График 1:
1 этап курсовой работы
Расчет цепи с двумя реактивными элементами в переходных процессах классическим методом
1 этап
Запишем начальные условия в момент времени t(-0)
i2(-0)
=i1(-0)
=
=
= 1.52 (A)
Uc(-0)
= i2
.
R2
=Uc(+0)
Напишем уравнения по законам Кирхгофа для цепи:
i1
-i2
-ic
=0 (1)
i1
.
R1
+ i2
.
R2
+L
=U (2)
i1
.
R1
+ Uc
=U (3)
Из (2) уравнения выразим i1
i1
=
(2.1)
i1
из уравнения (2.1) подставим в (1) и выразим ic
ic
=
(1.1)
i1
подставим в (3) и выразим Uc
U=
(3)
Uc
=U-U- i2
.
R2
-
(3)
Uc
=i2
.
R2
+
(3.1)
Uc
=
(3.2)
Подставим в место Uc
и ic
вуревнение (3.2), получим:
(3.3)
Продифференцируем уравнение (3.3) и раскроем скобки:
(3.4)
В дифференциальном уравнении(3.4) приведём подобные слогаемые:
2 этап
Во втором этапе мы решим дифференциальное уравнение относительно i2
, для этого мы представим i2
как сумму двух составляющих i2св
– свободная составляющая и i2вын
– вынужденная составляющая
i2
=i2св
+i2вын
i2вын
найдём по схеме
i2вын
=
i2св
найдём из дифференциального уравнения подставив численные значения в уравнение и заменив
через l, а
через l2
получим:
Ll2
+R2
l+
l+
=0 (3.5)
Решим характеристическое уравнения (3.5) найдя его корни l1
и l2
0.1l2
+10l+
l+
15384,6+153,85l+40000+10l+0,1l2
=0
Д=b2
-4ac=(163,85)2
-4.
0,1.
55384,6=26846,82-22153,84=4692,98
l1,2
=
;
;
l1
l2
– вещественные
l1
=
l2
=
i2св
=А1
е-477t
+А2
е-1162t
(3.6)
i2
=1.94+ А1
е-477t
+А2
е-1162t
(3.7)
3 этап
Найдём А1
и А2
исходя из начальных условий, законов коммутации и на основании системы уравнений Кигхгофа записаных на 1 этапе.
Найдём ток i2
для момента времени t = +0. Для этого продифференцируем уравнение (3.6) при t=0.
i2(+0)
=i2вын(+0)
+ А1
+А2
-477 А1
-1162 А2
Из уравнения (2) найдём
для момента времени t+0
(3.8)
Из уравнения (3) выразим i1
для момента времени t+0 при Uc
=i2
R2
i1
=
(3.9)
Найдём
подставив значение i1
из уравнения (3.9) в уравнение (3.8)
(4.0)
Подставим значение
, i2(+0)
, i2вын
в систему и найдём коэффициенты А1
и А2
1,52=1,94+ А1
+ А2
(4.1)
2=-477 А1
-1162 А2
(4.2)
Из уравнения (4.1) выразим A1
и подставим в (4.2)
А1
=-0,42-А2
2=-477(-0,42-А2
)-1162А2
(4.3)
Из уравнения (4.3) найдём А2
2=200,34+477А2
-1162А2
2=200,34-685А2
А2
=
А1
=-0,42-0,29=-0,71
Подставим найденные коэффициенты А1
и А2
в уравнение (3.7)
i2
=1,94-0,71е-477t
+0,29е-1162t
(А)
4 этап
Определяем остальные переменные цепи UL
, Uc
, ic
, i1
UL
=
(В)
Uc
=
+i2
R2
=
=
(В)
ic
=
(А)
i1
=ic
+i2
=(0,044е-477t
+0,014е-1162t
)+( 1,94-0,71е-477t
+0,29е-1162t
) =
=1,94-0,666е-477t
+0,304е-1162t
(А)
Построим графики изменения найденных величин в одних осях. Графики изменения построим на интервале, равном времени переходного процесса tnn
.
Это время определим по формуле:
tnn
=
Найдём tпп
время переходного процесса
tпп
=
(с)
Таблица переменных
Время переходного процесса tnn (c) |
Значение тока
i1
(A)
|
Значение тока
i2
(A)
|
Значение тока
ic
(A)
|
Значение напряжения
UL
(B)
|
Значение напряжения
UC
(B)
|
0.000 |
1.578 |
1.520 |
0.058 |
0.20 |
15.22 |
0.001 |
1.622 |
1.590 |
0.032 |
10.49 |
16.95 |
0.002 |
1.713 |
1.695 |
0.018 |
9.75 |
17.92 |
0.003 |
1.790 |
1.779 |
0.011 |
7.07 |
18.50 |
0.004 |
1.844 |
1.837 |
0.006 |
4.70 |
18.84 |
0.005 |
1.879 |
1.875 |
0.004 |
3.02 |
19.06 |
0.006 |
1.902 |
1.899 |
0.0025 |
1.90 |
19.19 |
0.0063 |
1.907 |
1.905 |
0.0022 |
1.65 |
19.21 |
Рисунок 3 - График токов
где
i1
i2
ic
Рисунок 4 – График напряжений
где
UL
UC
2 этап курсовой работы
2. Найдём выражение для тока в катушке при действии в цепи источника синусоидального напряжения:
e(t)=Em
sin(wt+j)
R
1
где Em
=100 (B)
w=2pf
=2 3,14 50=314 (Гц)
j=300
R1
=R2
=10 (Ом) L=100 (мГн)
R3
=9 (Ом) С=100 (мкФ)
w=314 (Гц)
XL
=wL=314.
