В данной работе исследуется задача о кручении упругопластического стержня. Рассмотрим очень длинный стержень. Выделим участок длины
из его середины, далеко от концов. Получившийся цилиндр приведен на Рис.1.
Рис.1 Стержень длины h
– основание стержня, описываемое уравнением
,
– основание стержня, описываемое уравнением
,
– боковая поверхность стержня.
Сделаем следующие предположения:
1. стержень сделан из изотропного материала;
2. на стержень не действуют объемные силы;
3. боковая поверхность свободна от нагружений;
4.
на
и
;
5.
на
;
6.
на
;
7.
на
;
Из второго условия следует, что уравнение равновесия запишется в виде:
(1.1)
Тогда допустимые поля напряжений принадлежат множеству
(1.2)
Последние два условия задают поворот точек верхнего сечения вокруг оси
, где
– угол закрутки на единицу длины.
В соответствии с принципом Хаара-Кармана поле
минимизирует функционал
(1.3)
Можно показать, что решение этой задачи таково, что все компоненты
, кроме
и
, равны нулю. Тогда из уравнений равновесия остается только одно:
(1.4)
Введем функцию тока
и положим:
Тогда уравнение (1.4) автоматически выполнено.
Уравнения
на части границы
можно представить в виде:
(1.5)
С другой стороны,
(1.6)
Следовательно,
, т.е.
на границе
. Не умаляя общности, можем положить
на
. Значит, .
Рассмотрим условие пластичности Мизеса:
,
– предел текучести материала. (1.7)
В данном примере,
. Отсюда,
почти везде на
. Переформулировав условие Мизеса в терминах
, получаем
(1.8)
В итоге принцип Хаара-Кармана приводит к следующей вариационной задаче:
З1
: Найти
такое, что достигает минимума функционал
,
где
, (1.9)
– коэффициент Пуассона. Не умаляя общности, можем положить
.
Если ввести билинейную форму
, элемент
и скалярное произведение
, то задача З1
запишется в виде
(1.10)
или в форме вариационного неравенства:
(1.11)
2. Математическая корректность
Теперь покажем, что задача З1
математически корректна.
Задача называется математически корректной, если выполнены три условия:
1) ее решение существует (условие существования);
2) решение единственно (условие единственности);
3) решение задачи непрерывно зависит от данных задачи (условие устойчивости).
Проверим выполнение всех трех условий.
2.1 Существование решения
Существование решения обеспечивается теоремой вариационного исчисления о том, что полунепрерывный выпуклый функционал достигает своей точной нижней грани на непустом, выпуклом, замкнутом подмножестве рефлексивного банахова пространства.
(2.1.1)
– рефлексивное банахово пространство,
Подмножество
является непустым, замкнутым и выпуклым множеством.
Покажем, что
– непрерывный и выпуклый функционал.
(2.1.2)
Пусть
:
в
Тогда
в
и
в
, при
Следовательно,
,
т.е. функционал является непрерывным.
Покажем выпуклость функционала, используя его запись в общем виде.
(2.1.3)
Таким образом, все условия указанной выше теоремы выполнены, и, следовательно, задача З1
имеет решение.
2.2 Единственность решения
Утверждение 1.
Билинейная форма
– V-эллиптическая.
Доказательство:
(в силу эквивалентности норм в пространстве
);
Утверждение 2.
Решение задачи З1
единственно.
Доказательство:
Будем доказывать это утверждение от противного.
Пусть существуют различные
, которые доставляют минимум функционалу
.
Тогда, из (1.11) выполнено:
(2.2.1)
(2.2.2)
Подставим в (2.2.1)
вместо
, в (2.2.2)
вместо .
Получим
(2.2.3)
(2.2.4)
Умножим (2.2.4) на -1:
Отсюда,
Форма
– эллиптическая,
.
Окончательно,
2.3 Устойчивость решения
Решение
должно удовлетворять неравенству
(2.3.1)
Перепишем неравенство (2.3.1) как
(2.3.2)
Неравенство (2.3.2) выполняется для
:
(2.3.3)
Оценим правую часть неравенства (2.3.3) сверху:
(2.3.4)
Левую часть (2.3.3) оценим снизу:
(2.3.5)
Тогда
(2.3.6)
- первое основное неравенство
3. Аппроксимация
, иначе
Рассмотрим семейство конечномерных пространств
, каждое из которых является внутренней аппроксимацией пространства
.
Будем строить
по схеме метода конечных элементов.
Построим триангуляцию области
. В результате получим область
, где
– число треугольников в разбиении,
– i-тый треугольник разбиения.
