Параметрические функции (2.11) и (2.12) позволяют проводить общий анализ АЧХ и ФЧХ фильтра при заданных значениях R, r-элементах и произвольном значении емкости С.
Пример 2.
Рассчитать и построить графики
при следующих исходных данных:
R=100 Ом – сопротивление нагрузки;
r=5 Ом – внутреннее сопротивление источника.
Оценить коэффициент прямоугольности передаточной функции по мощности.
Результаты расчетов представлены на Рис.2.4 и Рис.2.5.
Из этих рисунков видно, что передаточная функция по мощности при частоте ν=0 принимает значение H(0)=0,98, а затем плавно уменьшается с увеличением частоты. Коэффициент прямоугольности этой функции составляет всего П=0,545. Это означает, что данный фильтр соответствует идеальному фильтру на 54,5%.
Сдвиг фаз между входным и выходным напряжениями изменяется от 0 до 900
. При этом выходное напряжение опережает входное.
2.4.2 Синтез емкостного фильтра нижних частот первого порядка
Синтез (проектирование) любого технического устройства начинается с разработки технического задания (ТЗ), в котором приводятся исходные данные и формулируются требования к устройству.
Применительно к ФНЧ-1 техническое задание на его проектирование можно изложить следующим образом:
1. Спроектировать емкостной фильтр нижних частот, схема которого приведена на Рис.3.2.
2. На вход фильтра подаются сигналы синусоидальной формы, частота которых изменяется от 0 до ∞.
3. Сопротивление нагрузки R, а внутреннее сопротивление источника r, (R>>r).
4. Передаточная функция по напряжению на нижней границе полосы пропускания (f1
=0) должна принимать значение, близкое к единице, а на верхней границе f2
передаточная функция должна принимать значение H(f2
)=H1
.
5. Определить потребное значение емкости, рассчитать АЧХ и ФЧХ фильтра, оценить коэффициент прямоугольности передаточной функции по мощности.
В условиях данной задачи неизвестной величиной является только емкость, которую достаточно просто можно найти из уравнения передаточной функции. Однако, в интересах общности изложения последующего материала воспользуемся передаточной функцией в параметрической форме (2.14), из которой найдем значение приведенной частоты n2
, на которой передаточная функция (2.12) принимает заданное значение H1
:
Очевидно, что (2.14) имеет смысл только при H1
<H0
.
Теперь формулу (2.11) можем записать в виде
откуда находим потребное значение емкости для построения ФНЧ-1 Рис.3.2:
Пример 2.2.
Спроектировать ФНЧ-1 Рис.2.3 при следующих исходных данных:
R=100 Ом – сопротивление нагрузки;
r=5 Ом – внутреннее сопротивление источника;
f2
=1000 Гц – верхняя граница полосы пропускания;
H1
=H(f2
)=0,707 – значение передаточной функции на верхней границе полосы пропускания;
h1
=h(f2
)=0,5 - значение передаточной функции по мощности на верхней границе полосы пропускания.
Рассчитать АЧХ и ФЧХ фильтра, оценить коэффициент прямоугольности передаточной функции по мощности.
Результаты расчетов представлены на Рис.2.6 и Рис.2.7.
Из этих рисунков видно, что на верхней границе полосы пропускания f2
=1000 Гц передаточная функция по мощности h(f2
)=0,5, что соответствует требованиям технического задания.
Сдвиг фаз между входным и выходным напряжениями F(f2
)=42,071 град. Коэффициент прямоугольности передаточной функции по мощности составляет П=0,545.
Потребное значение емкости для построения ФНЧ-1 Рис.3.2 составляет С=30,17 мкФ.
2.5 Г-образный фильтр нижних частот (ФНЧ-2)
2.5.1 Частотные характеристики ФНЧ-2
В целях повышения коэффициента прямоугольности передаточной функции по мощности применяют фильтры нижних частот второго порядка, в состав которых входят два реактивных элемента: L и C.
Рассмотрим Г-образный ФНЧ, схема которого представлена на Рис.2.8 (см.также Рис.1.6).
