П
лан
- Схеми застосування інтеграла до знаходження геометричних і фізичних величин
- Обчислення площі плоскої фігури
- Обчислення площі в декартових координатах
- Площа криволінійного сектора в полярних координатах
ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА
1. Площа плоскої фігури
1.1. Обчислення площі в декартових координатах
В п.9.2. мова йшла про те, коли розглядається площа криволінійної трапеції, обмеженої віссю
кривою
причому
на відрізку
може бути як додатною, так і від’ємною, то площа такої криволінійної трапеції обчислюється за формулою
(10.1)
Нехай у прямокутній системі координат фігура
(рис.10.1) обмежена кривими
Виділимо у фігурі смужку шириною
. Її довжина дорівнюватиме
. Тоді площа смужки
.
Звідси
Отже,
(10.2)
Рис.10.1 Рис.10.2
Обчислимо тепер площу криволінійної трапеції у випадку, коли крива задана рівняннями в параметричній формі
(10.3)
Нехай рівняння (10.3) визначають деяку функцію
на відрізку
а тому площа криволінійної трапеції може бути обчислена за формулою
Зробивши заміну в цьому інтегралі
і враховуючи, що
одержимо
(10.4)
1.2. Площа криволінійного сектора
в полярних координатах
Нехай криві, що обмежують фігуру, задані рівнянням в полярній системі координат і відрізками двох полярних радіусів (рис. 10.2) .Знайдемо площу фігури
якщо:
,
У фігурі
виділимо сектор з центральним кутом
Вважатимемо, що дуги, які обмежують сектор
, є дугами кіл радіусів
. Очевидно, що площа сектора
між дугами
i
дорівнює
Інтегруючи, одержимо
(10.5)
Приклад 1.
Знайти площу фігури, обмеженої гіперболою
, віссю
і прямою, яка з’єднує точку
, що лежить на гіперболі, з початком координат.
Р о з в ’ я з о к. З рівняння гіперболи маємо
Щоб знайти площу заштрихованої на рис.10.3 фігури, досить знайти площу фігури
, а потім від площі трикутника
відняти площу фігури
.
Отже,
.
Найкращим методом для обчислення цього інтеграла є інтегрування частинами. В результаті інтегрування дістанемо
Оскільки
то
.
Цікаво, що цю площу можна записати у вигляді
Рис.10.3 Рис.10.4
,
де
- функція, обернена відносно функції
.
Пропонується переконатися в цьому самостійно.
Приклад 2.
Знайти площу фігури, обмеженої кривою
.
Р о з в ’ я з о к.Перейшовши в цьому рівнянні до прямокутної системи координат, легко встановити, що відповідна крива є центрально-симетричною відносно системи координат. Крім того, із заданого рівняння видно, що
, тобто крива повністю знаходиться всередині кола радіуса
з центром в початку координат, що дотикається вона до кола лише в точках
, проходить
через початок координат при
, дотикаючись до прямих
. Отже графік заданої функції має вигляд чотирипелюсткової троянди (рис. 10.4). Очевидно, що для обчислення площі досить знайти площу заштрихованої фігури і потім її помножити на 8. Отже,
|