1.
Векторы. Действия
над векторами.
Вектором
наз. упорядоченная
совокупность
чисел Х={X1,X2,...Xn}
вектор дан в
n-мерном
пространстве.
Т(X1,X2,X3).
n=1,2,3.
Геометрический
вектор - направленный
отрезок. |AB|=|a|
- длинна.
2 вектора наз.
коллинеарными,
если они лежат
на 1 прямой или
||-ных
прямых. Векторы
наз. компланарными,
если они лежат
в 1-ой плоскости
или в ||-ных
плоскостях.
2 вектора равны,
когда они
коллинеарны,
сонаправленны,
и имеют одинак-ую
длинну.
1.умножение
на число: произведение
вектора А на
число l
наз. такой вектор
В, который обладает
след. св-ми: а)
А||В.
б) l>0,
то АВ,
l<0,
то АЇВ.
в)l>1,
то А<В,
)l<1,
то А>В.
2. Разделить
вектор на число
n
значит умножить
его на число,
обратное n:
а/n=a*(1/n).
3.Суммой
неск-их векторов
а
и в
наз. соединяющий
начало 1-го и
конец последнего
вектора. 4. Разностью
векторов а
и в
наз-ся вектор
c,
который,
будучи сложенным
с вектором в
даст вектор
а.
2.3.
Декартова
прямоугольная
система координат.
Базис.
Базисом
на плоскости
называется
совокупность
фиксированной
точки и 2х неколлинеарных
векторов, проведенных
к ней.
Базисом
в пространстве
наз. совокупность
фиксированной
точки в пространстве
и 3х некомпланарных
векторов.
Любой
вектор на плоскости
может быть
разложен по
векторам базиса
на плоскости.
Любой вектор
в пространстве
может быть
разложен по
векторам базиса
в пространстве.
ОС=OA+OB,
OA=x*i,
OB=j*y,
OC=xi+yj.
Числа
х,у наз-ся координатами
вектора ОС
в данном базисе
4.
Действия над
векторами.
а=х1i+y1j+z1k;
b=х2i+y2j+z2k
l*a=l(х1i+y1j+z1k)=
l(х1)i+l
(y1)j+l(z1)k
a±b=(x1±x2)i+(y1±y2)j+(z1±z2)k
ab=x1x2ii+y1x2ij+x2z1ki+x1y2ij+y1y2jj+
z1y2kj+x1z1ik+y1z2jk+z1z2kk=x1x2+y1y2+z1z2
ii=1;
ij=0;
и т.д.
скалярное
произведение
2х векторов
равно сумме
произведений
соответствующих
координат этих
векторов.
аа=x2+y2+z2=|a|2
a{x,y,z},
aa=|a|*|a|,
то a2=|a|2
ab=|a|*|b|*cosj
а)ав=0,<=>а^в,
x1x2+y1y2+z1z2=0
б)а||в
- коллинеарны,
если , x1/x2=y1/y2=z1/z2
5.
Скалярное
произведение
векторов и его
свойства.
-(“skala”-шкала)
2х векторов а
и в
наз. число, равное
произведению
длин этих векторов
на cos
угла
между ними.
(а,в)-
скалярное
произведение.
а*в=|а|*|в|*cosj,
j=p/2,
cosp/2=0,
a^b=>ab=0.
Равенство
“0” скаляргного
произведения
необходимое
и достаточное
условие их
перпендикулярности
(ортогональности).
6.
Векторное
произведение
2х векторов.
левая
----- правая
Тройка
векторов а,в,с
наз. правоориентированной
(правой), если
с конца 3го вектора
с
кратчайший
поворот от 1го
ко 2му вектору
мы будем видеть
против час.
стрелки. Если
кратчайший
поворот от 1го
ко 2му по час.
стрелки - левая.
Векторным
произведением
2х векторов а
и в
наз. такой вектор
с,
который удовлетворяет
условиям: 1.
|c|=|a|*|b|*sinj.
2. c^a
и
c^b.
3.
тройка а,в,с-правая.
7.
Смешанное
произведение
векторов и его
свойства.
Смешанным
произведением
векторов наз.
векторно-скалярное
произведение,
являющееся
числом: a*b*c=[a*b]*c=a*[b*c],
где
a={ax,ay,az}
b={bx,by,bz}
c={cx,cy,cz}
Св-ва: 1.
При перестановке
2х сомножителей:
a*b*c=-b*c*a
2.
не
меняется при
перестановке
циклических
сомножителей:
a*b*c=c*a*b=b*c*a
3.а)(Геометрич.
смысл) необходимым
и достаточным
условием
компланарности
3х векторов
явл. равенство
a*b*c=0
б)если
некомпланарные
вектора a,b,c
привести
к 1 началу, то
|a*b*c|=Vпараллепипеда,
построенного
на этих векторах
если
a*b*c>0,
то тройка a,b,c
- правая
если
a*b*c<0,
то тройка a,b,c
- левая
8.
Уравнение линии
и поверхности.
1.
Уравнение
сферы. Сфера-
геометрическое
место точек,
равноудаленных
от 1ой точки,
называемой
центром.
O(a,b,c)
|OM|=r,
OM={x-a,y-b,z-c}
r2=(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2-
уравнение
сферы. x2+y2+z2=r2-
ур-е
сферы с центром
точке(0,0).
F(x,y,z)=0-
ур-е
поверхности
- ур-ю, удовлетворяющему
координатам
x,y,z
любой точки,
лежащей на
поверхности.
2.
Уравнение
окружности
|OM|=r,
OM={x-a,y-b)
r2=(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2-
ур-е
окружности
а=b=0,
то x2+y2=r2
F(x,y)=0-
ур-е
линии на плоскости.
9.
Плоскость в
пространстве.
Ур-е
в плоскости,
проходящей
через данную
точку, перпендикулярно
заданному
вектору.
N-вектор
нормали
M0M{x-x0,y-y0,z-z0}
Для
того, чтобы
точка MОP,
необходимо
и достаточно
чтобы вектора
N^M0M(т.е.
N*M0M=0)
A(x-x0)+B(y-y0)+С(z-z0)=0
- ур-е
плоскости,
проходящей
через данную
точку ^вектору.
10.
Общее уравнение
плоскости.
Ax+By+Сz-Ax0-By0-Сz0=0
-Ax0-By0-Сz0=D,
где
D=Ax+By+Сz
Ax+By+Сz+D=0
Частный
случай:
Если
D=0,
то Ax+By+Сz=0(проходит
ч/з 0;0)
Если
A=0,
то By+Сz+D=0
Если
B=0,
то Ax
+Сz+D=0
Если
C=0,
то Ax+By+D=0
Если
A=B=0,
то Сz+D=0
Если
A=C=0,
то By+D=0
Если
A=D=0,
то By+Сz=0
Если
B=D=0,
то Ay+Сz=0
11.
Взаимное расположение
плоскостей.
N1,N2-нормальные
векторы плоскости.
P:A1x+B1y+C1z+D1=0
Q:A2x+B2y+C2z+D2=0
P^Q{A1,B1,C1}
Q^N2{A2,B2,C2}
1)Пусть
P^Q<=>N1^N2
A1A2+B1B2+C1C2=0
условие
перпендикулярности
P^Q.