L
Z1
Z2
CR
Рис.2.8. Электрическая схема Г-образного ФНЧ
Работа Г-образного ФНЧ:
при
при
На малых частотах индуктивное сопротивление мало, а емкостное сопротивление велико, поэтому ток проходит в нагрузку с малым ослаблением, не ответвляясь в емкость.
На больших частотах индуктивное сопротивление велико, а емкостное сопротивление мало. Ток, прошедший через индуктивность, закорачивается емкостью. Поэтому выходное напряжение мало.
Определим АЧХ и ФЧХ Г-образного ФНЧ, рассматривая его как Г-образный 4х-П, нагруженный активным сопротивлением R.
Комплексные сопротивления плеч фильтра:
Коэффициенты формы А:
Уравнение связи входного и выходного напряжений (1.6) принимает вид:
Обозначим, как и ранее, действительную и мнимую части (2.16):
- действительная часть;
- мнимая часть.
Уравнение (2.16) запишем в виде:
Фазочастотная характеристика ФНЧ-2 определяется по формуле:
Комплексная передаточная функция по напряжению определяется из (2.17):
Модули передаточных функций по напряжению и мощности принимают вид:
Таким образом, при известных значениях R, L, C-элементов, по формулам (2.18), (2.20) можно рассчитать и построить графики АЧХ и ФЧХ Г-образного ФНЧ.
С целью общего анализа частотных характеристик Г-образного ФНЧ представим передаточные функции (2.20) в параметрической форме, для чего обозначим:
- приведенная (нормированная) частота;
- резонансная частота;
- сопротивление индуктивности;
- проводимость емкости;
- волновое (характеристическое) сопротивление;
- коэффициент нагрузки.
|
|
После подстановки обозначений в (2.20) получим передаточные функции в параметрической форме:
Пример 2.3.
Рассчитать и построить семейство кривых передаточной функции по мощности в параметрической форме для трех значений коэффициента нагрузки:
Определить коэффициент прямоугольности передаточной функции по мощности при
Расчет передаточной функции по мощности, выполненный по формуле (2.21) приведен на Рис.2.9.
Из Рис.2.9 следует, что при Q1
=0,8 передаточная функция
достигает своего максимума, равного 1,86, а затем плавно уменьшается, Этот всплеск передаточной функции может быть желательным или нежелательным в зависимости от конкретного назначения фильтра.
При Q2
=1 всплеск передаточной функции
значительно меньше и при
он вовсе отсутствует.
Таким образом, характер изменения передаточной функции
Г-образного ФНЧ целиком определяется значением коэффициента нагрузки Q, который, в свою очередь, зависит от комбинации значений RLC-элементов. Следовательно, путем соответствующего выбора LC-элементов можно изменить форму кривой передаточной функции.
Коэффициент прямоугольности передаточной функции по мощности при
составляет П=0,807, что значительно больше, чем у ФНЧ-1.
2.5.2 Синтез Г-образного фильтра нижних частот
Техническое задание на проектирование Г-образного ФНЧ формулируется следующим образом.
1. Спроектировать Г-образный ФНЧ, схема которого представлена на Рис.2.8.
2. На вход фильтра подаются сигналы синусоидальной формы, частота которых изменяется от нуля до бесконечности.
3. Передаточные функции по напряжению и мощности в полосе пропускания (0…f2
), должны быть максимально плоскими, т.е. не иметь всплесков, превышающих единицу, и на верхней границе полосы пропускания должны принимать значения
.
4. Сопротивление нагрузки чисто активное, равное R.
5. Рассчитать потребные значения индуктивности и емкости для построения фильтра. Построить графики АЧХ и ФЧХ, оценить коэффициент прямоугольности передаточной функции по мощности.
Порядок проведения расчетов состоит в следующем.
Из анализа ТЗ и формул передаточных функций (2.20) следует, что при заданных значениях
необходимо найти два неизвестных параметра L и C, при которых фильтр будет удовлетворять требованиям технического задания.
Другими словами, необходимо найти такие значения L, С-элементов, при которых передаточная функция H(w) проходит через точку на плоскости с координатами w2,
H1
.
