ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.

11.Ряды распределения, их виды и графическое изображение.

Построение рядов распределения является составным элементом сводки данных статистического наблюдения. Они представляют собой группировку, где известна численность единиц в группах или удельный вес группы в общем итоге. По форме это простейшая разновидность структурной группировки по одному признаку в групповой таблице с двумя графами: группы по выделенному признаку и численности групп. Численные значения признака в рядах распределения называются вариантами , а численность каждой группы – частотами (обычно обозначаются буквой f ). Сумма всех частот определяет численность всей совокупности, или ее объем (это обычно n ). Численности групп, выраженные в долях от общей численности единиц, называются частостями и обозначаются буквой w . Сумма частостей равна 1, если они выражены в ее долях, и 100%, если они выражены в процентах.

Ряды распределения подразделяются на атрибутивные (группировка по атрибутивным признакам) и вариационные (по количественным признакам). По характеру вариации признака различают вариационные ряды распределения прерывные (дискретные) и непрерывные (интервальные) . В первом случае признак изменяется прерывно, т.е. через определенное число единиц. Во втором группировочный признак в определенном интервале может принимать любые значения.

Анализ рядов распределения сопровождается их графическим изображением. Именно графики лучше всего позволяют судить о форме распределения. Для отображения вариационных рядов распределения используются следующие графики: полигон , гистограмму и кумуляту . Полигон применяют для графического изображения дискретного вариационного ряда, и этот график является разновидностью статистических ломаных. В прямоугольной системе координат по оси абсцисс откладываются варианты признака, а по оси ординат – частости каждого варианта. На пересечении абсциссы и ординаты фиксируют точки, соответствующие данному ряду распределения. Соединив эти точки прямыми, получим ломаную, которая и является полигоном, или эмпирической кривой распределения. Для замыкания полигона крайние вершины соединяют с точками на оси абсцисс, отстоящими на одно деление в принятом масштабе, или с серединами предыдущего (перед начальным) и последующим (за последним) интервалов.

Рисунок 1. Графическое изображение полигона

Гистограмма применяется для графического изображения непрерывных (интервальных) вариационных рядов. При этом на оси абсцисс откладывают интервалы ряда. На этих отрезках строят прямоугольники, высота которых по оси ординат в принятом масштабе соответствует частотам. При равных интервалах по оси абсцисс откладывают прямоугольники, сомкнутые друг с другом, с равными основаниями и ординатами, пропорциональными весам. Данный ступенчатый многоугольник и называется гистограммой . Его построение аналогично построению столбиковых диаграмм. Гистограмма может быть преобразована в полигон распределения, для чего середины верхних сторон прямоугольников соединяют отрезками прямых. Две крайние точки прямоугольников замыкают по оси абсцисс на середине интервалов аналогично замыканию полигона. В случае неравенства интервалов график строится не по частотам или частостям, а по плотности распределения (отношению частот или частостей к величине интервала), и тогда высоты прямоугольников графика будут соответствовать величинам этой плотности.

Рисунок 2. Графическое изображение гистограммы

Кумулята изображает кумулятивные ряды распределения, где по оси абсцисс откладывают варианты признака, а по оси ординат – накопленные частоты или частости. Полученные точки соединяют прямыми, образующими кумуляту. При построении кумуляты интервального ряда распределения нижней границе первого интервала соответствует частота, равная нулю, а верхней границе – вся частота данного интервала. Верхней границе второго интервала соответствует накопленная частота, равная сумме частот первых двух интервалов, и т.д. Другой формой кумулятивного ряда распределения является огива , в графике которой накопленные частоты берутся в обратном порядке, т.е. от наибольшего к наименьшему значению изучаемого признака.

Рисунок 3. Графическое изображение кумуляты

РАСЧЕТНАЯ ЧАСТЬ. ВАРИАНТ № 5

Задача № 1

Имеются данные о работе 24 заводов в одной из отраслей промышленности

Таблица 1. Исходные данные

Требуется сгруппировать заводы по среднегодовой стоимости основных производственных фондов, образовав 5 групп заводов с равными интервалами, рассчитать по каждой группе и в целом:

· количество заводов и их удельный вес;

· среднесписочное число работающих;

· производство продукции;

· средний процент выполнения плана.

Проанализировать данные таблицы и сделать выводы.

РЕШЕНИЕ:

1. Определяем интервал группировки.

