Міністерство Освіти України
Одеський державний університет
ім. І.І.Мечнікова
Інститут математики, економіки та механіки
Атомічні розкладення функцій
у просторі Харді
Дипломна робота
студентки V курсу
факультету математики
Семенцовой В.А.
Науковий керівник
Вартанян Г.М.
Одеса - 2000
Содержание
Введение.................................................................................... 3
Глава I. Основные сведения об интеграле Пуассона и
пространствах
,
и
................................. 8
§I.1. Интеграл Пуассона..................................................... 8
§I.2. Пространства
....................................................... 12
§I.3. Пространства
и
......................................... 17
§I.4. Произведение Бляшке, нетангенциальная
максимальная функция............................................... 22
Глава II. Атомические разложения функции в пространстве
, пространство ВМО........................................ 26
§II.1. Пространство
, критерий принадлежности
функции из
пространству
....................... 26
§II.2. Линейные ограниченные функционалы на
,
двойственность
и ВМО.................................. 32
Литература.................................................................................. 37
Введение.
Целью настоящей работы является изучение основных понятий и результатов, полученных в области пространств Харди, которая не изучалась в рамках университетского курса. В работе прослежена взаимосвязь между следующими понятиями : интеграл Пуассона, пространства
,
,
и
, раскрыта суть и структура этих объектов. Описание указанных понятий вводится именно в такой последовательности , так как определение каждого последующего объекта дается на основе понятий, расположенных левее в выше перечисленном ряду объектов.
Работа состоит из двух глав, каждая из которых делится на параграфы. В первой главе изучены свойства пространств
,
,
, а во второй мы доказываем коитерий принадлежности функции из
пространству
и двойственность пространств
и .
В работе мы рассматриваем случай
периодических функций. Используемые обозначения имеют следующий смысл:
- пространство
периодических, непрерывных на
функций;
- пространство
периодических, бесконечно дифференцируемых на
функций;
- пространство
периодических, суммируемых в степени р на
функций, т.е.для которых
, ;
- пространство
периодических ограниченных на
функций;
- носитель функции
.
В §I.1.вводится понятие интеграла Пуассона: интегралом Пуассона суммируемой на [-p,p] 2p-периодической комплекснозначной функции
называется функция
¦r
( x ) =
,
где
, t Î [ -p, p ] - ядро Пуассона.
Здесь мы доказываем следующие свойства ядра Пуассона, которые мы неоднократно будем использовать в ряде доказательств:
а)
;
б)
;
в) для любого d>0
Основной целью данного параграфа являются две теоремы о поведении интеграла Пуассона
при
:
Теорема 1.
Для произвольной (комплекснозначной) функции
( -p, p ) , 1 £ p < ¥ , имеет место равенство
;
если же ¦ (x) непрерывна на [ -p, p ] и ¦ (-p) = ¦ (p) , то
.
Теорема 2 (Фату).
Пусть
- комплекснозначная функция из
. Тогда
для п.в.
.
В этом параграфе мы обращались к следующим понятиям:
Определение1. Функция
называется аналитической в точке
, если она дифференцируема в этой точке и в некоторой ее окрестности. Говорят, что функция
аналитична на некотором множестве,если она аналитична в каждой точке этого множества.
Определение2. Действительная функция двух действительных переменных
называется гармонической в области
, если
и удовлетворяет уравнению Лапласа:
.
Определение3. Две гармонические функции
и
, связанные условиями Коши-Римана :
,
, называются гармонически сопряженными функциями.
Определение4. Под нормой пространства
понимается
,
.
Определение5. Под нормой пространства
понимается
,
.
Определение6. Пусть
( или
,
). Модуль непрерывности ( соответственно интегральный модуль непрерывности) функции
определяется равенством
,
.
(
,
).
Определение7. Последовательность
функций, определенных на множестве Х с заданной на нем мерой, называется сходящейся почти всюду к функции
, если
для почти всех
, т.е. множество тех точек
, в которых данное соотношение не выполняется, имеет меру нуль.
В §I.2 мы рассматриваем пространства
- это совокупность аналитических в единичном круге функций F (z) , для которых конечна норма
.
Основным результатом этого параграфа является теорема о том, что любую функцию
(
) можно предсавить в виде
,
,
,
где
для п.в.
, при этом
;
.
Использованные в данном параграфе понятия мы принимаем в следующих определениях:
Определение8. Говорят, что действительная функция
, заданная на отрезке [a,b], имеет ограниченную вариацию, если существует такая постоянная
, что каково бы ни было разбиение отрезка [a,b] точками
выполнено неравенство .
Определение9. Действительная функция
, заданная на отрезке [a,b], называется абсолютно непрерывной на [a,b], если для любого
найдется число
такое, что какова бы ни была система попарно непересекающихся интервалов
,
с суммой длин, меньшей
:
, выполняется неравенство .