Математически это означает, что для определения двух неизвестных необходимо составить два независимых уравнения и решить эту систему относительно L и С.
Для составления первого уравнения необходимо из семейства кривых Рис.2.9 выбрать кривую, которая соответствует требованиям ТЗ, и по ней при заданном значении
найти значение приведенной частоты n2
.
В данном случае требованиям ТЗ удовлетворяет передаточная функция
, построенная при
.
Точное значение приведенной частоты определяется путем решения уравнения:
Результаты расчетов по формуле (2.22) при
приведены в таблице 2.1.
Таблица 2.1.
H1
|
0.707 |
0.6 |
0.5 |
0.4 |
0.3 |
0.2 |
0.1 |
n2
|
1.0 |
1.55 |
1.316 |
1.513 |
1.783 |
2.213 |
3.154 |
Найденная приведенная частота n2
связана с верхней границей полосы пропускания
и неизвестной резонансной частотой w0
следующим соотношением:
Отсюда получаем первое независимое уравнение для определения неизвестных LC-элементов
Выбранная кривая передаточной функции
построена при
.
Следовательно, второе независимое уравнение можно записать в виде:
Совместное решение (2.23) и (2.24) дает формулы для определения неизвестных LC-элементов:
Теперь по формулам (2.18), (2.20), и (2.25) можно рассчитать потребные значения LC-элементов для построения Г-образного ФНЧ, а также рассчитать и построить графики АЧХ и ФЧХ этого спроектированного фильтра.
Пример 2.4.
Спроектировать Г-образный ФНЧ, схема которого представлена на Рис.2.8:
Исходные данные:
R=100 Ом – сопротивление нагрузки;
f2
=1000 Гц – верхняя граница полосы пропускания;
H(f2
)=0,707 – значение передаточной функции по напряжению на верхней границе полосы пропускания.
Требование к фильтру: передаточные функции по напряжению и мощности в полосе пропускания должны быть максимально плоскими, т.е. не иметь всплесков и провалов.
Решение
. Из Рис.2.9. выбираем кривую
, которая удовлетворяет требованиям технического задания.
Из таблицы 2.1 по заданному значению Н1
=Н(f2
)=0,707 выбираем соответствующее значение приведенной частоты n2
=1.
По формулам (2.25) определяем потребные значения LC-элементов для построения Г-образного ФНЧ.
По формулам (2.18) и (2.20) рассчитываем АЧХ и ФЧХ спроектированного фильтра и оцениваем коэффициент прямоугольности передаточной функции по мощности этого фильтра.
Результаты расчетов приведены на Рис.2.10 и Рис.2.10а.
Из этих результатов главными являются найденные значения индуктивности и емкости: L=23 мГн и С=1,125 мкФ, при которых передаточные функции на верхней границе полосы пропускания принимают заданные значения:
Следовательно, спроектированный Г-образный ФНЧ удовлетворяет требованиям технического задания.
Коэффициент прямоугольности передаточной функции по мощности Г-образного ФНЧ составляет П=0,807.
Отметим, что изложенный порядок проектирования носит общий характер и может применяться в среде Mathcad при любой комбинации исходных данных: H1
, f2
, R, Q.
2.6 Т-образный фильтр нижних частот
2.6.1 Частотные характеристики Т-образного фильтра нижних частот
В целях дальнейшего повышения коэффициента прямоугольности применяют фильтры третьего порядка, к числу которых относится Т-образный ФНЧ, изображенный на Рис.2.11.
L1
L2
Z1
Z3
Z2
CR
Рис.2.11. Электрическая схема Т-образного ФНЧ
Работа Т-образного ФНЧ
На малых частотах индуктивные сопротивления Z1
, Z3
малы, а емкостное сопротивление Z2
велико, поэтому ток проходит в нагрузку с малым ослаблением.
На больших частотах на пути тока в нагрузку стоят два больших сопротивления индуктивностей L1
и L2
, а ток, прошедший через L1
закорачивается малым емкостным сопротивлением.
