1.Основные свойств и упрощённые способы исчисления средних величин
1.Основные свойства и упрощённые способы исчисления средних величин
Понятие средней величины. Область применения средних величин в статистическом исследовании
Средние величины используются на этапе обработки и обобщения полученных первичных статистических данных. Потребность определения средних величин связана с тем, что у различных единиц исследуемых совокупностей индивидуальные значения одного и того же признака, как правило, неодинаковы.
Средней величиной называют показатель, который характеризует обобщенное значение признака или группы признаков в исследуемой совокупности.
Если исследуется совокупность с качественно однородными признаками, то средняя величина выступает здесь как
типическая средняя. Например, для групп работников определенной отрасли с фиксированным уровнем дохода определяется типическая средняя расходов на предметы первой необходимости, т.е. типическая средняя обобщает качественно однородные значения признака в данной совокупности, каковым является доля расходов у работников данной группы на товары первой необходимости.
При исследовании совокупности с качественно разнородными признаками на первый план может выступить нетипичность средних показателей. Такими, к примеру, являются средние показатели произведенного национального дохода на душу населения (разные возрастные группы), средние показатели урожайности зерновых культур по всей территории России (районы разных климатических зон и разных зерновых культур), средние показатели рождаемости населения по всем регионам страны, средние температуры за определенный период и т.д. Здесь средние величины обобщают качественно разнородные значения признаков или системных пространственных совокупностей (международное сообщество, континент, государство, регион, район и т.д.) или динамических совокупностей, протяженных во времени (век, десятилетие, год, сезон и т.д.). Такие средние величины называют
системными средними
.
Таким образом, значение средних величин состоит в их обобщающей функции. Средняя величина заменяет большое число индивидуальных значений признака, обнаруживая общие свойства, присущие всем единицам совокупности. Это, в свою очередь, позволяет избежать случайных причин и выявить общие закономерности, обусловленные общими причинами.
Виды средних величин и методы их расчета
На этапе статистической обработки могут быть поставлены самые различные задачи исследования, для решения которых нужно выбрать соответствующую среднюю. При этом необходимо руководствоваться следующим правилом: величины, которые представляют собой числитель и знаменатель средней, должны быть логически связаны между собой.
Первая категория степенных средних включает:
среднюю арифметическую,
среднюю гармоническую,
среднюю квадратическую и
среднюю геометрическую.
Введем следующие условные обозначения:
- величины, для которых исчисляется средняя;
- средняя, где черта сверху свидетельствует о том, что имеет место осреднение индивидуальных значений;
- частота (повторяемость индивидуальных значений признака).
Различные средние выводятся из общей формулы степенной средней:
при k = 1 - средняя арифметическая; k = -1 - средняя гармоническая; k = 0 - средняя геометрическая; k = -2 - средняя квадратическая.
Средние величины бывают простые и взвешенные.
Взвешенными средними
называют величины, которые учитывают, что некоторые варианты значений признака могут иметь различную численность, в связи с чем, каждый вариант приходится умножать на эту численность. Иными словами, «весами» выступают числа единиц совокупности в разных группах, т.е. каждый вариант «взвешивают» по своей частоте. Частоту f называют
статистическим весом или весом средней.
Средняя арифметическая
- самый распространенный вид средней. Она используется, когда расчет осуществляется по несгруппированным статистическим данным, где нужно получить среднее слагаемое. Средняя арифметическая - это такое среднее значение признака, при получении которого сохраняется неизменным общий объем признака в совокупности.
Формула средней арифметической (простой) имеет вид
где n - численность совокупности.
Например, средняя заработная плата работников предприятия вычисляется как средняя арифметическая:
Определяющими показателями здесь являются заработная плата каждого работника и число работников предприятия. При вычислении средней общая сумма заработной платы осталась прежней, но распределенной как бы между всеми работниками поровну. К примеру, необходимо вычислить среднюю заработную плату работников небольшой фирмы, где заняты 8 человек:
При расчете средних величин отдельные значения признака, который усредняется, могут повторяться, поэтому расчет средней величины производится по сгруппированным данным. В этом случае речь идет об использовании средней арифметической взвешенной, которая имеет вид
Так, нам необходимо рассчитать средний курс акций какого-то акционерного общества на торгах фондовой биржи. Известно, что сделки осуществлялись в течение 5 дней (5 сделок), количество проданных акций по курсу продаж распределилось следующим образом:
1 - 800 ак. - 1010 руб.
2 - 650 ак. - 990 руб.
3 - 700 ак. - 1015 руб.
4 - 550 ак. - 900 руб.