В третьем параграфе первой главы мы переходим к рассмотрению пространств
и
. Пространство
(
) представляет собой совокупность тех функций
,
, которые являются граничными значениями функций (действительных частей функций) из
, т.е. представимы в виде
(
). Здесь мы получаем следующие результаты: при
пространство
совпадает с
, а при р=1
уже, чем
, и состоит из функций
, для которых и .
В §I.4 мы вводим понятие произведения Бляшке функции
, аналитической в круге
с нулями
,
(
) с учетом их кратности:
,
где
- кратность нуля функции
при
.
Здесь доказывается, что каждая функция
представима в виде
, где
не имеет нулей в круге
и
,
,а
- произведение Бляшке функции .
Затем мы рассматриваем понятие нетангенциальной максимальной функции . Пусть
,
, - произвольное число. Обозначим через
,
, область, ограниченную двумя касательными, проведенными из точки
к окружности
, и наибольшей из дуг окружности, заключенных между точками касания ( при
вырождается в радиус единичного круга). Для положим
,
,
где
- интеграл Пуассона функции
. Функция
называется нетангенциальной максимальной функцией для .
Тут же мы доказываем теорему об оценке
: если
(
),
, то
и .
Первые результаты о максимальных функциях были получены в 1930 году Харди и Литтлвудом.
Во второй главе два параграфа.
В §II.1 рассматривается пространство
. Как ранее отмечалось, оно уже, чем
. Поэтому в данном параграфе большой интерес представляет теорема - критерий принадлежности функции пространству
. Здесь вводится понятие атома: действительная функция
называется атомом, если существует обобщенный интервал
такой, что
а)
; б)
; в)
.
Атомом назовем также функцию
,
. Под обобщенным интервалом понимается либо интервал из
, либо множество вида
().
Данный параграф посвящен аналогу теоремы, доказанной в 1974 году Р.Койфманом о том, что функция
тогда и только тогда, когда функция
допускает представление в виде
,
, где
,
, - атомы. (*)
При этом
, где inf берется по всем разложениям вида (*) функции
, а с и С
- абсолютные константы.
Роль атомических разложений заключается в том, что они в ряде случаев позволяют свести вывод глубоких фактов к относительно простым действиям с атомами.
В частночти, из атомического разложения функций, принадлежащих пространству
, легко вытекает полученный в 1971 году Ч.Фефферманом результат о двойственности пространств
и
. Доказательству этого факта и посвящен второй параграф данной главы. Сперва мы вводим определение
: пространство ВМО есть совокупность всех функций
, удовлетворяющих условию
, (91)
где
, а sup берется по всем обобщенным интервалам
. А затем доказываем теорему о том, что
.
Глава I.
Основные сведения об интеграле Пуассона и
пространствах
,
и
§I.1.Интеграл Пуассона.
Пусть ¦(x
) , g
(x
) , x
ÎR1
–суммируемые на [-p, p] , 2p- периодические, комплекснозначные функции. Через f*g(x)
будем обозначать свертку
f*g(x)
=
dt
Из теоремы Фубини следует, что свертка суммируемых функций также суммируема на [-p,p] и
cn
( f*g ) = cn
( f )× c-n
( g ) , n = 0, ±1 , ±2 , ... ( 1 )
где { cn
( f )} - коэффициенты Фурье функции f ( x ) :
cn
(f)=
-i n t
dt
, n = 0, ±1, ±2,¼
Пусть ¦ Î L1
(-p, p ) . Рассмотрим при 0 £ r < 1 функцию
¦r
( x ) =
n
( f ) r| n |
ei n x
, x Î [ -p, p ] . ( 2 )
Так как
для любых x Î [ -p, p ], n = 0, ±1, ±2,¼, а ряд
сходится (так как согласно теореме Мерсера [4] коэффициенты Фурье любой суммируемой функции по ортогональной системе ограниченных в совокупности функций
стремятся к нулю при
), то по признаку Вейерштрасса ряд в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого фиксированного r , 0 £ r < 1 . Коэффициенты Фурье функции ¦r
(х) равны cn
( fr
) = cn
(f)× r| n |
, n = 0 , ±1, ±2, ¼ , а это значит, что ¦r
( x ) можно представить в виде свертки :
¦r
( x ) =
, ( 3 )
где
, t Î [ -p, p ] . ( 4 )
Функция двух переменных Рr
(t) , 0 £ r <1 , t Î [ -p, p ] , называется ядром Пуассона , а интеграл (3) - интегралом Пуассона .