2)
Пусть P^Q<=>
N1^N2
A1/A2=B1/B2=C1/C2-
Условие
параллельности
2х плоскостей.
A1/A2=B1/B2=C1/C2=D1/D2-
Условие
совпадения
2х плоскостей.
12.
Каноническое
уравнение
прямой в пространстве.
M0M{x-x0,y-y0,z-z0}
Чтобы
точка МОпрямой(или
лежала на ней)
необх. и достаточно,
чтобы M0M||S
13.
Уравнение
прямой в пространстве,
проходящей
ч/з 2 заданные
точки.
l
m
n
S{x2-x1,y2-y1,z2-z1}
14.
прямая, как
пересечение
плоскостей.
Нахождение
начальной точки
и направляющего
вектора прямой.
P:A1x+B1y+C1z+D1=0
Q:A2x+B2y+C2z+D2=0
Общее
ур-е прямой в
пространстве.
Для
того, чтобы
перейти от
общего к каноническому
ур-ю прямой,
надо задать
начальную точку
и направляющий
вектор:
1.
Найдем начальную
точку:
Z=0
M0(x0,y0,0),
т.к.
Z=0
2.
Найдем направляющий
вектор S-?
P^N1{A1,B1,C1}
Q^N1{A2,B2,C2}
S=N1*N2
16.
Взаимное расположение
прямой на плоскости.
P:A1x+B1y+C1z+D1=0^N1{A1,B1}
Q:A2x+B2y+C2z+D2=0^N2{A2,B2}
а)
то
б)
p
q<=>
N1||N2,
то
A1/A2=B1/B2
в)
p||q<=>
N1^N2,
то
A1A2+B1B2=0
17.
Общее
ур-е прямой
линии на плоскости.
Его частные
случаи.
Сначала
запишем ур-е
прямой, проходящей
через заданную
точку ^
заданному
вектору.
M0(x0,y0)
M0M{x-x0,y-y0}
n*M0M=0
A(x-x0)+B(y-y0)=0
Ax+By-Ax0-By0=0
-Ax0-By0=C
Ax+By+C=0-общее
уравнение
прямой на плоскости.
18.19.
Каноническое
ур-е прямой
линии на плоскости.
Ур-е прямой,
проходящей
ч/з 2 точки. Ур-е
с угловым
коэффициентом.
y-y1=k1(x-x1)
y=k1x-k1x1+y1
y1-k1x1=b
y=k1x+b
ур-е
прямой с угловым
коэффициентом
k.
Пусть
даны 2 точки
M1(x1,y1),
M2(x2,y2)
и x1№x2,
y1№y2.
Для составления
уравнения
прямой М1М2
запишем уравнения
пучка прямых,
проходящих
через точку
М1:
y-y1=k(x-x1).
Т.к.
М2лежит
на данной прямой,
то чтобы выделить
ее из пучка,
подставим
координаты
точки М2
в уравнение
пучка М1:
y-y1=k(x-x1)
и найдем k:
Теперь
вид искомой
прямой имеет
вид:
или:
-
Ур-е прямой,
проходящей
ч/з 2
20,21.
Угол м/ду прямыми
на плоскости.
Условия ||
и^.
а)
S1{l1,m1}
S2{l2,m2},
или
p:y=k1x+b1,
k1=tgj1
q:y=k2x+b2,
k2=tgj2
=>tgj=tg(j2-j1)=
=(tgj2-tgj1)/(1+
tgj1tgj2)=
=(k2-k1)/(1+k1k2).
б)
p||q, tgj=0,
k1=k2
в)p^q,то
22.
Расстояние
от точки до
прямой на плоскости
и до плоскости
в пространстве.
1.
Ax+By+C=0, M0(x0,y0)
2.
Пусть плоскость
задана ур-ем
Ax+By+Cz+D=0
23.
Кривые линии
2-го порядка.
Кривые
2го порядка
описываются
с помощью общего
ур-я:
Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0,
где
а)
Каноническое
ур-е эллипса
-
Каноническое
ур-е эллипса
Если
a=b,
то
x2+b2=a2
- ур-е
окружности.
б)
Ур-е гиперболы:
x2/a2-y2/b2=1
в)
ур-е параболы:
y2=2px
или
y=ax2
г)
ур-е сферы:
x2+y2+z2=а2
(r2=(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2)
д)
ур-е эллипса:
x2/a2-y2/b2+z2/c2=1
24.
Парабола и ее
свойства.
Множество
точек плоскости,
координаты
которых по
отношению к
системе декартовых
координат
удовлетворяет
уравнению
y=ax2,
где
х и у - текущие
координаты,
а- нек. число,
наз. параболой.
Если
вершина нах.
в О(0,0), то ур-е примет
вид
y2=2px-симметрично
отн. оси ОХ
х2=2pу-симметрично
отн. оси ОУ
Точка
F(p/2,0)
наз. фокусом
параболы, а
прямая
x=-p/2
- ее
директриса.
Любой
точке М(х,у),
принадлежащей
параболе, расстояние
до фокуса = r=p/2
Св-ва:
1.
парабола предст.
собой Ґ
точек плоскости,
равноотстающих
от фокуса и от
директрисы
y=ax2.
25.Эллипс
и его св-ва:
Кривая
второго порядка
наз. эллипсом
если коэффициенты
А и L имеют одинаковые
знаки
Аx2+Cy2=d
ур.-е
наз.
канонич. ур.-ем
эллипса, где
При а=в представляет
собой ур-е окружности
х2+y2=а2
Точки
F1(-c,0)
и
F2(c,0)
- наз. фокусами
эллипса а.
Отношение
e=с/а
наз. его эксцентриситетом
(0<=e<=1)
Точки
A1,A2,B1,B2
-вершины
эллипса.
Св-во: Для
любой точки
эллипса сумма
расстояний
этой точки до
фокусов есть
величина постоянной,
=2а.
26.
Гипербола и
ее св-ва.
Кривая
2го порядка
наз. гиперболой,
если в ур-ии
Ax2+Cy2=d,
коэффициент
А и С имеют
противоположные
знаки, т.е. А*С<0
б)
Если d>0,
то каноническое
ур-е гиперболы
примет вид:
x2/a2-y2/b2=1,
F1(c,o)
и F2(-c,0)
- фокусы
ее, e>0,
e=c/a
- эксцентриситет.
Св-во: для
любой точки
гиперболы
абсолютная
величина разности
ее расстояний
до фокусов есть
величина постоянная
= 2а.
б)
если d=0,
ур-е примет вид
x2/a2-y2/b2=0,
получаем 2
перекрестные
прямые х/а±у/b=0
в)
если d<0,
то x2/a2-y2/b2=-1
- ур-е сопряженной
гиперболы.
27.
Понятие о
поверхностях
2го порядка.
Алгебраическим
ур-ем 2ой степени
наз. ур-е вида
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+ey+F=0,
где A,B,C,D,e,F
- действительные
числа
Линии,
которые в системе
декартовых
координат
определяются
алгебраическим
ур-ем 2ой степени
наз. линиями
2го порядка.
