| Введение.................................................................................................. 8
Целевая аудитория.............................................................................. 10
Глава 1. Основные понятия.................................................................. 15
Что такое алгоритмы?........................................................................ 15
Анализ скорости выполнения алгоритмов...................................... 16
Пространство — время..................................................................... 17
Оценка с точностью до порядка....................................................... 17
Поиск сложных частей алгоритма................................................... 19
Сложность рекурсивных алгоритмов............................................... 20
Многократная рекурсия.................................................................... 21
Косвенная рекурсия.......................................................................... 22
Требования рекурсивных алгоритмов к объему памяти................. 22
Наихудший и усредненный случай.................................................. 23
Часто встречающиеся функции оценки порядка сложности....... 24
Логарифмы........................................................................................ 25
Реальные условия — насколько быстро?........................................ 25
Обращение к файлу подкачки.......................................................... 26
Псевдоуказатели, ссылки на объекты и коллекции......................... 27
Резюме................................................................................................... 29
Глава 2. Списки..................................................................................... 30
Знакомство со списками.................................................................... 31
Простые списки................................................................................... 31
Коллекции.......................................................................................... 32
Список переменного размера........................................................... 33
Класс SimpleList................................................................................ 36
Неупорядоченные списки.................................................................. 37
Связные списки................................................................................... 41
Добавление элементов к связному списку....................................... 43
Удаление элементов из связного списка.......................................... 44
Уничтожение связного списка.......................................................... 44
Сигнальные метки............................................................................. 45
Инкапсуляция связных списков........................................................ 46
Доступ к ячейкам.............................................................................. 47
Разновидности связных списков...................................................... 49
Циклические связные списки............................................................ 49
Проблема циклических ссылок........................................................ 50
Двусвязные списки............................................................................ 50
Потоки............................................................................................... 53
Другие связные структуры................................................................ 56
Псевдоуказатели................................................................................. 56
Резюме................................................................................................... 59
Глава 3. Стеки и очереди...................................................................... 60
Стеки..................................................................................................... 60
Множественные стеки....................................................................... 62
Очереди................................................................................................. 63
Циклические очереди........................................................................ 65
Очереди на основе связных списков................................................ 69
Применение коллекций в качестве очередей................................... 70
Приоритетные очереди..................................................................... 70
Многопоточные очереди.................................................................. 72
Резюме................................................................................................... 74
Глава 4. Массивы.................................................................................. 75
Треугольные массивы........................................................................ 75
Диагональные элементы................................................................... 77
Нерегулярные массивы...................................................................... 78
Прямая звезда.................................................................................... 78
Нерегулярные связные списки.......................................................... 79
Разреженные массивы........................................................................ 80
Индексирование массива.................................................................. 82
Очень разреженные массивы............................................................ 85
Резюме................................................................................................... 86
Глава 5. Рекурсия.................................................................................. 86
Что такое рекурсия?........................................................................... 87
Рекурсивное вычисление факториалов........................................... 88
Анализ времени выполнения программы........................................ 89
Рекурсивное вычисление наибольшего общего делителя............. 90
Анализ времени выполнения программы........................................ 91
Рекурсивное вычисление чисел Фибоначчи................................... 92
Анализ времени выполнения программы........................................ 93
Рекурсивное построение кривых Гильберта................................... 94
Анализ времени выполнения программы........................................ 96
Рекурсивное построение кривых Серпинского.............................. 98
Анализ времени выполнения программы...................................... 100
Опасности рекурсии......................................................................... 101
Бесконечная рекурсия..................................................................... 101
Потери памяти................................................................................. 102
Необоснованное применение рекурсии......................................... 103
Когда нужно использовать рекурсию............................................ 104
Хвостовая рекурсия.......................................................................... 105
Нерекурсивное вычисление чисел Фибоначчи............................. 107
Устранение рекурсии в общем случае............................................ 110
Нерекурсивное построение кривых Гильберта............................ 114
Нерекурсивное построение кривых Серпинского....................... 117
Резюме................................................................................................. 121
Глава 6. Деревья.................................................................................. 121
Определения...................................................................................... 122
Представления деревьев................................................................... 123
Полные узлы.................................................................................... 123
Списки потомков............................................................................. 124
Представление нумерацией связей................................................ 126
Полные деревья............................................................................... 129
Обход дерева...................................................................................... 130
Упорядоченные деревья................................................................... 135
Добавление элементов.................................................................... 135
Удаление элементов........................................................................ 136
Обход упорядоченных деревьев.................................................... 139
Деревья со ссылками........................................................................ 141
Работа с деревьями со ссылками.................................................... 144
Квадродеревья................................................................................... 145
Изменение MAX_PER_NODE......................................................... 151
Использование псевдоуказателей в квадродеревьях..................... 151
Восьмеричные деревья................................................................... 152
Резюме................................................................................................. 152
Глава 7. Сбалансированные деревья.................................................. 153
Сбалансированность дерева............................................................ 153
АВЛ‑деревья....................................................................................... 154
Удаление узла из АВЛ‑дерева........................................................ 161
Б‑деревья............................................................................................ 166
Производительность Б‑деревьев.................................................... 167
Вставка элементов в Б‑дерево........................................................ 167
Удаление элементов из Б‑дерева.................................................... 168
Разновидности Б‑деревьев.............................................................. 169
Улучшение производительности Б‑деревьев................................. 171
Балансировка для устранения разбиения блоков.......................... 171
Вопросы, связанные с обращением к диску.................................. 173
База данных на основе Б+дерева.................................................... 176
Резюме................................................................................................. 179
Глава 8. Деревья решений.................................................................. 179
Поиск в деревьях игры..................................................................... 180
Минимаксный поиск........................................................................ 181
Улучшение поиска в дереве игры.................................................. 185
Поиск в других деревьях решений................................................. 187
Метод ветвей и границ.................................................................... 187
Эвристики........................................................................................ 191
Другие сложные задачи.................................................................... 207
Задача о выполнимости.................................................................. 207
Задача о разбиении......................................................................... 208
Задача поиска Гамильтонова пути................................................. 209
Задача коммивояжера..................................................................... 210
Задача о пожарных депо................................................................. 211
Краткая характеристика сложных задач........................................ 212
Резюме................................................................................................. 212
Глава 9. Сортировка........................................................................... 213
Общие соображения......................................................................... 213
Таблицы указателей........................................................................ 213
Объединение и сжатие ключей....................................................... 215
Примеры программ........................................................................... 217
Сортировка выбором........................................................................ 219
Рандомизация.................................................................................... 220
Сортировка вставкой....................................................................... 221
Вставка в связных списках.............................................................. 222
Пузырьковая сортировка................................................................. 224
Быстрая сортировка......................................................................... 227
Сортировка слиянием....................................................................... 232
Пирамидальная сортировка............................................................ 234
Пирамиды........................................................................................ 235
Приоритетные очереди................................................................... 237
Алгоритм пирамидальной сортировки.......................................... 240
Сортировка подсчетом..................................................................... 241
Блочная сортировка.......................................................................... 242
Блочная сортировка с применением связного списка................... 243
Блочная сортировка на основе массива......................................... 245
Резюме................................................................................................. 248
Глава 10. Поиск................................................................................... 248
Примеры программ........................................................................... 249
Поиск методом полного перебора................................................... 249
Поиск в упорядоченных списках.................................................... 250
Поиск в связных списках................................................................ 251
Двоичный поиск................................................................................ 253
Интерполяционный поиск............................................................... 255
Строковые данные............................................................................ 259
Следящий поиск................................................................................ 260
Интерполяционный следящий поиск............................................. 261
Резюме................................................................................................. 262
Глава 11. Хеширование...................................................................... 263
Связывание........................................................................................ 265
Преимущества и недостатки связывания....................................... 266
Блоки.................................................................................................. 268
Хранение хеш‑таблиц на диске...................................................... 270
Связывание блоков.......................................................................... 274
Удаление элементов........................................................................ 275
Преимущества и недостатки применения блоков......................... 277
Открытая адресация......................................................................... 277
Линейная проверка.......................................................................... 278
Квадратичная проверка................................................................... 284
Псевдослучайная проверка............................................................. 286
Удаление элементов........................................................................ 289
Резюме................................................................................................. 291
Глава 12. Сетевые алгоритмы............................................................ 292
Определения...................................................................................... 292
Представления сети.......................................................................... 293
Оперирование узлами и связями.................................................... 295
Обходы сети....................................................................................... 296
Наименьшие остовные деревья...................................................... 298
Кратчайший маршрут...................................................................... 302
Установка меток.............................................................................. 304
Коррекция меток............................................................................. 308
Другие задачи поиска кратчайшего маршрута.............................. 311
Применения метода поиска кратчайшего маршрута.................... 316
Максимальный поток...................................................................... 319
Приложения максимального потока.............................................. 325
Резюме................................................................................................. 327
Глава 13. Объектно‑ориентированные методы................................. 327
Преимущества ООП......................................................................... 328
Инкапсуляция.................................................................................. 328
Полиморфизм.................................................................................. 330
Наследование и повторное использование.................................... 333
Парадигмы ООП............................................................................... 335
Управляющие объекты................................................................... 335
Контролирующий объект............................................................... 336
Итератор.......................................................................................... 337
Дружественный класс..................................................................... 338
Интерфейс....................................................................................... 340
Фасад............................................................................................... 340
Порождающий объект..................................................................... 340
Единственный объект...................................................................... 341
Преобразование в последовательную форму................................ 341
Парадигма Модель/Вид/Контроллер............................................. 344
Резюме................................................................................................. 346
Требования к аппаратному обеспечению...................................... 346
Выполнение программ примеров.................................................... 346
programmer@newmail.ru
Далее следует «текст», который любой уважающий себя программист должен прочесть хотя бы один раз. (Это наше субъективное мнение)
Введение
Программирование под Windows всегда было нелегкой задачей. Интерфейс прикладного программирования (Application Programming Interface) Windows предоставляет в распоряжение программиста набор мощных, но не всегда безопасных инструментов для разработки приложений. Можно сравнить его с бульдозером, при помощи которого удается добиться поразительных результатов, но без соответствующих навыков и осторожности, скорее всего, дело закончится только разрушениями и убытками.
Эта картина изменилась с появлением Visual Basic. Используя визуальный интерфейс, Visual Basic позволяет быстро и легко разрабатывать законченные приложения. При помощи Visual Basic можно разрабатывать и тестировать сложные приложения без прямого использования функций API. Избавляя программиста от проблем с API, Visual Basic позволяет сконцентрироваться на деталях приложения.
Хотя Visual Basic и облегчает разработку пользовательского интерфейса, задача написания кода для реакции на входные воздействия, обработки их, и представления результатов ложится на плечи программиста. Здесь начинается применение алгоритмов.
Алгоритмы представляют собой формальные инструкции для выполнения сложных задач на компьютере. Например, алгоритм сортировки может определять, как найти конкретную запись в базе из 10 миллионов записей. В зависимости от класса используемых алгоритмов искомые данные могут быть найдены за секунды, часы или вообще не найдены.
В этом материале обсуждаются алгоритмы на Visual Basic и содержится большое число мощных алгоритмов, полностью написанных на этом языке. В ней также анализируются методы обращения со структурами данных, такими, как списки, стеки, очереди и деревья, и алгоритмы для выполнения типичных задач, таких как сортировка, поиск и хэширование.
Для того чтобы успешно применять эти алгоритмы, недостаточно их просто скопировать в свою программу. Необходимо кроме этого понимать, как различные алгоритмы ведут себя в разных ситуациях, что в конечном итоге и будет определять выбор наиболее подходящего алгоритма.
В этом материале поведение алгоритмов в типичном и наихудшем случаях описано доступным языком. Это позволит понять, чего вы вправе ожидать от того или иного алгоритма и распознать, в каких условиях встречается наихудший случай, и в соответствии с этим переписать или поменять алгоритм. Даже самый лучший алгоритм не поможет в решении задачи, если применять его неправильно.
=============xi
Все алгоритмы также представлены в виде исходных текстов на Visual Basic, которые вы можете использовать в своих программах без каких‑либо изменений. Они демонстрируют использование алгоритмов в программах, а также важные характерные особенности работы самих алгоритмов.
Что дают вам эти знания
После ознакомления с данным материалом и примерами вы получите:
1. Понятие об алгоритмах.
После прочтения данного материала и выполнения примеров программ, вы сможете применять сложные алгоритмы в своих проектах на Visual Basic и критически оценивать другие алгоритмы, написанные вами или кем‑либо еще.
2. Большую подборку исходных текстов
, которые вы сможете легко добавить к вашим программам. Используя код, содержащийся в примерах, вы сможете легко добавлять мощные алгоритмы к вашим приложениям.
3. Готовые примеры программ
дадут вам возможность протестировать алгоритмы. Вы можете использовать эти примеры и модифицировать их для углубленного изучения алгоритмов и понимания их работы, или использовать их как основу для разработки собственных приложений.
Целевая аудитория
В этом материале обсуждаются углубленные вопросы программирования на Visual Basic. Они не предназначена для обучения программированию на этом языке. Если вы хорошо разбираетесь в основах программирования на Visual Basic, вы сможете сконцентрировать внимание на алгоритмах вместо того, чтобы застревать на деталях языка.
В этом материале изложены важные концепции программирования, которые могут быть с успехом применены для решения новых задач. Приведенные алгоритмы используют мощные программные методы, такие как рекурсия, разбиение на части, динамическое распределение памяти и сетевые структуры данных, которые вы можете применять для решения своих конкретных задач.
Даже если вы еще не овладели в полной мере программированием на Visual Basic, вы сможете скомпилировать примеры программ и сравнить производительность различных алгоритмов. Более того, вы сможете выбрать удовлетворяющие вашим требованиям алгоритмы и добавить их к вашим проектам на Visual Basic.
Совместимость с разными версиями
Visual
Basic
Выбор наилучшего алгоритма определяется не особенностями версии языка программирования, а фундаментальными принципами программирования.
=================xii
Некоторые новые понятия, такие как ссылки на объекты, классы и коллекции, которые были впервые введены в 4-й версии Visual Basic, облегчают понимание, разработку и отладку некоторых алгоритмов. Классы могут заключать некоторые алгоритмы в хорошо продуманных модулях, которые легко вставить в программу. Хотя для того, чтобы применять эти алгоритмы, необязательно разбираться в новых понятиях языка, эти новые возможности предоставляют слишком большие преимущества, чтобы ими можно было пренебречь.
Поэтому примеры алгоритмов в этом материале написаны для использования в 4-й и 5-й версиях Visual. Если вы откроете их в 5-й версии Visual Basic, среда разработки предложит вам сохранить их в формате 5-й версии, но никаких изменений в код вносить не придется. Все алгоритмы были протестированы в обеих версиях.
Эти программы демонстрируют использование алгоритмов без применения объектно-ориентированного подхода. Ссылки и коллекции облегчают программирование, но их применение может приводить к некоторому замедлению работы программ по сравнению со старыми версиями.
Тем не менее, игнорирование классов, объектов и коллекций привело бы к упущению многих действительно мощных свойств. Их использование позволяет достичь нового уровня модульности, разработки и повторного использования кода. Их, безусловно, необходимо иметь в виду, по крайней мере, на начальных этапах разработки. В дальнейшем, если возникнут проблемы с производительностью, вы сможете модифицировать код, используя более быстрые низкоуровневые методы.
Языки программирования зачастую развиваются в сторону усложнения, но редко в противоположном направлении. Замечательным примером этого является наличие оператора goto в языке C. Это неудобный оператор, потенциальный источник ошибок, который почти не используется большинством программистов на C, но он по‑прежнему остается в синтаксисе языка с 1970 года. Он даже был включен в C++ и позднее в Java, хотя создание нового языка было хорошим предлогом избавиться от него.
Так и новые версии Visual Basic будут продолжать вводить новые свойства в язык, но маловероятно, что из них будут исключены строительные блоки, использованные при применении алгоритмов, описанных в данном материале. Независимо от того, что будет добавлено в 6-й, 7-й или 8-й версии Visual Basic, классы, массивы и определяемые пользователем типы данных останутся в языке. Большая часть, а может и все алгоритмы из приведенных ниже, будут выполняться без изменений в течение еще многих лет.
Обзор глав
В 1 главе рассматриваются понятия, которые вы должны понимать до того, как приступить к анализу сложных алгоритмов. В ней изложены методы, которые потребуются для теоретического анализа вычислительной сложности алгоритмов. Некоторые алгоритмы с высокой теоретической производительностью на практике дают не очень хорошие результаты, поэтому в этой главе также затрагиваются практические соображения, например обращение к файлу подкачки и сравнивается использование коллекций и массивов.
Во 2 главе показано, как образуются различные виды списков с использованием массивов, объектов, и псевдоуказателей. Эти структуры данных можно с успехом применять во многих программах, и они используются в следующих главах
В 3 главе описаны два особых типа списков: стеки и очереди. Эти структуры данных используются во многих алгоритмах, включая некоторые алгоритмы, описанные в последующих главах. В конце главы приведена модель очереди на регистрацию в аэропорту.
В 5 главе обсуждается мощный инструмент — рекурсия. Рекурсия может быть также запутанной и приводить к проблемам. В 5 главе объясняется, в каких случаях следует применять рекурсию и показывает, как можно от нее избавиться, если это необходимо.
В 6 главе используются многие из ранее описанных приемов, такие как рекурсия и связные списки, для изучения более сложной темы — деревьев. Эта глава также охватывает различные представления деревьев, такие как деревья с полными узлами
(fat node) и представление в виде нумерацией связей
(forward star). В ней также описаны некоторые важные алгоритмы работы с деревьями, таки как обход вершин дерева.
В 7 главе затронута более сложная тема. Сбалансированные деревья обладают особыми свойствами, которые позволяют им оставаться уравновешенными и эффективными. Алгоритмы сбалансированных деревьев удивительно просто описываются, но их достаточно трудно реализовать программно. В этой главе используется одна из наиболее мощных структур подобного типа — Б+дерево
(B+Tree) для создания сложной базы данных.
В 8 главе обсуждаются задачи, которые можно описать как поиск ответов в дереве решений. Даже для небольших задач, эти деревья могут быть гигантскими, поэтому необходимо осуществлять поиск в них максимально эффективно. В этой главе сравниваются некоторые различные методы, которые позволяют выполнить такой поиск.
Глава 9 посвящена, пожалуй, наиболее изучаемой области теории алгоритмов — сортировке. Алгоритмы сортировки интересны по нескольким причинам. Во‑первых, сортировка — часто встречающаяся задача. Во‑вторых, различные алгоритмы сортировок обладают своими сильными и слабыми сторонами, поэтому не существует одного алгоритма, который показывал бы наилучшие результаты в любых ситуациях. И, наконец, алгоритмы сортировки демонстрируют широкий спектр важных алгоритмических методов, таких как рекурсия, пирамиды, а также использование генератора случайных чисел для уменьшения вероятности выпадения наихудшего случая.
В главе 10 рассматривается близкая к сортировке тема. После выполнения сортировки списка, программе может понадобиться найти элементы в нем. В этой главе сравнивается несколько наиболее эффективных методов поиска элементов в сортированных списках.
=========xiv
В главе 11 обсуждаются методы сохранения и поиска элементов, работающие даже быстрее, чем это возможно при использовании деревьев, сортировки или поиска. В этой главе также описаны некоторые методы хэширования, включая использование блоков и связных списков, и несколько вариантов открытой адресации.
В главе 12 описана другая категория алгоритмов — сетевые алгоритмы. Некоторые из этих алгоритмов, такие как вычисление кратчайшего пути, непосредственно применимы к физическим сетям. Эти алгоритмы также могут косвенно применяться для решения других задач, которые на первый взгляд не кажутся связанными с сетями. Например, алгоритмы поиска кратчайшего расстояния могут разбивать сеть на районы или определять критичные задачи в расписании проекта.
В главе 13 объясняются методы, применение которых стало возможным благодаря введению классов в 4‑й версии Visual Basic. Эти методы используют объектно‑ориентированный подход для реализации нетипичного для традиционных алгоритмов поведения.
===================xv
Аппаратные требования
Для работы с примерами вам потребуется компьютер, конфигурация которого удовлетворяет требованиям для работы программной среды Visual Basic. Эти требования выполняются почти для всех компьютеров, на которых может работать операционная система Windows.
На компьютерах разной конфигурации алгоритмы выполняются с различной скоростью. Компьютер с процессором Pentium Pro с тактовой частотой 2000 МГц и 64 Мбайт оперативной памяти будет работать намного быстрее, чем машина с 386 процессором и всего 4 Мбайт памяти. Вы быстро узнаете, на что способно ваше аппаратное обеспечение.
Изменения во втором издании
Самое большое изменение в новой версии Visual Basic — это появление классов. Классы позволяют рассмотреть некоторые задачи с другой стороны, позволяя использовать более простой и естественный подход к пониманию и применению многих алгоритмов. Изменения в коде программ в этом изложении используют преимущества, предоставляемые классами. Их можно разбить на три категории:
1. Замена псевдоуказателей классами.
Хотя все алгоритмы, которые были написаны для старых версий VB, все еще работают, многие из тех, что были написаны с применением псевдоуказателей (описанных во 2 главе), гораздо проще понять, используя классы.
2. Инкапсуляция.
Классы позволяют заключить алгоритм в компактный модуль, который легко использовать в программе. Например, при помощи классов можно создать несколько связных списков и не писать при этом дополнительный код для управления каждым списком по отдельности.
3. Объектно‑ориентированные технологии.
Использование классов также позволяет легче понять некоторые объектно‑ориентированные алгоритмы. В главе 13 описываются методы, которые сложно реализовать без использования классов.
Как пользоваться этим материалом
В главе 1 даются общие понятия, которые используются на протяжении всего изложения, поэтому вам следует начать чтение с этой главы. Вам стоит ознакомиться с этой тематикой, даже если вы не хотите сразу же достичь глубокого понимания алгоритмов.
В 6 главе обсуждаются понятия, которые используются в 7, 8 и 12 главах, поэтому вам следует прочитать 6 главу до того, как браться за них. Остальные главы можно читать в любом порядке.
=============xvi
В табл. 1 показаны три возможных учебных плана, которыми вы можете руководствоваться при изучении материала в зависимости от того, насколько широко вы хотите ознакомиться с алгоритмами. Первый план включает в себя освоение основных методов и структур данных, которые могут быть полезны при разработке вами собственных программ. Второй кроме этого описывает также основные алгоритмы, такие как алгоритмы сортировки и поиска, которые могут понадобиться при написании более сложных программ.
Последний план дает порядок для изучения всего материала целиком. Хотя 7 и 8 главы логически вытекают из 6 главы, они сложнее для изучения, чем следующие главы, поэтому они изучаются несколько позже.
Почему именно
Visual
Basic
?
Наиболее часто встречаются жалобы на медленное выполнение программ, написанных на Visual Basic. Многие другие компиляторы, такие как Delphi, Visual C++ дают более быстрый и гибкий код, и предоставляют программисту более мощные средства, чем Visual Basic. Поэтому логично задать вопрос — «Почему я должен использовать именно Visual Basic для написания сложных алгоритмов? Не лучше было бы использовать Delphi или C++ или, по крайней мере, написать алгоритмы на одном из этих языков и подключать их к программам на Visual Basic при помощи библиотек?» Написание алгоритмов на Visual Basic имеет смысл по нескольким причинам.
Во‑первых, разработка приложения на Visual C++ гораздо сложнее и проблематичнее, чем на Visual Basic. Некорректная реализация в программе всех деталей программирования под Windows может привести к сбоям в вашем приложении, среде разработки, или в самой операционной системе Windows.
Во‑вторых, разработка библиотеки на языке C++ для использования в программах на Visual Basic включает в себя много потенциальных опасностей, характерных и для приложений Windows, написанных на C++. Если библиотека будет неправильно взаимодействовать с программой на Visual Basic, она также приведет к сбоям в программе, а возможно и в среде разработки и системе.
В-третьих, многие алгоритмы достаточно эффективны и показывают неплохую производительность даже при применении не очень быстрых компиляторов, таких, как Visual Basic. Например, алгоритм сортировки подсчетом,
@Таблица 1. Планы занятий
===============xvii
описываемый в 9 главе, сортирует миллион целых чисел менее чем за 2 секунды на компьютере с процессором Pentium с тактовой частотой 233 МГц. Используя библиотеку C++, можно было бы сделать алгоритм немного быстрее, но скорости версии на Visual Basic и так хватает для большинства приложений. Скомпилированные при помощи 5‑й версией Visual Basic исполняемые файлы сводят отставание по скорости к минимуму.
В конечном счете, разработка алгоритмов на любом языке программирования позволяет больше узнать об алгоритмах вообще. По мере изучения алгоритмов, вы освоите методы, которые сможете применять в других частях своих программ. После того, как вы овладеете в совершенстве алгоритмами на Visual Basic, вам будет гораздо легче реализовать их на Delphi или C++, если это будет необходимо.