Следовательно,
Pr
( t ) =
, 0 £ r < 1 , t Î [ -p, p] . ( 5 )
Если ¦Î L1
( -p, p ) - действительная функция , то , учитывая , что
c-n
( f ) =
, n = 0, ±1, ±2,¼, из соотношения (2) мы получим :
fr
( x ) =
=
, ( 6 )
где
F ( z ) = c0
( f ) + 2
( z = reix
) ( 7 )
- аналитическая в единичном круге функция как сумма равномерно сходящегося по х ряда [5]. Равенство (6) показывает, что для любой действительной функции ¦Î L1
( -p, p ) интегралом Пуассона (3) определяется гармоническая в единичном круге функция
u ( z ) = ¦r
(eix
) , z = reix
, 0 £ r <1 , x Î [ -p, p ] .
При этом гармонически сопряженная с u (z) функция v (z) c v (0) = 0 задается формулой
v (z) = Im F (z) =
. ( 8 )
Утверждение1.
Пусть u (z) - гармоническая ( или аналитическая ) в круге | z | < 1+e ( e>0 ) функция и ¦ (x) = u (eix
) , xÎ[ -p, p ] . Тогда
u (z) =
( z = reix
, | z | < 1 ) ( 10 )
Так как ядро Пуассона Pr
(t) - действительная функция, то равенство (10) достаточно проверить в случае, когда u (z) - аналитическая функция:
=
, | z | < 1+ e .
Но тогда коэффициенты Фурье функции
связаны с коэффициентами Фурье функции
следующим образом :
и равенство (10) сразу следует из (2) и (3).
Прежде чем перейти к изучению поведения функции ¦r
(x
) при r®1 , отметим некоторые свойства ядра Пуассона:
а)
;
б)
; (11)
в) для любого d>0
Соотношения а) и в) сразу следуют из формулы (5), а для доказательства б) достаточно положить в (2) и (3) ¦ (х) º 1.
Теорема 1.
Для произвольной (комплекснозначной) функции
( -p, p ) , 1 £ p < ¥ , имеет место равенство
;
если же ¦ (x) непрерывна на [ -p, p ] и ¦ (-p) = ¦ (p) , то
.
Доказательство.
В силу (3) и свойства б) ядра Пуассона
. ( 12 )
Для любой функции
, пользуясь неравенством Гельдера и положительностью ядра Пуассона , находим
.
Следовательно,
.
Для данного e > 0 найдем d = d (e) такое, что
. Тогда для r , достаточно близких к единице, из свойств а)-в) мы получим оценку
.
Аналогично, второе утверждение теоремы 1 вытекает из неравенства
.
Теорема 1 доказана.
Дадим определения понятий "максимальная функция" и "оператор слабого типа", которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы.
ОпределениеI.1.
Пусть функция
, суммируема на любом интервале (a,b), a<b,
. Максимальной функцией
для функции
называется функция
,
где супремум берется по всем интервалам I , содержащим точку х.
Определение I.2.
Оператор
называется оператором слабого типа (р,р)
, если для любого y > 0
,
.
Теорема 2 (Фату).
Пусть
- комплекснозначная функция из
. Тогда
для п.в.
.
Доказательство.
Покажем, что для
и
, ( 13 )
где С - абсолютная константа , а M ( f, x )
- максимальная функция для f (x)
*)
. Для этой цели используем легко выводимую из (5) оценку
(К -
абсолютная константа).
Пусть
- такое число, что
.
Тогда для
.
Неравенство (13) доказано. Возьмем слабый тип (1,1) оператора
. Используя его, найдем такую последовательность функций
,что
,
( 14 )
для п.в.
.
Согласно (13) при xÎ (-p,p)
Учитывая , что по теореме 1
для каждого xÎ [-p, p] и (14)
из последней оценки получим
при r®1.
Теорема 2 доказана.
Замечание1.
Используя вместо (13) более сильное неравенство (59), которое мы докажем позже, можно показать, что для п.в. xÎ [-p, p]
, когда точка reit
стремится к eix
по некасательному к окружности
пути.
§I.2.Пространства Hp
.
Определение I.3.
Пространство
- совокупность аналитических в единичном круге функций F (z) , для которых конечна норма
. (15)
Пусть комплекснозначная функция
удовлетворяет условиям
(16)
тогда функция F (z) , определенная равенством
(17)
принадлежит пространству
, причем
. (18)
Действительно, аналитичность функции F (z) следует из (16) и равенства (2). Кроме того, в силу неравенства
мы имеем
(*)
С другой стороны , по теореме 1 ( а при р=¥ в силу теоремы 2)
. Отсюда
(**)
Учитывая (*) и (**) , получим (18).
Ниже мы докажем, что любую функцию
можно представить в виде (17). Для этого нам потребуется
Теорема 3.
Пусть комплекснозначная функция j (t) имеет ограниченную вариацию на [ -p,p] и
(19)
Тогда j (t) абсолютно непрерывна на [-p,p].
