Южно Уральский Государственный Университет
Кафедра “Автоматики и телемеханики”
К У Р С О В А Я Р А Б О Т А
По теме “Моделирование систем управления”
Вариант № 17
Выполнила: Киселева Е.В.
Группа 421
Проверил: Стародубцев Г.Е.
Миасс, 1999 г.
Задание на курсовое проектирование
1. Провести полный факторный эксперимент вида 3^3 с моделью BLACK BOX
2. Методом регрессионного анализа получить аналитическую зависимость
y=f(x1,x2,t)
3. Составить модель полученного уравнения регрессии.
4. Провести оценку адекватности уравнения регрессии заданной модели по критерию Фишера для a=0,05 , рассчитать среднее абсолютное отклонение координат аналитической модели от заданной.
5. Провести оценку значимости коэффициентов регрессии по критерию Стьюдента для a=0,05
6. Получить графики ошибки
ym
-yr
=f(t)
ym
- выходная координата модели BLACK BOX
yr
- выходная координата созданной модели
Значения параметров:
x1= 0.6 ... -1.4
x2= 2.0 ... 0.6
t = 2 ... 10
b = 1.1
Экспериментальные данные.
1. Составим последовательность имитации эксперимента, исходя из данных курсового задания, и представим в матричной форме. Имитационная модель – это модель системы управления с введением случайной переменной погрешности b=1,1.
Необходимо найти аналитическое уравнение связи параметров системы и числовых знаковых коэффициентов. Уравнение регрессии имеет следующий вид:
Y=b0
+
S
bi
xi
+
S
bij
xi
xj
+
S
bii
xi
2
bi
xi
– линейная регрессия,
bij
xi
xj
-
неполная квадратичная регрессия,
bii
xi
2
-
квадратичная регрессия.
Схема для проведения экспериментов (приложение №1 Vissim 32)
Матричная форма имитационного эксперимента.
x0
|
x1
|
x2
|
x3=t
|
x1*x2
|
x1*x3
|
x2*x3
|
x1*x1
|
x2*x2
|
x3*x3
|
1
|
0,6
|
2
|
10
|
1,2
|
6
|
20
|
0,36
|
4
|
100
|
1
|
0,6
|
2
|
6
|
1,2
|
3,6
|
12
|
0,36
|
4
|
36
|
1
|
0,6
|
2
|
2
|
1,2
|
1,2
|
4
|
0,36
|
4
|
4
|
1
|
0,6
|
1,3
|
10
|
0,78
|
6
|
13
|
0,36
|
1,69
|
100
|
1
|
0,6
|
1,3
|
6
|
0,78
|
3,6
|
7,8
|
0,36
|
1,69
|
36
|
1
|
0,6
|
1,3
|
2
|
0,78
|
1,2
|
2,6
|
0,36
|
1,69
|
4
|
1
|
0,6
|
0,6
|
10
|
0,36
|
6
|
6
|
0,36
|
0,36
|
100
|
1
|
0,6
|
0,6
|
6
|
0,36
|
3,6
|
3,6
|
0,36
|
0,36
|
36
|
1
|
0,6
|
0,6
|
2
|
0,36
|
1,2
|
1,2
|
0,36
|
0,36
|
4
|
1
|
-0,4
|
2
|
10
|
-0,8
|
-4
|
20
|
0,16
|
4
|
100
|
1
|
-0,4
|
2
|
6
|
-0,8
|
-2,4
|
12
|
0,16
|
4
|
36
|
1
|
-0,4
|
2
|
2
|
-0,8
|
-0,8
|
4
|
0,16
|
4
|
4
|
1
|
-0,4
|
1,3
|
10
|
-0,52
|
-4
|
13
|
0,16
|
1,69
|
100
|
1
|
-0,4
|
1,3
|
6
|
-0,52
|
-2,4
|
7,8
|
0,16
|
1,69
|
36
|
1
|
-0,4
|
1,3
|
2
|
-0,52
|
-0,8
|
2,6
|
0,16
|
1,69
|
4
|
1
|
-0,4
|
0,6
|
10
|
-0,24
|
-4
|
6
|
0,16
|
0,36
|
100
|
1
|
-0,4
|
0,6
|
6
|
-0,24
|
-2,4
|
3,6
|
0,16
|
0,36
|
36
|
1
|
-0,4
|
0,6
|
2
|
-0,24
|
-0,8
|
1,2
|
0,16
|
0,36
|
4
|
1
|
-1,4
|
2
|
10
|
-2,8
|
-14
|
20
|
1,96
|
4
|
100
|
1
|
-1,4
|
2
|
6
|
-2,8
|
-8,4
|
12
|
1,96
|
4
|
36
|
1
|
-1,4
|
2
|
2
|
-2,8
|
-2,8
|
4
|
1,96
|
4
|
4
|
1
|
-1,4
|
1,3
|
10
|
-1,82
|
-14
|
13
|
1,96
|
1,69
|
100
|
1
|
-1,4
|
1,3
|
6
|
-1,82
|
-8,4
|
7,8
|
1,96
|
1,69
|
36
|
1
|
-1,4
|
1,3
|
2
|
-1,82
|
-2,8
|
2,6
|
1,96
|
1,69
|
4
|
1
|
-1,4
|
0,6
|
10
|
-0,84
|
-14
|
6
|
1,96
|
0,36
|
100
|
1
|
-1,4
|
0,6
|
6
|
-0,84
|
-8,4
|
3,6
|
1,96
|
0,36
|
36
|
1
|
-1,4
|
0,6
|
2
|
-0,84
|
-2,8
|
1,2
|
1,96
|
0,36
|
4
|
Матрица значений полученных в результате эксперимента.
