Введение

1 Законы распределения случайных величин

2 Обработка информации о надежности буровых машин

2.1 Анализ статистического материала

В таблице 1 представлено распределение наработок до отказа бура.

Таблица 1 Частота наработки турбобура до отказа

t_i –наработка турбобура до отказа

n_i -частота

∑n_i =183

Построение вариационного ряда

Строим путем ранжирования

Вариационный ряд: 1,2,2,2,3,4,6,6,7,7,9,9,10,11,11,11,12,13,13,14,14,14, 15,15,17,17,18,18,19,19,19,20,21,21,22,24,25,25,25,25,25,25,26,26,27,28,28,28,29, 30,31,31,33,34,34,34,34,35,36,36,36,37,39,39,39,39,40,41,42,42,44,44,44,44,44,44,44,44,44,44,45,46,36,47,48,49,49,50,50,50,50,50,52,52,53,54,54,54,56,57,57,57,57,57,58,58,58,58,59,59,59,49,60,62,62,63,63,63,63,64,64,65,65,66,66,67,67,69,70,70,71,72,73,73,73,73,74,74,75,76,76,76,77,78,79,80,80,82,82,82,83,83,84,84,85,87,88,88,88,89,90,91,91,92,92,92,93,93,94,94,95,97,97,97,98,98,99,102,103,104,109,110,115,133,136.

2.2 Построение статистического ряда

Для облегчения расчетов при числе информации n > 25 статистический материал обычно представляется в виде статистического ряда.

Число интервалов ряда принимается равным

Рекомендуется принимать от 6 до 20 интервалов. Интервалы ряда принимает равными, но допускается объединять интервалы и принимать их равной величины, если количество наблюдений в ин­тервале меньше пяти. Примем k=14

Величину одного интервала определяем по выражению:

где - наибольшее значение случайной величины;

- наименьшее значение случайной величины;

- ширина интервала.

Принимаем

При составлении статистического ряда для каждого интервала подсчитывают:

n_i - количество значений случайной величины в в i – ом интервале (частость)

- частость в i – ом интервале

- накопленная частость ;

- эмпирическая плотность вероятности , где - ширина интервала.

По данным таблицы (1) был построен статистический интервальный ряд – таблица 2.

Таблица 2 Статистический интервальный ряд

Так как частота в интервалах 11-14 меньше пяти, то объединяем их в один интервал:

n₁₁ =8 [100-140]

Итоговый интервальный ряд представлен в таблице 3.

Таблица 3 Итоговый статистический интервальный ряд

2.3 Расчет параметров статистического распределения

Функция распределения случайной величины может быть достачно строго определена о помощью статистических характеристик, называемых параметрами распределения.

Распределение случайных величин, изучаемых в теории надёжности характеризуют с помощью математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения и коэффициентов вариации.

Математическим ожиданием случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятность этих величин [ 2 ]

На практике для оценки математического ожидания используют сред­нее, арифметическое значение случайной величины.

Если п<25; , то среднее значение определяет по формуле

где п - количество; информации;

t_i - значение i - гo показателя надежности.

Для статистического ряда

где k - количество интервалов в статистическом раду;

- значение середины i -го интервала;

- опытная вероятность i -го интервала.

Важным параметром распределения является дисперсия. Диспер­сия характеризует разбросанность значений случайной величины около ее математического ожидания. Дисперсия имеет размерность квад­рата случайной величины, потому часто, пользуются среднеквадратическим отклонением случайной

где - среднее квадратическое отклонение;

- дисперсия случайной величины.

Среднее квадратическое отклонение определяют по уравнению (при n<25)

Если используется статистический ряд , то среднее квадратическое отклонение равно

Используя данные таблицы 2 определим математическое ожидание и дисперсию для этого построим таблицу 4.