=============xviii
Глава 1. Основные понятия
В этой главе содержатся общие понятия, которые нужно усвоить перед началом серьезного изучения алгоритмов. Начинается она с вопроса «Что такое алгоритмы?». Прежде чем углубиться в детали программирования алгоритмов, стоит потратить немного времени, чтобы разобраться в том, что это такое.
Затем в этой главе дается введение в формальную теорию сложности алгоритмов
(complexity theory). При помощи этой теории можно оценить теоретическую вычислительную сложность алгоритмов. Этот подход позволяет сравнивать различные алгоритмы и предсказывать их производительность в разных условиях. В главе приводится несколько примеров применения теории сложности к небольшим задачам.
Некоторые алгоритмы с высокой теоретической производительностью не слишком хорошо работают на практике, поэтому в данной главе также обсуждаются некоторые реальные предпосылки для создания программ. Слишком частое обращение к файлу подкачки или плохое использование ссылок на объекты и коллекции может значительно снизить производительность прекрасного в остальных отношениях приложения.
После знакомства с основными понятиями, вы сможете применять их к алгоритмам, изложенным в последующих главах, а также для анализа собственных программ для оценки их производительности и сможете предугадывать возможные проблемы до того, как они обернутся катастрофой.
Что такое алгоритмы?
Алгоритм – это последовательность инструкций для выполнения какого‑либо задания. Когда вы даете кому‑то инструкции о том, как отремонтировать газонокосилку, испечь торт, вы тем самым задаете алгоритм действий. Конечно, подобные бытовые алгоритмы описываются неформально, например, так:
Проверьте, находится ли машина на стоянке.
Убедитесь, что машина поставлена на ручной тормоз.
Поверните ключ.
И т.д.
==========1
При этом по умолчанию предполагается, что человек, который будет следовать этим инструкциям, сможет самостоятельно выполнить множество мелких операций, например, отпереть и открыть дверь, сесть за руль, пристегнуть ремень, найти ручной тормоз и так далее.
Если же составляется алгоритм для исполнения компьютером, вы не можете полагаться на то, что компьютер поймет что‑либо, если это не описано заранее. Словарь компьютера (язык программирования) очень ограничен и все инструкции для компьютера должны быть сформулированы на этом языке. Поэтому для написания компьютерных алгоритмов используется формализованный стиль.
Интересно попробовать написать формализованный алгоритм для обычных ежедневных задач. Например, алгоритм вождения машины мог бы выглядеть примерно так:
Если дверь закрыта:
Вставить ключ в замок
Повернуть ключ
Если дверь остается закрытой, то:
Повернуть ключ в другую сторону
Повернуть ручку двери
И т.д.
Этот фрагмент «кода» отвечает только за открывание двери; при этом даже не проверяется, какая дверь открывается. Если дверь заело или в машине установлена противоугонная система, то алгоритм открывания двери может быть достаточно сложным.
Формализацией алгоритмов занимаются уже тысячи лет. За 300 лет до н.э. Евклид написал алгоритмы деления углов пополам, проверки равенства треугольников и решения других геометрических задач. Он начал с небольшого словаря аксиом, таких как «параллельные линии не пересекаются» и построил на их основе алгоритмы для решения сложных задач.
Формализованные алгоритмы такого типа хорошо подходят для задач математики, где должна быть доказана истинность какого‑либо положения или возможность выполнения каких‑то действий, скорость же исполнения алгоритма не важна. Для выполнения реальных задач, связанных с выполнением инструкций, например задачи сортировки на компьютере записей о миллионе покупателей, эффективность выполнения становится важной частью постановки задачи.
Анализ скорости выполнения алгоритмов
Есть несколько способов оценки сложности алгоритмов. Программисты обычно сосредотачивают внимание на скорости алгоритма, но важны и другие требования, например, к размеру памяти, свободному месту на диске или другим ресурсам. От быстрого алгоритма может быть мало толку, если под него требуется больше памяти, чем установлено на компьютере.
Многие алгоритмы предоставляют выбор между скоростью выполнения и используемыми программой ресурсами. Задача может выполняться
быстрее, используя больше памяти, или наоборот, медленнее, заняв меньший объем памяти.
===========2
Хорошим примером в данном случае может служить алгоритм нахождения кратчайшего пути. Задав карту улиц города в виде сети, можно написать алгоритм, вычисляющий кратчайшее расстояние между любыми двумя точками в этой сети. Вместо того чтобы каждый раз заново пересчитывать кратчайшее расстояние между двумя заданными точками, можно заранее просчитать его для всех пар точек и сохранить результаты в таблице. Тогда, чтобы найти кратчайшее расстояние для двух заданных точек, достаточно будет просто взять готовое значение из таблицы.
При этом мы получим результат практически мгновенно, но это потребует большого объема памяти. Карта улиц для большого города, такого как Бостон или Денвер, может содержать сотни тысяч точек. Для такой сети таблица кратчайших расстояний содержала бы более 10 миллиардов записей. В этом случае выбор между временем исполнения и объемом требуемой памяти очевиден: поставив дополнительные 10 гигабайт оперативной памяти, можно заставить программу выполняться гораздо быстрее.
Из этой связи вытекает идея пространственно‑временной сложности алгоритмов. При этом подходе сложность алгоритма оценивается в терминах времени и пространства, и находится компромисс между ними.
В этом материале основное внимание уделяется временной сложности, но мы также постарались обратить внимание и на особые требования к объему памяти для некоторых алгоритмов. Например, сортировка слиянием (mergesort), обсуждаемая в 9 главе, требует больше временной памяти. Другие алгоритмы, например пирамидальная сортировка (heapsort), которая также обсуждается в 9 главе, требует обычного объема памяти.
При сравнении различных алгоритмов важно понимать, как сложность алгоритма соотносится со сложностью решаемой задачи. При расчетах по одному алгоритму сортировка тысячи чисел может занять 1 секунду, а сортировка миллиона — 10 секунд, в то время как расчеты по другому алгоритму могут потребовать 2 и 5 секунд соответственно. В этом случае нельзя однозначно сказать, какая из двух программ лучше — это будет зависеть от исходных данных.
Различие производительности алгоритмов на задачах разной вычислительной сложности часто более важно, чем просто скорость алгоритма. В вышеприведенном случае, первый алгоритм быстрее сортирует короткие списки, а второй — длинные.
Производительность алгоритма можно оценить по порядку величины. Алгоритм имеет сложность порядка O(f(N)) (произносится «О большое от F от N»), если время выполнения алгоритма растет пропорционально функции f(N) с увеличением размерности исходных данных N. Например, рассмотрим фрагмент кода, сортирующий положительные числа:
For I = 1 To N
'Поиск наибольшего элемента в списке.
MaxValue = 0
For J = 1 to N
If Value(J) > MaxValue Then
MaxValue = Value(J)
MaxJ = J
End If
Next J
'Вывод наибольшего элемента на печать.
Print Format$(MaxJ) & ":" & Str$(MaxValue)
'Обнуление элемента для исключения его из дальнейшего поиска.
Value(MaxJ) = 0
Next I
===============3
В этом алгоритме переменная цикла I последовательно принимает значения от 1 до N. Для каждого приращения I переменная J в свою очередь также принимает значения от 1 до N. Таким образом, в каждом внешнем цикле выполняется еще N внутренних циклов. В итоге внутренний цикл выполняется N*N или N2
раз и, следовательно, сложность алгоритма порядка O(N2
).
При оценке порядка сложности алгоритмов используется только наиболее быстро растущая часть уравнения алгоритма. Допустим, время выполнения алгоритма пропорционально N3
+N. Тогда сложность алгоритма будет равна O(N3
). Отбрасывание медленно растущих частей уравнения позволяет оценить поведение алгоритма при увеличении размерности данных задачи N.
При больших N вклад второй части в уравнение N3
+N становится все менее заметным. При N=100, разность N3
+N=1.000.100 и N3
равна всего 100, или менее чем 0,01 процента. Но это верно только для больших N. При N=2, разность между N3
+N =10 и N3
=8 равна 2, а это уже 20 процентов.
Постоянные множители в соотношении также игнорируются. Это позволяет легко оценить изменения в вычислительной сложности задачи. Алгоритм, время выполнения которого пропорционально 3*N2
, будет иметь порядок O(N2
). Если увеличить N в 2 раза, то время выполнения задачи возрастет примерно в 22
, то есть в 4 раза.
Игнорирование постоянных множителей позволяет также упростить подсчет числа шагов алгоритма. В предыдущем примере внутренний цикл выполняется N2
раз, при этом внутри цикла выполняется несколько инструкций. Можно просто подсчитать число инструкций If, можно подсчитать также инструкции, выполняемые внутри цикла или, кроме того, еще и инструкции во внешнем цикле, например операторы Print.
Вычислительная сложность алгоритма при этом будет пропорциональна N2
, 3*N2
или 3*N2
+N. Оценка сложности алгоритма по порядку величины даст одно и то же значение O(N3
) и отпадет необходимость в точном подсчете количества операторов.
Обычно наиболее сложным является выполнение циклов и вызовов процедур. В предыдущем примере, весь алгоритм заключен в двух циклах.
============4
Если процедура вызывает другую процедуру, необходимо учитывать сложность вызываемой процедуры. Если в ней выполняется фиксированное число инструкций, например, осуществляется вывод на печать, то при оценке порядка сложности ее можно не учитывать. С другой стороны, если в вызываемой процедуре выполняется O(N) шагов, она может вносить значительный вклад в сложность алгоритма. Если вызов процедуры осуществляется внутри цикла, этот вклад может быть еще больше.
Приведем в качестве примера программу, содержащую медленную процедуру Slow со сложностью порядка O(N3
) и быструю процедуру Fast со сложностью порядка O(N2
). Сложность всей программы будет зависеть от соотношения между этими двумя процедурами.
Если процедура Slow вызывается в каждом цикле процедуры Fast, порядки сложности процедур перемножаются. В этом случае сложность алгоритма равна произведению O(N2
) и O(N3
) или O(N3
*N2
)=O(N5
). Приведем иллюстрирующий этот случай фрагмент кода:
Sub Slow()
Dim I As Integer
Dim J As Integer
Dim K As Integer
For I = 1 To N
For J = 1 To N
For K = 1 To N
' Выполнить какие‑либо действия.
Next K
Next J
Next I
End Sub
Sub Fast()
Dim I As Integer
Dim J As Integer
Dim K As Integer
For I = 1 To N
For J = 1 To N
Slow ' Вызов процедуры Slow.
Next J
Next I
End Sub
Sub MainProgram()
Fast
End Sub
С другой стороны, если процедуры независимо вызываются из основной программы, их вычислительная сложность суммируется. В этом случае полная сложность будет равна O(N3
)+O(N2
)=O(N3
). Такую сложность, например, будет иметь следующий фрагмент кода:
Sub Slow()
Dim I As Integer
Dim J As Integer
Dim K As Integer
For I = 1 To N
For J = 1 To N
For K = 1 To N
' Выполнить какие‑либо действия.
Next K
Next J
Next I
End Sub
Sub Fast()
Dim I As Integer
Dim J As Integer
For I = 1 To N
For J = 1 To N
' Выполнить какие‑либо действия.
Next J
Next I
End Sub
Sub MainProgram()
Slow
Fast
End Sub
==============5
Рекурсивными процедурами
(recursive procedure) называются процедуры, вызывающие сами себя. Во многих рекурсивных алгоритмах именно степень вложенности рекурсии определяет сложность алгоритма, при этом не всегда легко оценить порядок сложности. Рекурсивная процедура может выглядеть простой, но при этом вносить большой вклад в сложность программы, многократно вызывая саму себя.
Следующий фрагмент кода содержит подпрограмму всего из двух операторов. Тем не менее, для заданного N подпрограмма выполняется N раз, таким образом, вычислительная сложность фрагмента порядка O(N).
Sub CountDown(N As Integer)
If N <= 0 Then Exit Sub
CountDown N - 1
End Sub
===========6
Рекурсивный алгоритм, вызывающий себя несколько раз, является примером многократной рекурсии
(multiple recursion). Процедуры с множественной рекурсией сложнее анализировать, чем просто рекурсивные алгоритмы, и они могут давать больший вклад в общую сложность алгоритма.
Нижеприведенная подпрограмма похожа на предыдущую подпрограмму CountDown, только она вызывает саму себя дважды:
Sub DoubleCountDown(N As Integer)
If N <= 0 Then Exit Sub
DoubleCountDown N - 1
DoubleCountDown N - 1
End Sub
Можно было бы предположить, что время выполнения этой процедуры будет в два раза больше, чем для подпрограммы CountDown, и оценить ее сложность порядка 2*O(N)=O(N). На самом деле ситуация немного сложнее.
Если T(N) — число раз, которое выполняется процедура DoubleCountDown с параметром N, то легко заметить, что T(0)=1. Если вызвать процедуру с параметром N равным 0, то она просто закончит свою работу после первого шага.
Для больших значений N процедура вызывает себя дважды с параметром, равным N-1, выполняясь 1+2*T(N-1) раз. В табл. 1.1 приведены некоторые значения функции T(0)=1 и T(N)=1+2*T(N-1). Если обратить внимание на эти значения, можно увидеть, что T(N)=2(N+1)
-1, что дает оценку сложности процедуры порядка O(2N
). Хотя процедуры CountDown и DoubleCountDown и похожи, вторая процедура требует выполнения гораздо большего числа шагов.
@Таблица 1.1. Значения функции времени выполнения для подпрограммы DoubleCountDown
Процедура также может вызывать другую процедуру, которая в свою очередь вызывает первую. Такие процедуры иногда даже сложнее анализировать, чем процедуры с множественной рекурсией. Алгоритм вычисления кривой Серпинского, который обсуждается в 5 главе, включает в себя четыре процедуры, которые используют как множественную, так и непрямую рекурсию. Каждая из этих процедур вызывает себя и другие три процедуры до четырех раз. После довольно сложных подсчетов можно показать, что этот алгоритм имеет сложность порядка O(4N
).
Для некоторых рекурсивных алгоритмов важен объем доступной памяти. Можно легко написать рекурсивный алгоритм, который будет запрашивать
============7
небольшой объем памяти при каждом своем вызове. Объем занятой памяти может увеличиваться в процессе последовательных рекурсивных вызовов.
Поэтому для рекурсивных алгоритмов необходимо хотя бы приблизительно оценивать требования к объему памяти, чтобы убедиться, что программа не исчерпает при выполнении всю доступную память.
Приведенная ниже подпрограмма запрашивает память при каждом вызове. После 100 или 200 рекурсивных вызовов, процедура займет всю свободную память, и программа аварийно остановится с ошибкой «Out of Memory».
Sub GobbleMemory(N As Integer)
Dim Array() As Integer
ReDim Array (1 To 32000)
GobbleMemory N + 1
End Sub
Даже если внутри процедуры память не запрашивается, система выделяет память из системного стека
(system stack) для сохранения параметров при каждом вызове процедуры. После возврата из процедуры память из стека освобождается для дальнейшего использования.
Если в подпрограмме встречается длинная последовательность рекурсивных вызовов, программа может исчерпать стек, даже если выделенная программе память еще не вся использована. Если запустить на исполнение следующую подпрограмму, она быстро исчерпает всю свободную стековую память и программа аварийно прекратит работу с сообщением об ошибке «Out of stack Space». После этого вы сможете узнать значение переменной Count, чтобы узнать, сколько раз подпрограмма вызывала себя перед тем, как исчерпать стек.
Sub UseStack()
Static Count As Integer
Count = Count + 1
UseStack
End Sub
Определение локальных переменных внутри подпрограммы также может занимать память из стека. Если изменить подпрограмму UseStack из предыдущего примера так, чтобы она определяла три переменных при каждом вызове, программа исчерпает стековое пространство еще быстрее:
Sub UseStack()
Static Count As Integer
Dim I As Variant
Dim J As Variant
Dim K As Variant
Count = Count + 1
UseStack
End Sub
В 5 главе рекурсивные алгоритмы обсуждаются более подробно.
==============8
Наихудший и усредненный случай
Оценка с точностью до порядка дает верхний предел сложности алгоритма. То, что программа имеет определенный порядок сложности, не означает, что алгоритм будет действительно выполняться так долго. При определенных исходных данных, многие алгоритмы выполняются гораздо быстрее, чем можно предположить на основании их порядка сложности. Например, следующий код реализует простой алгоритм выбора элемента из списка:
Function LocateItem(target As Integer) As Integer
For I = 1 To N
If Value(I) = target Then Exit For
Next I
LocateItem = I
End Sub
Если искомый элемент находится в конце списка, придется перебрать все N элементов для того, чтобы его найти. Это займет N шагов, значит сложность алгоритма порядка O(N). В этом, так называемом наихудшем случае
(worst case) время выполнения алгоритма будет наибольшим.
С другой стороны, если искомое число в начале списка, алгоритм завершит работу практически сразу, совершив всего несколько итераций. Это так называемый наилучший случай
(best case) со сложностью порядка O(1). Обычно и наилучший, и наихудший случаи встречаются относительно редко, и интерес представляет оценка усредненного
или ожидаемого
(expected case) поведения.
Если первоначально числа в списке распределены случайно, искомый элемент может оказаться в любом месте списка. В среднем потребуется проверить N/2 элементов для того, чтобы его найти. Значит, сложность этого алгоритма в усредненном случае порядка O(N/2), или O(N), если убрать постоянный множитель.
Для некоторых алгоритмов порядок сложности для наихудшего и наилучшего вариантов различается. Например, сложность алгоритма быстрой сортировки из 9 главы в наихудшем случае порядка O(N2
), но в среднем его сложность порядка O(N*log(N)), что намного быстрее. Иногда алгоритмы типа быстрой сортировки бывают очень длинными, чтобы наихудший случай достигался крайне редко.
Часто встречающиеся функции оценки порядка сложности
В табл. 1.2 приведены некоторые функции, которые обычно встречаются при оценке сложности алгоритмов. Функции приведены в порядке возрастания вычислительной сложности сверху вниз. Это значит, что алгоритмы со сложностью порядка функций, расположенных вверху таблицы, будут выполняться быстрее, чем те, сложность которых определяется функциями из нижней части таблицы.
==============9
@Таблица 1.2. Часто встречающиеся функции оценки порядка сложности
Сложность алгоритма, определяемая уравнением, которое представляет собой сумму функций из таблицы, будет сводиться к сложности той из функций, которая расположена в таблице ниже. Например, O(log(N)+N2
) — это то же самое, что и O(N2
).
Обычно алгоритмы со сложностью порядка N*log(N) и менее сложных функций выполняются очень быстро. Алгоритмы порядка NC
при малых C, например N2
выполняются достаточно быстро. Вычислительная же сложность алгоритмов, порядок которых определяется функциями CN
или N! очень велика и эти алгоритмы пригодны только для решения задач с небольшим N.
В качестве примера в табл. 1.3 показано, как долго компьютер, выполняющий миллион инструкций в секунду, будет выполнять некоторые медленные алгоритмы. Из таблицы видно, что при сложности порядка O(CN
) могут быть решены только небольшие задачи, и еще меньше параметр N может быть для задач со сложностью порядка O(N!). Для решения задачи порядка O(N!) при N=24 потребовалось бы время, большее, чем время существования вселенной.
Перед тем, как продолжить дальше, следует остановиться на логарифмах, так как они играют важную роль в различных алгоритмах. Логарифм числа N по основанию B это степень P, в которую надо возвести основание, чтобы получить N, то есть BP
=N. Например, если 23
=8, то соответственно log2
(8)=3.
==================10
@Таблица 1.3. Время выполнения сложных алгоритмов
Можно привести логарифм к другому основанию при помощи соотношения logB
(N)=logC
(N)/logC
(B). Например, чтобы вычислить логарифм числа по основанию 10, зная его логарифм по основанию 2, можно воспользоваться формулой log10
(N)=log2
(N)/log2
(10). При этом log2
(10) — это табличная константа, примерно равная 3,32. Так как постоянные множители при оценке сложности алгоритма можно опустить, то O(log2
(N)) — это же самое, что и O(log10
(N)) или O(logB
(N)) для любого B. Поскольку основание логарифма не имеет значения, часто просто пишут, что сложность алгоритма порядка O(log(N)).
В программировании часто встречаются логарифмы по основанию 2, что обусловлено применяемой в компьютерах двоичной системой исчисления. Поэтому мы для упрощения выражений будем везде писать log(N), подразумевая под этим log2
(N). Если используется другое основание алгоритма, это будет обозначено особо.
Реальные условия — насколько быстро?
Хотя при исследовании сложности алгоритма обычно полезно отбросить малые члены уравнения и постоянные множители, иногда их все‑таки необходимо учитывать, особенно если размерность данных задачи N мала, а постоянные множители достаточно велики.
Допустим, мы рассматриваем два алгоритма решения одной задачи. Один выполняется за время порядка O(N), а другой — порядка O(N2
). Для больших N первый алгоритм, вероятно, будет работать быстрее.
Тем не менее, если взять конкретные функции оценки времени выполнения для каждого из двух алгоритмов, например, для первого f(N)=30*N+7000, а для второго f(N)=N2
, то в этом случае при N меньше 100 второй алгоритм будет выполняться быстрее. Поэтому, если известно, что размерность данных задачи не будет превышать 100, возможно будет целесообразнее применить второй алгоритм.
С другой стороны, время выполнения разных инструкций может сильно отличаться. Если первый алгоритм использует быстрые операции с памятью, а второй использует медленное обращение к диску, то первый алгоритм будет быстрее во всех случаях.
==================11
Другие факторы могут также осложнить проблему выбора оптимального алгоритма. Например, первый алгоритм может требовать большего объема памяти, чем установлено на компьютере. Реализация второго алгоритма, в свою очередь, может потребовать намного больше времени, если этот алгоритм намного сложнее, а его отладка может превратиться в настоящий кошмар. Иногда подобные практические соображения могут сделать теоретический анализ сложности алгоритма почти бессмысленным.
Тем не менее, анализ сложности алгоритма полезен для понимания особенностей алгоритма и обычно обнаруживает части программы, занимающие большую часть компьютерного времени. Уделив внимание оптимизации кода в этих частях, можно внести максимальный эффект в увеличение производительности программы в целом.
Иногда тестирование алгоритмов является наиболее подходящим способом определить наилучший алгоритм. При таком тестировании важно, чтобы тестовые данные были максимально приближены к реальным данным. Если тестовые данные сильно отличаются от реальных, результаты тестирования могут сильно отличаться от реальных.
Важным фактором при работе в реальных условиях является частота обращения к файлу подкачки
(page file). Операционная система Windows отводит часть дискового пространства под виртуальную память
(virtual memory). Когда исчерпывается оперативная память, Windows сбрасывает часть ее содержимого на диск. Освободившаяся память предоставляется программе. Этот процесс называется подкачкой, поскольку страницы, сброшенные на диск, могут быть подгружены системой обратно в память при обращении к ним.
Поскольку операции с диском намного медленнее операций с памятью, слишком частое обращение к файлу подкачки может значительно снизить производительность приложения. Если программа часто обращается к большим объемам памяти, система будет часто использовать файл подкачки, что приведет к замедлению работы.
Приведенная в числе примеров программа Pager запрашивает все больше и больше памяти под создаваемые массивы до тех пор, пока программа не начнет обращаться к файлу подкачки. Введите количество памяти в мегабайтах, которое программа должна запросить, и нажмите кнопку Page
(Подкачка). Если ввести небольшое значение, например 1 или 2 Мбайт, программа создаст массив в оперативной памяти, и будет выполняться быстро.
Если же вы введете значение, близкое к объему оперативной памяти вашего компьютера, то программа начнет использовать файл подкачки. Вполне вероятно, что она будет при этом обращаться к диску постоянно. Вы также заметите, что программа выполняется намного медленнее. Увеличение размера массива на 10 процентов может привести к 100‑процентному увеличению времени исполнения.
Программа Pager может использовать память одним из двух способов. Если вы нажмете кнопку Page,
программа начнет последовательно обращаться к элементам массива. По мере перехода от одной части массива к другой, системе может потребоваться подгружать их с диска. После того, как часть массива оказалась в памяти, программа может продолжить работу с ней.
============12
Если же вы нажмете на кнопку Thrash
(Пробуксовка), программа будет случайно обращаться к разным участкам памяти. При этом вероятность того, что нужная страница находится в этот момент на диске, намного возрастает. Это избыточное обращение к файлу подкачки называется пробуксовкой
[RP2]
памяти
(thrashing). В табл. 1.4 приведено время исполнения программы Pager на компьютере с процессором Pentium с тактовой частотой 90 МГц и 24 Мбайт оперативной памяти. В зависимости от конфигурации вашего компьютера, скорости работы с диском, количества установленной оперативной памяти, а также наличия других запущенных параллельно приложений время выполнения программы может сильно различаться.