Для каждого узла триангуляции
построим аффинную функцию
, обладающую следующими свойствами:
1.
2.
, где
– вершины, смежные с
3.
, где
– семейство полиномов первого порядка.
Составим пространство
из построенных функций
.
Теперь необходимо аппроксимировать множество
, заданное формулой (1.9).
Пусть
. Тогда
.
Покажем, что множество
аппроксимирует
.
1)
От противного:
Пусть
такие, что
Но, по свойству предельной плотности
. Следовательно,
, т.е.
.
Отсюда, по лемме о сохранении строгих неравенств
требуемое свойство выполнено.
2)
слабо.
(конечномерное пространство), значит
сильно,
Запишем задачу З1
: найти
такое, что
Наряду с ней сформулируем задачу З2
:
найти
такое, что
При сделанных предположениях относительно
.
4. Численный метод
Для решения задачи З2
будем использовать метод штрафа.
Исходная вариационная задача:
(4.1)
Построим вспомогательный функционал
(4.2)
– функция штрафа. (4.3)
, если
, если
Тогда вместо решения задачи (4.1) можем решать задачу
. По свойствам функционала
ее решение
существует и единственно.
Кроме того,
– выпуклая, дифференцируемая по Гато функция [2].
Производная Гато функции
:
Тогда задача
эквивалентна решению уравнения
(4.4)
(4.5)
Можно показать, что
– монотонный оператор и
, если
[3].
Следовательно, решение вариационной задачи
.
Замечания по реализации:
Неизвестную функцию решения
будем искать в виде:
, (4.6) где
– число узлов триангуляции,
– значение функции
в i-том узле,
– базисная функция из пространства
.
Тогда задача минимизации функционала (4.2) превратится в задачу многомерной минимизации по
:
5. Тесты
Алгоритм для нахождения минимума функционала (4.2) реализован в среде Matlab.
Были проведены расчеты для различных форм сечений стержня (области
): круга, квадрата и треугольника.
В случае если сечение стержня – круг, то известно аналитическое решение задачи.
1)
. Точное решение задачи
.
На рис. 2-5 продемонстрированы численные решения задачи при разных разбиениях
.
Рис.2 Число узлов = 29
Рис.3 Число узлов = 146
Рис.4 Число узлов = 270
Рис.5 Число узлов = 549
Для оценки погрешности решения введем величину
, характеризующую относительную погрешность.
Здесь
– точное решение,
– численное решение;
, где
– число узлов.
В таблице 1 приведены результаты сравнения численного и точного решения.
№ теста |
Число элементов |
Число узлов |
Относит.погрешность
|
1 |
40 |
29 |
0.03035 |
2 |
258 |
146 |
0.00631 |
3 |
490 |
270 |
0.01735 |
4 |
1032 |
549 |
0.00219 |
Таблица 1 Результаты сравнения (1).
2)
. Точное решение задачи
.
На рис. 6-9 продемонстрированы численные решения задачи при разных разбиениях
.
Рис.6 Число узлов = 29
Рис.7 Число узлов = 146
Рис.8 Число узлов = 270
Рис.9 Число узлов = 549
Как и в первом примере, вычислена относительная ошибка, см. Таблицу 2.
№ теста |
Число элементов |
Число узлов |
Относит.погрешность
|
1 |
40 |
29 |
0.18035 |
2 |
258 |
146 |
0.08561 |
3 |
490 |
270 |
0.04981 |
4 |
1032 |
549 |
0.03484 |
Таблица 2 Результаты сравнения (2).
3) На Рис.10-11 изображены численные решения задачи для стержня с квадратным сечением,
Рис.10 Число узлов = 27
Рис.11 Число узлов = 177
4) На Рис.12 изображено численное решение задачи для стержня с треугольным сечением,
Рис.12 Число узлов = 144
Выводы
В ходе выполнения данной работы была изучена задача о кручении упругопластического стержня.
Показано, что решение задачи существует и единственно.
Предложен метод численного решения поставленной задачи, основанный на применении конечноэлементного подхода для перехода от бесконечномерной задачи к конечномерной, а также на применении метода штрафа для минимизации целевого функционала.
Проведены различные численные эксперименты; для случая, когда известно аналитическое решение задачи, вычислена относительная ошибка численного решения по сравнению с точным.
Список литературы
- Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. – М.:Мир, 1980.
- Гловински Р., Лионс Ж.-Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. – М.:Мир, 1979.
- Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. – М.:Мир, 1972.