О.А. Мелихова
В работе подробно рассмотрена суть логического вывода на основе нечеткой метаимпликации, с помощью примеров показана максиминная свертка нечетких отношений, используемая в моделях принятия решений и при распознавании нечетких образов.
При выполнении нечетких выводов используются нечеткие соответствия R, заданные между одной проблемной областью (множество X) и другой областью (множество Y) в виде нечеткого подмножества прямого произведения
, определяемого по формуле [7,13]:
, (1.1)
где
– область отправления,
– область прибытия,
– функция принадлежности
нечеткому соответствию R, а знак
означает совокупность (объединение) множеств.
Если существует правило типа “если A, то B”, использующее нечеткие множества A
и B
, то один из способов построения нечеткого соответствия R состоит в следующем:
или
, (1.2)
где
– функции принадлежности элементов x, y соответственно множествам A и B.
Пример 1. Пусть X и Y- области натуральных чисел от 1 до 4. Определим следующим образом нечеткие множества: A= “маленькие”, B= “большие”.
X=Y={1,2,3,4}, т.е. для примера взят частный случай соответствия- отношение на множестве {1,2,3,4}:
.
Для примера “если x маленькое, то y большое” (или
, где знак означает операцию нечеткой метаимпликации) можно построить нечеткое отношение R следующим образом:
y1
|
y2
|
y3
|
y4
|
x1
|
0 |
0,1 |
0,6 |
1 |
R= |
x2
|
0 |
0,1 |
0,6 |
0,6 |
x3
|
0 |
0,1 |
0,1 |
0,1 |
x4
|
0 |
0 |
0 |
0 |
В качестве элементов матрицы R записаны значения
, вычисленные по формуле (1.2).
Для свертки нечетких отношений чаще выбирается свертка max-min (максиминная композиция). Пусть R – нечеткое соответствие множества X и множества Y, а S – нечеткое соответствие множества Y и множества V. Тогда нечеткое соответствие между X и V определяется как свертка (композиция)
, где
или
. (1.3)
Пример 2. Пусть
и заданы нечеткие множества A
= “не маленькие”, H
= “очень большие”, где
.
Тогда для правила “если y не маленькое, то v очень большое” (или
), в соответствии с формулой (1.2) нечеткое соответствие S определяется как
v1
|
v2
|
v3
|
v4
|
y1
|
0 |
0 |
0 |
0 |
S= |
y2
|
0 |
0 |
0,4 |
0,4 |
y3
|
0 |
0 |
0,5 |
0,9 |
y4
|
0 |
0 |
0,5 |
1 |
Если теперь по формуле (1.3) вычислить свертку max-min с нечетким отношением R, полученным в примере 1.1, то из двух отношений:
если x маленькое, то y большое,
если y не маленькое, то v очень большое
можно построить нечеткое отношение из X в V.
y1
|
y2
|
y3
|
y4
|
v1
|
v2
|
v3
|
v4
|
x1
|
0 |
0,1 |
0,6 |
1 |
y1
|
0 |
0 |
0 |
0 |
= |
x2
|
0 |
0,1 |
0,6 |
0,6 |
|
y2
|
0 |
0 |
0,4 |
0,4 |
= |
x3
|
0 |
0,1 |
0,1 |
0,1 |
y3
|
0 |
0 |
0,5 |
0,9 |
x4
|
0 |
0 |
0 |
0 |
y4
|
0 |
0 |
0,5 |
1 |
v1
|
v2
|
v3
|
v4
|
x1
|
0 |
0 |
0,5 |
1 |
= |
x2
|
0 |
0 |
0,5 |
0,6 |
x3
|
0 |
0 |
0,1 |
0,1 |
x4
|
0 |
0 |
0 |
0 |
Модель принятия решений на основе композиционного правила вывода описывает связь всех возможных состояний сложной системы с управляющими решениями. Формально модель задается в виде тройки (X,R,Y), где
– базовые множества, на которых заданы, соответственно, входы
и выходы
системы, R – нечеткое соответствие “вход-выход”. Соответствие R строится на основе словесной качественной информации специалиста (эксперта), путем непосредственной формализации его нечетких стратегий. Эксперт описывает особенности принятия решений при функционировании сложной системы в виде ряда высказываний типа “если
, то
, иначе, если
, то
, иначе, ..., если
, то
”. Здесь
,
,...,
– нечеткие подмножества, определенные на базовом множестве X, а
,
,...,
– нечеткие подмножества из базового множества Y. Все эти нечеткие подмножества задаются функциями принадлежности
и .
Способ построения нечеткого отношения связывает высказывания эксперта по правилу “если
, то
” и определяется функцией принадлежности
, получаемой по формуле (1.2). Связка “иначе” между правилами понимается как или-связка, поскольку общее нечеткое отношение состоит из: правило 1, или правило 2 , или, ..., или правило N. Поэтому общее отношение R формально определяется следующим образом:
, где i=1,..., N. (1.4)
Если предположить, что мы имеем нечеткое событие
, т.е. входную ситуацию, представленную нечетким подмножеством, и известно общее отношение R, тогда результирующее действие выводится по композиционному правилу вывода:
. Значение функции принадлежности для
вычисляется посредством максиминной операции, определяемой уравнением
. (1.5)
Рассмотренный логический вывод на основе нечеткой обобщенной метаимпликации хорошо зарекомендовал себя при использовании в экспертных системах, а также при принятии решений в реальном масштабе времени в задачах управления и контроля.
Список литературы
Заде Л.А. Основы нового подхода к анализу сложных систем и процессов принятия решений. /М.: Математика сегодня, 1974, с.5-49.
|