Таблица 4 Вспомогательные данные для расчета статистических показателей

Определим математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение

2.4 Оценка резко выделяющихся значений

Статистическая информация может содержать резко выделяющиеся значения, которые оказывают существенное влияние на оцен­ку показателей надёжности, поэтому все резко выделяющиеся значения случайной величины должны быть проанализированы и исключены из рассмотрения, если они является следствием грубых ошибок при наблюдении. Однако известны случаи, когда необоснован­но отбрасываются результаты наблюдений, которые якобы наруша­ет вид исследуемого процесса, что может привести к неверным выводам, особенно при малой выборке. В связи с этим при исключении из рассмотрения отдельных результатов нужно тщательно проанализировать условия проведения наблюдений, физическую кар­тину процесса. Большой разброс значений может быть и следствием резко меняющихся условий эксплуатации, некачественной техноло­гией изготовления изделия. Приближенно оценку информации на выпадающие точки проверят по правилу . Если значения случайной величины не выхо­дят за пределы , все точки информации считает действи­тельными.

Произведем оценку информации на выпадении

Все точки действительны, поскольку все значения работы на отказ турбобура меньше 150,05

Расчет по критерию Романовского. Рассматриваем и без учета сомнительных членов ряда распределения . Если ,то с выбранной вероятностью данные члены можно исключить из рассмотрения. Сомнительные члены: 133, 136.

Рассчитаем параметры статистического распределения без сомнительных членов.

Примем k=13,тогда . Принимаем ∆t=9. В таблицах 5, 6 представлены статистические интервальные ряды без сомнительных членов, исходный и преобразованный.

Таблица 5 – статистический интервальный ряд без сомнительных членов совокупности

Таблица 6 – Преобразованный статистический интервальный ряд без сомнительных членов совокупности

Среднее значение:

Среднеквадратическое отклонение:

Проверяем t=133:

Проверяем t=136:

Следовательно, член 133 и 136 по критерию Романовского можно исключить из дальнейшего рассмотрения.

Критерий Ирвина.

Рассчитаем критерий Ирвина для сомнительных членов совокупности:

Следовательно, анализируемые величины оставляем при дальнейшем рассмотрении.

Критерий Груббса:

Для наименьшей точки информации:

Для наибольшей точки информации:

Так как для обеих точек при n=191 заведомо (таблица 5 приложения), то оставляем крайние точки в рассматриваемой совокупности.

Сомнительные члены удовлетворяют 3 из 4 критериев. Кроме того, известно, что турбобур работает в резко меняющихся условиях эксплуатации и исключение крайних точек искажает картину отказов двигателя, поэтому сомнительные члены включаем в общую совокупность.

Таким образом, для дальнейших расчетов используем статистический интервальный ряд, представленный в таблице 3.

2.5 Выбор теоретического закона распределения

Вероятность безотказной работы в первом приближении дают представление о распределении показателя надежности.Однако в статистическом материале из – за ограниченного числа наблюдений всегда присутствуют элементы случайности. При обработке статистического материала важной задачей является подбор теоретического закона распределения наилучшим образом описывающим статистическое распределение [ 2 ] , выражающим его существенные черты без элемента случайности.

Теоретический закон подбирают , принимая во внимание :

· физическую природу явления отказов;

· опыт отработки деталей и изделий аналогичного назначения;

· форму кривой плотности распределения;

· совпадение опытных точек с теоретической кривой интегральной функции или функции безотказности;

· коэффициент вариации.

Значение коэффициента вариации, характеризующего расслаивание показателя надежности:

уже позволяет судить об условиях эксплуатации машин и их технологии изготовления [8, 10] . Разработаны таблицы [10] , позволяющие ориентировочно судить о виде закона распределения в зависимости от величины коэффициента вариации ( тал. 7 и 8 приложения).

Авторы [ 8 ] рекомендуют для машин в первом приближении принимать нормальный закон приближения , если , и распределение Вейбулла, если . Когда коэффициент вариации изменяется в пределах 0,30 – 0,50 , то выбирают тот закон , который дает лучшее совпадение по критериям согласия.

Выберем теоретический закон распределения, определим доверительные границы среднего значения показателя надежности.