28.
Функции. Определение
способа задания.
Классификация
функций. Основные
элементарные
функции.
Функция
- это зависимость
одной величины
от другой.
Если
существует
взаимооднозначное
соответствие
между переменной
х одного множества
и переменной
у другого множества,
то она называется
функциональной
зависимостью.
y=f(x).
Определение
способа задания:
-аналитически
(y=kx+b)
-графический
(график)
-таблично
-алгоритмически
(с помощью ЭВМ)
Классификация
функций:
Элементарные:
- функции, которые
получаются
из основных
элементарных
ф-ций с помощью
алгебраических
действий
(+,-,*,/,введение в
степень). Основные
элементарные
ф-ции:
1.
y=xn
- степенная
2.
y=ax
- показательная
3.
y=logax
- логарифмическая
4.
y=sinx,
y=cosx
- тригонометрические.
Сложные:
Y=f(U),
где U=j(x),
Y=f[j(x)]
Если
ф-ция у зависит
от промежуточного
аргумента U,
который зависит
от независимой
переменной
х, то y=f[j(x)]
называется
сложным заданием
х.
29.
Определение
пределов
последовательности
и ф-ции. Осн. св-ва
пределов ф-ции
1ой переменной.
а)
Предел последовательности:
y=f(Un),
где
U1,U2,...Un,
а
Un=n/(n2+1)
Предел:
число а называется
пределом переменной
xn,
если
для каждого
“+” как угодно
малого числа
e(эпсилон)
существует
такой номер
N,
что при n>N
разность |xn-a|<e
limxn=a
n®Ґ
-en-a<e
a-ene
б)
Предел ф-ции: y=f(x)
число
а называется
пределом переменной
х, если разность
м/ду ними есть
б.м.в. |x-a|®0,
|x-a|<e
Число
А называется
пределом ф-ции
f(x)
при х®а,
если для каждого,
как угодно
малого на период
заданного числа
e.
-e>0,
найдется такое
как угодно
малое на период
заданного d>0,
что будут выполняться
неравенства:
Если |x-a|<d,
то |f(x)-A|<e
Основные
св-ва: 1.Если
величина имеет
предел, то только
1.
2.
limC=C,
где С- постоянная
величина
3.
Если a-б.м.в.,
то lima=0
4.
предела
б.б.в. не существует
5.
если limy=a,
то y=a+a,
где a-б.м.в.
30.
Основные теоремы
о пределах.
1.
Предел суммы
= суммы пределов: limx=a,
limy=b,
тогда x=a+a,
y=b+b,
где a
и b
- б.м.в. x+y=(a+a)+(b+b)=(a+b)+(a+b),
где a+b=w-
б.м.в.
x±y=(a±b)+w,
то
lim(x±y)=a±b=limx+limy.
2.
Теорема о пределе
производной:
если сомножители
имеют пределы,
то и произведение
имеет предел,
равный произведению
пределов
сомножителей.
limx=a,
limy=b,
то на основании
5го св-ва
x=a+a
y=b+b,
где a
и b
- б.м.в.
x*y=(a+a)*(b+b)=a*b+(ab+ab+ab),
то
сумма
б.м.в. = d(дельта)
xy=ab+d
xy®ab,
limxy=ab=limx*limy
3.
Следствие:
постоянная
величина выноситься
за знак предела.
limCx=limC*limx=C*limx
4.
Предел
от частного
= частному пределов
(кроме limx/limy=0
limx/y=limx/limy,
т.к.
limx=a, limy=b
x=a+a,
y=b+b
x/y=(a+a)/(b+b)
31.
1й, 2й замечательный
пределы.
1й:
limsinx/x=1, limx/sinx=1. x®0
j
lim((Sina)/a)=1
x®0
SDOACсектораOACDOCB
SDOAC=1/2*OC*AD,
OA=OC=1, то
SDOAC=1/2*OC*OA*Sina=1/2*Sina
SсектораOAC=1/2*OA*OC*a=1/2*a(т.к.
OA=OC)
SDOCB=1/2*OC*BC=1/2*OC*OC*tga=1/2*tga
1/2*Sina<1/2*a<1/2tga
//*2
sina<aa//:sin
1<a/sina<1/cosa,
=>cosaa/a<1,
limCosaa)/a)
a®0
a®0
существования
предела
ф-ции
lim((Sina)/a)=1
a®0
2ой:
lim(1+1/n)n=e»2.7183
n®Ґ
Зная,
что 1/n=a
- б.м.в.,
то n=1/a
и
x®Ґ
a®0
lim(1+1/n)1/a=e
a®0
32.
Основные приемы
нахождения
пределов.
1.
Подстановка:
при х®х0
и х0Ообласти
определения
ф-ции f(x),
предел ф-ции
f(x)=
его
частному значению
при х=х0
limf(x)=f(x0)
x®x0
2.
Сокращение:
при х®Ґ
и х®х0
f(x)/g(x)=0/0,
то сокращают
числитель и
знаменатель
на множитель,
стремящийся
к 0.
3.
уничтожение
иррациональности
(* числитель и
знаменатель
на 1 число).
4.деление
на наивысшую
степень х: при
х®Ґ
и х®х0
f(x)/g(x)=0/0,
то делим числитель
и знаменатель
на наивысшую
степень.
5.
сведение к
известным
пределам:
lim((Sinx)/x)=1
x®Ґ
lim(1+1/n)x=e
x®Ґ
33.
Непрерывность
ф-ции в точке
и на интервале.
x=x0+Dx,
Dx=x-x0
Dy=f(x0+Dx)-f(x0)
Ф-ция
y=f(x)
наз. непрерывной
в точке x0,
если она определена
в окрестности
этой точки, а
limDy=0.
(б.м. приращению
аргумента
соответствует
б.м. приращению
ф-ции).
limDy=lim[f(x)-f(x0)]=limf(x)-limf(x0)=0,
то
limf(x)=limf(x0)
x®x0
Ф-ция
непрерывна
в точке х0,
если ее предел
= значению этой
ф-ции в точке
х0
Ф-ция
явл. непрерывной
на интервале,
если она непрерывна
в каждой его
точке.
34.
Признаки
существования
а) предела ф-ции
и б) предела
последовательности.
а)
если все значения
ф-ции f(x)
заключены между
значениями
ф-ции j(x)
и g(x),
которые имеют
1 предел при
х®а,
то и limf(x)=A
j(x)<=f(x)<=g(x),
где limj(x)=А,
limg(x)=А,
то limf(x)=A.
х®а
б)
Если последовательность
монотонно
возрастает
и ограниченна
сверху, то она
имеет предел.
Последовательность
монотонно
возрастает,
если последующий
член>предыдущего
(xn+1>xn)
Последовательность
ограничена
сверху, если
существует
такое М, что
xn<=M.
35.
Бесконечно
малые величины
и их св-ва:
величина
называется
б.м.в. в каком-то
процессе, если
она в этом процессе
бесконечно
уменьщается.(r=m/V,
если V®Ґ,
то r®0)
Св-ва
б.м.в.:
-сумма
или разность
конечного числа
б.м.в. есть б.м.в.