5 - 850 ак. - 1150 руб.
Исходным соотношением для определения среднего курса стоимости акций является отношение общей суммы сделок (ОСС) к количеству проданных акций (КПА):
ОСС = 1010 ·800+990·650+1015·700+900·550+1150·850= 3 634 500;
КПА = 800+650+700+550+850=3550.
В этом случае средний курс стоимости акций был равен
Необходимо знать свойства арифметической средней, что очень важно как для ее использования, так и при ее расчете. Можно выделить три основных свойства, которые наиболее всего обусловили широкое применение арифметической средней в статистико-экономических расчетах.
Свойство первое (нулевое): сумма положительных отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения равна сумме отрицательных отклонений. Это очень важное свойство, поскольку оно показывает, что любые отклонения (как с +, так и с -), вызванные случайными причинами, взаимно будут погашены.
Доказательство:
Свойство второе (минимальное): сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем от любого другого числа (а), т.е. есть число минимальное.
Доказательство.
Составим сумму квадратов отклонений от переменной а:
Чтобы найти экстремум этой функции, необходимо ее производную по «а» приравнять нулю:
Отсюда получаем:
Следовательно, экстремум суммы квадратов отклонений достигается при
. Этот экстремум - минимум, так как функция не может иметь максимума.
Свойство третье: средняя арифметическая постоянной величины равна этой постоянной:
при а = const.
Кроме этих трех важнейших свойств средней арифметической существуют так называемые расчетные свойства, которые постепенно теряют свою значимость в связи с использованием электронно-вычислительной техники:
- если индивидуальное значение признака каждой единицы умножить или разделить на постоянное число, то средняя арифметическая увеличится или уменьшится во столько же раз;
- средняя арифметическая не изменится, если вес (частоту) каждого значения признака разделить на постоянное число;
- если индивидуальные значения признака каждой единицы уменьшить или увеличить на одну и ту же величину, то средняя арифметическая уменьшится или увеличится на ту же самую величину.
Средняя гармоническая
. Эту среднюю называют обратной средней арифметической, поскольку эта величина используется при k = -1.
Простая средняя гармоническая используется тогда, когда веса значений признака одинаковы. Ее формулу можно вывести из базовой формулы, подставив k = -1:
К примеру, нам нужно вычислить среднюю скорость двух автомашин, прошедших один и тот же путь, но с разной скоростью: первая - со скоростью 100 км/ч, вторая - 90 км/ч. Применяя метод средней гармонической, мы вычисляем среднюю скорость:
В статистической практике чаще используется
гармоническая взвешенная, формула которой имеет вид
Данная формула используется в тех случаях, когда веса (или объемы явлений) по каждому признаку не равны. В исходном соотношении для расчета средней известен числитель, но неизвестен знаменатель.
Например, при расчете средней цены мы должны пользоваться отношением суммы реализации к количеству реализованных единиц. Нам не известно количество реализованных единиц (речь идет о разных товарах), но известны суммы реализаций этих различных товаров. Допустим, необходимо узнать среднюю цену реализованных товаров:
Вид товара
|
Цена за единицу, руб.
|
Сумма реализаций, руб.
|
а
|
50
|
500
|
б
|
40
|
600
|
с
|
60
|
1200
|
Получаем
Если здесь использовать формулу средней арифметической, то можно получить среднюю цену, которая будет нереальна:
Средняя геометрическая
. Чаще всего средняя геометрическая находит свое применение при определении средних темпов роста (средних коэффициентов роста), когда индивидуальные значения признака представлены в виде относительных величин. Она используется также, если необходимо найти среднюю между минимальным и максимальным значениями признака (например, между 100 и 1000000). Существуют формулы для простой и взвешенной средней геометрической.
Для
простой средней геометрической
Для
взвешенной средней геометрической
Средняя квадратическая величина
. Основной сферой ее применения является измерение вариации признака в совокупности (расчет среднего квадратического отклонения).
Формула
простой средней квадратической
Формула
взвешенной средней квадратической
В итоге можно сказать, что от правильного выбора вида средней величины в каждом конкретном случае зависит успешное решение задач статистического исследования. Выбор средней предполагает такую последовательность:
а) установление обобщающего показателя совокупности;
б) определение для данного обобщающего показателя математического соотношения величин;
в) замена индивидуальных значений средними величинами;
г) расчет средней с помощью соответствующего уравнения.