, где

X_max – максимальная среднегодовая стоимость основных производственных фондов, X_max = 7,0 млн. руб.;

X_min – минимальн максимальная среднегодовая стоимость основных производственных фондов, X_min = 1,0 млн. руб.;

n – количество групп, из условия задачи n =5 , следовательно

млн. руб.

2. Разбиваем на группы: [1,0-2,2), [2,2-3,4), [3,4-4,6), [4,6-5,8), [5,8-7,0].

Таблица 2. Группировка предприятий и их данных по группам

Строим итоговую таблицу 3:

Таблица 3. Группировка предприятий по среднегодовой стоимости основных производственных фондов

Вывод:

Для первых 2-х групп предприятий характерна следующая тенденция: стоимость основных производственных фондов и численность работающих в среднем растут, соответственно пропорционально растет и производство продукции. Однако во 2-й группе, в сравнении с 1-й группой, при росте 3-х показателей процент выполнения плана падает. Для 3-й и 4-й групп предприятий характерна следующая тенденция: по всем показателям уменьшение. Возможно это связано с тем, что предприятиям необходимо срочно внедрять новое оборудование и тогда увеличатся стоимость основных производственных фондов и производство продукции, а следовательно и процент выполнения плана.

Для предприятий, входящих в 5-ю группу, ситуация иная: очевидно, что происходит модернизация оборудования и расширение предприятия, в связи с чем ручной труд заменяется машинным (стоимость основных фондов в среднем увеличивается до 11,9 млн. руб., а численность увеличилась до 1420 чел) и, как следствие, увеличивается выпуск продукции в среднем до 43,8 тыс. руб. Процент выполнения плана увеличился, скорее всего это связано с тем, что все закупленное оборудование было введено в производство, работников переквалифицировали и прибавилось еще квалифицированных кадров для работы на нем, т.е. фонды используются в полном объеме.

Задача № 2

По данным варианта определить:

1. Показатели динамики с постоянной и переменной базой сравнения.

2. Графически изобразить ряд динамики в зависимости от номера варианта.

3. Рассчитать среднегодовые показатели динамики.

4. Произвести сглаживание ряда методом 3-х летней скользящей средней.

5. Выровнять ряд по прямой.

6. Построить графики искомого и выровненных рядов.

7. Использовать полученное уравнение для экстраполяции уровней на 2006 год.

8. Сделать выводы.

Таблица 4. Данные по варианту

Варианты графиков:

5 – пиктограмма

РЕШЕНИЕ:

1. Определим показатели динамики с постоянной и переменной базой сравнения.

1.1. Абсолютный прирост :

- по базисному методу: ΔА_баз = У _i – У₀

ΔА₁ = 31,4 – 22,2 = 9,2

ΔА₂ = 40,9 – 22,2 = 18,7

ΔА₃ = 52,3 – 22,2 = 30,1

ΔА₄ = 61,7 – 22,2 = 39,5

ΔА₅ = 63,8 – 22,2 = 41,6

ΔА₆ = 64,3 – 22,2 = 42,1

- по цепному методу: ΔА_цеп = У _i – У _{i -1}

ΔА₁ = 31,4 – 22,2 = 9,2

ΔА₂ = 40,9 – 31,4 = 9,5

ΔА₃ = 52,3 – 40,9 = 11,4

ΔА₄ = 61,7 – 52,3 = 9,4

ΔА₅ = 63,8 – 61,7 = 2,1

ΔА₆ = 64,3 – 63,8 = 0,5

ΔА_баз.6 =Σ ΔА_цеп

1.2. Коэффициент роста k _р :

- по базисному методу: k _{р баз} = У _i / У₀

k _{р 1} = 31,4 / 22,2 = 1,41

k _{р 2} = 40,9 / 22,2 = 1,84

k _{р 3} = 52,3 / 22,2 = 2,36

k _{р 4} = 61,7 / 22,2 = 2,78

k _{р 5} = 63,8 / 22,2 = 2,87

k _р6 = 64,3 / 22,2 = 2,90

- по цепному методу: k _{р цеп} = У _i /У _{i -1}

k _р1 = 31,4 / 22,2 = 1,41

k _р2 = 40,9 / 31,4= 1,3

k _р3 = 52,3 / 40,9 = 1,28

k _р4 = 61,7 / 52,3 = 1,18

k _р5 = 63,8 / 61,7 = 1,03

k _р6 = 64,3 / 63,8 = 1,01

1.3. Темп роста Т_р :