0,1=31,4 (Ом)
XC
=
(Ом)
Найдём начальные условие:
U(t)=Um
sin(wt+j)=100sin(314+30);
Um
=100ej30
=86,603+j50 (В)
UC(-0)
=0 (B)
Найдём полное сопротивление цепи
Zп
=R1
+R3
+jXL
=10+9+j31,4=19+j31,4 (Ом)
Зная сопротивление и напряжение найдём I3m
I3m
=I1m
=
(А)
Найдём мгновенное значение тока
i3
(t)=I3m
sin(wt+j)=2.725sin(314t-28.82) (A)
Для времени t=0 ток будет равен
i3(-0)
=2.725sin(-28.82)=-1.314 (A)6 (A)
Таким образом
UC(-0)
=UC(+0)
=0 (B)
i3(-0)
= i3(+0)
=-1.314 (A)
1 этап
Напишем уравнения по законам Кирхгофа для цепи:
i1
-i2
-i3
=0 (1/
)
i1
.
R1
+ i3
.
R3
+L
=U(t) (2/
)
i1
.
R1
+i2
.
R2
+Uc
=U(t) (3/
)
Из (2/
) уравнения выразим i1
i1
=
(2/
.1)
i1
из уравнения (2/
.1) подставим в (1/
) и выразим i2
i2
=
(1/
.1)
U(t)=U(t)-i3
.
R3
-L
+R2
-
(3.1)
Продифференцируем уравнение (3.1) раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
(3.2)
2 этап
Вид решения для i3св
при действии в цепи источников постоянного и переменного напряжений одинаков, так как в однородном дифференциальном уравнении отсутствует параметр U, а значит, вид i3св
не зависит от входного напряжения.
Таким образом, выражение, которое было найдено в 1этапе, будет иметь следующий вид:
i3св
=А1
е-406t
+А2
е-234t
Теперь найдём вынужденную составляющую тока катушки i3вын
i3вын
находим для цепи в послекоммутационном режиме. Расчёт параметров схемы при действии e(t);
Найдём вынужденную составляющую амплитудного тока I1
, а для этого найдём Zп вын
сопротивление цепи:
Zп
вын
=
(Ом)
I1m
=
(A)
Найдём Uab вын
Uab m
= I1m
(В)
I3 m
=
(A)
Найдём i3 вын
I3
вын
= I3 m
sin(wt+j)=2.607sin(314t-43.60) (A)
Таким образом
i3
=2.607sin(314t-43.60)+А1
е-406t
+А2
е-234t
3/
этап
Найдём А1
и А2
исходя из начальных условий, законов коммутации и на основании системы уравнений Кигхгофа записаных на 1/
этапе.
i3
=2.607sin(314t-43.60)+А1
е-406t
+А2
е-234t
i3(+0)
=i3(-0)
=-1.314 (A)
i3(+0)
=2.607sin(-43.60)+A1
+A2
=-1.798+A1
+A2
R1
i1
=U(t)-R2
i2
-UC
=
=
Подставим значение
, i3(+0)
, и найдём коэффициенты А1
и А2
для времени t+0
-1.314=-1.798+A1
+A2
433.96=592/806-406A1
-234A2
A1
=-1.314+1.798-A2
=0.484- A2
433.96=592.806-406(-0.484- A2
)-234 A2
433.96-592.806+406 .
0.484= A2
(406-234)
37.658=172A2
A2
=0.219
A1
=0.265
Ток i3
будет равняться
I3
=2.607sin(314t-43.600
)+0.265е-406t
+0.219е-234t
(A)
Таблица переменных
Время t, c |
0.000 |
0.001 |
0.002 |
0.003 |
0.004 |
0.005 |
0.006 |
0.0063 |
Ток i2, A |
1.115 |
1.327 |
1.528 |
1.671 |
1.7428 |
1.7430 |
1.6745 |
1.6413 |
3 этап курсовой работы
Найдём выражение для тока катушки операторным методом:
R
1
R2
Запишем начальные условия в момент времени t(-0)
I3(-0)
=
=
= 5.263 (A)
Uc(-0)
=0 (В)
Нарисуем схему замещения цепи для расчёта тока катушки операторным методом.
В ветви с реактивными элементами добавим ЭДС, так как у нас не нулевые начальные условия. Причём в ветвь катушки по на правлению тока, а в ветвь конденсатора против тока.