Определим АЧХ и ФЧХ Т-образного ФНЧ, рассматривая его как Т-образный 4х-П, нагруженный активным сопротивлением R.
Комплексные сопротивления плеч фильтра:
Коэффициенты формы А:
где - коэффициент асимметрии фильтра, который может быть выбран в пределах
Уравнение связи входного и выходного напряжений:
Фазо-частотная характеристика фильтра определяется по формулам (1.8), а передаточная функция по напряжению рассчитывается по формуле (1.10).
Таким образом, при известных значениях RLC - элементов можно рассчитать и построить графики АЧХ и ФЧХ Т-образного ФНЧ, используя формулы (1.8), (1.10) и (2.26).
Представим, как и ранее для Г-образного ФНЧ, передаточные функции по напряжению и мощности в параметрической форме:
Пример 2.5.
Рассчитать и построить семейство кривых передаточной функции по мощности в параметрической форме (2.27) для трех значений коэффициента нагрузки:
Результаты расчетов представлены на Рис.2.12.
Из Рис.2.12 следует, что для Т-образного несимметричного ФНЧ оптимальным значением коэффициента нагрузки следует считать Q2
=1,0 при коэффициенте асимметрии
, который был определен в результате предварительных исследований.
Коэффициент прямоугольности передаточной функции по мощности Т-образного несимметричного ФНЧ при Q=1 и
равен П=0,905.
2.6.2. Синтез Т-образного фильтра нижних частот
Поставим задачу спроектировать Т-образный несимметричный ФНЧ по ТЗ на проектирование Г-образного ФНЧ.
Из Рис.2.11 видно, что в состав Т-образного фильтра входят три неизвестных реактивных элемента: L1
, L2
и С, которые необходимо определить.
Следовательно, для определения трех неизвестных необходимо составить три независимых уравнения.
Порядок определения L1
и С аналогичен порядку определения этих элементов для Г-образного ФНЧ.
Из семейства кривых Рис.2.12 выбираем кривую, которая удовлетворяет требованиям ТЗ. В данном случае выбираем кривую
которая построена при Q2
=1.
После этого определяем значение приведенной частоты n2
, на которой Н(n2
)=Н1
. Для этого решаем следующее уравнение:
в результате получим таблицу 2.2.
Таблица 2.2.
Н1
|
0,707 |
0,6 |
0,5 |
0,4 |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
n2
|
1,5036 |
1,615 |
1,730 |
1,867 |
2,049 |
2,327 |
2,890 |
Далее, как и для Г-образного ФНЧ, можем записать два уравнения для определения L1
и С:
Совместное решение этих уравнений дает формулы для определения L1
и С:
Значение второй индуктивности L2 определяется из условия выбранного коэффициента асимметрии
Пример 2.6.
Спроектировать Т-образный ФНЧ, схема которого показана на Рис.2.11.
Исходные данные:
R=100 Ом – сопротивление нагрузки;
f2
=1000 Гц – верхняя граница полосы пропускания;
H1
=H(f2
)=0,707 – значение передаточной функции по напряжению на верхней границе полосы пропускания.
Передаточные функции H(f) и h(f) в полосе пропускания не должны иметь всплесков и провалов.
Решение.
Из таблицы 2.2 по заданному значению H1
=H(f2
)=0,707 при Q=1 выбираем значение приведенной частоты n2
=1,5036.
Потребные значения индуктивностей и емкости определяем по (2.28), (2.29).
Расчет передаточной функции по мощности проведем по формуле (1.10), ФЧХ – по формуле (1.8) с учетом (2.26).
Результаты расчетов представлены на Рис.2.14, Рис.2.14а.
Из этого рисунка видно, что потребные значения индуктивностей и емкости для построения несимметричного Т-образного ФНЧ составляют: L1
=24мГн, L2
=11 мГн, C=2,389 мкФ.
Передаточные функции на верхней границе полосы пропускания принимают значения: Н(f2
)=0,707, h(f2
)=0,5, что и требовалось по техническому заданию.
Коэффициент прямоугольности передаточной функции по мощности составляет П=0,905.