Вначале время выполнения теста растет почти пропорционально размеру занятой памяти. Когда начинается обращение к файлу подкачки, скорость работы программы резко падает. Заметьте, что до этого тесты с обращением к файлу подкачки и пробуксовкой ведут себя практически одинаково, то есть когда весь массив находится в оперативной памяти, последовательное и случайное обращение к элементам массива занимает одинаковое время. При подкачке элементов массива с диска случайный доступ к памяти намного менее эффективен.
Для уменьшения числа обращений к файлу подкачки есть несколько способов. Основной прием — экономное расходование памяти. При этом надо помнить, что программа обычно не может занять всю физическую память, потому что часть ее занимает система и другие программы. Компьютер, на котором были получены результаты, приведенные в табл. 1.4, начинал интенсивно обращаться к диску, когда программа занимала 20 Мбайт из 24 Мбайт физической памяти.
Иногда можно написать код так, что программа будет обращаться к блокам памяти последовательно. Алгоритм сортировки слиянием, описанный в 9 главе, манипулирует большими блоками данных. Эти блоки сортируются, а затем сливаются вместе. Упорядоченная работа с памятью уменьшает число обращений к диску.
@Таблица 1.4. Время выполнения программы Pager в секундах
===============13
Алгоритм пирамидальной сортировки, также описанный в 9 главе, произвольно переходит от одной части списка к другой. Для очень больших списков это может приводить к перегрузке памяти. С другой стороны, сортировка слиянием требует большего объема памяти, чем пирамидальная сортировка. Если список достаточно большой, это также может приводить к обращению к файлу подкачки.
В некоторых языках, например в C, C++ или Delphi, можно определять переменные, которые являются указателями
(pointers) на участки памяти. В этих участках могут содержаться массивы, строки, или другие структуры данных. Часто указатель ссылается на структуру, которая содержит другой указатель и так далее. Используя структуры, содержащие указатели, можно организовывать всевозможные списки, графы, сети и деревья. В последующих главах рассматриваются некоторые из этих сложных структур.
До третьей версии Visual Basic не содержал средств для прямого создания ссылок. Тем не менее, поскольку указатель всего лишь ссылается на какой‑либо участок данных, то можно, создав массив, использовать целочисленный индекс массива в качестве указателя на его элементы. Это называется псевдоуказателем
(fake pointer).
Ссылки
В 4-й версии Visual Basic были впервые введены классы. Переменная, указывающая на экземпляр класса, является ссылкой на объект. Например, в следующем фрагменте кода переменная obj — это ссылка на объект класса MyClass. Эта переменная не указывает ни на какой объект, пока она не определяется при помощи зарезервированного слова New. Во второй строке оператор New создает новый объект и записывает ссылку на него в переменную obj.
Dim obj As MyClass
Set obj = New MyClass
Ссылки в Visual Basic — это разновидность указателей.
Объекты в Visual Basic используют счетчик ссылок
(reference counter) для упрощения работы с объектами. Когда создается новая ссылка на объект, счетчик ссылок увеличивается на единицу. После того, как ссылка перестает указывать на объект, счетчик ссылок соответственно уменьшается. Когда счетчик ссылок становится равным нулю, объект становится недоступным программе. В этот момент Visual Basic уничтожает объект и возвращает занятую им память.
В следующих главах более подробно обсуждаются ссылки и счетчики ссылок.
Коллекции
Кроме объектов и ссылок, в 4-й версии Visual Basic также появились коллекции. Коллекцию можно представить как разновидность массива. Они
================14
предоставляют в распоряжение программиста удобные возможности, например можно менять размер коллекции, а также осуществлять поиск объекта по ключу.
Вопросы производительности
Псевдоуказатели, ссылки и коллекции упоминаются в этой главе потому, что они могут сильно влиять на производительность программы. Ссылки и коллекции могут упрощать программирование определенных операций, но они могут потребовать дополнительных расходов памяти.
Программа Faker на диске с примерами демонстрирует взаимосвязь между псевдоуказателями, ссылками и коллекциями. Когда вы вводите число и нажимаете кнопку Create
List
(Создать список), программа создает список элементов одним из трех способов. Вначале она создает объекты, соответствующие отдельным элементам, и добавляет ссылки на объекты к коллекции. Затем она использует ссылки внутри самих объектов для создания связанного списка объектов. И, наконец, она создает связный список при помощи псевдоуказателей. Пока не будем останавливаться на том, как работают связные списки. Они будут подробно разбираться во 2 главе.
После нажатия на кнопку Search
List
(Поиск в списке), программа Faker выполняет поиск по всем элементам списка, а после нажатия на кнопку Destroy
List
(Уничтожить список) уничтожает все списки и освобождает память.
В табл. 1.5 приведены значения времени, которое требуется программе для выполнения этих задач на компьютере с процессором Pentium с тактовой частотой 90 МГц. Из таблицы видно, что за удобство работы с коллекциями приходится платить ценой большего времени, затрачиваемого на создание и уничтожение коллекций.
Коллекции также содержат индекс списка. Часть времени, затрачиваемого при создании коллекции, и уходит на создание индекса. При уничтожении коллекции сохраняемые в ней ссылки освобождаются. При этом система проверяет и обновляет счетчики ссылок для всех объектов. Если они равны нулю, то сам объект также уничтожается. Все это занимает дополнительное время.
При использовании псевдоуказателей создание и уничтожение списка происходит так быстро, что этим временем можно практически пренебречь. Системе при этом не надо заботиться о ссылках, счетчиках ссылок и об освобождении объектов.
С другой стороны, поиск в коллекции осуществляется гораздо быстрее, чем в двух остальных случаях, поскольку коллекция использует быстрое хеширование (hashing) построенного индекса, в то время как список ссылок и список псевдоуказателей используют медленный последовательный поиск. В 11 главе объясняется, как можно добавить хеширование к своей программе без использования коллекций.
@Таблица 1.5. Время Создания/Поиска/Уничтожения списков в секундах
==============15
Хотя применение псевдоуказателей обычно обеспечивает лучшую производительность, оно менее удобно, чем использование ссылок. Если в программе нужен лишь небольшой список, ссылки и коллекции могут работать достаточно быстро. При работе с большими списками можно получить более высокую производительность, используя псевдоуказатели.
Резюме
Анализ производительности алгоритмов позволяет сравнить разные алгоритмы. Он также помогает оценить поведение алгоритмов при различных условиях. Выделяя только части алгоритма, которые вносят наибольший вклад во время исполнения программы, анализ помогает определить, доработка каких участков кода позволяет внести максимальный вклад в улучшение производительности.
В программировании часто приходится идти на различные компромиссы, которые могут сказываться на производительности. Один алгоритм может быть быстрее, но за счет использования большого объема памяти. Другой алгоритм, использующий коллекции, может быть более медленным, но зато его проще разрабатывать и поддерживать.
После анализа доступных алгоритмов, понимания того, как они ведут себя в различных условиях и их требований к ресурсам, вы можете выбрать оптимальный алгоритм для вашей задачи.
==============16
Глава 2. Списки
Существует четыре основных способа распределения памяти в Visual Basic: объявление переменных стандартных типов (целые, с плавающей точкой и т.д.); объявление переменных типов, определенных пользователем; создание экземпляров классов при помощи оператора New и изменение размера массивов. Существует еще несколько способов, например, создание нового экземпляра формы или элемента управления, но эти способы не дают больших возможностей при создании сложных структур данных.
Используя эти методы, можно легко строить статические структуры данных, такие как большие массивы определенных пользователем типов. Вы также можете изменять размер массива при помощи оператора ReDim. Тем не менее, перераспределение данных может быть достаточно сложным. Например, для того, чтобы переместить элемент с одного конца массива на другой, потребуется переупорядочить весь массив, сдвинув все элементы на одну позицию, чтобы заполнить освободившееся пространство. Затем можно поместить элемент на его новое место.
Динамические структуры данных позволяют быстро и легко выполнять такого рода изменения. Всего за несколько шагов можно переместить любой элемент в структуре данных в любое другое положение.
В этой главе описаны методы создания динамических списков в Visual Basic. Различные типы списков обладают разными свойствами. Некоторые из них просты и обладают ограниченной функциональностью, другие же, такие как циклические списки, одно‑ или двусвязные списки, являются более сложными и поддерживают более развитые средства управления данными.
В последующих главах описанные методы используются для построения стеков, очередей, массивов, деревьев, хэш‑таблиц и сетей. Вам необходимо усвоить материал этой главы перед тем, как продолжить чтение.
Знакомство со списками
Простейшая форма списка — это группа объектов. Она включает в себя объекты и позволяет программе обращаться к ним. Если это все, что вам нужно от списка, вы можете использовать массив в качестве списка, отслеживая при помощи переменной NumInList число элементов в списке. Определив при помощи этой переменной число имеющихся элементов, программа затем может по очереди обратиться к ним в цикле For и выполнить необходимые действия.
=============17
Если вы в своей программе можете обойтись этим подходом, используйте его. Этот метод эффективен, и его легко отлаживать и поддерживать благодаря его простоте. Тем не менее, большинство программ не столь просты, и в них требуются более сложные конструкции даже для таких простых объектов, как списки. Поэтому в последующих разделах этой главы обсуждаются некоторые пути создания списков с большей функциональностью.
В первом параграфе описываются пути создания списков, которые могут расти и уменьшаться со временем. В некоторых программах нельзя заранее определить, насколько большой список понадобится. Вы можете справиться с такой ситуацией при помощи списка, который может при необходимости изменять свой размер.
В следующем параграфе обсуждаются неупорядоченные списки
(unordered list), которые позволяют удалять элементы из любой части списка. Неупорядоченные списки дают больший контроль над содержимым списка, чем простые списки. Они также являются более динамичными, так как позволяют изменять содержимое в произвольный момент времени.
В последующих разделах обсуждаются связные списки
(linked list), которые используют указатели
для создания чрезвычайно гибких структур данных. Вы можете добавлять или удалять элементы из любой части связного списка с минимальными усилиями. В этих параграфах также описаны некоторые разновидности связных списков, такие как циклические, двухсвязные списки или списки со ссылками.
Простые списки
Если в вашей программе необходим список постоянного размера, вы можете создать его, просто используя массив. В этом случае можно при необходимости опрашивать его элементы в цикле For.
Многие программы используют списки, которые растут или уменьшаются со временем. Можно создать массив, соответствующий максимально возможному размеру списка, но такое решение не всегда будет оптимальным. Не всегда можно заранее знать, насколько большим может стать список, кроме того, вероятность, что список станет очень большим, может быть невелика, и созданный массив гигантских размеров может большую часть времени лишь понапрасну занимать память.
Программа может использовать коллекции Visual Basic для хранения списка переменного размера. Метод Add Item добавляет элемент в коллекцию. Метод Remove удаляет элемент. Следующий фрагмент кода демонстрирует программу, которая добавляет три элемента к коллекции и затем удаляет второй элемент.
Dim list As New Collection
Dim obj As MyClass
Dim I As Integer
‘ Создать и добавить 1 элемент.
Set obj = New MyClass
list.Add obj
‘ Добавить целое число.
i = 13
list.Add I
‘ Добавить строку.
list.Add "Работа с коллекциями"
‘ Удалить 2 элемент (целое число).
list.Remove 2
===============18
Коллекции пытаются обеспечить поддержку любых приложений, и выполняют замечательную работу. Их легко использовать, они позволяют извлекать элементы, проиндексированные по ключу, и дают приемлемую производительность, если не содержат слишком много элементов.
Тем не менее, коллекциям свойственны и определенные недостатки. Для больших списков, коллекции могут работать медленнее, чем массивы. Если в вашей программе не нужны все свойства, предоставляемые коллекцией, более быстрым может быть использование простого массива.
Схема хэширования, которую коллекции используют для управления ключами, также накладывает ряд ограничений. Во-первых, коллекции не позволяют дублировать ключи. Во-вторых, для коллекции можно определить, какой элемент имеет заданный ключ, но нельзя узнать, какой ключ соответствует данному элементу. И, наконец, коллекции не поддерживают множественных ключей. Например, может быть, вам хотелось бы, чтобы программа могла производить поиск по списку служащих, используя имя сотрудника или его идентификационный номер в системе социального страхования. Коллекция не сможет поддерживать оба метода поиска, так как она способна оперировать только одним ключом.
В последующих параграфах описываются методы построения списков, свободных от этих ограничений.
Оператор Visual Basic ReDim позволяет изменять размер массива. Вы можете использовать это свойство для построения простого списка переменного размера. Начните с объявления безразмерного массива для хранения элементов списка. Также определите переменную NumInList для отслеживания числа элементов в списке. При добавлении элементов к списку используйте оператор ReDim для увеличения размера массива, чтобы новый элемент мог поместиться в нем. При удалении элемента также используйте оператор ReDim для уменьшения массива и освобождения ненужной больше памяти.
Dim List() As String ‘ Список элементов.
Dim NumInList As Integer ‘ Число элементов в списке.
Sub AddToList(value As String)
‘ Увеличить размер массива.
NumInList = NumInList + 1
ReDim Preserve List (1 To NumInList)
‘ Добавить новый элемент к концу списка.
List(NumInList) = value
End Sub
Sub RemoveFromList()
‘ Уменьшить размер массива, освобождая память.
NumInList = NumInList – 1
ReDim Preserve List (1 To NumInList)
End Sub
==================19
Эта простая схема неплохо работает для небольших списков, но у нее есть пара недостатков. Во-первых, приходится часто менять размер массива. Для создания списка из 1000 элементов, придется 1000 раз изменять размер массива. Хуже того, при увеличении размера списка, на изменение его размера потребуется больше времени, поскольку придется каждый раз копировать растущий список в памяти.
Для уменьшения частоты изменений размера массива, можно добавлять дополнительные элементы к массиву при увеличении его размера, например, по 10 элементов вместо одного. При этом, когда вы будете добавлять новые элементы к списку в будущем, массив уже будет содержать неиспользуемые ячейки, в которые вы сможете поместить новые элементы без увеличения размера массива. Новое увеличение размера массива потребуется, только когда пустые ячейки закончатся.
Подобным же образом можно избежать изменения размера массива при каждом удалении элемента из списка. Можно подождать, пока в массиве не накопится 20 неиспользуемых ячеек, прежде чем уменьшать его размер. При этом нужно оставить 10 свободных ячеек для того, чтобы можно было добавлять новые элементы без необходимости снова увеличивать размер массива.
Заметим, что максимальное число неиспользуемых ячеек (20) должно быть больше, чем минимальное число (10). Это уменьшает число изменений размера массива при удалении или добавлении его элементов.
При такой схеме в списке обычно есть несколько свободных ячеек, тем не менее их число достаточно мало, и лишние затраты памяти невелики. Свободные ячейки гарантируют возможность добавления или удаления элементов без изменения размера массива. Фактически, если вы неоднократно добавляете к списку, а затем удаляете из него один или два элемента, вам может никогда не понадобиться изменять размер массива.
Dim List() As String ‘ Список элементов.
Dim ArraySize As Integer ‘ Размер массива.
Dim NumInList As Integer ‘ Число используемых элементов.
‘ Если массив заполнен, увеличить его размер, добавив 10 ячеек.
‘ Затем добавить новый элемент в конец списка.
Sub AddToList(value As String)
NumInList = NumInList + 1
If NumInList > ArraySize Then
ArraySize = ArraySize + 10
ReDim Preserve List(1 To ArraySize)
End If
List(NumInList) = value
End Sub
‘ Удалить последний элемент из списка. Если осталось больше
‘ 20 пустых ячеек, уменьшить список, освобождая память.
Sub RemoveFromList()
NumInList = NumInList – 1
If ArraySize – NumInList > 20 Then
ArraySize = ArraySize –10
ReDim Preserve List(1 To ArraySize)
End If
End Sub
=============20
Для очень больших массивов это решение может также оказаться не самым лучшим. Если вам нужен список, содержащий 1000 элементов, к которому обычно добавляется по 100 элементов, то все еще слишком много времени будет тратиться на изменение размера массива. Очевидной стратегией в этом случае было бы увеличение приращения размера массива с 10 до 100 или более ячеек. Тогда можно было бы добавлять по 100 элементов одновременно без частого изменения размера списка.
Более гибким решением будет изменение приращения в зависимости от размера массива. Для небольших списков это приращение было бы также небольшим. Хотя изменения размера массива происходили бы чаще, они потребовали бы относительно немного времени для небольших массивов. Для больших списков, приращение размера будет больше, поэтому их размер будет изменяться реже.
Следующая программа пытается поддерживать примерно 10 процентов списка свободным. Когда массив заполняется, его размер увеличивается на 10 процентов. Если свободное пространство составляет более 20 процентов от размера массива, программа уменьшает его.
При увеличении размера массива, добавляется не меньше 10 элементов, даже если 10 процентов от размера массива составляют меньшую величину. Это уменьшает число необходимых изменений размера массива, если список очень мал.
Const WANT_FREE_PERCENT = .1 ‘ 10% свободного места.
Const MIN_FREE = 10 ‘ Минимальное число пустых ячеек.
Global List() As String ‘ Массив элементов списка.
Global ArraySize As Integer ‘ Размер массива.
Global NumItems As Integer ‘ Число элементов в списке.
Global ShrinkWhen As Integer ‘ Уменьшить размер, если NumItems < ShrinkWhen.
‘ Если массив заполнен, увеличить его размер.
‘ Затем добавить новый элемент в конец списка.
Sub Add(value As String)
NumItems = NumItems + 1
If NumItems > ArraySize Then ResizeList
List(NumItems) = value
End Sub
‘ Удалить последний элемент из списка.
‘ Если в массиве много пустых ячеек, уменьшить его размер.
Sub RemoveLast()
NumItems = NumItems – 1
If NumItems < ShrinkWhen Then ResizeList
End Sub
‘ Увеличить размер массива, чтобы 10% ячеек были свободны.
Sub ResizeList()
Dim want_free As Integer
want_free = WANT_FREE_PERCENT * NumItems
If want_free < MIN_FREE Then want_free = MIN_FREE
ArraySize = NumItems + want_free
ReDim Preserve List(1 To ArraySize)
‘ Уменьшить размер массива, если NumItems < ShrinkWhen.
ShrinkWhen = NumItems – want_free
End Sub
===============21
Класс
SimpleList
Чтобы использовать этот простой подход, программе необходимо знать все параметры списка, при этом нужно следить за размером массива, числом используемых элементов, и т.д. Если необходимо создать больше одного списка, потребуется множество копий переменных и код, управляющий разными списками, будет дублироваться.
Классы Visual Basic могут сильно облегчить выполнение этой задачи. Класс SimpleList инкапсулирует эту структуру списка, упрощая управление списками. В этом классе присутствуют методы Add и Remove для использования в основной программе. В нем также есть процедуры извлечения свойств NumItems и ArraySize, с помощью которых программа может определить число элементов в списке и объем занимаемой им памяти.
Процедура ResizeList объявлена как частная внутри класса SimpleList. Это скрывает изменение размера списка от основной программы, поскольку этот код должен использоваться только внутри класса.
Используя класс SimpleList, легко создать в приложении несколько списков. Для того чтобы создать новый объект для каждого списка, просто используется оператор New. Каждый из объектов имеет свои переменные, поэтому каждый из них может управлять отдельным списком:
Dim List1 As New SimpleList
Dim List2 As New SimpleList
Когда объект SimpleList увеличивает массив, он выводит окно сообщения, показывающее размер массива, количество неиспользуемых элементов в нем, и значение переменной ShrinkWhen. Когда число использованных ячеек в массиве становится меньше, чем значение ShrinkWhen, программа уменьшает размер массива. Заметим, что когда массив практически пуст, переменная ShrinkWhen иногда становится равной нулю или отрицательной. В этом случае размер массива не будет уменьшаться, даже если вы удалите все элементы из списка.
=============22
Программа SimList добавляет к массиву еще 50 процентов пустых ячеек, если необходимо увеличить его размер, и всегда оставляет при этом не менее 1 пустой ячейки. Эти значения был выбраны для удобства работы с программой. В реальном приложении, процент свободной памяти должен быть меньше, а число свободных ячеек больше. Более разумным в таком случае было бы выбрать значения порядка 10 процентов от текущего размера списка и минимум 10 свободных ячеек.
Неупорядоченные списки
В некоторых приложениях может понадобиться удалять элементы из середины списка, добавляя при этом элементы в конец списка. В этом случае порядок расположения элементов может быть не важен, но при этом может быть необходимо удалять определенные элементы из списка. Списки такого типа называются неупорядоченными списками
(unordered lists). Они также иногда называются «множеством элементов».
[RP3]
Неупорядоченный список должен поддерживать следующие операции:
* добавление элемента к списку;
* удаление элемента из списка;
* определение наличия элемента в списке;
* выполнение каких‑либо операций (например, вывода на дисплей или принтер) для всех элементов списка.
Простую структуру, представленную в предыдущем параграфе, можно легко изменить для того, чтобы обрабатывать такие списки. Когда удаляется элемент из середины списка, остальные элементы сдвигаются на одну позицию, заполняя образовавшийся промежуток. Это показано на рис. 2.1, на котором второй элемент удаляется из списка, и третий, четвертый, и пятый элементы сдвигаются влево, заполняя свободный участок.
Удаление из массива элемента при таком подходе может занять достаточно много времени, особенно если удаляется элемент в начале списка. Чтобы удалить первый элемент из массива с 1000 элементов, потребуется сдвинуть влево на одну позицию 999 элементов. Гораздо быстрее удалять элементы можно при помощи простой схемы чистки памяти
(
garbage collection)[RP4]
.
Вместо удаления элементов из списка, пометьте их как неиспользуемые. Если элементы списка — данные простых типов, например целые, можно помечать элементы, используя определенное, так называемое «мусорное» значение
(garbage value).
@Рисунок 2.1 Удаление элемента из середины массива
===========23
Для целых чисел можно использовать для этого значение ‑32.767. Для переменной типа Variant можно использовать значение NULL. Это значение присваивается каждому неиспользуемому элементу. Следующий фрагмент кода демонстрирует удаление элемента из подобного целочисленного списка:
Const GARBAGE_VALUE = -32767
‘ Пометить элемент как неиспользуемый.
Sub RemoveFromList(position As Long)
List(position) = GARBAGE_VALUE
End Sub
Если элементы списка — это структуры, определенные оператором Type, вы можете добавить к такой структуре новое поле IsGarbage. Когда элемент удаляется из списка, значение поля IsGarbage устанавливается в True.
Type MyData
Name As Sring ‘ Данные.
IsGarbage As Integer ‘ Этот элемент не используется?
End Type
‘ Пометить элемент, как не использующийся.
Sub RemoveFromList (position As Long)
List(position).IsGarbage = True
End Sub
Для простоты далее в этом разделе предполагается, что элементы данных являются данными универсального типа и их можно помечать значением NULL.
Теперь можно изменить другие процедуры, которые используют список, чтобы они пропускали помеченные элементы. Например, так можно модифицировать процедуру, которая печатает список:
‘ Печать элементов списка.
Sub PrintItems()
Dim I As Long
For I = 1 To ArraySize
If Not IsNull(List(I))
[RP5]
Then ‘ Если элемент не помечен
Print Str$(List(I)) ‘ напечатать его.
End If
Next I
End Sub
После использования в течение некоторого времени схемы пометки «мусора», список может оказаться полностью им заполнен. В конце концов, подпрограммы вроде этой процедуры больше времени будут тратить на пропуск ненужных элементов, чем на обработку настоящих данных.
=============24
Для того, чтобы избежать этого, можно периодически запускать процедуру очистки памяти
(garbage collection routine). Эта процедура перемещает все непомеченные записи в начало массива. После этого можно добавить их к свободным элементам в конце массива. Когда потребуется добавить к массиву дополнительные элементы, их также можно будет использовать без изменения размера массива.
После добавления помеченных элементов к другим свободным ячейкам массива, полный объем свободного пространства может стать достаточно большим, и в этом случае можно уменьшить размер массива, освобождая память:
Private Sub CollectGarbage()
Dim i As Long
Dim good As Long
good = 1 ‘ Первый используемый элемент.
For i = 1 To m_NumItems
‘ Если он не помечен, переместить его на новое место.
If Not IsNull(m_List(i)) Then
m_List(good) = m_list(i)
good = good + 1
End If
Next i
‘ Последний используемый элемент.
m_NumItems(good) = good - 1
‘ Необходимо ли уменьшать размер списка?
If m_NumItems < m_ShrinkWhen Then ResizeList
End Sub
При выполнении чистки памяти, используемые элементы перемещаются ближе к началу списка, заполняя пространство, которое занимали помеченные элементы. Значит, положение элементов в списке может измениться во время этой операции. Если другие часть программы обращаются к элементам списка по их положению в нем, необходимо модифицировать процедуру чистки памяти, с тем, чтобы она также обновляла ссылки на положение элементов в списке. В общем случае это может оказаться достаточно сложным, приводя к проблемам при сопровождении программ.
Можно выбирать разные моменты для запуска процедуры чистки памяти. Один из них — когда массив достигает определенного размера, например, когда список содержит 30000 элементов.