Замечание2.
В (19) и ниже рассматривается интеграл Лебега-Стилтьеса, построенный по комплекснозначной функции ограниченной вариации j (t) . Мы говорим, что
j (t)= u (t)+ i v (t) имеет ограниченную вариацию (абсолютно непрерывна), если обе действительные функции u (t) и v (t) имеют ограниченную вариацию (соответственно абсолютно непрерывны). При этом интеграл
определен для каждой непрерывной на [-p,p] функции f (t)
, а также если
- характеристическая функция замкнутого множества
.
Доказательство теоремы 3.
Нам достаточно проверить, что для любого замкнутого множества
,
,
(20)
Для этой цели убедимся, что справедлива
Лемма 1.
Пусть F
- замкнутое, а V
- открытое множества , причем
и
. Тогда для всякого
, существует функция
вида
, (21)
обладающая свойствами:
а)
;
б)
; (22)
в)
.
Выведем из леммы 1 оценку (20), а затем докажем саму лемму 1.
Пусть
, где
- конечная или бесконечная последовательность дополнительных интервалов множества F, и для
.
Очевидно, что
- открытое множество и
.
Рассмотрим для данных
функцию
, построенную в лемме 1 для числа e и множества
. Тогда нетрудно проверить[3], что если
, а
, то разность
. (23)
Но в силу (19) и равномерной сходимости ряда (21) (так как ряд Фурье бесконечно дифференцируемой функции сходится равномерно)
,
и мы получаем равенство (20).
Перейдем к доказательству леммы 1. Нам понадобится
ОпределениеI.4.
Средние Фейера - это средние вида
, где
,
,
- ядро Дирихле,
,
- ядро Фейера.
Отметим, что при
ядро Фейера обладает следующими свойствами: а)
,
; б) ,
Мз которых вытекает, что для
и
,
Также известно [3], что средние Фейера
равномерно сходятся к
.
Пусть f(t) - непрерывная на [-p, p] функция, для которой
и
Так как средние Фейера
равномерно сходятся к
и
, то существует тригонометрический полином
(24)
такой, что
(25)
Пусть
. Рассмотрим для каждого d>0 такую функцию
, что
,
(функцию
можно построить следующим образом: взять замкнутое множество
с мерой
, достаточно близкой к 2p, и положить
).
Так как
(здесь число m то же, что в (24)), то для достаточно малых d>0 функция
удовлетворяет соотношениям
(26)
При этом
, если
. Тогда средние Фейера
функции h(t) имеют вид
и при достаточно большом N
(27)
Положим
,
(28)
Так как h(t) - действительная функция, то
, n=0,±1,±2,¼. Поэтому
и
. (29)
Определим искомую функцию g(t) :
Ясно, что
, а из (24) и (28) следует, что
при n<0, т.е.
(30)
В силу соотношений (25), (27) и (29) для
,
а для
.
Наконец, для любого
.
Таким образом, функция g(t) обладает всеми нужными свойствами (22). Лемма1 , а вместе с ней и теорема 3 доказаны.
Теорема 4.
Пусть функция
. Тогда для п.в.
существует предел
(31)
При этом
1)
,
,
;
2)
;
3)
.
Доказательство:
Нам достаточно доказать, что для каждой функции
найдется функция
такая, что имеет место 1). Действительно, если
, то тем более
и из 1) и теоремы 2 вытекает справедливость равенства (31) для п.в.
. При этом
и по теореме 1
. Наконец, из 1) следует, что
а тогда
.
Пусть
. Для построения искомой функции
положим
,
,
.
Функции
,
, имеют равномерно ограниченную по r вариацию на
:
.
Следовательно, по теореме Хелли [2] найдутся функция ограниченной вариации
и последовательность
, такие, что
в каждой точке
и
(32)
для любой функции
. При этом для n=1,2,...
(мы учли аналитичность функции F(z) в единичном круге) и , следовательно, по теореме 3
абсолютно непрерывна : существует функция
, для которой
,
Тогда
,
(33)
Зафиксируем число
. Функция
, аналитична в круге
, поэтому согласно утверждению 1
,
.
В пределе при
из последнего равенства вытекает, что
,
,
.
Равенство 1) , а вместе с ним и теорема 4 доказаны.
§I.3.Пространства
и
.
Обозначим через
класс тех функций
,
, которые являются граничными значениями функций из
, т.е. представимы в виде
для п.в.
,
.
В силу пунктов 3) и 2) теоремы 4
и каждая функция
удовлетворяет условию (16). С другой стороны, выше мы доказали, что для произвольной
с условием (16) интеграл Пуассона (17) определяет функцию из
. Следовательно,
. (34)
Из (34) вытекает, что
(замкнутое) - подпространство пространства
, а
- банахово пространство с нормой (15).
