Функціональне відображення поведінки споживача
1. Геометричне подання зміни попиту при зміні доходу й цін
Припустимо змінюється доход (
). Його збільшення або зменшення еквівалентно паралельному зсуву бюджетної прямої. Зі зміною доходу змінюється й попит на товари. На кожній бюджетній прямій можна знайти точку рівноваги, в якій забезпечується максимум функції корисності
. Нехай цими точками є точки
,
,
,
на рис. 1. З'єднавши їх, одержимо криву
. Така крива називається кривою доход-споживання, або кривою Енгеля. На рис. 1. крива Енгеля відображує зміну попиту споживача (при зростанні його доходу) у випадку, коли жоден з товарів не є малоцінним. За умови, що 1 – малоцінний, а 2 – цінний товари, крива Енгеля приймає вигляд, зображений на рис. 2.
Рисунок 1. Рисунок 2
Припустимо, що змінюється ціна товару 1. Установимо, як змінюється попит на товари 1 і 2. Розглянемо бюджетну пряму (рис. 2)
.
Нехай
зменшується. Тоді точка
переходить у точку
, а точка
– у точку
– нову точку рівноваги, в якій споживачеві забезпечується новий максимум функції корисності
. Зменшимо ціну
. Тоді точка
переміститься в точку
, а точка
займе положення точки
й т.д. З'єднавши точки
,
,
,
,
одержимо криву ціни-споживання (або криву цін) як геометричне місце точок, які характеризують зміну попиту двох товарів при зміні ціни
. На відміну від лінії доход-споживання, що виходить із початку координат, лінія ціна-споживання починається в точці .
Рисунок 3
Проаналізуємо більш детально процес переходу з точки
в точку
при зміні ціни
(рис. 4). Позначимо вихідну бюджетну лінію через
, а змінену – через
. Проведемо пряму
паралельно прямій лінії цін
так, щоб вона мала точку дотику з кривою байдужності 1. Нехай точкою дотику буде точка
. Як у точці
, так й у точці
споживачеві забезпечується один і той самий рівень корисності, оскільки ці точки належать одній кривій байдужності. Перехід із точки
в
розглянемо поетапно: спочатку з
в точку
, потім із точки
у точку
. Перехід з А в точку В не супроводжується зміною корисності. Ціна першого товару знизилася, тому попит на нього зменшився – відбулася заміна одного товару іншим, що відповідає ефекту заміни. Перехід із точки
у точку
відповідає ефекту доходу й обумовлений зміною реального доходу при зміні цін.
Рисунок 4
2 Аналіз математичної моделі поведінки споживача. Функція попиту споживача
При будь-яких додатних цінах
і доході
розв’язок задачі поведінку споживача, існує й єдиний.
Очевидно, що цей розв’язок залежить від
і
, тобто вибір споживача є функцією, що залежить від цін і доходу. Ця функція називається функцією попиту
або в розгорнутому вигляді:
.
Цей запис означає, що при цінах
і доході
вибирається споживчих благ у кількостях
.
Основною властивістю функції попиту є її однорідність щодо всіх цін і доходу, тобто значення попиту інваріантні відносно пропорційних змін
й
:
, де
.
Ця властивість виражає той факт, що вибір споживача залежить тільки від співвідношення цін на товари, а не від масштабу цін.
Аналіз моделі поведінки споживача полягає у вивченні чутливості розв’язку до зміни її параметрів
і
. Цей підхід у математичній економіці називається методом порівняльної статистики.
Розглянемо задачу, в якій рівняння являють собою
умови першого порядку й можуть бути розв’язані відносно оптимальних кількостей усіх продуктів
і оптимального множника Лагранжа
, тобто розв’язок подається у вигляді функції попиту
та функції попиту та доходу
. Поставимо
й в
або в розгорнутому вигляді
(1)
Позначимо
і
.
Отже перейдемо до аналізу математичної моделі поведінки споживача відносно зміни її параметрів
і
:
1. Розглянемо вплив зміни доходу
на розв’язок задачі споживання. Для цього продиференцюємо (1) по
, тоді одержимо
(2)
де
і
відображають ступінь чутливості стосовно зміни
.
Позначимо
, тоді в матричному позначенні рівняння (2) матимуть такий вигляд:
,
де матриця коефіцієнтів є матрицею Гессе, що облямована цінами, тобто
, де
– вектор-рядок.
Припустимо, що
. Розв’язок (2) знайдемо за методом Крамера. При фіксованому значенні
одержимо
де
– алгебраїчні доповнення елементів
,
відповідно.
Якщо
, то
-й товар називається коштовним (цінним), при збільшенні доходу попит на цей товар також збільшується. На випадок, коли
-й товар називається малоцінним.
2. Розглянемо вплив зміни ціни одного товару, наприклад
, на поведінку споживача. Диференціюючи (1) по
, одержимо:
(3)
де
– дельта Кронекера
. Запишемо систему (3) у такому вигляді:
.
