться только вероятностями попадания в интервалы (-
¥
, х)
для всех х
ÎR
, с помощью которых можно будет определить и вероятность попасть в любое другое множество.
Замечание 11
. Можно с таким же успехом ограничиться набором вероятностей попадания в интервалы (-
¥
, х]
, или в (х ,
¥
)
, или в [х ,
¥
)
, или в (х1
,
x
2
)
. Впрочем, последних уже слишком много.
Определение 27
.Функцией распределения
случайной величины ξ
называется функция Fξ
(
x
) :
R
®
[0, 1]
, при каждом x
ÎR
равная Fξ
(
x
) = P(
ξ
<
x
) =
P
{
ω
:
ξ
(
ω
) <
x
}
Пример 22
. Случайная величина ξ
имеет вырожденное распределение I
c
. Тогда
Пример 23
. Случайная величина ξ
имеет распределение Бернулли В
р
. Тогда
Пример 24
. Будем говорить, что случайная величина ξ
имеет равномерное распределение на отрезке [
a
,
b
]
и писать ξ
ÎU
a
,
b
(“ uniform”), если ξ
— координата точки, брошенной наудачу на отрезок [
a
,
b
]
числовой прямой. Это распределение можно задать и с помощью функции распределения:
7.1 Свойства функции распределения
Теорема 19.
Функция распределения Fξ
(
x
)
обладает следующими свойствами:
F1)
Функция распределения Fξ
(
x
)
не убывает: если х1
<
x
2
тоFξ
(
x
1
)
< Fξ
(
x
2
)
;
F2)
Существуют пределы
и
F3)
Функция распределения Fξ
(
x
)
непрерывна слева:
Теорема 20
. Если функция F:
R
®
[0, 1]
удовлетворяет свойствам (F1
)–(F3
), то F есть функция распределения некоторой случайной величины ξ
, то есть найдется вероятностное пространство (Ω, Ψ, Р)
и случайная величина ξ
на этом пространстве, что F
(х) =
Fξ
(
x
).
Прочие полезные свойства функций распределения
F4
) В любой точке х0
разница Fξ
(х0
+0) -
Fξ
(х0
)
равна P
(
ξ
= х0
)
:
Следствие 3
. Если функция распределения Fξ
(
x
)
непрерывна в точке х0
, то
P
(
ξ
= х0
)
= 0
F5
) Для любой случайной величины ξ
имеет место равенство P
(а
£
ξ
<
b
) =
Fξ
(
a
) -
Fξ
(
b
).
Если же функция распределения Fξ
(
x
)
непрерывна (для любого x
, или только в точках a
и b
), то
P
(а
£
ξ
<
b
) =
P
(а <
ξ
<
b
) =
P
(а
£
ξ
£
b
) =
P
(а <
ξ
£
b
) =
Fξ
(
a
) -
Fξ
(
b
)
Функция распределения дискретного распределения
Мы уже видели, как выглядят функции распределения некоторых дискретных распределений. Из свойств (F4), (F5) следует
Свойство 4
. Случайная величина ξ
имеет дискретное распределение тогда и только тогда, когда функция распределения Fξ
— ступенчатая функция. При этом возможные значения ξ
— точки a
i
скачков Fξ
,
и
pi
= P(
ξ
=
ai
) =
Fξ
(
ai
+ 0) -
Fξ
(
ai
)
— величины скачков.
В следующей главе мы рассмотрим случайные величины, функции распределения которых не удовлетворяют свойству 4 хотя бы потому, что они вовсе не имеют разрывов. Более того, мы выделим класс функций распределения, которые «восстанавливаются по своей производной» с помощью интегрирования (так называемые абсолютно непрерывные функции
).
Раздел 8. Абсолютно непрерывные распределения
Определение 28
.Случайная величина ξ
имеет называемые абсолютно непрерывное
распределение, если существует неотрицательная функция fξ
(
x
)
такая, что для любого х
ÎR
функция распределения Fξ
(
x
)
представима в виде
При этом функция fξ
(
x
)
называется плотностью распределения
случайной величины ξ
.
Теорема 21
.Плотность распределения обладает свойствами:
(f1
) fξ
(
x
)
³
0
для любого x
;
(f2
)
Эти два свойства полностью характеризуют класс плотностей:
Лемма 2
. Если функция f
обладает свойствами (f1
) и (f2
), то существует вероятностное пространство и случайная величина ξ
на нем, для которой f
является плотностью распределения.
Доказательство
. Пусть Ω есть область, заключенная между осью абсцисс и графиком функции f
(« подграфик» функции f
). Площадь области Ω равна 1 по свойству (f2
). И пусть случайная величина ξ
есть абсцисса точки, наудачу брошенной в эту область.
Тогда (вспомнить геометрическую вероятность
) для любого х
ÎR
то есть f
является плотностью распределения случайной величины ξ
Свойства плотностей
(f3
) Если случайная величина ξ
имеет абсолютно непрерывное распределение, то ее функция распределения всюду непрерывна.
Следствие 4
. Если случайная величина ξ
имеет абсолютно непрерывное распределение, то P(
ξ
= х) = 0
для любого х
ÎR
.
(f4
) Если случайная величина ξ
имеет абсолютно непрерывное распределение, то ее функция распределения дифференцируема почти всюду, и
для почти всех х
.