(a
и b-б.м.в.,
то a±b=б.м.в.)
-произведение
б.м.в. на величину
ограниченную
есть б.м.в. (U<=M,
то
a*U=б.м.в.)
-произведение
б.м.величин=б.м.в.
-произведение
б.м.в. на постоянную
= б.м.в
36.
Бесконечно
большие величины
и их св-ва.
б.б.в
- величина для
которой |Xn|®Ґ
(при
xn=1/n,
n®0,
то xn®Ґ)
Св-ва:
-величина
обратная б.б.в.
явл. б.м.в. (1/Ґ=0;
1/0=Ґ)
-сумма
б.б.в. (с одинаковым
знаком) есть
б.б.в.
-произведение
2х б.м.величин=б.м.в.
-частное
от деления 2х
б.б.в = неопределенность
38.
Св-ва непрерывных
ф-ций:в в отрезке:
1.
Если ф-ция y=f(x)
непрерывна
на [a,b]
и f(a)*f(b)<0,
т.е. знаки f(a)
и f(b)
противоположны,
то на (a,b)
найдется
хотя бы одна
точка х=с, что
f(c)=0
(график)-теорема
Больцана-Коши.
2.
Если ф-ция y=f(x)
непрерывна
на [a,b],
то она ограничена
на этом промежутке.
3.
Если ф-ция y=f(x)
непрерывна
на
[a,b],
то она достигает
на этом отрезке
min
m
и max
M
(теорема
Вейерштрасса).
в
точке:
1.
если ф-ция f(x)
и
g(x)
непрерывна
в х0,
то их сумма,
произведение,
частное (при
j(х0)№0)
явл-ся ф-циями,
непрерывными
в х0
2.
если ф-ция y=f(x)
непрерывна
в х0,
и f(x0)>0,
то существует
окрестность
х0,
в которой f(x)>0
3.
если
y=f(U)
непрерывна
в U0,
а U=j(x)
непрерывна
в U0=j(x0),
то сложная
ф-ция y=f[j(x)]
непрерывна
в х0.
39.
Задачи, приводящие
к понятию
производной.
Определение
производной
и ее геометрический
смысл.
1.
ncp.=DS/Dt,
n=lim(DS/Dt),
где
Dt®0
2.
pcp.=Dm/Dl,
pT=lim(Dm/Dl),
где
Dl®0
Dy=f(x+Dx)-f(x),
y=f(x)
lim(Dy/Dx)=lim((f(x+Dx)-f(x))/Dx)
Dx®0
Dx®0
Смысл
производной
- это скорость
изменения ф-ции
при изменении
аргумента.
y=f(x+Dx)-f(x),
y=f(x).
производной
в точке а называется
предел отношения
приращения
ф-ции к приращению
аргумента:
lim(Dy/Dx)=lim((f(x+Dx)-f(x))/Dx)=dy/dx
Dx®0
Dx®0
Вычисление
производной:
lim(Dy/Dx)=y`
Dx®0
1)
если
y=x, Dy=Dx,
y`=x=lim(Dy/Dx)=1.
2)
если
y=x2,
Dy=(x+Dx)2-x2=x2+2xDx+Dx2-x2=Dx(2x-Dx),
(x2)`=lim((Dx(2x+Dx))/Dx)=lim(2x+Dx)=2x
x®0
Dx®0
Геометрический
смысл производной.
KN=
Dy,
MK=Dx
DMNK/tg2=Dy/Dx
вычислим
предел левой
и правой части:
limtga=lim(Dy/Dx)
Dx®0
tga0=y`
a®a0
При
Dx®0
секущая
MN®занять
положение
касательной
в точке M(tga0=y`,
a®a0)
Геометрический
смысл производной
заключается
в том, что есть
tg
угла
наклона касательной,
проведенной
в точке x0.
40.
Основные правила
дифференцирования.
Теорема:
Если f(x)
и g(x)
дифферен. в
точке х, то:
Теорема
о произв. сложной
функции:
Если
y(x)=f(u(x))
и существует
f’(u)
и u’(x),
то существует
y’(x)=f(u(x))u’(x).
Теорема
о произв. обратной
функции.
Таблица
производных:
41.
Дифференцирование
сложных ф-ций:
Производная
сложной ф-ции
= произведению
производной
ф-ции по промежуточному
аргументу и
производной
самого промежуточного
аргумента по
независимой
переменной.
y`=f(x)*U`,или
yx`=yU`*Ux`,
или
dy/dx=dy/dU=dU/dx
Например:
42.
Дифференцирование
обратной ф-ции.
y=f(x),
то
x=j(y)
- обратная
ф-ция.
Для
дифференцируемой
ф-ции с производной,
не = 0, производная
обратной ф-ции
= обратной величине
производной
данной ф-ции,
т.е. xy`=1/yx`.
Dy/Dx=1/(Dy/Dx)
- возьмем
предел от левой
и правой части,
учитывая, что
предел частного
= частному пределов:
lim(Dy/Dx)=1/(lim(Dy/Dx),
т.е. yx`=1/xy
или
f`(x)=1/j`(x)
Например:
43.
Производные
степенных и
тригонометрических
функций.
Основные
формулы:
44.
Производные
обратных
тригонометрических
функций.
Основные
формулы:
Для
сложных функций:
45.
Производные
показательных
и логарифмических
функций.
Основные
формулы:
Если
z=z(x)
– дифференцируемая
функция от x,
то формулы
имеют вид:
46.
Логарифмическое
дифференцирование.
Вывод производной
степенной
ф-ции.
y=ax
- показательная
ф-ция, y=xn
- степенная,
y=xx
- показательно-степенная.
y=[f(x)]j(x)
- показательно-степенная
ф-ция.
lny=xlnx
- найдем
производную
от левой и правой
части, считая
у ф-цией х.
(1/y)*y`=(lny)
(x*lnx)`=x`lnx+x*(lnx)`=lnx+1
y`=y*(lnx+1)=xx(lnx+1)
Операция,
которая заключается
в последовательном
применении
к ф-ции y=f(x)
сначала логарифмирование,
а затем дифференцирование.
Степенная
ф-ция:
1.y=xn,
nlnx, y`/y=n/x=n*(x)-1
y`=y*n*(x-1)=n*xn*x-1=n*xn-1
2.y=eU,
где
U=sinx
U`=cosx,
y`=(eU)`=eU*U`=esinx*cosx.
47.
Производная
высших порядков
ф-ции 1й переменной.
y=f(x)
y``=(y`)`=lim((f`(x+Dx)-f`(x))/Dx)
x®0
y```=(y``)`=
lim((f``(x+Dx)-f``(x))/Dx)
f(n)(x)=[f(n-1)(x)]`
48.
Производные
1,2-го порядка
неявных ф-ций.
Неявной
называется
такая ф-ция у
аргумента х,
если она задана
уравнением
F(x,y)=0,
не разрешенным
относительно
независимой
переменной.
y=f(x),
y=x2-1
- явные
F(x,y)=0,
a2=x2+y2
- неявные
ф-ции.