2. Задача
Численность официально зарегистрированных безработных в области характеризуется по следующим данным
|
оба пола
|
в том числе
|
мужчин
|
женщин
|
число безработных всего
|
20,6
|
6,4
|
14,2
|
городское население
|
16,5
|
5,2
|
11,3
|
сельское население
|
4,1
|
1,2
|
2,9
|
определите:
а) удельный вес мужчин и женщин в общей численности безработных;
б)удельный вес городского населения в численности безработных;
в) сколько безработных города приходится на 100 безработных сельской местности;
г)сколько женщин приходится на 100 мужчин.
а)Умб
= Мб
:Об *
100,
где
Умб
– удельный вес мужчин безработных,
Мб
– мужчины безработные,
Об
– общее количество безработных.
Умб
= 6,4:20,6*
100=31,07(%);
Ужб
= Жб
:Об*
100
,
где
Ужб
– удельный вес женщин безработных,
Жб
– женщины безработные,
Ужб
= 14,2:20,6*
100=68,93(%);
б) Угб
= Гб
:Об*
100
,
где
Угб
– удельный вес городского населения безработных,
Гб
– городское население безработных,
Угб
= 16,5:20,6*
100=80,10(%);
Усб
= Сб
:Об*
100
,
где
Усб
– удельный вес сельского населения безработных,
Сб
– сельское население безработных,
Усб
= 4,1:20,6*
100=19,90(%).
в) К= Гб
: Сб*
100,
где
К – количество безработных города на 100 безработных сельской местности,
К = 16,5:4,1*
100=402,439(чел.);
г) Р= Жб
: Мб*
100
,
где
Р – количество женщин на 100 мужчин;
Р = 14,2:6,4*
100=221,875(жен)
Ответ:
а) Умб
= 31,07%; Ужб
= 68,93%; б) Угб
= 80,10%; Усб
= 19,90%; в) К = 402,439(чел.); г)Р =221,875(жен).
3. Задача
Имеются данные об обороте розничной торговли потребительского общества до и после ввода в эксплуатацию новых торговых площадей. (тыс. руб)
|
розничный товарооборот
|
1994
|
1995
|
1996
|
1997
|
1998
|
1999
|
до открытия новых магазинов
|
550
|
570
|
630
|
----
|
----
|
----
|
после открытия новых магазинов
|
----
|
----
|
780
|
820
|
910
|
925
|
Приведите ряды динамики к сопоставимому виду. Сомкните ряды.
(базисный)
годы
|
товарооборот
|
А
|
±тр
%
|
Δтр
%
|
Δтр
1%
|
1994
|
550
|
----
|
100,00
|
----
|
----
|
1995
|
570
|
20
|
103,63
|
3,63
|
5,5
|
1996
|
630
|
80
|
114,54
|
14,54
|
5,5
|
годы
|
товарооборот
|
А
|
±тр
%
|
Δтр
%
|
Δтр
1%
|
1996
|
780
|
----
|
100,00
|
----
|
----
|
1997
|
820
|
40
|
105,12
|
5,12
|
7,8
|
1998
|
910
|
130
|
116,66
|
16,66
|
7,8
|
1999
|
925
|
145
|
118,58
|
18,58
|
7,8
|
(цепной)
годы
|
товарооборот
|
А
|
±тр
%
|
Δтр
%
|
Δтр
1%
|
1994
|
550
|
----
|
100,00
|
----
|
----
|
1995
|
570
|
20
|
103,63
|
3,63
|
5,50
|
1996
|
630
|
60
|
110,52
|
10,52
|
5,70
|
годы
|
товарооборот
|
А
|
±тр
%
|
Δтр
%
|
Δтр
1%
|
1996
|
780
|
----
|
100,00
|
----
|
----
|
1997
|
820
|
40
|
105,12
|
5,12
|
7,81
|
1998
|
910
|
90
|
110,97
|
10,97
|
8,20
|
1999
|
925
|
15
|
101,64
|
1,64
|
9,14
|
4. Задача
в таблице приведены данные о реализации товаров:
товарная
группа
|
количество (кг)
|
цена за кг (руб)
|
январь
|
февраль
|
январь
|
февраль
|
картофель
|
12000
|
20000
|
5,00
|
6,50
|
морковь
|
10000
|
18000
|
7,00
|
8,00
|
свекла
|
8000
|
11000
|
5,50
|
5,50
|
Определите:
а) общий индекс физического объёма;
б) общий индекс цен;
в) общий индекс фактического товарооборота розничной торговли.
Решение.
Используемая литература:
1. Книга. Статистика учебное пособие. Толстик Н. В., Матегорина Н. М. 2000г.
2. Книга. Основы общей теории статистики. Л. И. Кожухарь 1999г.
3. Книга. Статистика Лекции. Панкратова Ю. П. 1998г.
|