Этому методу присущи определенные недостатки. Во‑первых, он использует большой объем памяти. Если вы часто добавляете или удаляете элементы, «мусор» будет занимать довольно большую часть массива. При таком неэкономном расходовании памяти, программа может тратить время на свопинг, хотя список мог бы целиком помещаться в памяти при более частом переупорядочивании.
===========25
Во-вторых, если список начинает заполняться ненужными данными, процедуры, которые его используют, могут стать чрезвычайно неэффективными. Если в массиве из 30.000 элементов 25.000 не используются, подпрограмма типа описанной выше PrintItems, может выполняться ужасно медленно.
И, наконец, чистка памяти для очень большого массива может потребовать значительного времени, в особенности, если при обходе элементов массива программе приходится обращаться к страницам, выгруженным на диск. Это может приводить к «подвисанию» вашей программы на несколько секунд во время чистки памяти.
Чтобы решить эту проблему, можно создать новую переменную GarbageCount, в которой будет находиться число ненужных элементов в списке. Когда значительная часть памяти, занимаемой списком, содержит ненужные элементы, вы может начать процедуру «сборки мусора».
Dim GarbageCount As Long ‘ Число ненужных элементов.
Dim MaxGarbage As Long ‘ Это значение определяется в ResizeList.
‘ Пометить элемент как ненужный.
‘ Если «мусора» слишком много, начать чистку памяти.
Public Sub Remove(position As Long)
m_List(position) = Null
m_GarbageCount = m_GarbageCount + 1
‘ Если «мусора» слишком много, начать чистку памяти.
If m_GarbageCount > m_MaxGarbage Then CollectGarbage
End Sub
Программа Garbage демонстрирует этот метод чистки памяти. Она пишет рядом с неиспользуемыми элементами списка слово «unused», а рядом с помеченными как ненужные — слово «garbage». Программа использует класс GarbageList примерно так же, как программа SimList использовала класс SimpleList, но при этом она еще осуществляет «сборку мусора».
Чтобы добавить элемент к списку, введите его значение и нажмите на кнопку Add
(Добавить). Для удаления элемента выделите его, а затем нажмите на кнопку Remove
(Удалить). Если список содержит слишком много «мусора», программа начнет выполнять чистку памяти.
При каждом изменении размера списка объекта GarbageList, программа выводит окно сообщения, в котором приводится число используемых и свободных элементов в списке, а также значения переменных MaxGarbage и ShrinkWhen. Если удалить достаточное количество элементов, так что больше, чем MaxGarbage элементов будут помечены как ненужные, программа начнет выполнять чистку памяти. После ее окончания, программа уменьшает размер массива, если он содержит меньше, чем ShrinkWhen занятых элементов.
Если размер массива должен быть увеличен, программа Garbage добавляет к массиву еще 50 процентов пустых ячеек, и всегда оставляет хотя бы одну пустую ячейку при любом изменении размера массива. Эти значения были выбраны для упрощения работы пользователя со списком. В реальной программе процент свободной памяти должен быть меньше, а число свободных ячеек — больше. Оптимальными выглядят значения порядка 10 процентов и 10 свободных ячеек.
==========26
Связные списки
Другая стратегия используется при управлении связанными списками. Связанный список хранит элементы в структурах данных или объектах, которые называются ячейками (cells). Каждая ячейка содержит указатель на следующую ячейку в списке. Так как единственный тип указателей, которые поддерживает Visual Basic — это ссылки на объекты, то ячейки в связном списке должны быть объектами.
В классе, задающем ячейку, должна быть определена переменная NextCell, которая указывает на следующую ячейку в списке. В нем также должны быть определены переменные, содержащие данные, с которыми будет работать программа. Эти переменные могут быть объявлены как открытые (public) внутри класса, или класс может содержать процедуры для чтения и записи значений этих переменных. Например, в связном списке с записями о сотрудниках, в этих полях могут находиться имя сотрудника, номер социального страхования, название должности, и т.д. Определения для класса EmpCell могут выглядеть примерно так:
Public EmpName As String
Public SSN As String
Public JobTitle As String
Public NextCell As EmpCell
Программа создает новые ячейки при помощи оператора New, задает их значения и соединяет их, используя переменную NextCell.
Программа всегда должна сохранять ссылку на вершину списка. Для того, чтобы определить, где заканчивается список, программа должна установить значение NextCell для последнего элемента списка равным Nothing (ничего). Например, следующий фрагмент кода создает список, представляющий трех сотрудников:
Dim top_cell As EmpCell
Dim cell1 As EmpCell
Dim cell2 As EmpCell
Dim cell3 As EmpCell
‘ Создание ячеек.
Set cell1 = New EmpCell
cell1.EmpName = "Стивенс”
cell1.SSN = "123-45-6789"
cell1.JobTitle = "Автор"
Set cell2 = New EmpCell
cell2.EmpName = "Кэтс”
cell2.SSN = "123-45-6789"
cell2.JobTitle = "Юрист"
Set cell3 = New EmpCell
cell3.EmpName = "Туле”
cell3.SSN = "123-45-6789"
cell3.JobTitle = "Менеджер"
‘ Соединить ячейки, образуя связный список.
Set cell1.NextCell = cell2
Set cell2.NextCell = cell3
Set cell3.NextCell = Nothing
‘ Сохранить ссылку на вершину списка.
Set top_cell = cell1
===============27
На рис. 2.2 показано схематическое представление этого связного списка. Прямоугольники представляют ячейки, а стрелки — ссылки на объекты. Маленький перечеркнутый прямоугольник представляет значение Nothing, которое обозначает конец списка. Имейте в виду, что top_cell, cell1 и cell2 – это не настоящие объекты, а только ссылки, которые указывают на них.
Следующий код использует связный список, построенный при помощи предыдущего примера для печати имен сотрудников из списка. Переменная ptr используется в качестве указателя на элементы списка. Она первоначально указывает на вершину списка. В коде используется цикл Do для перемещения ptr по списку до тех пор, пока указатель не дойдет до конца списка. Во время каждого цикла, процедура печатает поле EmpName ячейки, на которую указывает ptr. Затем она увеличивает ptr, указывая на следующую ячейку в списке. В конце концов, ptr достигает конца списка и получает значение Nothing, и цикл Do останавливается.
Dim ptr As EmpCell
Set ptr = top_cell ‘ Начать с вершины списка.
Do While Not (ptr Is Nothing)
‘ Вывести поле EmpName этой ячейки.
Debug.Print ptr.Empname
‘ Перейти к следующей ячейке в списке.
Set ptr = ptr.NextCell
Loop
После выполнения кода вы получите следующий результат:
Стивенс
Кэтс
Туле
@Рис. 2.2. Связный список
=======28
Использование указателя на другой объект называется косвенной адресацией
(indirection), поскольку вы используете указатель для косвенного манипулирования данными. Косвенная адресация может быть очень запутанной. Даже для простого расположения элементов, такого, как связный список, иногда трудно запомнить, на какой объект указывает каждая ссылка. В более сложных структурах данных, указатель может ссылаться на объект, содержащий другой указатель. Если есть несколько указателей и несколько уровней косвенной адресации, вы легко можете запутаться в них
Для того, чтобы облегчить понимание, в изложении используются иллюстрации, такие как рис. 2.2,(для сетевой версии исключены, т.к. они многократно увеличивают размер загружаемого файла) чтобы помочь вам наглядно представить ситуацию там, где это возможно. Многие из алгоритмов, которые используют указатели, можно легко проиллюстрировать подобными рисунками.
Простой связный список, показанный на рис. 2.2, обладает несколькими важными свойствами. Во‑первых, можно очень легко добавить новую ячейку в начало списка. Установим указатель новой ячейки NextCell на текущую вершину списка. Затем установим указатель top_cell на новую ячейку. Рис. 2.3 соответствует этой операции. Код на языке Visual Basic для этой операции очень прост:
Set new_cell.NextCell = top_cell
Set top_cell = new_cell
@Рис. 2.3. Добавление элемента в начало связного списка
Сравните размер этого кода и кода, который пришлось бы написать для добавления нового элемента в начало списка, основанного на массиве, в котором потребовалось бы переместить все элементы массива на одну позицию, чтобы освободить место для нового элемента. Эта операция со сложностью порядка O(N) может потребовать много времени, если список достаточно длинный. Используя связный список, моно добавить новый элемент в начало списка всего за пару шагов.
======29
Так же легко добавить новый элемент и в середину связного списка. Предположим, вы хотите вставить новый элемент после ячейки, на которую указывает переменная after_me. Установим значение NextCell новой ячейки равным after_me.NextCell. Теперь установим указатель after_me.NextCell на новую ячейку. Эта операция показана на рис. 2.4. Код на Visual Basic снова очень прост:
Set new_cell.NextCell = after_me.NextCell
Set after_me.NextCell = new_cell
Удалить элемент из вершины связного списка так же просто, как и добавить его. Просто установите указатель top_cell на следующую ячейку в списке. Рис. 2.5 соответствует этой операции. Исходный код для этой операции еще проще, чем код для добавления элемента.
Set top_cell = top_cell.NextCell
Когда указатель top_cell перемещается на второй элемент в списке, в программе больше не останется переменных, указывающих на первый объект. В этом случае, счетчик ссылок на этот объект станет равен нулю, и система автоматически уничтожит его.
Так же просто удалить элемент из середины списка. Предположим, вы хотите удалить элемент, стоящий после ячейки after_me. Просто установите указатель NextCell этой ячейки на следующую ячейку. Эта операция показана на рис. 2.6. Код на Visual Basic прост и понятен:
after_me.NextCell = after_me.NextCell.NextCell
@Рис. 2.4. Добавление элемента в середину связного списка
=======30
@Рис. 2.5. Удаление элемента из начала связного списка
Снова сравним этот код с кодом, который понадобился бы для выполнения той же операции, при использовании списка на основе массива. Можно быстро пометить удаленный элемент как неиспользуемый, но это оставляет в списке ненужные значения. Процедуры, обрабатывающие список, должны это учитывать, и соответственно быть более сложными. Присутствие чрезмерного количества «мусора» также замедляет работу процедуры, и, в конце концов, придется проводить чистку памяти.
При удалении элемента из связного списка, в нем не остается пустых промежутков. Процедуры, которые обрабатывают список, все так же обходят список с начала до конца, и не нуждаются в модификации.
Можно предположить, что для уничтожения связного списка необходимо обойти весь список, устанавливая значение NextCell для всех ячеек равным Nothing. На самом деле процесс гораздо проще: только top_cell принимает значение Nothing.
Когда программа устанавливает значение top_cell равным Nothing, счетчик ссылок для первой ячейки становится равным нулю, и Visual Basic уничтожает эту ячейку.
Во время уничтожения ячейки, система определяет, что в поле NextCell этой ячейки содержится ссылка на другую ячейку. Поскольку первый объект уничтожается, то число ссылок на второй объект уменьшается. При этом счетчик ссылок на второй объект списка становится равным нулю, поэтому система уничтожает и его.
Во время уничтожения второго объекта, система уменьшает число ссылок на третий объект, и так далее до тех пор, пока все объекты в списке не будут уничтожены. Когда в программе уже не будет ссылок на объекты списка, можно уничтожить и весь список при помощи единственного оператора Set top_cell = Nothing.
@Рис. 2.6. Удаление элемента из середины связного списка
========31
Для добавления или удаления элементов из начала или середины списка используются различные процедуры. Можно свести оба этих случая к одному и избавиться от избыточного кода, если ввести специальную сигнальную метку
(sentinel) в самом начале списка. Сигнальную метку нельзя удалить. Она не содержит данных и используется только для обозначения начала списка.
Теперь вместо того, чтобы обрабатывать особый случай добавления элемента в начало списка, можно помещать элемент после метки. Таким же образом, вместо особого случая удаления первого элемента из списка, просто удаляется элемент, следующий за меткой.
Использование сигнальных меток пока не вносит особых различий. Сигнальные метки играют важную роль в гораздо более сложных алгоритмах. Они позволяют обрабатывать особые случаи, такие как начало списка, как обычные. При этом требуется написать и отладить меньше кода, и алгоритмы становятся более согласованными и более простыми для понимания.
В табл. 2.1 сравнивается сложность выполнения некоторых типичных операций с использованием списков на основе массивов со «сборкой мусора» или связных списков.
Списки на основе массивов имеют одно преимущество: они используют меньше памяти. Для связных списков необходимо добавить поле NextCell к каждому элементу данных. Каждая ссылка на объект занимает четыре дополнительных байта памяти. Для очень больших массивов это может потребовать больших затрат памяти.
Программа LnkList1 демонстрирует простой связный список с сигнальной меткой. Введите значение в текстовое поле ввода, и нажмите на элемент в списке или на метку. Затем нажмите на кнопку Add
After
(Добавить после), и программа добавит новый элемент после указанного. Для удаления элемента из списка, нажмите на элемент и затем на кнопку Remove
After
(Удалить после).
@Таблица 2.1. Сравнение списков на основе массивов и связных списков
=========32
Программа LnkList1 управляет списком явно. Например, следующий код показывает, как программа удаляет элемент из списка. Когда подпрограмма начинает работу, глобальная переменная SelectedIndex дает положение элемента, предшествующего удаляемому элементу в списке. Переменная Sentinel содержит ссылку на сигнальную метку списка.
Private Sub CmdRemoveAfter_Click()
Dim ptr As ListCell
Dim position As Integer
If SelectedIndex < 0 Then Exit Sub
‘ Найти элемент.
Set ptr = Sentinel
position = SelectedIndex
Do While position > 0
position = position - 1
Set ptr = ptr.nextCell
Loop
‘ Удалить следуюший элемент.
Set ptr.NextCell = ptr.NextCell.NextCell
NumItems = NumItems - 1
SelectItem SelectedIndex ‘ Снова выбрать элемент.
DisplayList
NewItem.SetFocus
End Sub
Чтобы упростить использование связного списка, можно инкапсулировать его функции в классе. Это реализовано в программе LnkList2 . Она аналогична программе LnkList1, но использует для управления списком класс LinkedList.
Класс LinekedList управляет внутренней организацией связного списка. В нем находятся процедуры для добавления и удаления элементов, возвращения значения элемента по его индексу, числа элементов в списке, и очистки списка. Этот класс позволяет обращаться со связным списком почти как с массивом.
Это намного упрощает основную программу. Например, следующий код показывает, как программа LnkList2 удаляет элемент из списка. Только одна строка в программе в действительности отвечает за удаление элемента. Остальные отображают новый список. Сравните этот код с предыдущей процедурой:
Private sub CmdRemoveAfter_Click()
Llist.RemoveAfter SelectedIndex
SelectedItem SelectedList ‘ Снова выбрать элемент.
DisplayList
NewItem.SetFocus
CmdClearList.Enabled
End Sub
=====33
Класс LinkedList, используемый программой LnkLst2, позволяет основной программе использовать список почти как массив. Например, подпрограмма Item, приведенная в следующем коде, возвращает значение элемента по его положению:
Function Item(ByVal position As Long) As Variant
Dim ptr As ListCell
If position < 1 Or position > m_NumItems Then
‘ Выход за границы. Вернуть NULL.
Item = Null
Exit Function
End If
‘ Найти элемент.
Set ptr = m_Sentinel
Do While position > 0
position = position - 1
Set ptr = ptr.NextCell
Loop
Item = ptr.Value
End Function
Эта процедура достаточно проста, но она не использует преимущества связной структуры списка. Например, предположим, что программе требуется последовательно перебрать все объекты в списке. Она могла бы использовать подпрограмму Item для поочередного доступа к ним, как показано в следующем коде:
Dim i As Integer
For i = 1 To LList.NumItems
‘ Выполнить какие‑либо действия с LList.Item(i).
:
Next i
При каждом вызове процедуры Item, она просматривает список в поиске следующего элемента. Чтобы найти элемент I, программа должна пропустить I‑1 элементов. Чтобы проверить все элементы в списке из N элементов, процедура пропустит 0+1+2+3+…+N-1 =N*(N-1)/2 элемента. При больших N программа потеряет много времени на пропуск элементов.
Класс LinkedList может ускорить эту операцию, используя другой метод доступа. Можно использовать частную переменную m_CurrentCell для отслеживания текущей позиции в списке. Для возвращения значения текущего положения используется подпрограмма CurrentItem. Процедуры MoveFirst, MoveNext и EndOfList позволяют основной программе управлять текущей позицией в списке.
=======34
Например, следующий код содержит подпрограмму MoveNext:
Public Sub MoveNext()
‘ Если текущая ячейка не выбрана, ничего не делать.
If Not (m_CurrentCell Is Nothing) Then _
Set m_CurrentCell = m_CurrentCell.NextCell
End Sub
При помощи этих процедур, основная программа может обратиться ко всем элементам списка, используя следующий код. Эта версия несколько сложнее, чем предыдущая, но она намного эффективнее. Вместо того чтобы пропускать N*(N-1)/2 элементов и опрашивать по очереди все N элементов списка, она не пропускает ни одного. Если список состоит из 1000 элементов, это экономит почти полмиллиона шагов.
LList.MoveFirst
Do While Not LList.EndOfList
‘ Выполнить какие‑либо действия над элементом LList.Item(i).
:
LList.MoveNext
Loop
Программа LnkList3 использует эти новые методы для управления связным списком. Она аналогична программе LnkList2, но более эффективно обращается к элементам. Для небольших списков, используемых в программе, эта разница незаметна. Для программы, которая обращается ко всем элементам большого списка, эта версия класса LinkedList более эффективна.
Разновидности связных списков
Связные списки играют важную роль во многих алгоритмах, и вы будете встречаться с ними на протяжении всего материала. В следующих разделах обсуждаются несколько специальных разновидностей связных списков.
Вместо того, чтобы устанавливать указатель NextCell равным Nothing, можно установить его на первый элемент списка, образуя циклический список
(circular list), как показано на рис. 2.7.
Циклические списки полезны, если нужно обходить ряд элементов в бесконечном цикле. При каждом шаге цикла, программа просто перемещает указатель на следующую ячейку в списке. Допустим, имеется циклический список элементов, содержащий названия дней недели. Тогда программа могла бы перечислять дни месяца, используя следующий код:
===========35
@Рис. 2.7. Циклический связный список
‘ Здесь находится код для создания и настройки списка и т.д.
:
‘ Напечатать календарь на месяц.
‘
‘ first_day — это индекс структуры, содержащей день недели для
‘ первого дня месяца. Например, месяц может начинаться
‘ в понедельник.
‘
‘ num_days — число дней в месяце.
Private Sub ListMonth(first_day As Integer, num_days As Integer)
Dim ptr As ListCell
Dim i As Integer
Set ptr = top_cell
For i = 1 to num_days
Print Format$(i) & ": " & ptr.Value
Set ptr = ptr.NextCell
Next I
End Sub
Циклические списки также позволяют достичь любой точки в списке, начав с любого положения в нем. Это вносит в список привлекательную симметрию. Программа может обращаться со всеми элементами списка почти одинаковым образом:
Private Sub PrintList(start_cell As Integer)
Dim ptr As Integer
Set ptr = start_cell
Do
Print ptr.Value
Set ptr = ptr.NextCell
Loop While Not (ptr Is start_cell)
End Sub
========36
Уничтожение циклического списка требует немного больше внимания, чем удаление обычного списка. Если вы просто установите значение переменной top_cell равным Nothing, то программа не сможет больше обратиться к списку. Тем не менее, поскольку счетчик ссылок первой ячейки не равен нулю, она не будет уничтожена. На каждый элемент списка указывает какой‑либо другой элемент, поэтому ни один из них не будет уничтожен.
Это проблема циклических ссылок
(circular referencing problem). Так как ячейки указывают на другие ячейки, ни одна из них не будет уничтожена. Программа не может получить доступ ни к одной из них, поэтому занимаемая ими память будет расходоваться напрасно до завершения работы программы.
Проблема циклических ссылок может встретиться не только в этом случае. Многие сети содержат циклические ссылки — даже одиночная ячейка, поле NextCell которой указывает на саму эту ячейку, может вызвать эту проблему.
Решение ее состоит в том, чтобы разбить цепь ссылок. Например, вы можете использовать в своей программе следующий код для уничтожения циклического связного списка:
Set top_cell.NextCell = Nothing
Set top_cell = Nothing
Первая строка разбивает цикл ссылок. В этот момент на вторую ячейку списка не указывает ни одна переменная, поэтому система уменьшает счетчик ссылок ячейки до нуля и уничтожает ее. Это уменьшает счетчик ссылок на третий элемент до нуля, и соответственно, он также уничтожается. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не будут уничтожены все элементы списка, кроме первого. Установка значения top_cell элемента в Nothing уменьшает его счетчик ссылок до нуля, и последняя ячейка также уничтожается.
Во время обсуждения связных списков вы могли заметить, что большинство операций определялось в терминах выполнения чего‑либо после
определенной ячейки в списке. Если задана определенная ячейка, легко добавить или удалить ячейку после нее или перечислить идущие за ней ячейки. Удалить саму ячейку, вставить новую ячейку перед ней или перечислить идущие перед ней ячейки уже не так легко. Тем не менее, небольшое изменение позволит облегчить и эти операции.
Добавим новое поле указателя к каждой ячейке, которое указывает на предыдущую
ячейку в списке. Используя это новое поле, можно легко создать двусвязный список
(doubly linked list), который позволяет перемещаться вперед и назад по списку. Теперь можно легко удалить ячейку, вставить ее перед другой ячейкой и перечислить ячейки в любом направлении.
@Рис. 2.8. Двусвязный список
============37
Класс DoubleListCell, который используется для таких типов списков, может объявлять переменные так:
Public Value As Variant
Public NextCell As DoubleListCell
Public PrevCell As DoubleListCell
Часто бывает полезно сохранять указатели и на начало, и на конец двусвязного списка. Тогда вы сможете легко добавлять элементы к любому из концов списка. Иногда также бывает полезно размещать сигнальные метки и в начале, и в конце списка. Тогда по мере работы со списком вам не нужно будет заботиться о том, работаете ли вы с началом, с серединой или с концом списка.
На рис. 2.9 показан двусвязный список с сигнальными метками. На этом рисунке неиспользуемые указатели меток NextCell и PrevCell установлены в Nothing. Поскольку программа опознает концы списка, сравнивая значения указателей ячеек с сигнальными метками, и не проверяет, равны ли значения Nothing, установка этих значений равными Nothing не является абсолютно необходимой. Тем не менее, это признак хорошего стиля.
Код для вставки и удаления элементов из двусвязного списка подобен приведенному ранее коду для односвязного списка. Процедуры нуждаются лишь в незначительных изменениях для работы с указателями PrevCell.
@Рис. 2.9. Двусвязный список с сигнальными метками
Теперь вы можете написать новые процедуры для вставки нового элемента до или после данного элемента, и процедуру удаления заданного элемента. Например, следующие подпрограммы добавляют и удаляют ячейки из двусвязного списка. Заметьте, что эти процедуры не нуждаются в доступе ни к одной из сигнальных меток списка. Им нужны только указатели на узел, который должен быть удален или добавлен и узел, соседний с точкой вставки.
Public Sub RemoveItem(ByVal target As DoubleListCell)
Dim after_target As DoubleListCell
Dim before_target As DoubleListCell
Set after_target = target.NextCell
Set before_target = target.PrevCell
Set after_target.NextCell = after_target
Set after_target.PrevCell = before_target
End Sub
Sub AddAfter (new_Cell As DoubleListCell, after_me As DoubleListCell)
Dim before_me As DoubleListCell
Set before_me = after_me.NextCell
Set after_me.NextCell = new_cell
Set new_cell.NextCell = before_me
Set before_me.PrevCell =
new_cell
Set new_cell.PrevCell = after_me
End Sub
Sub AddBefore(new_cell As DoubleListCell, before_me As DoubleListCell)
Dim after_me As DoubleListCell
Set after_me = before_me.PrevCell
Set after_me.NextCell = new_cell
Set new_cell.NextCell = before_me
Set before_me.PrevCell = new_cell
Set new_cell.PrevCell = after_me
End Sub
===========39
Если снова взглянуть на рис. 2.9, вы увидите, что каждая пара соседних ячеек образует циклическую ссылку. Это делает уничтожение двусвязного списка немного более сложной задачей, чем уничтожение односвязных или циклических списков. Следующий код приводит один из способов очистки двусвязного списка. Вначале указатели PrevCell всех ячеек устанавливаются равными Nothing, чтобы разорвать циклические ссылки. Это, по существу, превращает список в односвязный. Когда ссылки сигнальных меток устанавливаются в Nothing, все элементы освобождаются автоматически, так же как и в односвязном списке.
Dim ptr As DoubleListCell
' Очистить указатели PrevCell, чтобы разорвать циклические ссылки.
