Сигнали та процеси в радіотехніці - курсовая работа

Технічне завдання

Основна мета курсової роботи - закріплення, узагальнення та поглиблення знань, отриманих студентами при вивченні дисциплін „Основи теорії кіл".

Завдання включає в себе п’ять розділів:

Аналогові сигнали та кола

Модульовані сигнали

Дискретні сигнали та кола

Узгоджені фільтри (випадкові сигнали)

Проходження сигналів через лінійні кола

Вихідні дані:

Заданий сигнал: Задане коло:

Таблиця вихідних даних

Зміст

Технічне завдання

1. Аналогові сигнали та кола

1.1 Визначення спектру вхідного сигналу

1.2 Синтез вхідного сигналу

1.3 Визначення частотних та часових характеристик кола

1.4 Визначення сигналу на виході кола

2. Модульовані сигнали

2.1 Амплітудна модуляція

2.2 Кутова модуляція

2.3 Амплітудний спектр ЧМК

3. Дискретні сигнали

3.1 Вибірки вхідного сигналу

3.2 Імпульсний відгук

3.3 Сигнал на виході кола. Дискретна згортка

3.4 Cпектри дискретного сигнала на вході кола

3.5 АЧХ і ФЧХ дискретного кола.

3.6. Спектр сигнала на виході кола

3.7 Синтез вихідного сигналу

4. Узгоджена фільтрація

4.1 Автокореляційна функція вхідного сигналу

4.2 Коефіцієнт передачі та імпульсний відгук узгодженого фільтра

4.3 Відгук узгодженого фільтра

5. Проходження сигналів через кола

5.1 Визначити смугу пропускання селективного кола для проходження АМК, ФМК та ЧМК, яка забезпечує проходження сигналів без спотворень

5.2 Зобразити структурну схему приймача, який забезпечує прийом, підсилення, детектування радіосигналу, підсилення та реєстрацію відеосигналу

5.3 Побудувати схему амплітудного детектора, розрахувати його параметри, дати пояснення принципу роботи

5.4 Побудувати схему частотного детектора для детектування ЧМ-сигналу. Визначити сигнал на виході детектора

5.5 Розробити та привести структуру цифрового фільтра, обчисленого у третьому розділі

1. Аналогові сигнали та кола

1.1 Визначення спектру вхідного сигналу

Запишемо спочатку математичний вираз для поодинокого сигналу. Використовуючи одиничну функцію Хевісайда, маємо:

(1.1)

Тобто сигнал запишеться наступним чином:

(1.2)

Або з допомогою кусочно-неперервних функцій:

(1.3)

Тепер легко записати математичний вираз для Т-періодичного сигналу такої ж форми:

(1.4)

Графік сигналу у випадку неперіодичного сигналу наведений на рис.1.1, у випадку періодичного - на рис 1.2

Рисунок 1.1 Графік неперіодичного сигнала

Рисунок 1.2 Графік періодичного сигнала

Представимо поодинокий сигнал в просторі зображень по Лапласу. Для цього скористаємось таблицею зображень, властивістю лінійності, а також теоремою запізнення.

За формулою (1.3) запишемо зображення сигналу F (p):

(1.5)

Запишемо спектральну щільність S (jω), використовуючи отриману формулу (1.5), а також зв’язок між перетвореннями Лапласа і Фур’є.

Спростимо вираз в дужках:

Тоді матимемо:

(1.6)

Спектральна щільність-коплексна величина. Так і повинно бути, адже данний сигнал є сигналом загального виду.

Використовуючи відоме співвідношення , де - комплексні коефіцієнти ряда Фур’є, , і враховуючи, що , знайдемо

(1.7)

Так як -шпаруватість сигналу (задано з умови), а Е=1В (розрахунки ведуться в нормованому вигляді), маємо:

(1.8)

Формула (1.8) - вираз для комплексних коефіцієнтів ряду Фур’є. Перед тим, як складати таблицю для , знайдемо як середнє значення функції u (t) за період:

.

Складемо таблицю для , причому останню гармоніку в спектрі беремо на рівні 0.1 від гармоніки з максимальною амплітудою.

Таблиця 1.1

Складемо таблицю для амплітудного і фазового спектрів:

Таблиця 1.2

Згідно таблиці 1.2, побудуємо графіки амплітудного (рис.1.3) і фазового (рис.1.4) спектрів.

Рис 1.3 Амплітудний спектр.

Рис.1.4 Фазовий спектр.

Визначимо ширину спектру з розрахунку, що двонадцята гармоніка остання:

. (1.9)

Знаючи, що обвідна спектра періодичного сигналу є спектром неперіодичного сигналу легко зобразити спектральну щільність останнього. Розрахуємо таблицю та побудуємо графік.