Якщо матриця коефіцієнтів невироджена, тобто
, тоді маємо при фіксованому
такий розв’язок, який називають рівнянням Слуцького
(4)
Рівняння (4) є основним рівнянням у теорії цінності. Вираз
називається коефіцієнтом Слуцького. З рівняння Слуцького випливає, що при змінюванні ціни на
-й товар зміна попиту на
-й товар наведена двома доданками, перший одержав назву ефекту заміни, другий – ефекту доходу. Отже: « Загальний ефект = вплив заміни + вплив доходу». Наприклад, при зниженні ціни на
-й товар відбувається зростання доходу (ефект доходу), але він іде не повністю на закупівлю
-го товару – частина його витрачається на закупівлю інших товарів (ефект заміни).
Нехай розв’язок (4) справедливий для всіх
та
таких, що
, тоді матриця
розміром
симетрична й від’ємно визначена, тобто .
Можна встановити властивості цієї матриці.
Діагональні елементи виражають чистий ефект заміщення, тобто визначають зміну
, яка є результатом варіації ціни
, за умови, що доход підтримується на такому рівні, що значення
залишається незмінним.
При
товари
та
прийнято вважати взаємозамінюючими, при
– взаємодоповнюючими, а при
– незалежними.
3 Коефіцієнт еластичності
Коефіцієнтом еластичності функції одного аргументу
називається величина, отримана в результаті ділення відносного приросту функції на відносний приріст аргументу. Позначаючи еластичність через
, маємо за означенням
,
де
– приріст аргументу;
– викликаний ним приріст функції.
Звичайно праву частину помножують і ділять на 100% та говорять, що коефіцієнт еластичності показує, на скільки відсотків змінюється значення функції при зміні аргументу на 1%.
При
маємо
.
Якщо функція
є функцією декількох аргументів, то говорять про часткові коефіцієнти еластичності
.
Функція попиту
є векторною функцією, її можна розглядати як сукупність
функцій попиту на окремі товари
, кожна з яких є функцією від
змінної. Отже, для кожної з цих функцій існує
частковий коефіцієнт еластичності.
Залежно від типу аргументу розрізняють коефіцієнти еластичності за цінами й доходом.
Величини
, що показують, на скільки відсотків зміниться попит на
-й товар у розрахунку зміни ціни
-го товару на 1%, називають коефіцієнтами еластичності за цінами (якщо
– то перехресними коефіцієнтами).
Показники
, що характеризують аналогічно зміну попиту від доходу, називаються еластичністю за доходом.
4 Алгоритми розв’язання задачі споживання
Умови Куна-Такера дають повну характеристику розв’язку, однак не містять конструктивного методу його пошуку. Одними з алгоритмів розв’язання задачі нелінійного програмування (ЗНП) є градієнтні методи.
Процес знаходження розв’язку ЗНП градієнтними методами полягає в тому, що, починаючи з деякої точки
, здійснюється послідовний перехід до деяких інших точок, поки не буде знайдений прийнятний розв’язок задачі. При цьому градієнтні методи розділяють на два класи.
До першого класу відносять методи, в яких точки
, що досліджуються, не виходять за межі області припустимих розв’язків задачі. Найпоширенішим з таких є метод Франка-Вульфа.
До другого класу методів відносять методи, під час використання яких досліджувані точки
можуть як належати, так і не належати області припустимих значень (метод Ероу-Гурвіца, метод штрафних функцій).
Під час знаходження розв’язку задачі градієнтними методами ітераційний процес здійснюється до того моменту, поки градієнт функції в черговій точці
не стане дорівнювати нулю або ж поки
,
де
– достатньо мале позитивне число, що характеризує точність отриманого розв’язку.
Для чисельного розв’язування задачі споживача використовуватимемо метод Франка-Вульфа.
Нехай потрібно знайти максимальне значення функції корисності
за умови
.
Характерною рисою даного методу є те, що обмеженням в задачі є лінійна нерівність. Ця особливість є основною для заміни нелінійної цільової функції лінійною поблизу досліджуваної точки, завдяки чому розв’язування задачі зводиться до послідовного розв’язання задач лінійного програмування.
Наприкінці першого розділу наведемо алгоритм методу Франка-Вульфа:
1. Процес знаходження розв’язку задачі починається з визначення точки, що належить області припустимих розв’язків задачі.
2. Знайдемо градієнт цільової функції в точці
.
3. Побудуємо лінійну функцію
.
4. Знайдемо максимум
при обмеженні
, тобто розв’яжемо задачу лінійного програмування (ЗЛП), звідки визначимо вектор
, що доставляє максимум .
5. Визначимо значення оптимального кроку обчислення
за формулою
.
6. Обчислимо компоненти нового припустимого розв’язку за формулою
.
7. Знайдемо значення
,
.
8. Порівняємо отримані
,
з точністю
. Якщо
, тоді
і алгоритм переходить до пункту 2, якщо
, тоді отримано оптимальний розв’язок задачі
і
|