1)a2=x2+y2
- найдем
производную,
продифференцируем,
считая у - сложной
ф-цией х.
y`=2x+2y=0,
т.к. а-
постоянная
y*y`=-x,
y`=-x/y
2)
x3-3xy+y3=0
3x3-3(xy)`+3y2*y`=0
//:3
x2-(x`y+y`x)+y2*y`=0
y`y2-xy`=y-x2
y`=(y-x2)/(y2-x)
49.
Дифференциал
ф-ции и его
геометрический
смысл. Св-ва
дифференциала.
limy=A,
y=A+a
limDy/Dx=y`,
Dy/Dx=y`+a,
Dy=y`Dx+aDx
Dx®0
Dy=y`Dx+e,
где
e-б.м.в.,
величина более
высокого порядка
малости,, чем
Dx(a),
и ее
можно отбросить.
dy=y`Dx
Дифференциалом
ф-ции наз. величина,
пропорциональная
б.м. приращению
аргумента Dх
и отличающаяся
от соответствующего
приращения
ф-ции на б.м.в.
более высокого
порядка малости,
чем Dх.
Если
y=x,
то
dy=dx=x`Dx=Dx,
dx=Dx
Если
y№x,
то dy=y`dx,
y`=dy,dx
Геометрический
смысл: дифференциал
- изменение
ординаты касательной,
проведенной
к графику ф-ции
в точке (x0,f(x0))
при
изменении x0
на
величину Dx
Св-ва: 1.
(U±V)`=U`±V`,
то
(U±V)`dx=U`dx±V`dx,
d(U±V)=d(U±V)
2.
(UV)`=U`V+V`U,
то
(UV)`dx=V`dU+U`dV
3.d(c)=c`dx=0*dx=0
4.
d(U/V)`=(V`dU-U`dV)/V2.
50.Теорема
Ролля.
Если
функция f(x)
непрерывна
на заданном
промеж/ [a,b]
деффер. на интервале
(a,b)
f(a)=f(b)
то существует
т. с
из интерв. (a,b),
такая, что f’(c)=0.
51.
Теорема Лагранжа.
Если
функция f(x)
непрерывна
на [a,b]
и дефференцирована
на (a,b),
то сущест.
т.
с(a,b),
такая,
что:
f(b)-f(a)=f’(c)(b-a).
Доказательство:
применим
т.Коши, взяв
только g(x)=x,
тогда g’(x)=1№0.
52.
Теорема Коши.
Если
f(x),
g(x)
удовл. трем
условиям:
1).
f(x),
g(x)
непрерыв. на
промеж [a,b]
2).
f(x),
g(x)
деффер. на интервале
(a,b)
3).
g’(x)№0
на интер. (a,b),
то сущ. т. с
g(b)№g(a)
(неравны по
теореме Ролля).
1).
F(x)
– непрерывна
на [a,b]
2).
F(x)
– деффиренцирована
на
(a,b)
3).
F(a)=0 ; F(b)=0
по
теореме Ролля
сущ. сО(a,b);
F’(с)=0
53.
Необходимые
и достаточные
признаки монотонности
ф-ции:
Если
x2>x1,
f(x2)>f(x1),
то ф-ция монотонно
возрастает
Если
x2>x1,
f(x2)1),
то ф-ция монотонно
убывает
Монотонность
- постоянство
Необходимые
признаки:1)если
ф-ция f(x)
всюду
в интервале
возрастает,
то ее производная
в этом интервале
неотрицательна
(f`(x)>=0)
2)если
ф-ция f(x)
всюду
в интервале
убывает, то ее
производная
в этом интервале
неположительная
(f`(x)<=0)
3)если
ф-ция f(x)
всюду
в интервале
постоянна, то
ее производная
в этом интервале
=0 (f`(x)=0)
Достаточные
признаки
монотонности:
1)если f`(x)
в интервале
положительна,
то ф-ция f(x)
возрастает
в этом интервале.
2)если
f`(x)<0,
то ф-ция f(x)
возрастает
в этом интервале.
3)если
f`(x)=0,
то ф-ция f(x)=const
на интервале.
x12,
x2-x1>0,
x2>x1
1.
если f`(a)>0,
то
f(x2)>f(x1)
2.
если f`(a)<0,
то
f(x2)1)
3.
если f`(a)=0,
то
f(x2)=f(x1)
54.
Экстремумы
ф-ций. Признаки
существования
экстремума.
Наибольшее
и наименьшее
значение ф-ции
1й переменной.
Точка
х называется
точкой max
ф-ции, если значение
ф-ции в этой
точке - наименьшее
в некоторой
ее окрестности.
1-
локальный max
2-
локальный
min
3-
глобальный
max
4-
глобальный
min
если
tga>0,
то f`(x)>0
если
tga<0,
то f`(x)<0
Необходимый
признак экстремума:
ф-ия
f(x)
может иметь
max
и
min
только в тех
точках, в которых
f`(x)=0
или не существует.
(В
них можно построить
Ґ
касательных).
Достаточный
признак: точка
х0
является точкой
экстремума,
если ее производная
в этой точке
меняет знак:
-
если с “+” на
“-”, то х0-
т. max
-
если с “-” на
“+”, то х0-
т. min
55.
Выпуклость
и вогнутость
линий точки
перегиба.
Линия
называется
выпуклой, если
она пересекается
с любой своей
секущей не
более чем в 2х
точках.
Линия
наз-ся вогнутой,
если она целиком
лежит по 1 сторону
от касательной,
проведенной
в любой ее точке.
Точка
перегиба - точка,
отделяющая
выпуклый участок
дуги от вогнутого.
Необходимый
признак выпуклости
и вогнутости:
если линия на
интервале
выпуклая, то
ее 2я производная
<=0;
если линия на
интервале
вогнутая, то
ее f``(x)>=0
Достаточный
признак: если
f``(x)
всюду в интервале
“-”, то линия в
интервале
выпуклая; если
f``(x)>0,
то линия вогнутая
Признаки
точки перегиба:
чтобы X0
была т. перегиба,
<=>
чтобы у``
в этой точке
= 0 и меняла знак
при переходе
х через х0.
56.
Асимптота
графика ф-ции.
Асимптота
- прямая, к которой
график ф-ции
стремится, но
никогда ее не
пересекает.
1)
прямая х=х0
назыв-ся вертикальной
асимптотой
графика ф-ции
f(x)=y,
если при х®х0
|f(x)|®+Ґ
(вида
x=b)
2)
y=kx+b,
,y=f(x)
- общее
ур-е наклонной
асимптоты
lim[f(x)-(kx+b)]=0,
f(x)=kx+b+a(б.м.в.)
по св-ву x®Ґ
пределов.
разделим
левую и правую
части на х. Возьмем
предел при х®Ґ
f(x)/x=k+b/x+a/x,
lim(f(x)/x)=limk+lim(b/x)+lim(a/x)
x®Ґ
,
то
k=lim(f(x)/x)
b=lim[f(x)-kx]
Если
эти пределы
существуют,
то существует
и наклонная
ассимптота
вида kx+b=y
3)k=lim(f(x)/x)=0,
y=b - горизонтальная
асимптота.
57.
Предел и непрерывность
ф-ции нескольких
переменных.