Определим операторное изображение тока катушки. Для этого составим систему уравнений по законам Кирхгофа, направление ЭДС катушки указанo на схеме.
I1(p)
-I2(p)
-IC(p)
=0 (1.3)
(2.3)
(3.3)
Из уравнения (2.3) выразим ток I1
(p) и подставим в уравнение (3.3):
Из уравнения (3.3)
(2.3.1)
(2.3.2)
Подставим численные значения элементов
По полученному изображению найдём оригинал тока .
Операторное решение тока имеет вид правильной дроби I=
. Оригинал тока найдём при помощи теоремы разложения.
Определим корни знамена теля, для этого приняв его равным нулю.
p1
=0
0,000065p2
+0,1065p+36=0
Д=(0б1065)2
-4.
0,000065.
36=0,0019
I2
(p)=
Найдём A1
A2
A3
Коэффициент An
будем искать в виде,
где N(p) – числитель, а M(p) – знаменатель
A1
=
A2
=
A3
=
Таким образом, i2
(t) будет равняться
i2
(t)=A1
.
exp(p1
t)+ A2
.
exp(p2
t)+ A3
.
exp(p3
t)=1,944-0,71e-477t
+0,3e-1162t
Искомый ток катушки i2
равняется :
i2
=1,944-0,71e-477t
+0,3e-1162t
(A)
Токи сходятся.
4 этап курсовой работы
Начертим схему для расчёта цепи интегралом Дюамеля и рассчитаем её
Определим переходную характеристику h1
(t) цепи по напряжению UR2
. Для этого рассчитаем схему при подключении цепи в начальный момент t=0 к источнику единичного напряжения. Рассчитаем схему классическим методом. Так как нулевые начальные условия UC(-0)
=UC(+0)
=0, это значит дополнительных ЕДС не будет.
Напишем уравнения по законам Кирхгофа для цепи:
i1
-i2
-ic
=0
i1
.
R1
+ i2
.
R2
=U iс
=
iс
.
R3
-i2
.
R1
+Uc
=0 i1
=i2
+iс
i1
=i2
+iс
i2
(R1
+R2
)+iс
R1
=U i2
=
iс
.
R3
-i2
.
R1
+Uc
=0
iс
.
R3
+Uc
-
+
ic
+
+
+
0,00043l+1=0 l=-2322,58 (
)
UC св
=Ae-2322,58t
UC вын
=
(B)
UC
=UC св
+UC вын
=0,278+Ae-2322,58t
A=-0,278
UC
=0,278-0,278e-2322,58t
(B)
iс
=
=25.
10-6.
0,278.
2322,58e-2322,58t
=0,016e-2322,58t
(A)
Uab
=ic
R3
+UC
=0,278-0,12e-2322,58t
(B)
Таким образом переходная характеристика h1
(t) будет равна
h1
(t)=UR2
(t)=0,28-0,12.
e-2322,58t
(В)
t=
(c)
5 этап курсовой работы
Для расчета переходного процесса используем интеграл Дюамеля.
Переходную характеристику h1
(t) возьмем из предыдущего этапа
h1
(t)=0,28-0,12.
e-2322,58t
(В)
tпп
=
(c)
Найдёмt, t1
, t2
, U1
/
(t), U2
/
(t):
t=
(с)
t1
=t=0.00043 (c) t2
=1,5t=0.00065 (c) t3
=2t=0.00086 (c)
U0
=20 (В); U1
=-5 (B); U2
=-10 (B);
U1
/
(t)=0 (
) U2
/
(t)=
(
)
U3
/
(t)=
(
)
Запишем уравнение UR2
(t) для интервала :
UR2
=U0
.
h1
(t)+
(B)
t (c) |
0 |
0.0001 |
0.0002 |
0.0003 |
0.0004 |
0.00043 |
UR2 (B) |
3.2 |
3.697 |
4.092 |
4.404 |
4.652 |
4.716 |
Запишем уравнение UR2
(t) для интервала :
UR2
=U0
.
h1
(t)+
+
-
(B)
t (с) |
0,00043 |
0.00045 |
0.0005 |
0.00055 |
0.0006 |
0.00065 |
UR2 (B) |
4,14 |
3,64 |
2,37 |
1,06 |
-0,27 |
-1,64 |
Запишем уравнение UR2
(t) для интервала :
UR2
=U0
.
h1
(t)+
+
=
-
)+
+
(B)
t (c) |
0.00065 |
0.0007 |
0.00075 |
0.0008 |
0.00085 |
0.00086 |
UR2(B) |
-5,145 |
-4,396 |
-3,653 |
-2,914 |
-2,179 |
-2,03 |
Запишем уравнение UR2
(t) для интервала :
UR2
=U0
.
h1
(t)+
+
-
+
(B)
t (c) |
0.00086 |
0.0009 |
0.00095 |
0.001 |
0.0013 |
UR2(B) |
-1,97 |
-1,79 |
-1,60 |
-1,42 |
-0,707 |
Строим графики U(t) и UR2
(t) по данным таблиц.