- по базисному методу: Т_р = k _{р баз} *100% = У _i / У₀ *100%

Т_р1 = 1,41*100% =141 %

Т_р2 = 1,84*100% =184 %

Т_р3 = 2,36*100% =236 %

Т_р4 = 2,78*100% =278 %

Т_р5 = 2,87*100% =287 %

Т_р6 = 2,90*100% =290 %

- по цепному методу: Т_р = k _{р цеп} *100% = У _i /У _{i -1} *100%

Т_р1 = 1,41*100% =141 %

Т_р2 = 1,30*100% =130 %

Т_р3 = 1,28*100% =128 %

Т_р4 = 1,18*100% =118 %

Т_р5 = 1,03*100% =103 %

Т_р6 = 1,01*100% =101 %

1.4. Темп прироста Т_пр :

- по базисному методу: Т_пр = Т_{р баз} – 100%

Т_пр1 = 141 % – 100% = 41 %

Т_пр2 = 184 % – 100% = 84 %

Т_пр3 = 236 % – 100% = 136 %

Т_пр4 = 278 % – 100% = 178 %

Т_пр5 = 287 % – 100% = 187 %

Т_пр6 = 290 % – 100% = 190 %

- по цепному методу: Т_пр = Т_{р цеп} – 100%

Т_пр1 = 141 % – 100% = 41 %

Т_пр2 = 130 % – 100% = 30 %

Т_пр3 = 128 % – 100% = 28 %

Т_пр4 = 118 % – 100% = 18 %

Т_пр5 = 103% – 100% = 3 %

Т_пр6 = 101 % – 100% = 1 %

1.5. Абсолютное значение 1% прироста :

А1% = А_цеп / Т_пр = У_i – У_i-1 / Т_{р цеп} – 100%

А ₁ 1% = 9,2 / 41% = 022%

А ₂ 1% = 9,5 / 30% =0,32%

А ₃ 1% = 11,4 / 28% = 0,41%

А ₄ 1% = 9,4 / 18% = 0,52%

А ₅ 1% = 2,1 / 3% = 0,7%

А ₆ 1% = 0,5 / 1% = 0,5%

3. Рассчитаем среднегодовые показатели динамики.

3.1. Среднегодовой темп роста :

3.2. Среднегодовой темп прироста :

3.3. Средний абсолютный прирост :

;

4. Произведем сглаживание ряда методом 3-х летней скользящей средней. Посчитаем по данным таблицы 4 средний уровень реализации за первые 3 года:

(млн.кВт),

затем за 3 года, но начиная не с 1997, а с 1998 года:

(млн.кВт),

затем за 3 года, но начиная не с 1998, а с 1999 года:

(млн.кВт),

затем за 3 года, но начиная с 2000 года:

(млн.кВт),

затем за 3 года, но начиная с 2001 года:

(млн.кВт).

Теперь полученные данные отобразим в таблице 5:

Таблица 5. Расчет скользящей средней

Рисунок 4. Сглаживание ряда динамики мощности ГЭС скользящей средней: линия черным цветом - фактические данные, серым цветом - сглаженные.

5. Выровняем ряд по прямой.

При выравнивании по прямой линии закономерно изменяющиеся уровни динамического ряда рассчитываются как функция времени, выражающаяся уравнением:

Параметры аналитического уравнения выбранной линии находят, используя способ наименьших квадратов . В этом случае предполагается, что сумма квадратов отклонений фактических уровней (y ) от выровненных ( ), т.е. расположенных на искомой линии, должна быть минимальной:

Рассмотрим технику выравнивания ряда динамики по уравнению тренда прямой:

,

где t – условное обозначение времени; a₀ и a₁ – параметры искомой прямой.

Параметры a₀ и a₁ , удовлетворяющие методу наименьших квадратов, находятся путем решения следующей системы нормальных уравнений:

; ;

,

где y - фактические уровни ряда динамики; n – число уровней ряда; t – нумерация фактора времени.

Эта система уравнений значительно упрощается, если значения t подобрать так, чтобы их сумма равнялась нулю. Тогда получается следующая система уравнений:

;

,

решая которую, получаем:

; ..

Так как у нас уровней в ряду динамики нечетное число, от отсчет ведется от середины, принятой за ноль (таблица 6.):

Таблица 6. Условные обозначения времени

Таблица 7. Расчет параметров уравнения тренда прямой и теоретических значений ряда динамики мощности ГЭС

По данным таблицы находим:

Искомое уравнение прямой будет иметь вид:

Подставляем в это уравнение соответствующие значения t , находим выровненные (теоретические) уровни .