Величина
U
наз-ся ф-цией
переменных
(x1,x2...xn),
если каждой,
рассматриваемой
в совокупности
этих величин
соотв-ет 1 определенное
значение величины
U.
Пусть
f(M)=M0(x10,
x20,...
xn0),
M(x1,
x2,...
xn)
Ф-ция
f(M)=f(x1,
x2,...
xn)
имеет
предел А при
М0®М,
если каждому
значению как
угодно малого
числа d(дельта)
соотв-ет, как
угодно малое
заданное число
e>0,
если |M0M|=d,
то
|f(M)-A|<e
Ф-ция
f(M)
наз-ся непрерывной
в точке М0,
если б.м. приращению
любого аргумента
соответствует
б.м. приращение
ф-ции.
limf(x10,
x20,...
xn0)=limf(x1,
x2,...
xn)
x10
®
x1
x20
®
x2
xn0
®
xn
58.
а) Частная
производная
ф-ции нескольких
переменных.
б) Частный и
полный дифференциалы.
а)
рассмотрим
на примере
ф-ции 2х переменных
x=f(x,y),
точка
A(x0,y0)
Dz=f(x0+Dx,
y0+Dy)-f(x0,y0)
- полное
приращение.
Частное
приращение
по х (по у):
DxZ=f(x0+Dx,
y)-f(x0,
y0)
DyZ=f(y0+Dy,
x)-f(x0,
y0)
Частная
производная
ф-ция:
б)
dxZ=Zx`*Dx=¶Z/¶x*dx;
dxZ=Zy`*Dy=¶Z/¶y*dy
Полный
дифференциал
dZ=dxZ+dyZ=Z`xdx
+Z`ydy
dZ=¶Z/¶x*dx+=¶Z/¶y*dy
Чтобы
найти полный
дифференциал
ф-ции надо найти
частные производные
от этой ф-ции
по всем независимым
переменным,
умножить их
на дифференциал
этих переменных,
рез-ты сложить.
59.
Производная
2го порядка
ф-ции нескольких
переменных.
Дифференцирование
сложной ф-ции
2х переменных.
Частное
производной
2го порядка от
ф-ции Z
явл. частная
производная
от 1й производной:
Z``XX=(Z`x)`x
; Z``yy=(Z`y)`y
Z``Xy=(Z`x)`y=(Z`y)`x
60.
Экстремумы
ф-ции нескольких
переменных.
Необходимые
и достаточные
признаки экстремума
ф-ции 2х переменных.
Z=f(x,y),
M0(x0,y0),
M(x,y)
Max
ф-ции Z
называется
такое ее значение
f(x0,y0),
которое является
наибольшим
среди всех
значений, принимаемых
в некоторой
окрестности
точки M0
Min
ф-ции Z
называется
такое ее значение
f(x0,y0),
которое является
наименьшим
среди всех
значений, принимаемых
в некоторой
окрестности
точки M0
Экстремум
сущ. в тех точках,
в которых частная
производная
ф-ции Z=0
или не существует:
Если
Z=f(x1,x2,...xn),
то ¶Z/¶xi=0,
i=1,2,...n
- необходимое
условие.
Достаточный
признак:
где
A=
Z``XX(x0,y0),
C= Z``yy(x0,y0),
B= Z``yx
(x0,y0),
1)
если D>0,
то М0
- точка экстремума;
если
А<0
или С<0,
то М0
- точка max;
если
А>0
или С>0,
то М0
- точка min.
2)
если D<0,
то
экстремума
нет
3)
если D=0,
то вопрос о
существовании
экстремума
остается открытым.
61.
Общая схема
исследования
ф-ции необходима
для построения
графика.
Найти: -обл.
определения
ф-ции
-точки
разрыва и интервалы,
где ф-ция явл-ся
непрерывной
-поведение
ф-ции в окрестностях
точки разрыва,
вертикальной
асимптоты
-т.
пересечения
графика с осями
координат
-симметрия
графика (чет./нечет):
f(-x)=x
симметрична
относительно
осей
f(-x)=-x
симметрична
относительно
О(0,0)
-периодичность
-интервалы
монотонности
-точки
экстремума
-наибольшее
и наименьшее
значение
-выпуклость,
вогнутость
-точки
перегиба
-поведение
ф-ции в безконечности,
наклонная и
горизонтальные
асимптоты
-нанесение
на график.
Л
По всем
вопросам и по
дальнейшему
пополнению
лекций обращаться
на ящик
van_mo_mail@mtu-net.ru
или на сотовый:
8-901-7271056 спросить
Ваню
екция №1
Ведущая:
Голубева Зоя
Николаевна
Дата:
вторник, 5 сентября
2000 г.
Тема:
Введение
Условные
обозначения:
: - так,
что def
– по определению
– включает
’’’ – [dnf(x)]/dxn=(d/dx)([dn-1f(x)]/dxn)
- следует,
выполняется
-
тогда и только
тогда
-
любой
-
существует
] – пусть
! – единственный
[x]
– целая часть
~ - эквивалентно
о - малое
Все
R
представляют
десятичной
дробью.
Все
Q
представляют
конечной дробью,
либо периодичной
дробью.
Все
иррациональные
числа представляют
бесконечной
десятичной
дробью ( не
периодичной).
Рассмотрим
числовую ось.
Числовая ось
– направленная
прямая с отмеченной
точкой и отмеченным
масштабом.
x
0 – отвечает
за ноль.
Отрезок
[0;1] отвечает за
единицу
Единица
за единицу.
Каждой
точки х
на числовой
прямой отвечает
некоторое
действительное
число. Если
длинны отрезков
[0;x]
из заданного
масштаба соизмеримы,
тогда числу
х отвечает
рациональное
число. Если не
соизмеримы,
то иррациональны.
Каждому
R
отвечает
точка на числовой
прямой и наоборот,
каждой точке
отвечает R.
Основные
числовые множества.
x
Отрезок:
[/////////] x
a b
Обозначается
[a;b]
ab
Частный
случай отрезка
точка
Или
axb
– в виде неравенства.
х
Интервал:
(/////////) x
– множество
точек на числовой
прямой.
a b
Обозначается
(a;b)
или в виде
неравенства
a
x
Полуинтервал:
(/////////] x
a b
x
[/////////)
x
a
b
Обозначается:
[a;b) axb
(a;b]
ab
Всё
это числовые
промежутки.
Замечание:
один из концов
( а или b)
может быть
символом .
x
///////////////]
x
(-;b]
или -b
b
x
///////////////)
x
(-;b)
или -
b
Вся
числовая прямая
– R=(-;+)
Окрестности.
Определение:
ε
–окрестностью
числа а
называется
множество чисел
х удовлетворяющие
неравенству
a-ε
x-a
(////////)
x
Оε(а)
ε>0
а-ε
а
а+ε
Оε(а)={xR:x-a<ε}
Проколотая
ε
окрестность
– Оε(а)
это множество
таких чисел
включающих
R,
и отстаёт от
точки на ε
и не принадлежит
а.