Таблиця 1.3

Рисунок 1.5 Спектр неперіодичного сигнала

1.2 Синтез вхідного сигналу

Проведемо синтез вхідного сигналу. Для цього візьмемо 48 точок ( інтервалів, в данному випадку). Задамося часом, вираженим у градусах з інтервалом . Підсумуємо всі гармоніки за допомогою ЕОМ і відобразимо розрахунки в таблиці.

Таблиця 1.4

Для контролю перевіримо одну точку ручним обчисленням. Нехай аргумент дорівнює .

Таблиця 1.5

Тоді , що співпадає з нашими розрахунками. Побудуємо графік синтезованого сигналу.

Рис.1.6 Синтез вхідного сигнала.

1.3 Визначення частотних та часових характеристик кола

Для заданного кола розрахуємо коефіцієнт передачі:

Рисунок 1.7 Схема кола

Як відомо, коефіцієнт передачі:

, (1.10)

де , . Тоді виконавши математичні перетворення отримаємо:

Неважко перевірити, що при R1=R2 загальний вихідний опір буде дорівнювати R/2:

(1.11)

А отже стала часу кола буде дорівнювати:

(1.12)

Вважаючи, що R1=R2=R та поділивши числівник та знаменник дробі 1.19 на 2R, отримаємо:

. (1.13)

Тоді відповідно амплітудно-частотна характеристика (АЧХ) K (ω) та фазочастотна характеристика (ФЧХ) φ (ω) матимуть вирази:

(1.14)

(1.15)

Розрахуємо і побудуємо графіки АЧХ і ФЧХ. Врахуємо, що

.

Для таблиці та графіків розрахуємо та на частотах гармонік, тобто:

(1.16)

(1.17)

Таблиця 1.6

Рисунок 1.8 АЧХ кола.

Рисунок 1.9 ФЧХ кола.

Знайдемо вирази для перехідної та імпульсної характеристик кола. Для кіл І порядку перехідна характеристика має вигляд:

, (1.18)

де g (0) - початкове значення перехідної функції,

g ( ) - її стаціонарне значення;

, - стала часу кола, - коефіцієнт згасання.

На початку перехідного процесу ємність являє собою коротке замикання, тому . Далі (через час ) струм наближується до значення 0.5 (ємність не пропускає постійний струм), тому . Отже перехідна характеристика набуде вигляду:

(1.19)

Як бачимо, на вихід схеми проходить -функція, тому імпульсна характеристика в загальному матиме вигляд:

(1.20)

Продиференціюємо формулу (1.19) і підставимо в (1.20), отримаємо:

(1.21)

Нормовані графіки g (t) і h (t) зображені на рис.1.10 і рис.1.11

Рисунок 1.10 Перехідна характеристика кола.

Рисунок 1.11 Імпульсна характеристика кола.

Скористаємось перетворенням Фур’є

. Маємо:

Таким чином, між часовими та частотними характеристиками існує однозначний зв’язок.

1.4 Визначення сигналу на виході кола

Нехай і - відповідно модуль і фаза вихідного сигналу. Як відомо:

, , (1.22)

де і - відповідно амплітуди і фази вхідного сигналу,

і - значення модуля і фази коефіцієнта передачі на частотах гармонік.

Відобразимо розрахунки в таблиці 1.7 та в графіках модуля і фази (рис.1.10 і 1.11 відповідно).

Таблиця 1.7

Рисунок 1.10 Амплітудний спектр на виході кола.

Рисунок 1.11 Фазовий спектр на виході кола.

Проведемо синтез сигналу на виході кола. Розрахунки відобразимо в таблиці та побудуємо часовий графік.

Таблиця 1.8

Аналогічно для контролю перевіримо одну точку ручним обчисленням. Нехай аргумент дорівнює .

Таблиця 1.9

Тоді , що підтверджує правильність розрахунків.

Побудуємо графік синтезованого сигналу на виході кола.

Рис.1.12. Синтезований сигнал на виході кола.

Визначимо сигнал на виході кола часовим методом. Скористаємось при цьому наступною формулою інтеграла Дюамеля:

(1.23)

Для заданого сигналу маємо розглянути два проміжки часу - до моменту закінчення імпульсу та після закінчення імпульсу:

(1.24)

Відразу зауважимо, що інтеграл дорівнює нулю на проміжку часу , оскільки після закінчення імпульсу сигнал рівний нулю, тобто ніякого впливу на вхідне коло, окрім перехідного процесу, заданий сигнал вже не має. Візьмемо інтеграл 1.23 в загальному вигляді в границях від до :

(1.25)

У виразі 1.25 останній з додатків представляє собою табличний інтеграл:

(1.26)

З урахуванням 1.26 вираз 1.25 перепишеться наступним чином:

(1.27)

Виходячи з виразу 1.25 та використовуючи 1.28 маємо розглянути два проміжки часу, підставляючи замість спочатку , а потім - :

1) , :

(1.28)

2) , :

(1.29)

Побудуємо графік у відносному масштабі. Занесемо дані в таблицю.