Для 1997 г. (t = - 3) получим:

Для 1998 г. .(t = - 2) получим:

Для 1999 г. (t = - 1) получим:

Для 2000 г. (t = 0) получим:

Для 2001 г. (t = +1) получим:

Для 2002 г. (t = +2) получим:

Для 2003 г. (t = +3) получим:

7. На основе найденного уравнения тренда определим предполагаемую среднюю мощность ГЭС в 2006 г. (t =+6):

Выводы.

Задача № 3

Бригада токарей была занята обточкой одинаковых деталей в течение восьмичасового дня. Первый токарь затрачивал на одну деталь 12 мин., второй – 15, третий – 11, четвертый – 16 и пятый – 14. Требуется определить среднее время, необходимое для изготовления одной детали.

РЕШЕНИЕ:

Так как по условию неравные промежутки времени

Задача № 4

Динамика себестоимости и объема производства продукции заводов характеризуется следующими данными:

Таблица 8

На основании имеющихся данных вычислить:

1. для завода № 1 (по двум видам продукции в целом):

· общий индекс затрат на производство продукции;

· общий индекс себестоимости продукции;

· общий индекс физического объема производства продукции.

Определить в отчетном периоде по сравнению с базисным абсолютное изменение суммы затрат на производство продукции и разложить его по факторам (за счет изменения себестоимости и объема выработанной продукции). Показать взаимосвязь между исчисленными индексами.

2. для двух заводов в целом (по продукции ОМ – 95):

· индекс себестоимости переменного состава;

· индекс себестоимости постоянного состава;

индекс влияния изменения структуры производства продукции на динамику средней себестоимости. Объяснить различие между полученными индексами. Определить общее абсолютное изменение средней себестоимости единицы продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным и разложить его по факторам: за счет непосредственного изменения себестоимости единицы продукции и изменения структуры производства. Сформулируйте выводы.

РЕШЕНИЕ:

1. Рассмотрим вначале завод №1. Сформируем для него из исходных данных следующую таблицу:

Таблица 9

Используя в качестве соизмерителя неизменные цены, получим следующую формулу для определения общего индекса физического объема произведенной продукции :

, или 105,83%.

Вычислим общий индекс себестоимости продукции :

, или 107,9%.

Общий индекс затрат на производство продукции определяется по формуле:

, или 114,23%.

Сумма изменения затрат в отчетном периоде по сравнению с базисным составила:

(млн. руб.)

Разложим теперь эту сумму изменения затрат по факторам. Сумма изменения затрат в отчетном периоде по сравнению с базисным за счет изменения себестоимости составила:

(млн. руб.)

Сумма изменения затрат в отчетном периоде по сравнению с базисным за счет изменения физического объема продукции составила:

(млн. руб.)

2. Рассмотрим теперь оба завода вместе (по продукции ОМ-95). Сформируем для них из исходных данных следующую таблицу:

Таблица 10

Индекс себестоимости переменного состава представляет собой отношение двух взвешенных средних величин с переменными весами, характеризующее изменение индексируемого (осредняемого) показателя:

, или 107,87%

Индекс себестоимости постоянного состава представляет собой отношение двух взвешенных средних величин с одними и теми же весами:

, или 106,67%

Индекс изменения структуры производства равен:

, или 101,12%.

Определим абсолютное изменение средней себестоимости единицы продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным:

(млн.руб.)

Разложим теперь эту сумму изменения по факторам. Сумма изменений средней себестоимости единицы продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным за счет непосредственного изменения себестоимости единицы продукции:

(млн.руб.)

Сумма изменений средней себестоимости единицы продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным за счет изменения структуры производства:

(млн.руб.)

Выводы.

1. По результатам отчетного периода рост затрат 1-го завода произошел исключительно за счет увеличения себестоимости продукции. Более того, за год наблюдалось незначительное сокращение затрат за счет уменьшения физического объема продукции

2. Изменение структуры выпуска продукции OM-95 в общем объеме практически не повлияло на увеличение себестоимости продукции по двум заводам.

Произошедший рост средней себестоимости вызван ростом себестоимости одновременно на двух заводах.

Список используемой литературы:

1. Октябрьский П. Я. Статистика: учебник. – М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2005. – 328 с.