Пусть
. Положим
,
, (35)
ОпределениеI.5.
Если функция
, то сопряженной к ней функцией называется функция
,
,
где интеграл понимается в смысле главного значения, т.е. как предел при
интегралов
.
В дальнейшем нам понадобится
Утверждение2.
Для любой функции
сопряженная функция
существует и конечна п.в. на
; при этом
а)
, y>0;
б) если
,
, то
и .
Теорема 5.
Следующие условия эквивалентны
:
а)
;
б)
,
,
, ;
в)
;
г)
, где
- такая действительная функция, что ее сопряженная
также принадлежит пространству :
. (36)
Доказательство:
Эквивалентность условий а) и б) непосредственно вытекает из (34), а эквивалентность условий а) и в) - из теорем 4 и 2.
Докажем, что из г) следует б). Для этого достаточно проверить, что в случае, когда функция и ее сопряженная суммируемы :
, имеют место равенства
,
(37)
Непосредственный подсчет по формуле (36) показывает, что
,
,
,
. Следовательно, равенства (37) выполняются, если
- произвольный тригонометрический полином.
Пусть
фиксировано. Для произвольной функции
и
положим
,
,
где
,
,
.
Покажем, что равенство (37) для фиксированного нами номера n вытекает из следующих свойств функций
(наличие этих свойств мы установим ниже):
1)
,
,
;
2) при
функции
,
, сходятся по мере к
;
3)
,
,
,
где С - абсолютная константа.
Итак, предположим, что имеют место соотношения 1) - 3).
Легко видеть, что
, где
, поэтому из 2) вытекает сходимость по мере последовательности функций
,:
по мере
. (38)
Для произвольного
найдем тригонометрический полином
такой, что
,
. (39)
Тогда согласно 3)
(40)
и при
. (41)
Так как
- полином, то
и
. (42)
Учитывая, что
, и пользуясь оценками (40)-(42), мы находим
,
,
что вместе с (38) доказывает равенство (37).
Докажем теперь, что для произвольной функции
справедливы соотношения 1)-3). Оценка 1) сразу следует из неравенства Чебышева, так как
.
Чтобы доказать 2), фиксируем произвольное
и представим функцию
в виде
,
,
. (43)
Из непрерывности функции
легко следует, что
равномерно по
. Поэтому при достаточно больших
с учетом (43) мы будем иметь
,
(44)
Кроме того, в силу 1) и (43)
;
из этого неравенства и (44) вытекает, что при
.
Для доказательства оценки 3) заметим, что
,
где
. Применяя неравенство а) утверждения 2 для функции
и учитывая, что
, получим 3).
Свойства 1)-3) доказаны. Тем самым установлено, что из условия г) в теореме 5 следует б). Для завершения доказательства теоремы 5 достаточно показать, что из в) вытекает г).
Пусть
(
,
,
) и
. Тогда по теореме 4
,
и надо доказать только, что
для п.в. .
Так как ядро Пуассона - действительная функция, мы можем утверждать, что при
и
,
.
С другой стороны, из 2), 8) и (37) вытекает, что для любого
,
,
. (45)
Согласно теореме 1
. (46)
Кроме того, в силу утверждения 2, из сходимости
(
) следует сходимость по мере функций
к
. Таким образом,
по мере (
),
а потому , учитывая (46),
для п.в.
.
Теорема 5 доказана.
Следствие 1.
а) Если
, то
;
б) если
и
, то
;
в) если
,
,
,
, то
. (47)
Доказательство.
Соотношения а) и б) сразу следуют из эквивалентности условий а) и г) в теореме 5.
Чтобы получить в), положим
,
.
Согласно теореме 5
,
, а следовательно,
. Но тогда (для п.в.
)
, и из определения класса
мы получим, что
. (48)
Из (48) непосредственно вытекает равенство (47).
Замечание 3.
Если
, то в силу п. г) теоремы 5 и утверждения 2 пространство
совпадает с
. Для р=1 это не так. Пространство
уже, чем
, и состоит согласно п. г) теоремы 5 из функций
, для которых и .
- банахово пространство с нормой
. (49)
Полнота
с нормой (49) следует из утверждения 2 и полноты пространства
: если
при
, то
,
,
, и так как
по мере при
, то
и
при .
Замечание 4.
Согласно замечанию 3 равенство (47) выполняется, в частности, в случае, когда
,
,
, .
Отметим также, что, взяв в (47) вместо
функцию
и учитывая б), мы получим
, если
. (50)
§I.4.Произведение Бляшке,
нетангенциальная максимальная функция.