Set ptr = TopSentinel.NextCell
Do While Not (ptr Is BottomSentinel)
Set ptr.PrevCell = Nothing
Set ptr = ptr.NextCell
Loop
Set TopSentinel.NextCell = Nothing
Set BottomSentinel.PrevCell = Nothing
Если создать класс, инкапсулирующий двусвязный список, то его обработчик события Terminate сможет уничтожать список. Когда основная программа установит значение ссылки на список равным Nothing, список автоматически освободит занимаемую память.
Программа DblLink работает с двусвязным списком. Она позволяет добавлять элементы до или после выбранного элемента, а также удалять выбранный элемент.
=============39
В некоторых приложениях бывает удобно обходить связный список не только в одном порядке. В разных частях приложения вам может потребоваться выводить список сотрудников по их фамилиям, заработной плате, идентификационному номеру системы социального страхования, или специальности.
Обычный связный список позволяет просматривать элементы только в одном порядке. Используя указатель PrevCell, можно создать двусвязный список, который позволит перемещаться по списку вперед и назад. Этот подход можно развить и дальше, добавив больше указателей на структуру данных, позволяя выводить список в другом порядке.
Набор ссылок, который задает какой‑либо порядок просмотра, называется потоком
(thread), а сам полученный список — многопоточным списком
(threaded list).
Не путайте эти потоки с потоками, которые предоставляет система Windows NT.
Список может содержать любое количество потоков, хотя, начиная с какого‑то момента, игра не стоит свеч. Применение потока, упорядочивающего список сотрудников по фамилии, будет обосновано, если ваше приложение часто использует этот порядок, в отличие от расположения по отчеству, которое вряд ли когда будет использоваться.
Некоторые расположения не стоит организовывать в виде потоков. Например, поток, упорядочивающий сотрудников по полу, вряд ли целесообразен потому, что такое упорядочение легко получить и без него. Для того, чтобы составить список сотрудников по полу, достаточно просто обойти список по любому другому потоку, печатая фамилии женщин, а затем повторить обход еще раз, печатая фамилии мужчин. Для получения такого расположения достаточно всего двух проходов списка.
Сравните этот случай с тем, когда вы хотите упорядочить список сотрудников по фамилии. Если список не включает поток фамилий, вам придется найти фамилию, которая будет первой в списке, затем следующую и т.д. Это процесс со сложностью порядка O(N2
), который намного менее эффективен, чем сортировка по полу со сложностью порядка O(N).
В общем случае, задание потока может быть целесообразно, если его необходимо часто использовать, и если при необходимости получить тот же порядок достаточно сложно. Поток не нужен, если его всегда легко создать заново.
Программа Treads демонстрирует простой многопоточный список сотрудников. Заполните поля фамилии, специальности, пола и номера социального страхования для нового сотрудника. Затем нажмите на кнопку Add
(Добавить), чтобы добавить сотрудника к списку.
Программа содержит потоки, которые упорядочивают список по фамилии по алфавиту и в обратном порядке, по номеру социального страхования и специальности в прямом и обратном порядке. Вы можете использовать дополнительные кнопки для выбора потока, в порядке которого программа выводит список. На рис. 2.10 показано окно программы Threads со списком сотрудников, упорядоченным по фамилии.
Класс ThreadedCell, используемый программой Threads, определяет следующие переменные:
Public LastName As String
Public FirstName As String
Public SSN As String
Public Sex As String
Public JobClass As Integer
Public NextName As TreadedCell ‘ По фамилии в прямом порядке.
Public PrevName As TreadedCell ‘ По фамилии в обратном порядке.
Public NextSSN As TreadedCell ‘ По номеру в прямом порядке.
Public NextJobClass As TreadedCell ‘ По специальности в прямом порядке.
Public PrevJobClass As TreadedCell ‘ По специальности в обратном порядке.
Класс ThreadedList инкапсулирует многопоточный список. Когда программа вызывает метод AddItem, список обновляет свои потоки. Для каждого потока программа должна вставить элемент в правильном порядке. Например, для того, чтобы вставить запись с фамилией «Смит», программа обходит список, используя поток NextName, до тех пор, пока не найдет элемент с фамилией, которая должна следовать за «Смит». Затем она вставляет в поток NextName новую запись перед этим элементом.
При определении местоположения новых записей в потоке важную роль играют сигнальные метки. Обработчик событий Class_Initialize класса ThreadedList создает сигнальные метки на вершине и в конце списка и инициализирует их указатели так, чтобы они указывали друг на друга. Затем значение метки в начале списка устанавливается таким образом, чтобы оно всегда находилось до любого значения реальных данных для всех потоков.
Например, переменная LastName может содержать строковые значения. Пустая строка "" идет по алфавиту перед любыми действительными значениями строк, поэтому программа устанавливает значение сигнальной метки LastName в начале списка равным пустой строке.
Таким же образом Class_Initialize устанавливает значение данных для метки в конце списка, превосходящее любые реальные значения во всех потоках. Поскольку "~" идет по алфавиту после всех видимых символов ASCII, программа устанавливает значение поля LastName для метки в конце списка равным "~".
Присваивая полю LastName сигнальных меток значения "" и "~", программа избавляется от необходимости проверять особые случаи, когда нужно вставить новый элемент в начало или конец списка. Любые новые действительные значения будут находиться между значениями LastValue сигнальных меток, поэтому программа всегда сможет определить правильное положение для нового элемента, не заботясь о том, чтобы не зайти за концевую метку и не выйти за границы списка.
@Рис. 2.10. Программа Threads
=====41
Следующий код показывает, как класс ThreadedList вставляет новый элемент в потоки NextName и PrevName. Так как эти потоки используют один и тот же ключ — фамилии, программа может обновлять их одновременно.
Dim ptr As ThreadedCell
Dim nxt As ThreadedCell
Dim new_cell As New ThreadedCell
Dim new_name As String
Dim next_name As String
' Записать значения новой ячейки.
With new_cell
.LastName = LastName
.FirstName = FirstName
.SSN = SSN
•Sex = Sex
.JobClass = JobClass
End With
' Определить место новой ячейки в потоке NextThread.
new_name = LastName & ", " & FirstName
Set ptr = m_TopSentinel
Do
Set nxt = ptr.NextName
next_name = nxt.LastName & ", " & nxt.FirstName
If next_name >= new_name Then Exit Do
Set ptr =
nxt
Loop
' Вставить новую ячейку в потоки NextName и prevName.
Set new_cell.NextName = nxt
Set new_cell.PrevName = ptr
Set ptr.NextName = new_cell
Set nxt.PrevName = new_cell
Чтобы такой подход работал, программа должна гарантировать, что значения новой ячейки лежат между значениями меток. Например, если пользователь введет в качестве фамилии "~~", цикл выйдет за метку конца списка, т.к. "~~" идет после "~". Затем программа аварийно завершит работу при попытке доступа к значению nxt.LastName, если nxt было установлено равным Nothing.
========42
Другие связные структуры
Используя указатели, можно построить множество других полезных разновидностей связных структур, таких как деревья, нерегулярные массивы, разреженные массивы, графы и сети. Ячейка может содержать любое число указателей на другие ячейки. Например, для создания двоичного дерева можно использовать ячейку, содержащую два указателя, один на левого потомка, и второй – на правого. Класс BinaryCell может состоять из следующих определений:
Public LeftChild As BinaryCell
Public RightChild As BinaryCell
На рис. 2.11 показано дерево, построенное из ячеек такого типа. В 6 главе деревья обсуждаются более подробно.
Ячейка может даже содержать коллекцию или связный список с указателями на другие ячейки. Это позволяет программе связать ячейку с любым числом других объектов. На рис. 2.12 приведены примеры других связных структур данных. Вы также встретите похожие структуры далее, в особенности в 12 главе.
Псевдоуказатели
При помощи ссылок в Visual Basic можно легко создавать связные структуры, такие как списки, деревья и сети, но ссылки требуют дополнительных ресурсов. Счетчики ссылок и проблемы с распределением памяти замедляют работу структур данных, построенных с использованием ссылок.
Другой стратегией, которая часто обеспечивает лучшую производительность, является применение псевдоуказателей
(fake pointers). При этом программа создает массив структур данных. Вместо использования ссылок для связывания структур, программа использует индексы массива. Нахождение элемента в массиве осуществляется в Visual Basic быстрее, чем выборка его по ссылке на объект. Это дает лучшую производительность при применении псевдоуказателей по сравнению с соответствующими методами ссылок на объекты.
С другой стороны, применение псевдоуказателей не столь интуитивно, как применение ссылок. Это может усложнить разработку и отладку сложных алгоритмов, таких как алгоритмы сетей или сбалансированных деревьев.
@Рис. 2.11. Двоичное дерево
========43
@Рис. 2.12. Связные структуры
Программа FakeList управляет связным списком, используя псевдоуказатели. Она создает массив простых структур данных для хранения ячеек списка. Программа аналогична программе LnkList1, но использует псевдоуказатели.
Следующий код демонстрирует, как программа FakeList создает массив клеточных структур:
' Структура данных ячейки.
Type FakeCell
Value As String
NextCell As Integer
End Type
' Массив ячеек связного списка.
Global Cells(0 To 100) As FakeCell
' Сигнальная метка списка.
Global Sentinel As Integer
Поскольку псевдоуказатели — это не ссылки, а просто целые числа, программа не может использовать значение Nothing для маркировки конца списка. Программа FakeList использует постоянную END_OF_LIST, значение которой равно -32.767 для обозначения пустого указателя.
Для облегчения обнаружения неиспользуемых ячеек, программа FakeList также использует специальный «мусорный» список, содержащий неиспользуемые ячейки. Следующий код демонстрирует инициализацию пустого связного списка. В нем сигнальная метка NextCell принимает значение END_OF_LIST. Затем она помещает неиспользуемые ячейки в «мусорный» список.
========44
' Связный список неиспользуемых ячеек.
Global TopGarbage As Integer
Public Sub InitializeList()
Dim i As Integer
Sentinel = 0
Cells(Sentinel).NextCell = END_OF_LIST
' Поместить все остальные ячейки в «мусорный» список.
For i = 1 To UBound (Cells) - 1
Cells(i).NextCell = i + 1
Next i
Cells(UBound(Cells)).NextCell = END_OF_LIST
TopGarbage = 1
End Sub
При добавлении элемента к связному списку, программа использует первую доступную ячейку из «мусорного» списка, инициализирует поле ячейки Value и вставляет ячейку в список. Следующий код показывает, как программа добавляет элемент после выбранного:
Private Sub CmdAddAfter_Click()
Dim ptr As Integer
Dim position As Integer
Dim new_cell As Integer
' Найти место вставки.
ptr = Sentinel
position = Selectedlndex
Do While position > 0
position = position - 1
ptr = Cells(ptr).NextCell
Loop
' Выбрать новую ячейку из «мусорного» списка.
new_cell = TopGarbage
TopGarbage = Cells(TopGarbage).NextCell
' Вставить элемент.
Cells (new_cell).Value = NewItem.Text
Cells(new_cell).NextCell = Cells(ptr).NextCell
Cells(ptr).NextCell = new_cell
NumItems = NumItems + 1
DisplayList
SelectItem SelectedIndex + 1 ' Выбрать новый элемент.
NewItem.Text = ""
NewItem.SetFocus
CmdClearList.Enabled = True
End Sub
После удаления ячейки из списка, программа FakeList помещает удаленную ячейку в «мусорный» список, чтобы ее затем можно было легко использовать:
Private Sub CmdRemoveAfter_Click()
Dim ptr As Integer
Dim target As Integer
Dim position As Integer
If SelectedIndex < 0 Then Exit Sub
' Найти элемент.
ptr = Sentinel
position = SelectedIndex
Do While position > 0
position = position - 1
ptr = Cells(ptr).NextCell
Loop
' Пропустить следующий элемент.
target = Cells(ptr).NextCell
Cells(ptr).NextCell = Cells(target).NextCell
NumItems = NumItems - 1
' Добавить удаленную ячейку в «мусорный» список.
Cells(target).NextCell = TopGarbage
TopGarbage = target
SelectItem Selectedlndex ' Снова выбрать элемент.
DisplayList
CmdClearList.Enabled = NumItems > 0
NewItem.SetFocus
End Sub
Применение псевдоуказателей обычно обеспечивает лучшую производительность, но является более сложным. Поэтому имеет смысл сначала создать приложение, используя ссылки на объекты. Затем, если вы обнаружите, что программа значительную часть времени тратит на манипулирование ссылками, вы можете, если необходимо, преобразовать ее с использованием псевдоуказателей.
=======45-46
Резюме
Используя ссылки на объекты, вы можете создавать гибкие структуры данных, такие как связные списки, циклические связные списки и двусвязные списки. Эти списки позволяют легко добавлять и удалять элементы из любого места списка.
Добавляя дополнительные ссылки к классу ячеек, можно превратить двусвязный список в многопоточный. Развивая и дальше эти идеи, можно создавать экзотические структуры данных, включая разреженные массивы, деревья, хэш‑таблицы и сети. Они подробно описываются в следующих главах.
========47
Глава 3. Стеки и очереди
В этой главе продолжается обсуждение списков, начатое во 2 главе, и описываются две особых разновидности списков: стеки и очереди. Стек — это список, в котором добавление и удаление элементов осуществляется с одного и того же конца списка. Очередь — это список, в котором элементы добавляются в один конец списка, а удаляются с противоположного конца. Многие алгоритмы, включая некоторые из представленных в следующих главах, используют стеки и очереди.
Стеки
Стек
(stack) — это упорядоченный список, в котором добавление и удаление элементов всегда происходит на одном конце списка. Можно представить стек как стопку предметов на полу. Вы можете добавлять элементы на вершину и удалять их оттуда, но не можете добавлять или удалять элементы из середины стопки.
Стеки часто называют списками типа первый вошел — последний вышел
(Last‑In‑First‑Out list). По историческим причинам, добавление элемента в стек называется проталкиванием
(pushing) элемента в стек, а удаление элемента из стека — выталкиванием
(popping) элемента из стека.
Первая реализация простого списка на основе массива, описанная в начале 2 главы, является стеком. Для отслеживания вершины списка используется счетчик. Затем этот счетчик используется для вставки или удаления элемента из вершины списка. Небольшое изменение — это новая процедура Pop, которая удаляет элемент из списка, одновременно возвращая его значение. При этом другие процедуры могут извлекать элемент и удалять его из списка за один шаг. Кроме этого изменения, следующий код совпадает с кодом, приведенным во 2 главе.
Dim Stack() As Variant
Dim StackSize As Variant
Sub Push(value As Variant)
StackSize = StackSize + 1
ReDim Preserve Stack(1 To StackSize)
Stack(StackSize) = value
End Sub
Sub Pop(value As Variant)
value = Stack(StackSize)
StackSize = StackSize - 1
ReDim Preserve Stack(1 To StackSize)
End Sub
=====49
Все предыдущие рассуждения о списках также относятся к этому виду реализации стеков. В частности, можно сэкономить время, если не изменять размер при каждом добавлении или выталкивании элемента. Программа SimList на описанная во 2 главе, демонстрирует этот вид простой реализации списков.
Программы часто используют стеки для хранения последовательности элементов, с которыми программа будет работать до тех пор, пока стек не опустеет. Действия с одним из элементов может приводить к тому, что другие будут проталкиваться в стек, но, в конце концов, они все будут удалены из стека. В качестве простого примера можно привести алгоритм обращения порядка элементов массива. При этом все элементы последовательно проталкиваются в стек. Затем все элементы выталкиваются из стека в обратном порядке и записываются обратно в массив.
Dim List() As Variant
Dim NumItems As Integer
' Инициализация массива.
:
' Протолкнуть элементы в стек.
For I = 1 To NumItems
Push List(I)
Next I
' Вытолкнуть элементы из стека обратно в массив.
For I = 1 To NumItems
Pop List(I)
Next I
В этом примере, длина стека может многократно изменяться до того, как, в конце концов, он опустеет. Если известно заранее, насколько большим должен быть массив, можно сразу создать достаточно большой стек. Вместо изменения размера стека по мере того, как он растет и уменьшается, можно отвести под него память в начале работы и уничтожить его после ее завершения.
Следующий код позволяет создать стек, если заранее известен его максимальный размер. Процедура Pop не изменяет размер массива. Когда программа заканчивает работу со стеком, она должна вызвать процедуру EmptyStack для освобождения занятой под стек памяти.
======50
Const WANT_FREE_PERCENT = .1 ' 10% свободного пространства.
Const MIN_FREE = 10 ' Минимальный размер.
Global Stack() As Integer ' Стековый массив.
Global StackSize As Integer ' Размер стекового массива.
Global Lastltem As Integer ' Индекс последнего элемента.
Sub PreallocateStack(entries As Integer)
StackSize = entries
ReDim Stack(1 To StackSize)
End Sub
Sub EmptyStack()
StackSize = 0
LastItem = 0
Erase Stack ' Освободить память, занятую массивом.
End Sub
Sub Push(value As Integer)
LastItem = LastItem + 1
If LastItem > StackSize Then ResizeStack
Stack(LastItem) = value
End Sub
Sub Pop(value As Integer)
value = Stack(LastItem)
LastItem = LastItem - 1
End Sub
Sub ResizeStack()
Dim want_free As Integer
want_free = WANT_FREE_PERCENT * LastItem
If want_free < MIN_FREE Then want_free = MIN_FREE
StackSize = LastItem + want_free
ReDim Preserve Stack(1 To StackSize)
End Sub
Этот вид реализации стеков достаточно эффективен в Visual Basic. Стек не расходует понапрасну память, и не слишком часто изменяет свой размер, особенно если сразу известно, насколько большим он должен быть.
=======51
В одном массиве можно создать два стека, поместив один в начале массива, а другой — в конце. Для двух стеков используются отдельные счетчики длины стека Top, и стеки растут навстречу друг другу, как показано на рис. 3.1. Этот метод позволяет двум стекам расти, занимая одну и ту же область памяти, до тех пор, пока они не столкнутся, когда массив заполнится.
К сожалению, менять размер этих стеков непросто. При увеличении массива необходимо сдвигать все элементы в верхнем стеке, чтобы выделять память под новые элементы в середине. При уменьшении массива, необходимо вначале сдвинуть элементы верхнего стека, перед тем, как менять размер массива. Этот метод также сложно масштабировать для оперирования более чем двумя стеками.
Связные списки предоставляют более гибкий метод построения множественных стеков. Для проталкивания элемента в стек, он помещается в начало связного списка. Для выталкивания элемента из стека, удаляется первый элемент из связного списка. Так как элементы добавляются и удаляются только в начале списка, для реализации стеков такого типа не требуется применение сигнальных меток или двусвязных списков.
Основной недостаток применения стеков на основе связных списков состоит в том, что они требуют дополнительной памяти для хранения указателей NextCell. Для стека на основе массива, содержащего N элементов, требуется всего 2*N байт памяти (по 2 байта на целое число). Тот же стек, реализованный на основе связного списка, потребует дополнительно 4*N байт памяти для указателей NextCell, увеличивая размер необходимой памяти втрое.
Программа Stack использует несколько стеков, реализованных в виде связных списков. Используя программу, можно вставлять и выталкивать элементы из каждого из этих списков. Программа Stack2 аналогична этой программе, но она использует класс LinkedListStack для работы со стеками.
Очереди
Упорядоченный список, в котором элементы добавляются к одному концу списка, а удаляются с другой стороны, называется очередью
(queue). Группа людей, ожидающих обслуживания в магазине, образует очередь. Вновь прибывшие подходят сзади. Когда покупатель доходит до начала очереди, кассир его обслуживает. Из‑за их природы, очереди иногда называют списками типа первый вошел — первый вышел
(First‑In‑First‑Out list).
@Рис. 3.1. Два стека в одном массиве
=======52
Можно реализовать очереди в Visual Basic, используя методы типа использованных для организации простых стеков. Создадим массив, и при помощи счетчиков будем определять положение начала и конца очереди. Значение переменной QueueFront дает индекс элемента в начале очереди. Переменная QueueBack определяет, куда должен быть добавлен очередной элемент очереди. По мере того как новые элементы добавляются в очередь и покидают ее, размер массива, содержащего очередь, изменяется так, что он растет на одном конце и уменьшается на другом.
Global Queue() As String ' Массив очереди.
Global QueuePront As Integer ' Начало очереди.
Global QueueBack As Integer ' Конец очереди.
Sub EnterQueue(value As String)
ReDim Preserve Queue(QueueFront To QueueBack)
Queue(QueueBack) = value
QueueBack = QueueBack + 1
End Sub
Sub LeaveQueue(value As String)
value = Queue(QueueFront)
QueueFront = QueueFront + 1
ReDim Preserve Queue (QueueFront To QueueBack - 1)
End Sub
К сожалению, Visual Basic не позволяет использовать ключевое слово Preserve в операторе ReDim, если изменяется нижняя граница массива. Даже если бы Visual Basic позволял выполнение такой операции, очередь при этом «двигалась» бы по памяти. При каждом добавлении или удалении элемента из очереди, границы массива увеличивались бы. После пропускания достаточно большого количества элементов через очередь, ее границы могли бы в конечном итоге стать слишком велики.
Поэтому, когда требуется увеличить размер массива, вначале необходимо переместить данные в начало массива. При этом может образоваться достаточное количество свободных ячеек в конце массива, так что увеличение размера массива может уже не понадобиться. В противном случае, можно воспользоваться оператором ReDim для увеличения или уменьшения размера массива.
Как и в случае со списками, можно повысить производительность, добавляя сразу несколько элементов при увеличении размера массива. Также можно сэкономить время, уменьшая размер массива, только когда он содержит слишком много неиспользуемых ячеек.
В случае простого списка или стека, элементы добавляются и удаляются на одном его конце. Если размер списка остается почти постоянным, его не придется изменять слишком часто. С другой стороны, так как элементы добавляются на одном конце очереди, а удаляются с другого конца, может потребоваться время от времени переупорядочивать очередь, даже если ее размер остается неизменным.
=====53
Const WANT_FREE_PERCENT = .1 ' 10% свободного пространства.
Const MIN_FREE = 10 ' Минимум свободных ячеек.
Global Queue() As String ' Массив очереди.
Global QueueMax As Integer ' Наибольший индекс массива.
Global QueueFront As Integer ' Начало очереди.
Global QueueBack As Integer ' Конец очереди.
Global ResizeWhen As Integer ' Когда увеличить размер массива.
' При инициализации программа должна установить QueueMax = -1
' показывая, что под массив еще не выделена память.
Sub EnterQueue(value As String)
If QueueBack > QueueMax Then ResizeQueue
Queue(QueueBack) = value
QueueBack = QueueBack + 1
End Sub
Sub LeaveQueue(value As String)
value = Queue(QueueFront)
QueueFront = QueueFront + 1
If QueueFront > ResizeWhen Then ResizeOueue
End Sub
Sub ResizeQueue()
Dim want_free As Integer
Dim i As Integer
' Переместить записи в начало массива.
For i = QueueFront To QueueBack - 1
Queue(i - QueueFront) = Queue(i)
Next i
QueueBack = QueueBack - QueuePront
QueueFront = 0
' Изменить размер массива.
want_free = WANT_FREE_PERCENT * (QueueBack - QueueFront)
If want_free < MIN_FREE Then want_free = MIN_FREE
Max = QueueBack + want_free - 1
ReDim Preserve Queue(0 To Max)
' Если QueueFront > ResizeWhen, изменить размер массива.
ResizeWhen = want_free
End Sub
При работе с программой, заметьте, что когда вы добавляете и удаляете элементы, требуется изменение размера очереди, даже если размер очереди почти не меняется. Фактически, даже при неоднократном добавлении и удалении одного элемента размер очереди будет изменяться.
Имейте в виду, что при каждом изменении размера очереди, вначале все используемые элементы перемещаются в начало массива. При этом на изменение размера очередей на основе массива уходит больше времени, чем на изменение размера описанных выше связных списков и стеков.
=======54
Программа ArrayQ2 аналогична программе ArrayQ, но она использует для управления очередью класс ArrayQueue.
Очереди, описанные в предыдущем разделе, требуется переупорядочивать время от времени, даже если размер очереди почти не меняется. Даже при неоднократном добавлении и удалении одного элемента будет необходимо переупорядочивать очередь.
Если заранее известно, насколько большой может быть очередь, этого можно избежать, создав циклическую очередь
(circular queue). Идея заключается в том, чтобы рассматривать массив очереди как будто он заворачивается, образуя круг. При этом последний элемент массива как бы идет перед первым. На рис. 3.2 изображена циклическая очередь.
Программа может хранить в переменной QueueFront индекс элемента, который дольше всего находится в очереди. Переменная QueueBack может содержать конец очереди, в который добавляется новый элемент.
В отличие от предыдущей реализации, при обновлении значений переменных QueueFront и QueueBack, необходимо использовать оператор Mod для того, чтобы индексы оставались в границах массива. Например, следующий код добавляет элемент к очереди:
Queue(QueueBack) = value
QueueBack = (QueueBack + 1) Mod QueueSize
На рис. 3.3 показан процесс добавления нового элемента к циклической очереди, которая может содержать четыре записи. Элемент C добавляется в конец очереди. Затем конец очереди сдвигается, указывая на следующую запись в массиве.