Оε(а)={xR:0<x-a<ε}
(////////)
x
а-ε
а
а+ε
Правая
ε поло окрестность
точки а:
О+ε(а)={x
R:a
x
///////)
x
a
a+ε
Проколотая
правая ε поло
окрестность
точки а:
Оε(а)={xR:aа.
Левая
ε поло окрестность
точки а:
O-ε(a)={xR:a-εa}
(////////
x
a-ε
a
Проколотая,
левая ε поло
окрестность
точки а:
О-ε(а)={xR:a-εа.
Модуль
и основные
неравенства.
x;
x>0
х=
0; x=0
-x;
x<0
|x|
-hh
x>h
h>0
x<-h
а,b
R:
|ab|a|+|b|
а,b
R:
|a-b|||a|-|b||
Можно
рассматривать
окрестности
бесконечности:
О
ε(+
)={x
R:x>ε}
(//////////
x
ε>0
ε
О
ε(-
)={x
R:x<-ε}
///////////)
x
ε>0
-ε
0
О
ε(
)={x
R:
x
>ε}
\\\\\\)
(////// x
x>ε;x<-ε
-ε
ε
Функция.
Монотонность.
Ограниченность.
х
– называется
независимой
переменной.
у
– зависимой.
Функцию
можно задавать
равенством
(у=х2)
Таблицей
-
Х |
Х1
|
Х2
|
Х3
|
Х4
|
У |
У1
|
У2
|
У3
|
У4
|
Графиком,
то есть множеством
точек с координатами
(x,f(x))
на плоскости:
Определение
f(x)
монотонности:
Пусть Х принадлежит
области определение
D
( ]xD)
Пусть
Х подмножество
в области определения
в f(x).
Функция
у=f(x)
называется:
Возрастающая
на Х, если
для любого
х1;х2
принадлежащие
Х: х12f(x1)2)
Убывающий
на Х, если для
любого х1;х2
принадлежащие
Х: х12f(x1)>f(x2)
3)
Не убывающий
на Х, если для
любого х1;х2
принадлежащие
Х: х12f(x1)f(x2)
Не
возрастающая
на Х, если для
любого х1;х2
принадлежащие
Х: х12f(x1)f(x2)
Определение:
Ограниченность.
Пусть Х включает
D
y=f(x)
называется:
Ограниченной
сверху на Х
если существует
В, так что для
любого х
принадлежащего
Х выполняется
xR
Ограниченной
снизу на Х если
существует
А, так что для
любого х
принадлежащего
Х выполняется
Ах
Ограниченной
и сверху и снизу
на Х если существует
А,В, так что для
любого х
принадлежащего
Х выполняется
АхВ,
или существует
С, так что для
любого х
принадлежащего
Х выполняется
хС
Лекция
№2
Ведущая:
Голубева Зоя
Николаевна
Дата:
вторник, 12 сентября
2000 г.
Тема:
Функции
Определение
(сложная функция):
Пусть
задано D,E,G,C,R
На
D:
y=f(x)
с областью
значения E
На
E:
z=g(y)
с областью
значения G
Тогда
на множестве
D
определена
сложная функция
z=g(f(x))
с областью
значения G.
Тогда говорят,
что g(f(x))
есть суперпозиция
функций g,f.
Пример:
Пример
z=sin
ex
w=arctgcos
exx-ln
x
y=ex=f(x)
z=sin y=g(y)
D=R
E=R+
G=[-1;1]
Определение
(обратной функции):
Пусть
существует
D,E,C,R
На
D:
y=f(x)
с областью
значений Е.
Если для каждого
у из
y=f(x)
найдётся единственный
х, то
говорят, что
на множестве
Е задана функция
обратная к
функции f(x),
с областью
значений D.
Иными словами
две функции
y=f(x)
и x=g(y)
являются взаимно
обратными если
выполняется
тождества:
y=f(g(y)),
yE
y=f(g(y)),
для любого уЕ
x=g(f(x)),
xD
x=g(f(x)),
для любого х
D
П
римеры:
1)y=x3
x=3y
D=R
E=R
2
)y=x2
x=y
D=R+
{0}=[0;+)
E=[0;+)
D=R-
{0}=(-;0]
E=[0;)
x=-
y
3
)y=sinx
D=[-/2;/2]
E=[-1;1]
x=arcsiny
y[-1;1];
x
[-
/2;
/2]
Пусть
y=f(x)
D=[a;b]
E=[A;B]
Определение:
y=f(x),
nN
a1=f(1)
a2=f(2)
an=f(n)
{an}
– множество
значений силовой
последовательности
nN
или аn
{
аn}={1,1/2,1/3,…,1/n,…}
аn=1/n
{аn}={sin1;sin2;sinn}
аn=sinn
аn=(-1)n/n
{(-1)n}={-1;1;-1;1;-1;1…}
Ограниченные
последовательности.
Ограниченная
сверху, то есть
существует
В так что аnВ,
для любого nN
Ограниченная
снизу, то есть
существует
А так что Аbn,
для любого nN
Ограниченная,
то есть существует
А,В так что АаnВ,
для любого nN
существует
С>0 так что аnС,
для любого
nN.
Монотонные
последовательности
возрастающая
ann+1,
nN
убывающая
an>an+1,
nN
не
возрастающая
anan+1,
nN
не
убывающая
anan+1,
nN
Пределы
последовательности.
Определение:
числа а
, называется
пределом числовой
последовательности
аn,
если для любого
сколь угодно
малого числа
ε>0,
найдётся натуральный
номер N
такой, что для
всех чисел nN
выполняется
модуль разности
an-a<ε
ε>0
N :
nN
an-a<ε.
Начиная
с этого номера
N
все числа этой
последовательности
попадают в ε
окрестность
числа а.
Другими словами
начиная с номера
N
вне интервала
а-ε;а+ε
может находиться
не более конечного
числа членов
последовательности.
Lim
an=0
n
Примеры:
Доказать, что
ln(-1)2/n=0
Зададим
любое ε>0,
хотим чтобы
(-1)n-0<ε,
начиная с некоторого
номера N,
1/n<ε
n>1/ε
N=[1/ε]+1
ε=0.01
N=[1/0.01]+1=101
|an|<0.01,
если
n101
*
* *
an=1-1/n2
lim(1-1/n2)=1
n+
Для
любого ε>0
(1-1/n2)-1<ε
-1/n2<ε
1/n2<ε
n2>1/ε
n>1/ε
N=[1/ε]+1
Лекция
№3
Ведущая:
Голубева Зоя
Николаевна
Дата:
среда, 13 сентября
2000 г.
Тема:
Последовательности
Бесконечно
малые последовательности
Последовательность
аn
называется
бесконечно
малой , это
означает, что
предел этой
последовательности
после равен
0.
an
– бесконечно
малая
lim
an=0
то есть для
любого ε>0
существует
N,
такое что для
любого n>N
выполняется
n+
an<ε
Важные
примеры бесконечно
малой последовательности:
1)n=1/n
Докажем, что
для любого ε>0
1/n<ε
1/n<ε
n>1/ε
N[1/ε]+1
Докажем,
что lim1/n=0
n+
2)
n=
sin(1/n). Докажем,
что для любого
ε>0
sin(1/n)<ε,
заметим, что
1/n принадлежит
первой четверти,
следовательно
1sin(1/n)>0,
следовательно
sin(1/n)<ε
Следовательно
1/n
n>1/arcsinε
N=[1/arcsinε]+1.