Замечание 12
. Термин для «почти всех» означает «для всех, кроме (возможно) х
из некоторого множества нулевой меры (длины)». Заметьте, что стоящую под интегралом функцию можно изменить в одной точке (или на множестве нулевой длины), и интеграл (« площадь подграфика») от этого не изменится.
(f5
) Если случайная величина ξ
имеет абсолютно непрерывное распределение, то
Доказательство. Действительно,
Остальные равенства вытекают из следствия 5.
8.1 Примеры абсолютно непрерывных распределений
Равномерное
.
Это распределение нам уже знакомо. Говорят, что ξ
имеет равномерное распределение на отрезке [
a
,
b
]
, и пишут ξ
ÎU
a
,
b
если
Заметьте, что в точках a
и b
функция распределения недифференцируема, и плотность можно задать как угодно.
Показательное.
Говорят, что ξ
имеет показательное распределение с параметром α
, α
> 0
и ξ
ÎЕ
α
, если
Показательное распределение является единственным абсолютно непрерывным распределением, для которого выполнено свойство «не старения» (и в этом смысле оно является непрерывным аналогом дискретного геометрического распределения).
Теорема 21
. Свойство «Не старения»
. Пусть ξ
ÎЕ
α
. Тогда для любых х, у > 0
Нормальное
.
Говорят, что ξ
имеет нормальное распределение с параметрами а
и σ2
, где а
ÎR
, σ > 0
, и пишут ξ
Î если ξ
имеет следующую плотность распределения:
для любого x
ÎR
Убедимся, что fξ
(
x
)
действительно является плотностью распределения. Так как fξ
(
x
)
> 0
для всех x
ÎR
, то свойство (f1
) выполнено. Проверим выполнение (f2
). Используем табличный интеграл (интеграл Пуассона)
Нормальное (иначе называемое гауссовским по имени Карла Гаусса распределение играет исключительно важную роль в теории вероятностей, поэтому мы очень подробно изучим все свойства этого распределения.
8.2 Свойства нормального распределения
Нормальное распределение задается, как мы видим, с помощью плотности распределения. Связано это с тем, что нельзя выписать первообразную от функции
иначе как в виде интеграла, поэтому функцию распределения этого закона можно записать лишь в таком виде:
Мы часто будем использовать обозначение для функции распределения нормального распределения с параметрами а
и σ2
.
Стандартное нормальное распределение
Нормальное распределение при
а = 0
и σ= 1
называется стандартным нормальным распределением. Плотность стандартного нормального распределения имеет вид
для любого x
ÎR
а функция распределения
табулирована (то есть ее значения вычислены при многих х
) почти во всех математических справочниках. Установим связь между
Свойство 5
. Для любого x
ÎR
справедливо соотношение
То же самое на языке случайных величин можно сформулировать так:
Следствие 5
. Если
то
Следствие 6
. Если
то
Как мы видим, вычисление любых вероятностей для нормально распределенной случайной величины сводится к вычислению функции распределения Ф
0,1
. Ее свойства
Свойство 6
. Ф
0,1
(0)
= 0,5
Свойство 7
. Ф
0,1
(-х) = 1 -
Ф
0,1
(х)
Свойство 8
. Если ξ
ÎN
0,1
, то
Свойство 9
(« Правило трех сигм
»).
Если
то
Смысла в запоминании числа 0.0027 нет никакого, а вот помнить, что почти вся масса нормального распределения сосредоточена в границах [
a
- 3
σ
,
a
- 3
σ
]
всегда полезно.
Смысла в запоминании числа 0.0027 нет никакого, а вот помнить, что почти вся масса нормального распределения сосредоточена в границах [
a-3
σ,
a+3
σ]
, всегда полезно.
Раздел 9. Случайные вектора и их распределения
Определение 29
. Если случайные величины
заданы на одном вероятностном пространстве, то вектор (
) мы будем называть случайным вектором
.
Определение 30
. Функция
называется функцией распределения
случайного вектора (
) или функцией совместного распределения
случайных величин
.
9.1 Свойства функции совместного распределения
Для простоты обозначений все дальнейшие рассуждения и формулировки приводятся в случае n
= 2
для случайного вектора (
)
F0
)
F1
)
не убывает по каждой координате вектора (x
1
x
2
).
F2
) Для любого i
= 1, 2,
существуют
При этом
F3
) Функция
по каждой координате вектора (
x
1
x
2
)
непрерывна слева.
Только теперь этих свойств оказывается недостаточно для описания класса функций совместного распределения. Иначе говоря, выполнение этих свойств для некоторой функции F
: R
2
®R
вовсе не гарантирует, что эта функция является функцией распределения некоторого случайного вектора.
Пример 25
. Функция
a) удовлетворяет всем свойствам (F0
)-(F3
);
б) не является функцией распределения никакого вектора (ξ
1
, ξ
2
.) хотя бы потому, что, найдись такой вектор, найдется и прямоугольник [
a
1
b
1
]
x[
a
2
b
2
]
, вероятность попасть в который (вычисленная с помощью этой «функции распределения») отрицательна:
P(a1
£
ξ1
< b1
, a2
£
ξ2
<b2
) < 0!
Как же связана вероятность вектору попасть в прямоугольник с функцией распределения этого вектора?
Упражнение
. Доказать, что
P(
a
1
£
ξ
1
<
b
1
,
a
2
£
ξ
2
<
b
2
)=
F
ξ
1
ξ
2
(
b
1
,
b
2
) -
F
ξ
1
ξ
2
(
a
1
,
b
2
) -
F
ξ
1