Таким же образом, когда программа удаляет элемент из очереди, необходимо обновлять указатель на начало очереди при помощи следующего кода:
value = Queue(QueueFront)
QueueFront = (QueueFront + 1) Mod QueueSize
@Рис. 3.2. Циклическая очередь
=======55
@Рис. 3.3. Добавление элемента к циклической очереди
На рис. 3.4 показан процесс удаления элемента из циклической очереди. Первый элемент, в данном случае элемент A, удаляется из начала очереди, и указатель на начало очереди обновляется, указывая на следующий элемент массива.
Для циклических очередей иногда бывает сложно отличить пустую очередь от полной. В обоих случаях значения переменных QueueBottom и QueueTop будут равны. На рис. 3.5 показаны две циклические очереди, пустая и полная.
Простой вариант решения этой проблемы — сохранять число элементов в очереди в отдельной переменной NumInQueue. При помощи этого счетчика можно узнать, остались ли в очереди еще элементы, и осталось ли в очереди место для новых элементов.
@Рис. 3.4. Удаление элемента из циклической очереди
@Рис. 3.5 Полная и пустая циклическая очереди
=========56
Следующий код использует все эти методы для управления циклической очередью:
Queue() As String ' Массив очереди.
QueueSize As Integer ' Наибольший индекс в очереди.
QueueFront As Integer ' Начало очереди.
QueueBack As Integer ' Конец очереди.
NumInQueue As Integer ' Число элементов в очереди.
Sub NewCircularQueue(num_items As Integer)
QueueSize = num_items
ReDim Queue(0 To QueueSize - 1)
End Sub
Sub EnterQueue(value As String)
' Если очередь заполнена, выйти из процедуры.
' В настоящем приложении потребуется более сложный код.
If NumInQueue >= QueueSize Then Exit Sub
Queue(QueueBack) = value
QueueBack = (QueueBack + 1) Mod QueueSize
NumInQueue = NumInQueue + 1
End Sub
Sub LeaveQueue (value As String)
' Если очередь пуста, выйти из процедуры.
' В настоящем приложении потребуется более сложный код.
If NumInQueue <= 0 Then Exit Sub
value = Queue (QueueFront)
QueueFront = (QueueFront + 1) Mod QueueSize
NumInQueue = NumInQueue - 1
End Sub
Так же, как и в случае со списками на основе массивов, можно изменять размер массива, когда очередь полностью заполнится или если в массиве будет слишком много неиспользуемого пространства. Тем не менее, изменение размера циклической очереди сложнее, чем изменить размер стека или списка, основанного на массиве.
Когда изменяется размер массива, конец очереди может не совпадать с концом массива. Если просто увеличить массив, то вставляемые элементы будут находиться в конце массива, так что они попадут в середину списка. На рис. 3.6 показано, что может произойти при таком увеличении массива.
===========57
При уменьшении размера массива возникают похожие проблемы. Если элементы огибают конец массива, то элементы в конце массива, которые будут находиться в начале очереди, будут потеряны.
Для того чтобы избежать этих затруднений, необходимо переупорядочить массив перед тем, как изменять его размер. Проще всего это сделать, используя временный массив. Скопируем элементы очереди во временный массив в правильном порядке, поменяем размер массива очереди, и затем скопируем элементы из временного массива обратно в массив очереди.
Private Sub EnterQueue(value As String)
If NumInQueue >= QueueSize Then ResizeQueue
Queue(QueueBack) = value
QueueBack = (QueueBack + 1) Mod QueueSize
NumInQueue = NumInQueue + 1
End Sub
Private Sub LeaveQueue(value As String)
If NumInQueue <= 0 Then Exit Sub
value = Queue (QueueFront)
QueueFront = (QueueFront + 1) Mod QueueSize
NumInQueue = NumInQueue - 1
If NumInQueue < ShrinkWhen Then ResizeQueue
End Sub
Sub ResizeQueue()
Dim temp() As String
Dim want_free As Integer
Dim i As Integer
' Скопировать элементы во временный массив.
ReDim temp(0 To NumInQueue - 1)
For i = 0 To NumInQueue - 1
temp(i) = Queue((i + QueueFront) Mod QueueSize)
Next i
' Изменить размер массива.
want_free = WANT_FREE_PERCENT * NumInQueue
If want_free < MIN_PREE Then want_free = MIN_FREE
QueueSize = NumInQueue + want_free
ReDim Queue(0 To QueueSize - 1)
For i = 0 To NumInQueue - 1
Queue(i) = temp(i)
Next i
QueueFront = 0
QueueBack = NumInQueue
' Уменьшить размер массива, если NunInQueue < ShrinkWhen.
ShrinkWhen = QueueSize - 2 * want_free
' Не менять размер небольших очередей. Это может вызвать
' проблемы с "ReDim temp(0 To NumInQueue - 1)" выше и
' просто глупо!
If ShrinkWhen < 3 Then ShrinkWhen = 0
End Sub
Программа CircleQ демонстрирует этот подход к реализации циклической очереди. Введите строку и нажмите кнопку Enter
(Ввести) для добавления нового элемента в очередь. Нажмите на кнопку Leave
(Покинуть) для удаления верхнего элемента из очереди. Программа будет при необходимости изменять размер очереди.
Программа CircleQ2 аналогична программе CircleQ, но она использует для работы с очередью класс CircleQueue.
Помните, что при каждом изменении размера очереди в программе, она копирует элементы во временный массив, изменяет размер очереди, а затем копирует элементы обратно. Эти дополнительные шаги делают изменение размера циклических очередей более медленным, чем изменение размера связных списков и стеков. Даже очереди на основе массивов, в которых также требуются дополнительные действия для изменения размера, не требуют такого объема работы.
С другой стороны, если число элементов в очереди не сильно меняется, и если правильно задать параметры изменения размера, может никогда не понадобиться менять размер массива. Даже если иногда это все‑таки придется делать, уменьшение частоты этих изменений стоит дополнительных усилий на программирование.
Совсем другой подход к реализации очередей состоит в использовании двусвязных списков. Для отслеживания начала и конца списка можно использовать сигнальные метки. Новые элементы добавляются в очередь перед меткой в конце очереди, а элементы, следующие за меткой начала очереди, удаляются. На рис. 3.7 показан двусвязный список, который используется в качестве очереди.
===========58-59
Добавлять и удалять элементы из двусвязного списка легко, поэтому в этом случае не потребуется применять сложных алгоритмов для изменения размера. Преимущество этого метода также в том, что он интуитивно понятнее по сравнению с циклической очередью на основе массива. Недостаток его в том, что для указателей связного списка NextCell и PrevCell требуется дополнительная память. В отношении занимаемой памяти очереди на основе связных списков немного менее эффективны, чем циклические списки.
Программа LinkedQ работает с очередью при помощи двусвязного списка. Введите строку, нажмите на кнопку Enter
, чтобы добавить элемент в конец очереди. Нажмите на кнопку Leave
для удаления элемента из очереди.
Программа LinkedQ2 аналогична программе LinkedQ, но она использует для управления очередью класс LinkedListqueue.
Коллекции Visual Basic представляют собой очень простую форму очереди. Программа может использовать метод Add коллекции для добавления элемента в конец очереди, и метод Remove с параметром 1 для удаления первого элемента из очереди. Следующий код управляет очередью на основе коллекций:
Dim Queue As New Collection
Private Sub EnterQueue(value As String)
Queue.Add value
End Sub
Private Function LeaveQueue() As String
LeaveQueue = Queue.Item(1)
Queue.Remove 1
Еnd Function
@Рис. 3.7. Очередь на основе связного списка
=======60
Несмотря на то, что этот код очень прост, коллекции в действительности не предназначены для использования в качестве очередей. Они предоставляют дополнительные возможности, такие как ключи элементов, и поддержка этих дополнительных возможностей делает коллекции более медленными, чем другие реализации очередей. Тем не менее, очереди на основе коллекций настолько просты, что они могут быть приемлемым выбором для приложений, в которых производительность не является проблемой.
Программа CollectQ демонстрирует очередь на основе коллекций.
Каждый элемент в приоритетной очереди
(priority queue) имеет связанный с ним приоритет. Если программе нужно удалить элемент из очереди, она выбирает элемент с наивысшим приоритетом. Как хранятся элементы в приоритетной очереди, не имеет значения, если программа всегда может найти элемент с наивысшим приоритетом.
Некоторые операционные системы использую приоритетные очереди для планирования заданий. В операционной системе UNIX все процессы имеют разные приоритеты. Когда процессор освобождается, выбирается готовый к исполнению процесс с наивысшим приоритетом. Процессы с более низким приоритетом должны ждать завершения или блокировки (например, при ожидании внешнего события, такого как чтение данных с диска) процессов с более высокими приоритетами.
Концепция приоритетных очередей также используется при управлении авиаперевозками. Наивысший приоритет имеют самолеты, у которых кончается топливо во время посадки. Второй приоритет имеют самолеты, заходящие на посадку. Третий приоритет имеют самолеты, находящиеся на земле, так как они находятся в более безопасном положении, чем самолеты в воздухе. Приоритеты изменяются со временем, так как у самолетов, которые пытаются приземлиться, в конце концов, закончится топливо.
Простой способ организации приоритетной очереди — поместить все элементы в список. Если требуется удалить элемент из очереди, можно найти в списке элемент с наивысшем приоритетом. Чтобы добавить элемент в очередь, он помещается в начало списка. При использовании этого метода, для добавления нового элемента в очередь требуется только один шаг. Чтобы найти и удалить элемент с наивысшим приоритетом, требуется O(N) шагов, если очередь содержит N элементов.
Немного лучше была бы схема с использованием связного списка, в котором элементы были бы упорядочены в прямом или обратном порядке. Используемый в списке класс PriorityCell мог бы объявлять переменные следующим образом:
Public Priority As Integer ' Приоритет элемента.
Public NextCell As PriorityCell ' Указатель на следующий элемент.
Public Value As String ' Данные, нужные программе.
Чтобы добавить элемент в очередь, нужно найти его правильное положение в списке и поместить его туда. Чтобы упростить поиск положения элемента, можно использовать сигнальные метки в начале и конце списка, присвоив им соответствующие приоритеты. Например, если элементы имеют приоритеты от 0 до 100, можно присвоить метке начала приоритет 101 и метке конца — приоритет ‑1. Приоритеты всех реальных элементов будут находиться между этими значениями.
На рис. 3.8 показана приоритетная очередь, реализованная на основе связного списка.
=====61
@Рис. 3.8. Приоритетная очередь на основе связного списка
Следующий фрагмент кода показывает ядро этой процедуры поиска:
Dim cell As PriorityCell
Dim nxt As PriorityCell
' Найти место элемента в списке.
cell = TopSentinel
nxt = cell.NextCell
Do While cell.Priority > new_priority
cell = nxt
nxt = cell.NextCell
Loop
' Вставить элемент после ячейки в списке.
:
Для удаления из списка элемента с наивысшим приоритетом, просто удаляется элемент после сигнальной метки начала. Так как список отсортирован в порядке приоритетов, первый элемент всегда имеет наивысший приоритет.
Добавление нового элемента в эту очередь занимает в среднем N/2 шагов. Иногда новый элемент будет оказываться в начале списка, иногда ближе к концу, но в среднем он будет оказываться где‑то в середине. Простая очередь на основе списка требовала O(1) шагов для добавления нового элемента и O(N) шагов для удаления элементов с наивысшим приоритетом из очереди. Версия на основе упорядоченного связного списка требует O(N) шагов для добавления элемента и O(1) шагов для удаления верхнего элемента. Обеим версиям требует O(N) шагов для одной из этих операций, но в случае упорядоченного связного списка в среднем требуется только (N/2) шагов.
Программа PriList использует упорядоченный связный список для работы с приоритетной очередью. Вы можете задать приоритет и значение элемента данных и нажать кнопку Enter
для добавления его в приоритетную очередь. Нажмите на кнопку Leave
для удаления из очереди элемента с наивысшим приоритетом.
Программа PriList2 аналогична программе PriList, но она использует для управления очередью класс LinkedPriorityQueue.
========63
Затратив еще немного усилий, можно построить приоритетную очередь, в которой добавление и удаление элемента потребуют порядка O(log(N)) шагов. Для очень больших очередей, ускорение работы может стоить этих усилий. Этот тип приоритетных очередей использует структуры данных в виде пирамиды
, которые также применяются в алгоритме пирамидальной сортировки. Пирамиды и приоритетные очереди на их основе обсуждаются более подробно в 9 главе.
Интересной разновидностью очередей являются многопоточные очереди
(multi‑headed queues). Элементы, как обычно, добавляются в конец очереди, но очередь имеет несколько потоков
(front end) или голов
(heads). Программа может удалять элементы из любого потока.
Примером многопоточной очереди в обычной жизни является очередь клиентов в банке. Все клиенты находятся в одной очереди, но их обслуживает несколько служащих. Освободившийся банковский работник обслуживает клиента, который находится в очереди первым. Такой порядок обслуживания кажется справедливым, поскольку клиенты обслуживаются в порядке прибытия. Он также эффективен, так как все служащие остаются занятыми до тех пор, пока клиенты ждут в очереди.
Сравните этот тип очереди с несколькими однопоточными очередями в супермаркете, в которых покупатели не обязательно обслуживаются в порядке прибытия. Покупатель в медленно движущейся очереди, может прождать дольше, чем тот, который подошел позже, но оказался в очереди, которая продвигается быстрее. Кассиры также могут быть не всегда заняты, так как какая‑либо очередь может оказаться пустой, тогда как в других еще будут находиться покупатели.
В общем случае, многопоточные очереди более эффективны, чем несколько однопоточных очередей. Последний вариант используется в супермаркетах потому, что тележки для покупок занимают много места. При использовании многопоточной очереди всем покупателям пришлось бы построиться в одну очередь. Когда кассир освободится, покупателю пришлось бы переместиться с громоздкой тележкой к кассиру. С другой стороны, в банке посетителям не нужно двигать большие тележки для покупок, поэтому они легко могут уместиться в одной очереди.
Очереди на регистрацию в аэропорту иногда представляют собой комбинацию этих двух ситуаций. Хотя пассажиры имеют с собой большое количество багажа, в аэропорту все‑таки используются многопоточные очереди, при этом приходится отводить дополнительное место, чтобы пассажиры могли выстроиться в порядке очереди.
Многопоточную очередь просто построить, используя обычную однопоточную очередь. Элементы, представляющие клиентов, хранятся в обычной однопоточной очереди. Когда агент (кассир, банковский служащий и т.д.) освобождается, первый элемент в начале очереди удаляется и передается этому агенту.
Модель очереди
Предположим, что вы отвечаете за разработку счетчика регистрации для нового терминала в аэропорту и хотите сравнить возможности одной многопоточной очереди или нескольких однопоточных. Вам потребуется какая‑то модель поведения пассажиров. Для этого примера можно сделать следующие предположения:
=====63
* регистрация каждого пассажира занимает от двух до пяти минут;
* при использовании нескольких однопоточных очередей, прибывающие пассажиры встают в самую короткую очередь;
* скорость поступления пассажиров примерно неизменна.
Программа HeadedQ моделирует эту ситуацию. Вы можете менять некоторые параметры модели, включая следующие:
* число прибывающих в течение часа пассажиров;
* минимальное и максимальное затрачиваемое время;
* число свободных служащих;
* паузу между шагами программы в миллисекундах.
При выполнении программы, модель показывает прошедшее время, среднее и максимальное время ожидания пассажирами обслуживания, и процент времени, в течение которого служащие заняты.
При экспериментировании с различными значениями параметров, вы заметите несколько любопытных моментов. Во-первых, для многопоточной очереди среднее и максимальное время ожидания будет меньше. При этом, служащие также оказываются немного более загружены, чем в случае однопоточной очереди.
Для обоих типов очереди есть порог, при котором время ожидания пассажиров значительно возрастает. Предположим, что на обслуживание одного пассажира требуется от 2 до 10 минут, или в среднем 6 минут. Если поток пассажиров составляет 60 человек в час, тогда персонал потратит около 6*60=360 минут в час на обслуживание всех пассажиров. Разделив это значение на 60 минут в часе, получим, что для обслуживания клиентов в этом случае потребуется 6 клерков.
Если запустить программу HeadedQ с этими параметрами, вы увидите, что очереди движутся достаточно быстро. Для многопоточной очереди время ожидания составит всего несколько минут. Если добавить еще одного служащего, чтобы всего было 7 служащих, среднее и максимальное время ожидания значительно уменьшатся. Среднее время ожидания упадет примерно до одной десятой минуты.
С другой стороны, если уменьшить число служащих до 5, это приведет к большому увеличению среднего и максимального времени ожидания. Эти показатели также будут расти со временем. Чем дольше будет работать программа, тем дольше будут задержки.
@Таблица 3.1. Время ожидания в минутах для одно‑ и многопоточных очередей
======64
@Рис. 3.9. Программа HeadedQ
В табл. 3.1 приведены среднее и максимальное время ожидания для 2 разных типов очередей. Программа моделирует работу в течение 3 часов и предполагает, что прибывает 60 пассажиров в час и на обслуживание каждого из них уходит от 2 до 10 минут.
Многопоточная очередь также кажется более справедливой, так как пассажиры обслуживаются в порядке прибытия. На рис. 3.9 показана программа HeadedQ после моделирования чуть более, чем двух часов работы терминала. В многопоточной очереди первым стоит пассажир с номером 104. Все пассажиры, прибывшие до него, уже обслужены или обслуживаются в настоящий момент. В однопоточной очереди, обслуживается пассажир с номером 106. Пассажиры с номерами 100, 102, 103 и 105 все еще ждут своей очереди, хотя они и прибыли раньше, чем пассажир с номером 106.
Резюме
Разные реализации стеков и очередей обладают различными свойствами. Стеки и циклические очереди на основе массивов просты и эффективны, в особенности, если заранее известно насколько большим может быть их размер. Связные списки обеспечивают большую гибкость, если размер списка часто изменяется.
Стеки и очереди на основе коллекций Visual Basic не так эффективны, как реализации на основе массивов, но они очень просты. Коллекции могут подойти для небольших структур данных, если производительность не критична. После тестирования приложения, можно переписать код для стека или очереди, если коллекции окажутся слишком медленными.
Глава 4. Массивы
В этой главе описаны структуры данных в виде массивов. С помощью Visual Basic вы можете легко создавать массивы данных стандартных или определенных пользователем типов. Если определить массив без границ, затем можно изменять его размер при помощи оператора ReDim. Эти свойства делают применение массивов в Visual Basic очень полезным.
Некоторые программы используют особые типы массивов, которые не поддерживаются Visual Basic непосредственно. К этим типа относятся треугольные массивы, нерегулярные массивы и разреженные массивы. В этой главе объясняется, как можно использовать гибкие структуры массивов, которые могут значительно снизить объем занимаемой памяти.
Треугольные массивы
Некоторым программам требуется только половина элементов в двумерном массиве. Предположим, что мы располагаем картой, на которой 10 городов обозначены цифрами от 0 до 9. Можно использовать массив для создания матрицы смежности
(adjacency matrix), показывающей наличие автострады между парами городов. Элемент A(I,J) равен True, если между городами I и J есть автострада.
В этом случае, значения в половине матрицы будут дублировать значения в другой ее половине, так как A(I, J)=A(J, I). Также элемент A(I, I) не имеет смысла, так как бессмысленно строить автостраду из города I в тот же самый город. В действительности потребуются только элементы A(I,J) из верхнего левого угла, для которых I > J. Вместо этого можно также использовать элементы из верхнего правого угла. Поскольку эти элементы образуют треугольник, этот тип массивов называется треугольным массивом
(triangular array).
На рис. 4.1 показан треугольный массив. Элементы со значащими данными обозначены буквой X, ячейки, соответствующие дублирующимся элементам, оставлены пустыми. Незначащие элементы A(I,I) обозначены тире.
Для небольших массивов потери памяти при использовании обычных двумерных массивов для хранения таких данных не слишком существенны. Если же на карте много городов, потери памяти могут быть велики. Для N городов эти потери составят N*(N-1)/2 дублирующихся элементов и N незначащих диагональных элементов A(I,I). Если карта содержит 1000 городов, в массиве будет более полумиллиона ненужных элементов.
====67
@Рис. 4.1. Треугольный массив
Избежать потерь памяти можно, создав одномерный массив B и упаковав в него значащие элементы из массива A. Разместим элементы в массиве B по строкам, как показано на рис. 4.2. Заметьте, что индексы массивов начинаются с нуля. Это упрощает последующие уравнения.
Для того, чтобы упростить использование этого представления треугольного массива, можно написать функции для преобразования индексов массивов A и B. Уравнение для преобразования индекса A(I,J) в B(X) выглядит так:
X = I * (I - 1) / 2 + J ' Для I > J.
Например, для I=2 и J=1 получим X = 2 * (2 - 1) / 2 + 1 = 2. Это значит, что A(2,1) отображается на 2 позицию в массиве B, как показано на рис. 4.2. Помните, что массивы нумеруются с нуля.
Уравнение остается справедливым только для I > J. Значения других элементов массива A не сохраняются в массиве B, потому что они являются избыточными или незначащими. Если вам нужно получить значение A(I,J) при I < J, вместо этого следует вычислять значение A(J,I).
Уравнения для обратного преобразования B(X) в A(I,J) выглядит так:
I = Int((1 + Sqr(1 + 8 * X)) / 2)
J = X - I * (I - 1) / 2
@Рис. 4.2. Упаковка треугольного массива в одномерном массиве
=====68
Подстановка в эти уравнения X=4 дает I = Int((1 + Sqr(1 + 8 * 4)) / 2) = 3 и J = 4 – 3 * (3 ‑ 1) / 2 = 1. Это означает, что элемент B(4) отображается на позицию A(3,1). Это также соответствует рис. 4.2.
Эти вычисления не слишком просты. Они требуют нескольких умножений и делений, и даже вычисления квадратного корня. Если программе придется выполнять эти функции очень часто, это внесет определенную задержку скорости выполнения. Это пример компромисса между пространством и временем. Упаковка треугольного массива в одномерный массив экономит память, хранение данных в двумерном массиве требует больше памяти, но экономит время.
Используя эти уравнения, можно написать процедуры Visual Basic для преобразования координат между двумя массивами:
Private Sub AtoB(ByVal I As Integer, ByVal J As Integer, X As Integer)
Dim tmp As Integer
If I = J Then ' Незначащий элемент.
X = -1
Exit Sub
ElseIf I < J Then ' Поменять местами I и J.
tmp = I
I = J
J = tmp
End If
X = I * (I - 1) / 2 + J
End Sub
Private Sub BtoA(ByVal X As Integer, I As Integer, J As Integer)
I = Int((1 + Sqr(1 + 8 * X)) / 2)
J = X - I * (I - 1) /2
End Sub
Программа Triang использует эти подпрограммы для работы с треугольными массивами. Если вы нажмете на кнопку A
to B
(Из A в B), программа пометит элементы в массиве A и скопирует эти метки в соответствующие элементы массива B. Если вы нажмете на кнопку B
to A
(Из B в A), программа пометит элементы в массиве B, и затем скопирует метки в массив A.
Программа Triangc использует класс TriangularArray для работы с треугольным массивом. При старте программы, она записывает в объект TriangularArray строки, представляющие собой элементы массива. Затем она извлекает и выводит на экран элементы массива.
Некоторые программы используют треугольные массивы, которые включают диагональные элементы A(I, I). В этом случае необходимо внести только три изменения в процедуры преобразования индексов. Процедура преобразования AtoB не должна пропускать случаи с I=J, и должна добавлять к I единицу при подсчете индекса массива B.
=====69
Private Sub AtoB(ByVal I As Integer, ByVal J As Integer, X As Integer)
Dim tmp As Integer
If I < J Then ' Поменять местами I и J.
tmp = I
I = J
J = tmp
End If
I = I + 1
X = I * (I - 1) / 2 + J
End Sub
Процедура преобразования BtoA должна вычитать из I единицу перед возвратом значения.
Private Sub BtoA(ByVal X As Integer, I As Integer, J As Integer)
I = Int((1 + Sqr(1 + 8 * X)) / 2)
J = X - I * (I - 1) / 2
I = J - 1
End Sub
Программа Triang2 аналогична программе Triang, но она использует для работы с диагональными элементами в массиве A эти новые функции. Программа TriangC2 аналогична программе TriangC, но использует класс TriangularArray, который включает диагональные элементы.
Нерегулярные массивы
В некоторых программах нужны массивы нестандартного размера и формы. Двумерный массив может содержать шесть элементов в первом ряду, три — во втором, четыре — в третьем, и т.д. Это может понадобиться, например, для сохранения ряда многоугольников, каждый из которых состоит из разного числа точек. Массив будет при этом выглядеть, как на рис. 4.3.