Докажем,
что lim
sin1/n=0
n
+
3)
n=ln(1+1/n)
n0;
1/n;
1+1/n1
lim ln(1+1/n)=0
n+
Докажем
ln(1+1/n)<ε
ln(1+1/n)<ε
1+1/nε
1/nε-1
n>1/eε-1
N=[1/eε-1]+1
n=1-cos(1/n)
lim(1-cos(1/n))=0
n+
Докажем
ε>0
1-cos(1/n)<ε
1/n
первой четверти
cos
первой четверти
положительный
0
1-cos(1/n)<ε
cos(1/n)>1-ε
(считаем, что
0<ε<1)
1/n
n>1/arcos(1-ε)
N=[1/arcos(1-ε)]+1
Свойства
бесконечно
малой последовательности.
Теорема.
Сумма
бесконечно
малой есть
бесконечно
малое.
nnбесконечно
малое
n+n
– бесконечно
малое.
Доказательство.
Дано:
n-
бесконечно
малое
ε>0
N1:n>N1
n<ε
n-
бесконечно
малое
ε>0
N2:n>N2
n<ε
Положим
N=max{N1,N2},
тогда для любого
n>N
одновременно
выполняется
оба неравенства:
n<ε
n+nn+n<ε+ε=2ε=ε1n>N
n<ε
Зададим
ε1>0,
положим ε=ε1/2.
Тогда для любого
ε1>0
N=maxN1N2
:
n>N
n+n<ε1
lim(n+n)=0,
то
n
есть
n+n
– бесконечно
малое.
Теорема
Произведение
бесконечно
малого есть
бесконечно
малое.
n,n
– бесконечно
малое
nn
– бесконечно
малое.
Докозательство:
Зададим
ε1>0,
положим ε=ε1,
так как n
и n
– бесконечно
малое для этого
ε>0,
то найдётся
N1:
n>N
n<ε
N2:
n>N2
n<ε
Возьмем
N=max {N1;N2},
тогда
n>N
= n<ε
n<ε
nn=nn<ε2=ε1
ε1>0
N:n>N
nn<ε2=ε1
lim
nn=0
nn
– бесконечно
малое, что и
требовалось
доказать.
n
Теорема
Произведение
ограниченной
последовательности
на бесконечно
малую последовательность
есть бесконечно
малая последовательность
аn
– ограниченная
последовательность
n
–бесконечно
малая последовательность
ann
– бесконечно
малая последовательность.
Доказательство:
Так как аn
– ограниченная
С>0:
nN
anC
Зададим
ε1>0;
положим ε=ε1/C;
так как n
– бесконечно
малая, то ε>0
N:n>N
n<ε
ann=annε1/C=ε1
ε1>0
N:
n>N
ann=Cε=ε1
lim ann=0
ann
– бесконечно
малое
n
Замечание:
в качестве
ограниченной
последовательности
можно рассматривать
const
произведение
постоянно.
Теорема
о представление
последовательности
имеющий конечный
предел.
lim
an=a
an=a+n
n+
Последовательность
an
имеет конечный
предел а
тогда и только
тогда, когда
она представлена
в виде an=a+n
где
n
– бесконечно
малая.
Доказательство:
lim
an
ε>0
N:n>N
an-a<ε.
Положим an-a=n
n<ε,
n>N,
то есть n
- бесконечно
малая
n+
an=a+n
что и требовалось
доказать
Доказательство
(обратное):
пусть an=a+n,
n
– бесконечно
малая, то есть
n=an-a
ε>0
N:
n>N
n=an-a<ε,
то
есть
lim an-а
n+
Теоремы
о пределах
числовых
последовательностей.
Теорема
о пределе суммы:
Пусть
lim an=a
lim bn=b
lim an+n=a+b
n+
n+
n+
Докозательство:
an=a+n
bn=b+n
Сложим
an+bn=a+b+n+n=a+b+n
lim
an+bn=a+b
n+
2)
Теорема
о произведение
пределов:
Пусть
lim an=a
lim bn=b
lim anbn=ab
n+
n+
n+
Доказательство:
an=a+n
bn=b+n
anbn=(a+n)(b+n)
anbn=ab+an+bn+nn=ab+n
lim anbn=ab
что
и
n+
требовалось
доказать.
Теорема
о пределе частного
Пусть
lim an=a
lim bn=b
b0
lim an/bn=a/b
n+
n+
n+
Доказательство:
an=a+n
bn=b+n
так как b0,
то N1:
n>N1bn0
bn
0
(////////b/////////)
x
an/bn=an/bn-a/b+a/b=a/b+(ban-abn)/bbn=a/b+[b(a+n)-a(b+n)]/b(b+n)=a/b+n/b(1+bn/b)
lim
an/bn=a/b
n+
Лекция
№4
Ведущая:
Голубева Зоя
Николаевна
Дата:
понедельник,
19 сентября 2000 г.
Тема:
Бесконечно
большие последовательности
.
аn=(-1)n
– не имеет
предел.
{bn}={1,1…}
{an}={-1;1;-1;1…}
– предел не
существует.
Бесконечно
большие последовательности.
an=2n
N:n>N
an>ε
bn=(-1)n2n
N:n>N
bn>ε
cn=-2n
N:n>N
cn<-ε
Определение
(бесконечно
большие последовательности)
1) lim
an=+,
если ε>0N:n>N
an>ε
где ε-
сколь угодно
малое.
n
2)lim
an=-,
если
ε>0
N:n>N
an<-ε
n+
3)
lim an=
ε>0
N:n>N
an>ε
n+
Последовательностью
имеющий конечный
предел
называют
сходящимися.
В противном
случае последовательность
называют
расходящимися.
Среди них есть
последовательности,
которые расходятся
в бесконечность.
О них мы говорим,
что они имеют
бесконечный
предел.
Доказательство:
an=2n
Берём
ε>0;
хотим 2n>ε
n>log2ε
N=[log2ε]+1
Правило
формирования
обратного
утверждения:
нужно поменять
местами значки
и ,
а знак неравенства
на дополнительный.
Пример:
Утверждение
lim an=a<
aR
ε>0
NN:n>N
an-a<ε
n
Обратное
утверждение
aR
ε>0
NN:
n>N
an-a<ε
Всякая
бесконечно
большая не
ограниченная.
Обратное утверждение
неверно.
bn{2;0;2n;0;23;0….}
Теорема
(об
ограниченной
сходящейся
последовательности)
Пусть
lim
an=a<
an
- ограниченная
n+
Доказательство:
Дано:
ε>0N:n>N
an-a<ε
Раз
ε>0
возьмем
ε=1
N:n>N
an-a<1
a-1nn>N
Этому
неравенству
может быть не
удовлетворять
только первые
N
члены последовательности.
N1=max{a1;a2;…an;1+a;a-1}
anc,
n>N
Теорема
(о
единстве предела
сходящейся
последовательности).
Если
lim
|