Пусть последовательность ненулевых комплексных чисел (не обязательно различных) -
удовлетворяет условию
,
,
. (51)
Рассмотрим произведение(произведение Бляшке)
. (52)
Для фиксированного
,
, при
имеет место оценка
. (53)
Так как ряд (51) сходится, то из (53) легко вывести, что произведение (52) сходится абсолютно и равномерно в круге
, т.е. функция
аналитична в единичном круге и имеет нули в точках
,
, и только в этих точках. При этом, пользуясь неравенством
(
,
), мы находим
,
. (54)
Допустим теперь, что
(
) - нули некоторой функции
с
, причем каждый из них повторяется со своей кратностью. Докажем, что ряд (51) сходится. Положим
,
Функция
(
) аналитична в круге радиуса больше единицы, и
, если
. Следовательно,
и согласно п.3 теоремы 4
. Но тогда
и
,
(55)
Так как
,
, то из (55) вытекает сходимость произведения
, а значит, и сходимость ряда (51).
ОпределениеI.6.
Пусть
- аналитическая в круге
функция и
,
(
) - ее нули, повторяющиеся со своей кратностью. Пусть также
- кратность нуля функции
при
. Произведение
(56)
называется произведением Бляшке функции
.
Справедлива
Теорема 6.
Каждая функция
представима в виде
,
где
не имеет нулей в круге
и
,
,
а
- произведение Бляшке функции
.
Доказательство.
Пусть
,
(
) - нули функции
( или, что то же самое, нули функции
) Тогда, как отмечалось выше,
- аналитическая в круге
функция и
,
. (57)
При этом функция
также аналитична в единичном круге, не имеет в нем нулей и
.
Для доказательства обратного неравенства рассмотрим частные произведения (56):
,
,
.
Так как
для любого
, то по теореме 4
и
, если
.
Устремив в последнем неравенстве число m к бесконечности и учитывая, что
(
) равномерно по
, мы получим
,
,
т.е.
,
.
Теорема 6 доказана.
ОпределениеI.7.
Пусть
,
, - произвольное число. Обозначим через
,
, область, ограниченную двумя касательными, проведенными из точки
к окружности
, и наибольшей из дуг окружности, заключенных между точками касания ( при
вырождается в радиус единичного круга). Для положим
,
,
где
- интеграл Пуассона функции
. Функция
называется нетангенциальной максимальной функцией для .
В силу теоремы 2
для п.в.
. (58)
Установим, что для произвольной функции
величина
не превосходит (по порядку) значения максимальной функции
*)
в точке х, т.е.
,
. (59)
Нам понадобится
утверждение 3.
а) если функция
, то для любого
;
б) если функция
,
то
,
где
- постоянная, зависящая только от числа р.
Пусть
и
. По определению интеграла Пуассона
Положим
. Тогда будем иметь
и, в силу неравенства
,
, и периодичности
,
. (60)
Так как обе функции
и
положительны при
и отрицательны при
( из (5)), то, предполагая без ограничения общности, что
, мы получим
. (61)
Для
имеют место оценки
,
.
Следовательно, для доказательства неравенства (59) достаточно проверить, что
при
, (62)
если
. Пусть
, тогда
.
В остальных случаях неравенство (62) очевидно. Из (58), (59) и утверждения 3 вытекает, что для любой функции
,
,
, (63)
где
- постоянная, зависящая только от
.
Теорема 7.
Пусть
(
),
и
,
.
Тогда
и
. (64)
Доказательство.
Утверждение теоремы 7 в случае, когда
, есть прямое следствие оценки (63) и теоремы 4. Пусть теперь
. По теореме 6
, где
,
, если
и
. Из функции
можно извлечь корень: существует функция
такая, что
, и, следовательно из (64) при р=2, получим
.
Оценка снизу для
вытекает из (58).
Теорема 7 доказана.
Глава II. Атомические разложения функции
в пространстве
, пространство ВМО.
§II.1.Пространство
, критерий принадлежности функции из
пространству
.
Рассмотрим
(
) - пространство функций
, являющихся граничными значениями действительных частей функций из пространства :
для п.в.
,
. (65)
Ранее мы доказали, что
,
, (66)
и что
- банахово пространство с нормой
; (67)
при этом, если в (65)
, то
(
) . (68)
В замечании 3 уже говорилось о том, что при
пространство
совпадает с пространством
и из утверждения 2 следует, что
(
).
Последнее соотношение теряет силу при
- нетрудно проверить, что при
,
где
и, следовательно, существует функция
, для которой
. Таким образом,
- собственное подпространство в
. Ниже мы дадим критерий принадлежности функций к пространству .
ОпределениеII. 8.
Множество
мы будем называть обобщенным интервалом, если
- дуга на единичной окружности, т.е.
- либо интервал из
, либо множество вида
(
). (69)
Точку
назовем центром обобщенного интервала
, если
- центр дуги
. Длиной обобщенного интервала
естественно назвать величину
Определение II.9.