Массивы в Visual Basic не могут иметь такие неровные края. Можно было бы использовать массив, достаточно большой для того, чтобы в нем могли поместиться все строки, но при этом в таком массиве было бы множество неиспользуемых ячеек. Например, массив на рис. 4.3 мог бы быть объявлен при помощи оператора Dim Polygons(1 To 3, 1 To 6), и при этом четыре ячейки останутся неиспользованными.
Существует несколько способов представления нерегулярных массивов.
@Рис. 4.3. Нерегулярный массив
=====70
Один из способов избежать потерь памяти заключается в том, чтобы упаковать данные в одномерном массиве B. В отличие от треугольных массивов, для нерегулярных массивов нельзя записать формулы для определения соответствия элементов в разных массивах. Чтобы справиться с этой задачей, можно создать еще один массив A со смещениями для каждой строки в одномерном массиве B.
Для упрощения определения в массиве B положения точек, соответствующих каждой строке, в конец массива A можно добавить сигнальную метку, которая указывает на точку сразу за
последним элементом в массиве B. Тогда точки, образующие многоугольник I, занимают в массиве B позиции с A(I) до A(I+1)-1. Например, программа может перечислить элементы, образующие строку I, используя следующий код:
For J = A(I) To A(I + 1) - 1
‘ Внести в список элемент I.
:
Next J
Этот метод называется прямой звездой
(forward star). На рис. 4.4 показано представление нерегулярного массива с рис. 4.3 в виде прямой звезды. Сигнальная метка закрашена серым цветом.
Этот метод можно легко обобщить для создания многомерных нерегулярных массивов. Для хранения набора рисунков, каждый из которых состоит из разного числа многоугольников, можно использовать трехмерную прямую звезду.
На рис. 4.5 схематически представлена трехмерная структура данных в виде прямой звезды. Две сигнальных метки закрашены серым цветом. Они указывают на одну позицию позади значащих данных в массиве.
Такое представление в виде прямой звезды требует очень небольших затрат памяти. Только память, занимаемая сигнальными метками, расходуется «впустую».
При использовании структуры данных прямой звезды легко и быстро можно перечислить точки, образующие многоугольник. Так же просто сохранять такие данные на диске и загружать их обратно в память. С другой стороны, обновлять массивы, записанные в формате прямой звезды, очень сложно. Предположим, вы хотите добавить новую точку к первому многоугольнику на рис. 4.4. Для этого понадобится сдвинуть все элементы справа от новой точки на одну позицию, чтобы освободить место для нового элемента. Затем нужно добавить по единице ко всем элементам массива A, которые идут после первого, чтобы учесть сдвиг, вызванный добавлением точки. И, наконец, надо вставить новый элемент. Сходные проблемы возникают при удалении точки из первого многоугольника.
@Рис. 4.4. Представления нерегулярного массива в виде прямой звезды
=====71
@Рис. 4.5. Трехмерная прямая звезда
На рис. 4.6 показано представление в виде прямой звезды с рис. 4.4 после добавления одной точки к первому многоугольнику. Элементы, которые были изменены, закрашены серым цветом. Как видно из рисунка, почти все элементы в обоих массивах были изменены.
Другим методом создания нерегулярных массивов является использование связных списков. Каждая ячейка содержит указатель на следующую ячейку на том же уровне иерархии, и указатель на список ячеек на более низком уровне иерархии. Например, ячейка многоугольника может содержать указатель на следующий многоугольник и указатель на ячейку, содержащую координаты первой точки.
Следующий код приводит определения переменных для классов, которые можно использовать для создания связного списка рисунков. Каждый из рисунков содержит связный список многоугольников, каждый из которых содержит связный список точек.
В классе PictureCell:
Dim NextPicture As PictureCell ' Следующий рисунок.
Dim FirstPolygon As PolyfonCell ' Первый многоугольник на этом рисунке.
В классе PolygonCell:
Dim NextPolygon As PolygonCell ' Следующий многоугольник.
Dim FirstPoint As PointCell ' Первая точка в этом многоугольнике.
В классе PointCell:
@Рис. 4.6. Добавление точки к прямой звезде
======72
Dim NextPoint As PointCell ' Следующая точка в этом многоугольнике.
Dim X As Single ' Координаты точки.
Dim Y As Single
Используя эти методы, можно легко добавлять и удалять рисунки, многоугольники или точки в любом месте структуры данных.
Программа Poly на диске содержит связный список многоугольников. Каждый многоугольник содержит связный список точек. Когда вы закрываете форму, ссылка на список многоугольников из формы уничтожается. Это уменьшает счетчик ссылок на верхнюю ячейку многоугольников до нуля. Она уничтожается, поэтому ее ссылки на следующий многоугольник и его первую точку также уничтожаются. Счетчики ссылок на эти ячейки также уменьшаются до нуля, и они тоже уничтожаются. Уничтожение каждой ячейки многоугольника или точки приводит к уничтожению следующей ячейки. Этот процесс продолжается до тех пор, пока все многоугольники и точки не будут уничтожены.
Разреженные массивы
Во многих приложениях требуются большие массивы, которые содержат лишь небольшое число ненулевых элементов. Матрица смежности для авиалиний, например, может содержать 1 в позиции A(I, J) если есть рейс между городами I и J. Многие авиалинии обслуживают сотни городов, но число существующих рейсов намного меньше, чем N2
возможных комбинаций. На рис. 4.8 показана небольшая карта рейсов авиалинии, на которой изображены только 11 существующих рейсов из 100 возможных пар сочетаний городов.
@Рис. 4.7. Программа Poly
====73
@Рис. 4.8. Карта рейсов авиалинии
Можно построить матрицу смежности для этого примера при помощи массива 10 на 10 элементов, но этот массив будет по большей части пустым. Можно избежать потерь памяти, используя для создания разреженного массива указатели. Каждая ячейка содержит указатели на следующий элемент в строке и столбце массива. Это позволяет программе определить положение любого элемента в массиве и обходить элементы в строке или столбце. В зависимости от приложения, может оказаться полезным также добавить обратные указатели. На рис. 4.9 показана разреженная матрица смежности, соответствующая карте рейсов с рис. 4.8.
Чтобы построить разреженный массив в Visual Basic, создайте класс для представления элементов массива. В этом случае, каждая ячейка представляет наличие рейсов между двумя городами. Для представления связи, класс должен содержать переменные с индексами городов, которые связаны между собой. Эти индексы, в сущности, дают номера строк и столбцов ячейки. Каждая ячейка также должна содержать указатели на следующую ячейку в строке и столбце.
Следующий код показывает объявление переменных в классе ConnectionCell:
Public FromCity As Integer ' Строка ячейки.
Public ToCity As Integer ' Столбец ячейки.
Public NextInRow As ConnectionCell
Public NextInCol As ConnectionCell
Строки и столбцы в этом массиве по существу представляют собой связные списки. Как это часто случается со связными списками, с ними проще работать, если они содержат сигнальные метки. Например, переменная RowHead(I) должна содержать сигнальную метку для строки I. Для обхода строки I в массиве можно использовать следующий код:
Private Sub PrintRow(I As Integer)
Dim cell As ConnectionCell
Set Cell = RowHead(I).Next ' Первый элемент данных.
Do While Not (cell Is Nothing)
Print Format$(cell.FromCity) & " -> " & Format$(cell.ToCity)
Set cell = cell.NextInRow
Loop
End Sub
====74
@Рис. 4.9. Разреженная матрица смежности
Нормальное индексирование массива типа A(I, J) не будет работать с такими структурами. Можно облегчить индексирование, написав процедуры, которые извлекают и устанавливают значения элементов массива. Если массив представляет матрицу, могут также понадобиться процедуры для сложения, умножения, и других матричных операций.
Специальное значение NoValue представляет пустой элемент массива. Процедура, которая извлекает элементы массива, должна возвращать значение NoValue при попытке получить значение элемента, не содержащегося в массиве. Аналогично, процедура, которая устанавливает значения элементов, должна удалять ячейку из массива, если ее значение установлено в NoValue.
Значение NoValue должно выбираться в зависимости от природы данных приложения. Для матрицы смежности авиалинии пустые ячейки могут иметь значение False. При этом значение A(I, J) может устанавливаться равным True, если существует рейс между городами I и J.
Класс SparseArray определяет процедуру get для свойства Value для возвращения значения элемента в массиве. Процедура начинает с первой ячейки в указанной строке и затем перемещается по связному списку ячеек строки. Как только найдется ячейка с нужным номером столбца, это и будет искомая ячейка. Так как ячейки в списке строки расположены по порядку, процедура может остановиться, если найдется ячейка, номер столбца которой больше искомого.
=====75
Property Get Value(t As Integer, c As Integer) As Variant
Dim cell As SparseArrayCell
Value = NoValue ' Предположим, что мы не найдем элемент.
If r < 1 Or c < 1 Or _
r > NumRows Or c > NumCols _
Then Exit Property
Set cell = RowHead(r).NextInRow ' Пропустить метку.
Do
If cell Is Nothing Then Exit Property ' Не найден.
If cell.Col > c Then Exit Property ' Не найден.
If cell.Col = c Then Exit Do ' Найден.
Set cell = cell.NextInRow
Loop
Value = cell. Data
End Property
Процедура let свойства value присваивает ячейке новое значение. Если новое значение равно NoValue, процедура вызывает для удаления элемента из массива. В противном случае, она ищет требуемое положение элемента в нужной строке. Если элемент уже существует, процедура обновляет его значение. Иначе, она создает новый элемент и добавляет его к списку строки. Затем она добавляет новый элемент в правильное положение в соответствующем списке столбцов.
Property Let Value (r As Integer, c As Integer, new_value As Variant)
Dim i As Integer
Dim found_it As Boolean
Dim cell As SparseArrayCell
Dim nxt As SparseArrayCell
Dim new_cell As SparseArrayCell
' Если value = MoValue, удалить элемент из массива.
If new_value = NoValue Then
RemoveEntry r, c
Exit Property
End If
' Если нужно, добавить строки.
If r > NumRows Then
ReDim Preserve RowHead(1 To r)
' Инициализировать метку для каждой новой строки.
For i = NumRows + 1 To r
Set RowHead(i) = New SparseArrayCell
Next i
End If
' Если нужно, добавить столбцы.
If c > NumCols Then
ReDim Preserve ColHead(1 To c)
' Инициализировать метку для каждой новой строки.
For i = NumCols + 1 To c
Set ColHead(i) = New SparseArrayCell
Next i
NumCols = c
End If
' Попытка найти элемент.
Set cell = RowHead(r)
Set nxt = cell.NextInRow
Do
If nxt Is Nothing Then Exit Do
If nxt.Col >= c Then Exit Do
Set cell = nxt
Set nxt = cell.NextInRow
Loop
' Проверка, найден ли элемент.
If nxt Is Nothing Then
found_it = False
Else
found_it = (nxt.Col = c)
End If
' Если элемент не найден, создать его.
If Not found_it Then
Set new_cell = New SparseArrayCell
' Поместить элемент в список строки.
Set new_cell.NextInRow = nxt
Set cell.NextInRow = new_cell
' Поместить элемент в список столбца.
Set cell = ColHead(c)
Set nxt = cell.NextInCol
Do
If nxt Is Nothing Then Exit Do
If nxt.Col >= c Then Exit Do
Set cell = nxt
Set nxt = cell.NextInRow
Loop
Set new_cell.NextInCol = nxt
Set cell.NextInCol = new_cell
new_cell.Row = r
new_cell.Col = c
' Поместим значение в элемент nxt.
Set nxt = new_cell
End If
' Установим значение.
nxt.Data = new_value
End Property
Программа Sparse, показанная на рис. 4.10, использует классы SparseArray и SparseArrayCell для работы с разреженным массивом. Используя программу, можно устанавливать и извлекать элементы массива. В этой программе значение NoValue равно нулю, поэтому если вы установите значение элемента равным нулю, программа удалит этот элемент из массива.
Очень разреженные массивы
Некоторые массивы содержат так мало непустых элементов, что многие строки и столбцы полностью пусты. В этом случае, лучше хранить заголовки строк и столбцов в связных списках, а не в массивах. Это позволяет программе полностью пропускать пустые строки и столбцы. Заголовки строки и столбцов указывают на связные списки элементов строк и столбцов. На рис. 4.11 показан массив 100 на 100, который содержит всего 7 непустых элементов.
@Рис. 4.10. Программа Sparse
=====76-78
@Рис. 4.11. Очень разреженный массив
Для работы с массивами этого типа можно довольно просто доработать предыдущий код. Большая часть кода остается неизменной, и для элементов массива можно использовать тот же самый класс SparseArray.Тем не менее, вместо хранения меток строк и столбцов в массивах, они записываются в связных списках.
Объекты класса HeaderCell представляют связные списки строк и столбцов. В этом классе определяются переменные, содержащие число строк и столбцов, которые он представляет, сигнальная метка в начале связного списка элементов строк или столбцов, и объект HeaderCell, представляющий следующий заголовок строки или столбца.
Public Number As Integer ' Номер строки или столбца.
Public Sentinel As SparseArrayCell ' Метка для строки или
' столбца.
Public NextHeader As HeaderCell ' Следующая строка или
' столбец.
Например, чтобы обратиться к строке I, нужно вначале просмотреть связный список заголовков HeaderCells строк, пока не найдется заголовок, соответствующий строке I. Затем продолжается работа со строкой I.
Private Sub PrintRow(r As Integer)
Dim row As HeaderCell
Dim cell As SparseArrayCell
' Найти правильный заголовок строки.
Set row = RowHead. NextHeader ' Список первой строки.
Do
If row Is Nothing Then Exit Sub ' Такой строки нет.
If row.Number > r Then Exit Sub ' Такой строки нет.
If row.Number = r Then Exit Do ' Строка найдена.
Set row = row.NextHeader
Loop
' Вывести элементы в строке.
Set cell = row.Sentinel. NextInRow ' Первый элемент в строке.
Do While Not (cell Is Nothing)
Print Format$(cell.FromCity) & " -> " & Format$(cell.ToCity)
Set cell = cell.NextInRow
Loop
End Sub
Резюме
Некоторые программы используют массивы, содержащие только небольшое число значащих элементов. Использование обычных массивов Visual Basic привело бы к большим потерям памяти. Используя треугольные, нерегулярные, разреженные и очень разреженные массивы, вы можете создавать мощные представления массивов, которые требуют намного меньших объемов памяти.
=========80
Глава 5. Рекурсия
Рекурсия — мощный метод программирования, который позволяет разбить задачу на части все меньшего и меньшего размера до тех пор, пока они не станут настолько малы, что решение этих подзадач сведется к набору простых операций.
После того, как вы приобретете опыт применения рекурсии, вы будете обнаруживать ее повсюду. Многие программисты, недавно овладевшие рекурсией, увлекаются, и начинают применять ее в ситуациях, когда она является ненужной, а иногда и вредной.
В первых разделах этой главы обсуждается вычисление факториалов, чисел Фибоначчи, и наибольшего общего делителя. Все эти алгоритмы являются примерами плохого использования рекурсии — нерекурсивные версии этих алгоритмов намного эффективнее. Эти примеры интересны и наглядны, поэтому имеет смысл обсудить их.
Затем, в главе рассматривается несколько примеров, в которых применение рекурсии более уместно. Алгоритмы построения кривых Гильберта и Серпинского используют рекурсию правильно и эффективно.
В последних разделах этой главы объясняется, почему реализацию алгоритмов вычисления факториалов, чисел Фибоначчи, и наибольшего общего делителя лучше осуществлять без применения рекурсии. В этих параграфах объясняется также, когда следует избегать рекурсии, и приводятся способы устранения рекурсии, если это необходимо.
Что такое рекурсия?
Рекурсия происходит, если функция или подпрограмма вызывает сама себя. Прямая рекурсия
(direct recursion) выглядит примерно так:
Function Factorial(num As Long) As Long
Factorial = num * Factorial(num - 1)
End Function
В случае косвенной рекурсии
(indirect recursion) рекурсивная процедура вызывает другую процедуру, которая, в свою очередь, вызывает первую:
Private Sub Ping(num As Integer)
Pong(num - 1)
End Sub
Private Sub Pong(num As Integer)
Ping(num / 2)
End Sub
===========81
Рекурсия полезна при решении задач, которые естественным образом разбиваются на несколько подзадач, каждая из которых является более простым случаем исходной задачи. Можно представить дерево на рис. 5.1 в виде «ствола», на котором находятся два дерева меньших размеров. Тогда можно написать рекурсивную процедуру для рисования деревьев:
Private Sub DrawTree()
Нарисовать "ствол"
Нарисовать дерево меньшего размера, повернутое на -45 градусов
Нарисовать дерево меньшего размера, повернутое на 45 градусов
End Sub
Хотя рекурсия и может упростить понимание некоторых проблем, люди обычно не мыслят рекурсивно. Они обычно стремятся разбить сложные задачи на задачи меньшего объема, которые могут быть выполнены последовательно одна за другой до полного завершения. Например, чтобы покрасить изгородь, можно начать с ее левого края и продолжать двигаться вправо до завершения. Вероятно, во время выполнения подобной задачи вы не думаете о возможности рекурсивной окраски — вначале левой половины изгороди, а затем рекурсивно — правой.
Для того чтобы думать рекурсивно, нужно разбить задачу на подзадачи, которые затем можно разбить на подзадачи меньшего размера. В какой‑то момент подзадачи становятся настолько простыми, что могут быть выполнены непосредственно. Когда завершится выполнение подзадач, большие подзадачи, которые из них составлены, также будут выполнены. Исходная задача окажется выполнена, когда будут все выполнены образующие ее подзадачи.
Рекурсивное вычисление факториалов
Факториал числа N записывается как N! (произносится «эн факториал»). По определению, 0! равно 1. Остальные значения определяются формулой:
N! = N * (N - 1) * (N - 2) * ... * 2 * 1
Как уже упоминалось в 1 главе, эта функция чрезвычайно быстро растет с увеличением N. В табл. 5.1 приведены 10 первых значений функции факториала.
Можно также определить функцию факториала рекурсивно:
0! = 1
N! = N * (N - 1)! для N > 0.
@Рис. 5.1. Дерево, составленное из двух деревьев меньшего размера
===========82
@Таблица 5.1. Значения функции факториала
Легко написать на основе этого определения рекурсивную функцию:
Public Function Factorial(num As Integer) As Integer
If num <= 0 Then
Factorial = 1
Else
Factorial = num * Factorial(num - 1)
End If
End Function
Вначале эта функция проверяет, что число меньше или равно 0. Факториал для чисел меньше нуля не определен, но это условие проверяется для подстраховки. Если бы функция проверяла только условие равенства числа нулю, то для отрицательных чисел рекурсия была бы бесконечной.
Если входное значение меньше или равно 0, функция возвращает значение 1. В остальных случаях, значение функции равно произведению входного значения на факториал от входного значения, уменьшенного на единицу.
То, что эта рекурсивная функция в конце концов остановится, гарантируется двумя фактами. Во‑первых, при каждом последующем вызове, значение параметра num уменьшается на единицу. Во‑вторых, значение num ограничено снизу нулем. Когда num становится равным 0, функция останавливает рекурсию. Условие, например, в данном случае условие num<=0, называется или условием остановки
рекурсии (base case или stopping case).
При каждом вызове подпрограммы, система сохраняет ряд параметров в системном стеке, как описывалось в 3 главе. Так как этот стек играет важную роль, иногда его называют просто стеком
. Если рекурсивная функция вызовет себя слишком много раз, она может исчерпать стековое пространство и аварийно завершить работу с ошибкой «Out of stack space».
Число раз, которое функция может вызвать сама себя до того, как использует все стековое пространство, зависит от объема установленной на компьютере памяти и количества данных, помещаемых программой в стек. В одном из тестов, программа исчерпала стековое пространство после 452 рекурсивных вызовов. После изменения рекурсивной функции таким образом, чтобы она определяла 10 локальных переменных при каждом вызове, программа могла вызвать себя только 271 раз.
Функции факториала требуется единственный аргумент: число, факториал от которого требуется вычислить. Анализ вычислительной сложности алгоритма обычно исследует зависимость времени выполнения программы как функции от размерности
(size) задачи или числа входных значений
(number of inputs). Поскольку в данном случае входное значение всего одно, такие расчеты могли бы показаться немного странными.
========83
Поэтому, алгоритмы с единственным входным параметром обычно оцениваются через число битов, необходимых для хранения входного значения
, а не число входных значений. В некотором смысле, это и есть размер входа, так как столько бит требуется для того, чтобы записать входное значение. Тем не менее, это не очень наглядный способ представления этой задачи. Кроме того, теоретически компьютер мог бы записать входное значение N в log2
(N) бит, но в действительности вероятнее всего N занимает фиксированное число битов. Например, все числа формата long занимают 32 бита.
Поэтому в этой главе алгоритмы этого типа анализируются на основе значения
входа, а не его размерности
. Если вы хотите переписать результаты в терминах размерности входа, вы можете это сделать, воспользовавшись тем, что N=2M
, где М — число битов, необходимое для записи N. Если время выполнения алгоритма порядка O(N2
) в терминах входного значения N, то оно составит порядка O((22M
)2
) = O(22*M
) = O((22
)M
) = O(4M
) в терминах размерности входа M.
Функции порядка O(N) растут довольно медленно, поэтому можно ожидать от этого алгоритма хорошей производительности. Так оно и есть. Эта функция приводит к проблемам только при переполнении стека после множества рекурсивных вызовов, или когда значение N! становится слишком большим и не помещается в формат целого числа, вызывая ошибку переполнения.
Так как N! растет очень быстро, переполнение наступает раньше, если только стек не используется интенсивно для других целей. При использовании данных целого типа, переполнение наступает для 8!, поскольку 8! = 40.320, что больше, чем наибольшее целое число 32.767. Для того чтобы программа могла вычислять приближенные значения факториала больших чисел, можно изменить функцию, используя вместо целых чисел значения типа double. Тогда максимальное число, которое сможет вычислить алгоритм, будет равно 170! = 7,257E+306.
Программа Facto демонстрирует рекурсивную функцию факториала. Введите значение и нажмите на кнопку Go
, чтобы вычислить его факториал.
Рекурсивное вычисление наибольшего общего делителя
Наибольшим общим делителем
(greatest common divisor, GCD) двух чисел называется наибольшее целое, на которое делятся два числа без остатка. Например, наибольший общий делитель чисел 12 и 9 равен 3. Два числа называются взаимно простыми
(relatively prime), если их наибольший общий делитель равен 1.
Математик Эйлер, живший в восемнадцатом веке, обнаружил интересный факт:
Если A нацело делится на B, то GCD(A, B) = A.
Иначе GCD(A, B) = GCD(B Mod A, A).
Этот факт можно использовать для быстрого вычисления наибольшего общего делителя. Например:
GCD(9, 12) = GCD(12 Mod 9, 9)
= GCD(3, 9)
= 3
========84
На каждом шаге числа становятся все меньше, так как 1<=B Mod A<A, если A не делится на B нацело. По мере уменьшения аргументов, в конце концов, A примет значение 1. Так как любое число делится на 1 нацело, на этом шаге рекурсия остановится. Таким образом, в какой то момент B разделится на A нацело, и работа процедуры завершится.
Открытие Эйлера закономерным образом приводит к рекурсивному алгоритму вычисления наибольшего общего делителя:
public Function GCD(A As Integer, B As Integer) As Integer
If B Mod A = 0 Then ' Делится ли B на A нацело?
GCD = A ' Да. Процедура завершена.
Else
GCD = GCD(B Mod A, A) ' Нет. Рекурсия.
End If
End Function
Чтобы проанализировать время выполнения этого алгоритма, необходимо определить, насколько быстро убывает переменная A. Так как функция останавливается, когда A доходит до значения 1, то скорость уменьшения A дает верхнюю границу оценки времени выполнения алгоритма. Оказывается, при каждом втором вызове функции GCD, параметр A уменьшается, по крайней мере, в 2 раза.
Допустим, A < B. Это условие всегда выполняется при первом вызове функции GCD. Если B Mod A <= A/2, то при следующем вызове функции GCD первый параметр уменьшится, по крайней мере, в 2 раза, и доказательство закончено.
Предположим обратное. Допустим, B Mod A > A / 2. Первым рекурсивным вызовом функции GCD будет GCD(B Mod A, A).
Подстановка в функцию значения B Mod A и A вместо A и B дает следующий рекурсивный вызов GCD(B Mod A, A).
Но мы предположили, что B Mod A > A / 2. Тогда B Mod A разделится на A только один раз, с остатком A – (B Mod A). Так как B Mod A больше, чем A / 2, то A – (B Mod A) должно быть меньше, чем A / 2. Значит, первый параметр второго рекурсивного вызова функции GCD меньше, чем A / 2, что и требовалось доказать.