Таблиця 1.10

Рисунок 1.14. Сигнал на виході кола

2. Модульовані сигнали

2.1 Амплітудна модуляція

Оберемо коефіцієнт модуляції АМК М=1/2.

Тоді амплітуда несучого коливання буде рівною:

Розрахуємо парціальні коефіцієнти модуляції для кожної гармоніки:

Таблиця 2.1

При побудові часової залежності врахуємо, що повинна забезпечуватися умова вузькосмугового модульованого сигналу.

Тому оберемо несучу частоту

ω₀ = 10Ω_мах = 10·11Ω = 110Ω,

де Ω - частота керуючого сигналу, Ω_мах - найвища гармоніка. Вираз для часової залежності АМК має вигляд:

(2.1)

У нашому випадку маємо багатотональну модуляцію - отримаємо наступну залежність:

(2.2)

У отриману формулу підставимо парціальні коефіцієнти модуляції та фази гармонік:

Рис. 2.1 Графік АМК

Для побудови спектру АМК скористаємося теоремою зсуву, згідно з якою при модуляції результуючий спектр за формою співпадає зі спектром керуючого сигналу, але зміщений відносно нього на величину - несучу частоту.

Амплітуда n - ї бічної складової АМ-сигналу обчислюється за формулою:

,

де М - коефіцієнт модуляції, М_n - парціальні коефіцієнти модуляції, U₀ - амплітуда несучого коливання, A_n -амплітуди n-ї гармоніки керуючого сигналу. Врахуємо чисельні значення М та U₀ :

(2.3)

Побудуємо спектр АМК:

Рис. 2.2 Спектр АМК

Побудуємо векторну діаграму АМК у момент t=0. Кожній гармоніці відповідає пара векторів довжиною А ́_n , які обертаються назустріч один одному з відповідною частотою ω₀ ±nW та початковою фазою . Так як сама система координат обертається з частотою ω₀ , несуче коливання відображується нерухомим вектором U₀ . Для оглядності обмежимося зображенням 6 пари бічних складових включно.

2.2 Кутова модуляція

У випадку ЧМК частота несучого коливання змінюється пропорційно миттєвій амплітуді керуючого коливання. Функція частоти тоді буде мати вигляд:

,

де коефіцієнт к визначає девіацію частоти. Так як амплітуда сигналу дорівнює одиниці, то . Для забезпечення вузькосмуговості девіацію частоти обирають значно меншою за несучу. Не обмежуючи загальності для зручності візьмемо k=1:

Рис. 2.4 Залежність частоти ЧМК від часу

Поточну фазу знайдемо за формулою:

(2.5)

Якщо процес почався при t=0, то

Так як керуючий сигнал заданий на чотирьох інтервалах часу, то результат також отримаємо для чотирьох інтервалів. Функція фази накопичувальна, тому для кожного наступного інтервалу можна використати повну фазу, накопичену у попередньому інтервалі:

(2.6)

Розрахуємо значення вирази:

(2.7)

Поточна фаза буде визначатися складною функцією:

Рис. 2.5 Залежність фази ЧМК від часу

У випадку ФМК фаза несучого коливання змінюється пропорційно миттєвій амплітуді керуючого коливання. Функція фази тоді буде мати вигляд:

Як і у попередньому пункті, для спрощення розрахунків візьмемо k=1.

Для чотирьох інтервалів отримаємо:

(2.7)

Побудуємо графік фази ФМК:

Рисунок 2.6 Залежність фази ФМК від часу

Частота ФМК знаходиться за формулою:

(2.8)

Остаточний вираз буде мати такий вигляд:

(2.9)

Отриманий результат зобразимо на графіку:

Рисунок 2.7 Залежність частоти ФМК від часу

У загальній формі вирази для ФМК та ЧМК мають вигляд:

(2.10)

Виконаємо перетворення виразу:

(2.11)

Таким чином, з точністю до константи у фазі отримали фазово-модульований сигнал з парціальними індексами модуляції

(2.12)

Отже, часова залежність для ФМК та ЧМК має однаковий вигляд, відрізняються лише індекси модуляції.

Несучу частоту візьмемо рівною . Оберемо коефіцієнти фазової та частотної модуляції (вирази (2.1), (2.2)).