Действительную функцию
назовем атомом, если существует обобщенный интервал
такой, что
а)
;
б)
;
в)
.
Атомом назовем также функцию
,
.
Теорема 8.
Для того, чтобы выполнялось включение:
, необходимо и достаточно, чтобы функция
допускала представление в виде
*)
,
, (70)
где
,
, - атомы. При этом
, (71)
где inf берется по всем разложениям вида (70) функции
, а с и С
- абсолютные константы.
Доказательство.
Достаточность.
Пусть для функции
нашлось разложение вида (70). Покажем, что
и
. Для этого достаточно проверить, что для любого атома
имеет место неравенство
. (72)
Пусть
- такой обобщенный интервал, что
,
,
(73)
(случай
тривиален). Так как
, то нам остается доказать, что
. (74)
Для любого измеримого множества
, применяя неравенство Коши и пользуясь утверждением 2 и соотношениями (73), мы находим
, (75)
откуда сразу вытекает (74), в случае, когда
.
Допустим теперь, что
, и обозначим через
обобщенный интервал длины
с тем же центром, что и
. Из (75) следует, что
.
Нам остается оценить интеграл
. Мы воспользуемся очевидным неравенством
,
,
где
- длина наименьшей из двух дуг единичной окружности, соединяющих точки
и
, а
- абсолютная постоянная. В силу (73) при
мы имеем
где
- центр обобщенного интервала
. Из последнего соотношения, учитывая, что
и
, мы находим
,
, где
.
Следовательно,
.
Оценка (74), а потому и оценка (72) доказаны.
Необходимость.
Построим для данной функции
разложение (70), для которого
.
Пусть функция
с
такова, что выполнено соотношение (65), и пусть
(
) - нетангенциальная максимальная функция для
, т.е.
,
, (75')
где
- область, ограниченная двумя касательными, проведенными из точки
к окружности
, и наибольшей дугой окружности
, заключенной между точками касания.
Теорема 7 утверждает, что
, поэтому нам достаточно найти такое разложение функции
на атомы (70), что
, (76)
где постоянные С и
(
) не зависят от
. Для построения разложения (70) с условием (76) фиксируем число
: пусть, например,
. Не ограничивая общности, мы можем считать, что
. (77)
Рассмотрим на отрезке
множества
,
,
(78)
Так как при любом
множество точек единичной окружности
открыто, то ясно, что при
множество
(если оно непустое) представимо (единственным образом) в виде суммы непересекающихся обобщенных интервалов:
,
при
,
,
. (79)
Положим
и при
(80)
Так как
конечна для п.в.
, то из определения функций
,
, следует, что для п.в.
при
, а значит, для п.в.
.
Отсюда, учитывая, что
, а следовательно из (80),
при
, мы находим, что
, (81)
где
- характеристическая функция множества
. Из (81), учитывая, что
, мы для функции
получаем следующее разложение:
для п.в.
, (82)
где
,
,
(83)
С помощью функций
мы и построим нужное нам разложение вида (70). Прежде всего отметим, что при
,
,
. (84)
Докажем теперь, что для п.в.
,
, (85)
где постоянная
зависит только от числа
, зафиксированного нами ранее.
Так как из (65) и (75')
для п.в.
, то из (77) следует, что
.
Пусть теперь
,
- один из обобщенных интервалов в представлении (79), тогда из (77) и (78)
, и если
,
- концевые точки дуги
(
) , то
, а значит,
,
. (86)
Из неравенств (86) согласно (75') следует, что
при
. (87)
Легко видеть (учитывая, что
и
) , что множества
и
пересекаются в одной точке:
с
,
. (88)
Пусть
,
, - отрезок, соединяющий точки
и
. Так как
,
, то из непрерывности функции
при
и неравенства (87) вытекает, что
, если
,
, и
. Поэтому , учитывая (88)
,
,
,
. (89)
Рассмотрим область
, ограниченную
отрезками
и
и дугой
;
пусть, далее, для
,
,
.
|
|
По теореме Коши [5]
.
Отсюда и из (89), учитывая, что для любой дуги
справедливо равенство
,
мы получим
.
Но в силу теорем 4 и 5
,
,
и так как
,
, то мы находим, что
. (89')
Легко видеть, что отношение
ограничено сверху числом, зависящим только от s, поэтому
,
. (90)
Так как
, то из соотношений (90) и (80) вытекает, что для
,
, справедливо неравенство (85). Для п.в.
неравенство (85) сразу следует из определения функций
и множеств .
Пользуясь оценкой (85) , из (83) мы получаем, что
, а это значит, что функции
,
,
,
являются атомами. Тогда, преобразуя неравенство (82), мы получаем разложение функции
на атомы:
для п.в.