Анализ причин отказов турбобуров показывает, что они связаны как с приработочными , усталостными , так и с износовыми отказами. Режим работы турбобура меняется в широких пределах , на что указывает и значение коэффициента вариации, поэтому можно сделать предположение, что наработка турбобура до отказа описывается распределением Вейбулла.

По табл.2 приложения определяем параметры распределения Вейбулла . Для коэффициента вариации

Параметр а подсчитываем по выражению (13)

Теоретическая функция плотности распределения f(t) и вероятность безотказной работы p(t) будут иметь вид

В таблице 7 приведены теоретические параметры статистического ряда, рассчитанные по вышеприведенным формулам.

Таблица 7 – Теоретические параметры распределения

2.1 Построение графиков теоретических и статистических функций

Статистический ряд позволяет построить интегральную функцию распределений и обратную интегральную функцию распределения функцию распределения и обратную интегральную функцию распределения функции “ отказности “ и “ безотказности “.

По данным статистического ряда и теоретического распределения строим графики статистических и теоретических функций показателя надежности. Дифференциальная функция f(t) наиболее наглядно отражает специфические черты закона распределения.

Рисунок 1 - Функция плотности распределения вероятности f(t),наработки турбобура

Рисунок 2 - Интегральная функция распределения вероятности F(t), наработки турбобура

Рисунок 3 – Вероятность безотказной работы

Рисунок 4 - Функция интенсивности распределения вероятностей показателей надежности

2.2 Проверка гипотезы о соответствии эмпирического и теоретического распределения

Критерии согласия применяются для оценки близости статистического и теоретического распределений.

Критерий согласия Пирсона или “критерий “ определяют по следующей формуле [ 2 ] .

где k - число интервалов статистического ряда ;

n_i - частота в i - ом интервале ;

n - общее число значений случайной величины ;

p_i - теоретическая вероятность попадания случайной величины

в i - й интервал .

Вероятность попадания в i - й интервал равна приращению функции вероятности в этом интервале:

p_i =p_in -p_ik

где p_in и p_ik - функция вероятности в конце и начале i- го интервала.

Рассчитав значение , по табл.9 приложения в зависимости от числа степеней свободы определяют вероятность совпадения эмпирического и теоретического распределения. Если найденная вероятность p>0,05, то считают, что статистические данные не противоречат принятому теоретическому распределению. При вероятности совпадения меньше, чем 0,05 считается, что следует подыскать более подходящий закон распределения.

Число степеней свободы равно

r=k-s

где k - число интервалов;

s - число обязательных связей .

Для нормального закона распределения Вейбулла s = 3 , поэтому число интервалов статистического ряда при применении критерия К.Пирсона применяют при числе наблюдений . В каждом интервале рекомендуется иметь не менее 5-10 значений случайной величины.

Число степеней свободы равно r=k-s=11-3=8 при r=8 и (табл.9 приложения) вероятность совпадения теоретического и статистического распределения P=0,1, что не отвергает принятую нами гипотезу о распределении наработки турбобура до отказа по закону Вейбулла.

2.3 Определение доверительных интервалов показателя надежности

Доверительные границы указывают, в каких пределах с заданной доверительной вероятностью может изменяться одиночный показатель надежности. Различают двустороннюю и одностороннюю доверительную вероятность.

По ГОСТ 17510 -72 [ 12] рекомендуется применять следующие значения доверительных вероятностей : 0,80 ; 0,90 ; 0,95 ; 0,99 .

Рассеивание показателей надежности определяют при постановке машин в ремонт, оценка остаточного ресурса и т.д.

Доверительные границы рассеивания среднего значения при распределении Вейбулла равны

и

где и коэффициенты, определяемые по табл. 12 и 13 приложения в зависимости от объема информации и доверительной вероятности.

Значения коэффициентов и взяты из табл. 12 и 13 приложения при n=193 и

Относительно небольшой доверительный интервал показателя надежности объясняется большим объемом информации (n=193).

Заключение