Функція часу для ЧМК тоді буде мати вигляд:

2.3 Амплітудний спектр ЧМК

Часовий запис ЧМК для довільного керуючого сигналу у загальній формі має вигляд:

де J_n (m) - функція Бесселя n -го порядку від аргументу m .

Оберемо індекс модуляції по частоті . Тоді розрахуємо парціальні індекси модуляції за формулою (2.3). Отримаємо:

де A_n - гармоніки керуючого сигналу

Таблиця 2.2

Обмежимося рівнем 0.1 від максимального m - отримаємо кількість множників n=3:

Таблиця 2.3

У цьому випадку запис сигналу у часовій області буде апроксимований наступним виразом:

Знайдемо амплітуди бічних складових ЧМК. Для цього згрупуємо коефіцієнти при експонентах . Верхні бічні складові А_n :

При заходженні амплітуд від’ємних бічних складових врахуємо, що функції Бесселя з непарними індексами будуть від’ємними. Тоді амплітуди гармонік будуть мати вигляд:

Розраховані амплітуди нижньої і верхньої бічних складових та спектр ЧМК приведені далі.

Таблиця 2.4

Рисунок 2.8 Спектр ЧМК

3. Дискретні сигнали

3.1 Вибірки вхідного сигналу

Визначимо кількість виборок вхідного сигналу на основі кількості гармонік керуючого коливання:

(3.1)

Рисунок 3.1 Вибірки вхідного сигналу.

Значення числа N узгоджено з двійковим кодом . Визначимо масив вибірок вхідного сигналу . Запишемо сигнал через виборки:

(3.2)

Складемо таблицю:

Таблиця 3.1

3.2 Імпульсний відгук

Задана схема - фільтр нижніх частот, у якого на вихід проходить

-функція з коефіцієнтом 1. Тому треба це врахувати у нульовій виборці. Також зазначимо, що за рахунок дільника напруги ( ) треба всі виборки взяти з коефіцієнтом ½. Тому запишемо кінцевий вираз для :

, (3.3)

де a і b - коефіцієнти нормування. Розрахуємо їх:

; (3.4)

Відобразимо розрахунки в таблиці, і накреслимо графік.

Таблиця 3.2

Рисунок 3.2 Імпульсний відгук.

Зробимо перевірку правильності результатів, використовуючи співвідношення . Для заданого кола К (0) =0.5.

3.3 Сигнал на виході кола. Дискретна згортка

Математичний вираз дискретної згортки має вигляд:

(3.5)

Для заданого сигналу запишемо кожну виборку окремо:

(3.6)

Використовуючи таблиці 3.1 та 3.2 виконаємо розрахунки та зведемо в таблицю 3.3:

Таблиця 3.3

Рисунок 3.3 Сигнал на виході кола

Побудуємо графік сигнала на виході кола:

3.4 Cпектри дискретного сигнала на вході кола

Математичний вираз для амплітудного спектра в комплексній формі записується:

, (3.7)

де N=32 - кількість виборок, .

Запишемо матрицю дискретного перетворення Фур’є:

(3.8)

Матриця (3.8) значною мірою спрощується, якщо врахувати спряженність її елементів. Це значить, що для заданого сигнала (q=2) слід розглядати лише четверту частину цієї матриці

де ,, а для решти елементів отримується як спряжені.

Згідно з проведеними викладками розрахуємо та зведемо розрахунки до таблиці 3.4

Таблиця 3.4

Для перевірки рахунків, прорахуємо при n=2

Тобто , що підтверджує правильність отриманих результатів.

Складемо таблицю для амплітудного та фазового спектру, побудуємо відповідні графіки.

Таблиця 3.5

Рисунок 3.4 Амплітудний спектр вхідного сигналу.

Рисунок 3.5 Фазовий спектр вхідного сигналу

3.5 АЧХ і ФЧХ дискретного кола.

Математичний вираз для дискретного кола має вигляд:

, (3.9)

де - дискретна частота.

За допомогою ДПФ, скориставшись ЕОМ, розрахуємо . Результати розрахунків відобразимо в таблиці 3.6.

Таблиця 3.6

Занесемо до таблиці 3.7 і вібірки АЧХ і ФЧХ.

Таблиця 3.7

Побудуємо графіки АЧХ і ФЧХ кола

Рисунок 3.6. АЧХ кола

Рисунок 3.7. ФЧХ кола

3.6. Спектр сигнала на виході кола

Користуючись співвідношенням:

, (3.10)

можна розрахувати спектр вихідного сигналу. Складемо таблицю для .

Таблиця 3.8

Складемо таблицю для амплітудного та фазового спектру.

Таблиця 3.9