,
где
,
.
Оценим сумму модулей коэффициентов указанного разложения. Учитывая равенство (77), имеем
.
Неравенство (76), а потому и теорема 8 доказаны.
§II.2. Линейные ограниченные функционалы на
, двойственность
и ВМО.
Дадим описание пространства
, сопряженного к банахову пространству
. Нам потребуется
Определение II.10.
Пространство ВМО есть совокупность всех функций
, удовлетворяющих условию
, (91)
где
, а sup берется по всем обобщенным интервалам
.
Нетрудно убедится, что ВМО является банаховым пространством с нормой
. (92)
Ясно, что
. В то же время ВМО содержит и неограниченные функции. Нетрудно проверить, например, что функция
.
Теорема 9.
, т.е.
а) если
, и для произвольной функции
рассмотреть ее разложение на атомы (по теореме 8):
,
,
,
- атомы
*)
(93)
и положить
, (94)
то сумма
ряда (94) конечна, не зависит от выбора разложения (93) и задает ограниченный линейный функционал на
;
б) произвольный ограниченный линейный функционал
на
представим в виде (94), где
. При этом
(С, С1
- абсолютные постоянные).
Лемма 2.
Пусть функция
такова, что для любого обобщенного интервала
найдется постоянная
, для которой
,
где М не зависит от
. Тогда
и
.
Доказательство.
Для любого обобщенного интервала
мы имеем
,
откуда согласно (91) получаем утверждение Леммы 2.
Следствие 2.
Если
, то
и
. (95)
Следствие 2 непосредственно вытекает из леммы 2, если учесть, что
для произвольного обобщенного интервала
.
Доказательство теоремы 9.
а) Пусть
. Положим
Так как всегда
, то, учитывая равенства
,
,
,
мы с помощью следствия 2 находим
,
(96)
Допустим, что
( по утверждению 2 и (66)). По теореме 8 существует разложение
,
, (97)
где функции
являются атомами и
, и при
,
,
. (98)
Из соотношений (96), (97) и (98) вытекает, что при
.
Отсюда, учитывая, что функции
,
, по модулю не превосходят суммируемой функции
и для п.в.
, мы получим, что
.
Таким образом, равенством
,
, (99)
определяется ограниченный линейный функционал на всюду плотном в
линейном многообразии (плотность функций из
в
вытекает из теоремы 8, так как для всякой функции
частные суммы разложения (70) сходятся к
по норме
, и, очевидно, принадлежат пространству
). Поэтому функционал
можно единственным образом продолжить на все пространство :
,
. (100)
Остается доказать, что для любого разложения вида (93) функции
ряд (94) сходится и его сумма равна
. Последнее сразу следует из (99) и сходимости ряда (93), по норме
к :
.
б) Пусть L - произвольный ограниченный линейный функционал на
. Тогда из теоремы 4.1 и (67) для любой функции
(С - абсолютная постоянная). Это значит, что L - ограниченный линейный функционал на
, а следовательно, найдется функция
с
, (101)
для которой
,
. (102)
В частности, равенство (102) выполняется, если
- произвольный атом. Докажем, что
. (103)
Пусть I - произвольный обобщенный интервал,
- произвольная функция с
. Тогда функция
,
,
является атомом и в силу теоремы 8
. Поэтому
.
Подбирая в последнем неравенстве функцию
оптимальным образом, мы получим, что для любого обобщенного интервала I
,
что с учетом соотношения
доказывает оценку (103).
Таким образом, для
значение функционала
совпадает со значением ограниченного линейного функционала
на элементе
(см. (99) и уже доказанное утверждение а) теоремы 9). Так как пространство
плотно в
, то, следовательно,
для любой функции
.
Полученное равенство завершает доказательство теоремы 9.
Литература
1. Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды — М.: Наука, 1984.—495с.
2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа — М.: Наука, 1989. — 623с.
3. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа — М.: Наука, 1988. —815с.
4. Бари Н.К. Тригонометрические ряды —М.: Гос. издательство физико-математической литературы, 1961. —936с.
5. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций - М.: Наука, 1978. — 415с.
6. Дж.Гарнетт Ограниченные аналитические функции — М.: Мир, 1984. - 469с.
7. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа — М.: Наука, 1964.—т.2,—463с.
8. Вартанян Г.М. Аппроксимативные свойства и двойственность некоторых функциональных пространств — Одесса, 1990 —111с.
*)
Мы считаем , что f (x) = 0
, если |x
| > p .
*)
Так как функция определялась для функций , заданных на , то мы дополнительно полагаем , если ; при и при .
*)
В силу условий а) и в) в определении 9 , , поэтому ряд (70) сходится по норме пространства и п.в.
*)
Возможен случай, когда при .
|