|
Интерполяция
Интерполя́ция
, интерполи́рование
— в вычислительной математике
способ нахождения промежуточных значений
величины по имеющемуся дискретному
набору известных значений.
Многим из тех, кто сталкивается с научными и инженерными расчётами часто приходится оперировать наборами значений, полученных экспериментальным
путём или методом случайной выборки
. Как правило, на основании этих наборов требуется построить функцию
, на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Такая задача называется аппроксимацией
кривой. Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.
Существует также близкая к интерполяции задача, которая заключается в аппроксимации какой-либо сложной функции другой, более простой функцией. Если некоторая функция слишком сложна для производительных вычислений, можно попытаться вычислить её значение в нескольких точках, а по ним построить, то есть интерполировать, более простую функцию. Разумеется, использование упрощенной функции не позволяет получить такие же точные результаты
, какие давала бы первоначальная функция. Но в некоторых классах задач достигнутый выигрыш в простоте и скорости вычислений может перевесить получаемую погрешность
в результатах.
Следует также упомянуть и совершенно другую разновидность математической интерполяции, известную под названием «интерполяция операторов». К классическим работам по интерполяции операторов относятся теорема Рисса-Торина
(Riesz-Thorin theorem
) и теорема Марцинкевича
(Marcinkiewicz theorem
), являющиеся основой для множества других работ.
Определения
Рассмотрим систему несовпадающих точек
(
) из некоторой области
. Пусть значения функции
известны только в этих точках:
Задача интерполяции состоит в поиске такой функции
из заданного класса функций, что
- Точки
называют узлами интерполяции
, а их совокупность — интерполяционной сеткой
.
- Пары
называют точками данных
или базовыми точками
.
- Разность между «соседними» значениями
— шагом интерполяционной сетки
. Он может быть как переменным так и постоянным.
- Функцию
— интерполирующей функцией
или интерполянтом
.
|