y0
|
y1
|
y2
|
y3
|
y4
|
Ysr
|
235,09
|
235,41
|
235,727
|
234,95
|
236,37
|
235,51
|
134,71
|
136,34
|
136,881
|
135,22
|
135,76
|
135,78
|
67,067
|
68,544
|
67,82
|
68,197
|
68,574
|
68,04
|
140,38
|
140,7
|
141,017
|
140,24
|
141,66
|
140,8
|
60,996
|
62,634
|
63,171
|
61,508
|
62,046
|
62,071
|
14,357
|
15,834
|
15,11
|
15,487
|
15,864
|
15,33
|
64,287
|
64,606
|
64,926
|
64,146
|
65,565
|
64,706
|
5,906
|
7,544
|
8,081
|
6,418
|
6,956
|
6,981
|
-19,73
|
-18,26
|
-18,979
|
-18,6
|
-18,23
|
-18,759
|
100,25
|
100,57
|
100,887
|
100,11
|
101,53
|
100,67
|
65,866
|
67,504
|
68,041
|
66,378
|
66,916
|
66,941
|
64,227
|
65,704
|
64,98
|
65,357
|
65,734
|
65,2
|
-9,162
|
-8,843
|
-8,523
|
-9,303
|
-7,884
|
-8,743
|
-22,54
|
-20,91
|
-20,368
|
-22,03
|
-21,49
|
-21,468
|
-3,182
|
-1,705
|
-2,429
|
-2,052
|
-1,675
|
-2,2086
|
-99,95
|
-99,63
|
-99,313
|
-100,1
|
-98,67
|
-99,533
|
-92,33
|
-90,7
|
-90,158
|
-91,82
|
-91,28
|
-91,258
|
-51,97
|
-50,5
|
-51,219
|
-50,84
|
-50,47
|
-50,999
|
-53,19
|
-52,87
|
-52,553
|
-53,33
|
-51,91
|
-52,773
|
-21,57
|
-19,94
|
-19,398
|
-21,06
|
-20,52
|
-20,498
|
42,787
|
44,264
|
43,54
|
43,917
|
44,294
|
43,76
|
-177,3
|
-177
|
-178,663
|
-177,4
|
-176
|
-177,28
|
-124,7
|
-123
|
-122,509
|
-124,2
|
-123,6
|
-123,61
|
-39,32
|
-37,85
|
-38,569
|
-38,19
|
-37,82
|
-38,349
|
-282,8
|
-282,5
|
-282,153
|
-282,9
|
-281,5
|
-282,37
|
-209,2
|
-207,5
|
-206,999
|
-208,7
|
-208,1
|
-208,1
|
-102,8
|
-101,3
|
-102,059
|
-101,7
|
-101,3
|
-101,84
|
Вычислим коэффициенты B по формуле
B=(XT
X)-1
XT
Ysr
XT
– транспонированная матрица
Ysr- средние экспериментальные значения
b0
|
-29,799251
|
b1
|
13,6541852
|
b2
|
9,96405181
|
b3
|
-15,946707
|
b4
|
-21,000048
|
b5
|
16,508325
|
b6
|
7,50010119
|
b7
|
-9,3224778
|
b8
|
19,0904535
|
b9
|
0,99813056
|
Вычисления производились в Microsoft Excel по следующей формуле
=МУМНОЖ(МУМНОЖ(МОБР(МУМНОЖ(ТРАНСП (Хматрица);Хматрица));ТРАНСП(Хматрица));
Y
матрица)
Полученные коэффициенты подставим в уравнение регрессии и построим схему для проведения эксперимента (приложение №2,3 Vissim 32) и проведем эксперимент без использования дельты или шума.
Внесем полученные данные в столбец (Yip) таблицы.
Ysr
|
Si кв
|
Yip
|
(Yi-Yip)2
|
235,51
|
0,3219
|
234,7
|
0,61090
|
135,78
|
0,7492
|
135,5
|
0,06574
|
68,04
|
0,3897
|
68
|
0,00163
|
140,8
|
0,3219
|
140
|
0,68327
|
62,071
|
0,75
|
61,77
|
0,09060
|
15,33
|
0,3897
|
15,25
|
0,00646
|
64,706
|
0,3214
|
63,93
|
0,60218
|
6,981
|
0,75
|
6,73
|
0,06300
|
-18,759
|
0,3897
|
-18,78
|
0,00046
|
100,67
|
0,3219
|
99,93
|
0,54258
|
66,941
|
0,75
|
66,73
|
0,04452
|
65,2
|
0,3897
|
65,21
|
0,00009
|
-8,743
|
0,3214
|
-9,51
|
0,58829
|
-21,468
|
0,75
|
-21,71
|
0,05856
|
-2,2086
|
0,3897
|
-2,23
|
0,00046
|
-99,533
|
0,3216
|
-100,3
|
0,51380
|
-91,258
|
0,75
|
-91,45
|
0,03686
|
-50,999
|
0,3897
|
-50,97
|
0,00082
|
-52,773
|
0,3214
|
-53,48
|
0,49985
|
-20,498
|
0,75
|
-20,68
|
0,03312
|
43,76
|
0,3897
|
43,79
|
0,00088
|
-177,28
|
0,9015
|
-177,6
|
0,12013
|
-123,61
|
0,7492
|
-123,8
|
0,04902
|
-38,349
|
0,3897
|
-38,35
|
0,00000
|
-282,37
|
0,3219
|
-283,1
|
0,48525
|
-208,1
|
0,7492
|
-208,3
|
0,02938
|
-101,84
|
0,3892
|
-101,8
|
0,00240
|
S
Si=13,73
|
S
=
5,13026
|
Так как результаты опытов обладают статической неопределенностью, поэтому опыты воспроизводим несколько раз при одних и тех же значениях факторов для повышения точности коэффициентов регрессии за счет эффекта понижения дисперсии.
n=27
- экспериментов
m=10
– количество членов уравнения
Si
2
=1/g-1
*
S
(Ygi
-Yi
)2
, g
-
количество экспериментов ( 5)
Sy
2
=1/n
*
S
Si
2
S0
=
å
(Yi
-Yip
)2
/n-m –
среднеквадратичная ошибка на степень свободы
d
=
å
|Yi
-Yip
|/n –
среднее обсолютное отклонение между расчетными значениями
Адекватность вида регрессии уравнения определяется по критерию Фишера, а значимость коэффициентов по критерию Стьюдента и доверительного интервала на его основе.
F
расч
= S0
2
/Sy2
<
F
табл
(
a
,
n-m)
F
табл
=
1
,
77 ,
a
=0,05 –
уровень значимости
1-
a
®
р
– вероятность с которой уравнение будет адекватно.
n-m
Þ
27-10=17
– число степеней свободы
S
D
bj
2
=Sy
2
/n
- дисперсия коэффициентов взаимодействия
D
bj
=
±
tc
*
Ö
Sy
2
/
Ö
n
tc
=2,12
Sy2
|
0,5085
|
Fрасч
.
|
1,08031201
|
So
|
0,5493
|
S
g
2
|
0,01883355
|
d
|
0,4359
|
D
bj
|
0,29093901
|
|
p
|
0,95
|
F
табл
=
1
,
75
>
Fрасч
.=
1,08, значит система адекватна.
Уравнение регрессии примет вид.
Y=-29,79+13,65x1
+9,96x2
-15,94x3
-21x1
x2
+16,5x1
x3
+7,5x2
x3
-9,32x1
2
+19,09x2
2
+0,99x3
2
График ошибки (см. приложение № 4).
Вывод.
Исходя из полученных значений сделаем вывод, что полученная система очень мало отличается от заданной.
Уравнения адекватны
Коэффициенты значимы
Приложение № 1
Приложение № 2
|