Предположим теперь, что N — это исходное значение параметра A. После двух вызовов функции GCD, значение параметра A должно уменьшится, по крайней мере, до N / 2. После четырех вызовов, это значение будет не больше, чем (N / 2) / 2 = N / 4. После шести вызовов, значение не будет превосходить (N / 4) / 2 = N / 8. В общем случае, после 2 * K вызовов функции GCD, значение параметра A будет не больше, чем N / 2K
.
Поскольку алгоритм должен остановиться, когда значение параметра A дойдет до 1, он может продолжать работу только до тех, пока не выполняется равенство N/2K
=1. Это происходит, когда N=2K
или когда K=log2
(N). Так как алгоритм выполняется за 2*K шагов это означает, что алгоритм остановится не более, чем через 2*log2
(N) шагов. С точностью до постоянного множителя, это означает, что алгоритм выполняется за время порядка O(log(N)).
=======85
Этот алгоритм — один из множества рекурсивных алгоритмов, которые выполняются за время порядка O(log(N)). При выполнении фиксированного числа шагов, в данном случае 2, размер задачи уменьшается вдвое. В общем случае, если размер задачи уменьшается, по меньшей мере, в D раз после каждых S шагов, то задача потребует S*logD
(N) шагов.
Поскольку при оценке по порядку величины можно игнорировать постоянные множители и основания логарифмов, то любой алгоритм, который выполняется за время S*logD
(N), будет алгоритмом порядка O(log(N)). Это не обязательно означает, что этими постоянными можно полностью пренебречь при реализации алгоритма. Алгоритм, который уменьшает размер задачи при каждом шаге в 10 раз, вероятно, будет быстрее, чем алгоритм, который уменьшает размер задачи вдвое через каждые 5 шагов. Тем не менее, оба эти алгоритма имеют время выполнения порядка O(log(N)).
Алгоритмы порядка O(log(N)) обычно выполняются очень быстро, и алгоритм нахождения наибольшего общего делителя не является исключением из этого правила. Например, чтобы найти, что наибольший общий делитель чисел 1.736.751.235 и 2.135.723.523 равен 71, функция вызывается всего 17 раз. Фактически, алгоритм практически мгновенно вычисляет значения, не превышающие максимального значения числа в формате long — 2.147.483.647. Функция Visual Basic Mod не может оперировать значениями, большими этого, поэтому это практический предел для данной реализации алгоритма.
Программа GCD использует этот алгоритм для рекурсивного вычисления наибольшего общего делителя. Введите значения для A и B, затем нажмите на кнопку Go
, и программа вычислит наибольший общий делитель этих двух чисел.
Рекурсивное вычисление чисел Фибоначчи
Можно рекурсивно определить числа Фибоначчи (Fibonacci numbers) при помощи уравнений:
Fib(0) = 0
Fib(1) = 1
Fib(N) = Fib(N - 1) + Fib(N - 2) для N > 1.
Третье уравнение рекурсивно дважды вызывает функцию Fib, один раз с входным значением N-1, а другой — со значением N-2. Это определяет необходимость 2 условий остановки рекурсии: Fib(0)=0 и Fib(1)=1. Если задать только одно из них, рекурсия может оказаться бесконечной. Например, если задать только Fib(0)=0, то значение Fib(2) могло бы вычисляться следующим образом:
Fib(2) = Fib(1) + Fib(0)
= [Fib(0) + Fib(-1)] + 0
= 0 + [Fib(-2) + Fib(-3)]
= [Fib(-3) + Fib(-4)] + [Fib(-4) + Fib(-5)]
И т.д.
Это определение чисел Фибоначчи легко преобразовать в рекурсивную функцию:
Public Function Fib(num As Integer) As Integer
If num <= 1 Then
Fib = num
Else
Fib = Fib(num – 1) + Fib(num - 2)
End If
End Function
=========86
Анализ этого алгоритма достаточно сложен. Во‑первых, определим, сколько раз выполняется одно из условий остановки num <=1. Пусть G(N) — количество раз, которое алгоритм достигает условия остановки для входа N. Если N <= 1, то функция достигает условия остановки один раз и не требует рекурсии.
Если N > 1, то функция рекурсивно вычисляет Fib(N-1) и Fib(N-2), и завершает работу. При первом вызове функции, условие остановки не выполняется — оно достигается только в следующих, рекурсивных вызовах. Полное число выполнения условия остановки для входного значения N, складывается из числа раз, которое оно выполняется для значения N-1 и числа раз, которое оно выполнялось для значения N-2. Все это можно записать так:
G(0) = 1
G(1) = 1
G(N) = G(N - 1) + G(N - 2) для N > 1.
Это рекурсивное определение очень похоже на определение чисел Фибоначчи. В табл. 5.2 приведены некоторые значения функций G(N) и Fib(N). Легко увидеть, что G(N) = Fib(N+1).
Теперь рассмотрим, сколько раз алгоритм достигает рекурсивного шага. Если N<=1, функция не достигает этого шага. При N>1, функция достигает этого шага 1 раз и затем рекурсивно вычисляет Fib(n-1) и Fib(N-2). Пусть H(N) — число раз, которое алгоритм достигает рекурсивного шага для входа N. Тогда H(N)=1+H(N-1)+H(N-2). Уравнения, определяющие H(N):
H(0) = 0
H(1) = 0
H(N) = 1 + H(N - 1) + H(N - 2) для N > 1.
В табл. 5.3 показаны некоторые значения для функций Fib(N) и H(N). Можно увидеть, что H(N)=Fib(N+1)-1.
@Таблица 5.2. Значения чисел Фибоначчи и функции G(N)
======87
@Таблица 5.3. Значения чисел Фибоначчи и функции H(N)
Объединяя результаты для G(N) и H(N), получаем полное время выполнения для алгоритма:
Время выполнения = G(N) + H(N)
= Fib(N + 1) + Fib(N + 1) - 1
= 2 * Fib(N + 1) - 1
Поскольку Fib(N + 1) >= Fib(N) для всех значений N, то:
Время выполнения >= 2 * Fib(N) - 1
С точностью до порядка это составит O(Fib(N)). Интересно, что эта функция не только рекурсивная, но она также используется для оценки времени ее выполнения.
Чтобы помочь вам представить скорость роста функции Фибоначчи, можно показать, что Fib(M)>ÆM-2
где Æ — константа, примерно равная 1,6. Это означает, что время выполнения не меньше, чем значение экспоненциальной функции O(ÆM
). Как и другие экспоненциальные функции, эта функция растет быстрее, чем полиномиальные функции, но медленнее, чем функция факториала.
Поскольку время выполнения растет очень быстро, этот алгоритм довольно медленно выполняется для больших входных значений. Фактически, настолько медленно, что на практике почти невозможно вычислить значения функции Fib(N) для N, которые намного больше 30. В табл. 5.4 показано время выполнения для этого алгоритма на компьютере с процессором Pentium с тактовой частотой 90 МГц при разных входных значениях.
Программа Fibo использует этот рекурсивный алгоритм для вычисления чисел Фибоначчи. Введите целое число и нажмите на кнопку Go
для вычисления чисел Фибоначчи. Начните с небольших чисел, пока не оцените, насколько быстро ваш компьютер может выполнять эти вычисления.
Рекурсивное построение кривых Гильберта
Кривые Гильберта (Hilbert curves) — это самоподобные
(self‑similar) кривые, которые обычно определяются при помощи рекурсии. На рис. 5.2. показаны кривые Гильберта с 1, 2 или 3 порядка.
@Таблица 5.4. Время выполнения программы Fibonacci
=====88
@Рис. 5.2. Кривые Гильберта
Кривая Гильберта, как и любая другая самоподобная кривая, создается разбиением большой кривой на меньшие части. Затем вы можете использовать эту же кривую, после изменения размера и поворота, для построения этих частей. Эти части можно разбить на более мелкие части, и так далее, пока процесс не достигнет нужной глубины рекурсии. Порядок кривой определяется как максимальная глубина рекурсии, которой достигает процедура.
Процедура Hilbert управляет глубиной рекурсии, используя соответствующий параметр. При каждом рекурсивном вызове, процедура уменьшает параметр глубины рекурсии на единицу. Если процедура вызывается с глубиной рекурсии, равной 1, она рисует простую кривую 1 порядка, показанную на рис. 5.2 слева и завершает работу. Это условие остановки рекурсии.
Например, кривая Гильберта 2 порядка состоит из четырех кривых Гильберта 1 порядка. Аналогично, кривая Гильберта 3 порядка состоит из четырех кривых 2 порядка, каждая из которых состоит из четырех кривых 1 порядка. На рис. 5.3 показаны кривые Гильберта 2 и 3 порядка. Меньшие кривые, из которых построены кривые большего размера, выделены полужирными линиями.
Следующий код строит кривую Гильберта 1 порядка:
Line -Step (Length, 0)
Line -Step (0, Length)
Line -Step (-Length, 0)
Предполагается, что рисование начинается с верхнего левого угла области и что Length — это заданная длина каждого отрезка линий.
Можно набросать черновик метода, рисующего кривые Гильберта более высоких порядков:
Private Sub Hilbert(Depth As Integer)
If Depth = 1 Then
Нарисовать кривую Гильберта 1 порядка
Else
Нарисовать и соединить 4 кривые порядка (Depth - 1)
End If
End Sub
====89
@Рис. 5.3. Кривые Гильберта, образованные меньшими кривыми
Этот метод требует небольшого усложнения для определения направления рисования кривых. Это требуется для того, чтобы выбрать тип используемых кривых Гильберта.
Эту информацию можно передать процедуре при помощи параметров Dx и Dy для определения направления вывода первой линии в кривой. Для кривой 1 порядка, процедура рисует первую линию при помощи функции Line-Step(Dx, Dy). Если кривая имеет более высокий порядок, процедура соединяет первые две подкривых, используя функцию Line-Step(Dx, Dy). В любом случае, процедура может использовать параметры Dx и Dy для выбора направления, в котором она должна рисовать линии, образующие кривую.
Код на языке Visual Basic для рисования кривых Гильберта короткий, но сложный. Вам может потребоваться несколько раз пройти его в отладчике для кривых 1 и 2 порядка, чтобы увидеть, как изменяются параметры Dx и Dy, при построении различных частей кривой.
Private Sub Hilbert(depth As Integer, Dx As Single, Dy As Single)
If depth > 1 Then Hilbert depth - 1, Dy, Dx
HilbertPicture.Line -Step(Dx, Dy)
If depth > 1 Then Hilbert depth - 1, Dx, Dy
HilbertPicture.Line -Step(Dy, Dx)
If depth > 1 Then Hilbert depth - 1, Dx, Dy
HilbertPicture.Line -Step(-Dx, -Dy)
If depth > 1 Then Hilbert depth - 1, -Dy, -Dx
End Sub
Чтобы проанализировать время выполнения этой процедуры, вы можете определить число вызовов процедуры Hilbert. При каждой рекурсии она вызывает себя четыре раза. Если T(N) — это число вызовов процедуры, когда она вызывается с глубиной рекурсии N, то:
T(1) = 1
T(N) = 1 + 4 * T(N - 1) для N > 1.
Если раскрыть определение T(N), получим:
T(N) = 1 + 4 * T(N - 1)
= 1 + 4 *(1 + 4 * T(N - 2))
= 1 + 4 + 16 * T(N - 2)
= 1 + 4 + 16 * (1 + 4 * T(N - 3))
= 1 + 4 + 16 + 64 * T(N - 3)
= ...
= 40 + 41 + 42 + 43 + ... + 4K * T(N - K)
Раскрыв это уравнение до тех пор, пока не будет выполнено условие остановки рекурсии T(1)=1, получим:
T(N) = 40
+ 41
+ 42
+ 43
+ ... + 4N-1
Это уравнение можно упростить, воспользовавшись соотношением:
X0
+ X1
+ X2
+ X3
+ ... + XM
= (XM+1
- 1) / (X - 1)
После преобразования, уравнение приводится к виду:
T(N) = (4(N-1)+1
- 1) / (4 - 1)
= (4N
- 1) / 3
=====90
С точностью до постоянных, эта процедура выполняется за время порядка O(4N
). В табл. 5.5 приведены несколько первых значений функции времени выполнения. Если вы внимательно посмотрите на эти числа, то увидите, что они соответствуют рекурсивному определению.
Этот алгоритм является типичным примером рекурсивного алгоритма, который выполняется за время порядка O(CN
), где C — некоторая постоянная. При каждом вызове подпрограммы Hilbert, она увеличивает размерность задачи в 4 раза. В общем случае, если при каждом выполнении некоторого числа шагов алгоритма размер задачи увеличивается не менее, чем в C раз, то время выполнения алгоритма будет порядка O(CN
).
Это поведение противоположно поведению алгоритма поиска наибольшего общего делителя. Процедура GCD уменьшает размерность задачи в 2 раза при каждом втором своем вызове, и поэтому время ее выполнения порядка O(log(N)). Процедура построения кривых Гильберта увеличивает размер задачи в 4 раза при каждом своем вызове, поэтому время ее выполнения порядка O(4N
).
Функция (4N
-1)/3 — это экспоненциальная функция, которая растет очень
быстро. Фактически, она растет настолько быстро, что вы можете предположить, что это не слишком эффективный алгоритм. В действительности работа этого алгоритма занимает много времени, но есть две причины, по которым это не так уж и плохо.
Во-первых, ни один алгоритм для построения кривых Гильберта не может быть намного быстрее. Кривые Гильберта содержат множество
отрезков линий, и любой рисующий их алгоритм будет требовать достаточно много времени. При каждом вызове процедуры Hilbert, она рисует три линии. Пусть L(N) — суммарное число линий, из которых состоит кривая Гильберта порядка N. Тогда L(N) = 3 * T(N) = 4N - 1, поэтому L(N) также порядка O(4N). Любой алгоритм, рисующий кривые Гильберта, должен вывести O(4N) линий, выполнив при этом O(4N) шагов. Существуют другие алгоритмы построения кривых Гильберта, но они занимают почти столько же времени, сколько и этот алгоритм.
@Таблица 5.5. Число рекурсивных вызовов подпрограммы Hilbert
=====91
Второй факт, который показывает, что этот алгоритм не так уж плох, заключается в том, что кривые Гильберта 9 порядка содержат так много линий, что экран большинства компьютерных мониторов при этом оказывается полностью закрашенным. Это неудивительно, так как эта кривая содержит 262.143 отрезков линий. Это означает, что вам вероятно никогда не понадобится выводить на экран кривые Гильберта 9 или более высоких порядков. На каком‑то порядке вы столкнетесь с ограничениями языка Visual Basic и вашего компьютера, но, скорее всего, вы еще раньше будете ограничены максимальным разрешением экрана.
Программа Hilbert, показанная на рис. 5.4, использует этот рекурсивный алгоритм для рисования кривых Гильберта. При выполнении программы не задавайте слишком большую глубину рекурсии (больше 6) до тех пор, пока вы не определите, насколько быстро выполняется эта программа на вашем компьютере.
Рекурсивное построение кривых Серпинского
Как и кривые Гильберта, кривые Серпинского (Sierpinski curves) — это самоподобные кривые, которые обычно определяются рекурсивно. На рис. 5.5 показаны кривые Серпинского 1, 2 и 3 порядка.
Алгоритм построения кривых Гильберта использует всего одну подпрограмму для рисования кривых. Кривые Серпинского проще рисовать, используя четыре отдельных процедуры, которые работают совместно. Эти процедуры называются SierpA, SierpB, SierpC и SierpD. Это процедуры с косвенной рекурсией — каждая процедура вызывает другие, которые затем вызывают первоначальную процедуру. Они рисуют верхнюю, левую, нижнюю и правую части кривой Серпинского, соответственно.
На рис. 5.6 показано, как эти процедуры работают совместно, образуя кривую Серпинского 1 порядка. Подкривые изображены стрелками, чтобы показать направление, в котором они рисуются. Отрезки, соединяющие четыре подкривые, нарисованы пунктирными линиями.
@Рис. 5.4. Программа Hilbert
=====92
@Рис. 5.5. Кривые Серпинского
Каждая из четырех основных кривых состоит из диагонального отрезка, затем вертикального или горизонтального отрезка, и еще одного диагонального отрезка. Если глубина рекурсии больше единицы, каждая из этих кривых разбивается на меньшие части. Это осуществляется разбиением каждого из двух диагональных отрезков на две подкривые.
Например, для разбиения кривой типа A, первый диагональный отрезок разбивается на кривую типа A, за которой следует кривая типа B. Затем рисуется без изменений горизонтальный отрезок из исходной кривой типа A. Наконец, второй диагональный отрезок разбивается на кривую типа D, за которой следует кривая типа A. На рис. 5.7 показано, как кривая типа A второго порядка образуется из нескольких кривых 1 порядка. Подкривые изображены жирными линиями.
На рис. 5.8 показано, как полная кривая Серпинского 2 порядка образуется из 4 подкривых 1 порядка. Каждая из подкривых обведена контурной линией.
Можно использовать стрелки - и - для обозначения типа линий, соединяющих подкривые (тонкие линии на рис. 5.8), тогда можно будет изобразить рекурсивные отношения между четырьмя типами кривых так, как это показано на рис. 5.9.
@Рис. 5.6. Части кривой Серпинского
=====93
@Рис. 5.7. Разбиение кривой типа A
Все процедуры для построения подкривых Серпинского очень похожи, поэтому мы приводим здесь только одну из них. Соотношения на рис. 5.9 показывают, какие операции нужно выполнить для рисования кривых различных типов. Соотношения для кривой типа A реализованы в следующем коде. Вы можете использовать остальные соотношения, чтобы определить, какие изменения нужно внести в код для рисования кривых других типов.
Private Sub SierpA(Depth As Integer, Dist As Single)
If Depth = 1 Then
Line -Step(-Dist, Dist)
Line -Step(-Dist, 0)
Line -Step(-Dist, -Dist)
Else
SierpA Depth - 1, Dist
Line -Step(-Dist, Dist)
SierpB Depth - 1, Dist
Line -Step(-Dist, 0)
SierpD Depth - 1, Dist
Line -Step(-Dist, -Dist)
SierpA Depth - 1, Dist
End If
End Sub
@Рис. 5.8. Кривые Серпинского, образованные из меньших кривых Серпинского
=====94
@Рис. 5.9. Рекурсивные соотношения между кривыми Серпинского
Кроме процедур, которые рисуют каждую из основных кривых, потребуется еще процедура, которая по очереди вызывает их все для создания законченной кривой Серпинского.
Sub Sierpinski (Depth As Integer, Dist As Single)
SierpB Depth, Dist
Line -Step(Dist, Dist)
SierpC Depth, Dist
Line -Step(Dist, -Dist)
SierpD Depth, Dist
Line -Step(-Dist, -Dist)
SierpA Depth, Dist
Line -Step(-Dist, Dist)
End Sub
Чтобы проанализировать время выполнения этого алгоритма, необходимо определить число вызовов для каждой из четырех процедур рисования кривых. Пусть T(N) — число вызовов любой из четырех основных подпрограмм основной процедуры Sierpinski при построении кривой порядка N.
Если порядок кривой равен 1, кривая каждого типа рисуется только один раз. Прибавив сюда основную процедуру, получим T(1) = 5.
При каждом рекурсивном вызове, процедура вызывает саму себя или другие процедуры четыре раза. Так как эти процедуры практически одинаковые, то T(N) будет одинаковым, независимо от того, какая процедура вызывается первой. Это обусловлено тем, что кривые Серпинского симметричны и содержат одно и то же число кривых разных типов. Рекурсивные уравнения для T(N) выглядят так:
T(1) = 5
T(N) = 1 + 4 * T(N-1) для N > 1.
Эти уравнения почти совпадают с уравнениями, которые использовались для оценки времени выполнения алгоритма, рисующего кривые Гильберта. Единственное отличие состоит в том, что для кривых Гильберта T(1) = 1. Сравнение значений этих уравнений показывает, что TSierpinski
(N) = THilbert
(N+1). В конце предыдущего раздела было показано, что THilbert
(N) = (4N
- 1) / 3, поэтому TSierpinski
(N) = (4N+1
- 1) / 3, что также составляет O(4N
).
=====95
Так же, как и алгоритм построения кривых Гильберта, этот алгоритм выполняется за время порядка O(4N
), но это не так уж и плохо. Кривая Серпинского состоит из O(4N
) линий, поэтому ни один алгоритм не может нарисовать кривую Серпинского быстрее, чем за время порядка O(4N
).
Кривые Серпинского также полностью заполняют экран большинства компьютеров при порядке кривой, большем или равном 9. При каком‑то порядке, большем 9, вы столкнетесь с ограничениями языка Visual Basic и возможностей вашего компьютера, но, скорее всего, вы еще раньше будете ограничены предельным разрешением экрана.
Программа Sierp, показанная на рис. 5.10, использует этот рекурсивный алгоритм для рисования кривых Серпинского. При выполнении программы, задавайте вначале небольшую глубину рекурсии (меньше 6), до тех пор, пока вы не определите, насколько быстро выполняется эта программа на вашем компьютере.
Опасности рекурсии
Рекурсия может служить мощным методом разбиения больших задач на части, но она таит в себе несколько опасностей. В этом разделе мы пытаемся охватить некоторые из этих опасностей и объяснить, когда стоит и не стоит использовать рекурсию. В последующих разделах приводятся методы устранения от рекурсии, когда это необходимо.
Наиболее очевидная опасность рекурсии заключается в бесконечной рекурсии. Если неправильно построить алгоритм, то функция может пропустить условие остановки рекурсии и выполняться бесконечно. Проще всего совершить эту ошибку, если просто забыть о проверке условия остановки, как это сделано в следующей ошибочной версии функции факториала. Поскольку функция не проверяет, достигнуто ли условие остановки рекурсии, она будет бесконечно вызывать сама себя.
@Рис. 5.10 Программа Sierp
=====96
Private Function BadFactorial(num As Integer) As Integer
BadFactorial = num * BadFactorial (num - 1)
End Function
Функция также может вызывать себя бесконечно, если условие остановки не прекращает все возможные пути рекурсии. В следующей ошибочной версии функции факториала, функция будет бесконечно вызывать себя, если входное значение — не целое число, или если оно меньше 0. Эти значения не являются допустимыми входными значениями для функции факториала, поэтому в программе, которая использует эту функцию, может потребоваться проверка входных значений. Тем не менее, будет лучше, если функция выполнит эту проверку сама.
Private Function BadFactorial2(num As Double) As Double
If num = 0 Then
BadFactorial2 = 1
Else
BadFactorial2 = num * BadFactorial2(num-1)
End If
End Function
Следующая версия функции Fibonacci является более сложным примером. В ней условие остановки рекурсии прекращает выполнение только нескольких путей рекурсии, и возникают те же проблемы, что и при выполнении функции BadFactorial2, если входные значения отрицательные или не целые.
Private Function BadFib(num As Double) As Double
If num = 0 Then
BadFib = 0
Else
BadFib = BadPib(num - 1) + BadFib (num - 2)
End If
End Function
И последняя проблема, связанная с бесконечной рекурсией, заключается в том, что «бесконечная» на самом деле означает «до тех пор, пока не будет исчерпано стековое пространство». Даже корректно написанные рекурсивные процедуры будут иногда приводить к переполнению стека и аварийному завершению работы. Следующая функция, которая вычисляет сумму N + (N - 1) + … + 2 +1, приводит к исчерпанию стекового пространства при больших значениях N. Наибольшее возможное значение N, при котором программа еще будет работать, зависит от конфигурации вашего компьютера.
Private Function BigAdd(N As Double) As Double
If N <= 1 Then
BigAdd = 1
Else
BigAdd = N + BigAdd(N - 1)
End If
End Function
=====97
Программа BigAdd демонстрирует этот алгоритм. Проверьте, насколько большое входное значение вы можете ввести в этой программе до того, как наступит переполнение стека на вашем компьютере.
Другая опасность рекурсии заключается в потерях памяти. При каждом вызове подпрограммы, система выделяет память для локальных переменных новой процедуры. Во время сложной последовательности рекурсивных вызовов, значительная часть времени и памяти компьютера будет уходить на выделение и освобождение памяти для этих переменных во время рекурсии. Даже если это не приведет к исчерпанию стекового пространства, время, потраченное на работу с переменными, может быть значительным.
Существует несколько способов уменьшения этих накладных расходов. Во‑первых, не следует использовать большого количества ненужных переменных. Даже если подпрограмма не использует их, Visual Basic все равно будет отводить память под эти переменные. Следующая версия функции BigAdd еще быстрее приводит к переполнению стека, чем предыдущая.
Private Function BigAdd(N As Double) As Double
Dim I1 As Integer
Dim I2 As Integer
Dim I3 As Integer
Dim I4 As Integer
Dim I5 As Integer
If N <= 1 Then
BigAdd = 1
Else
BigAdd = N + BigAdd (N - 1)
End If
End Function
Если вы не уверены, нужна ли переменная, используйте оператор Option Explicit и закомментируйте определение переменной. При попытке выполнить программу, Visual Basic сообщит об ошибке, если переменная используется в программе.
Вы также можете уменьшить использование стека за счет применения глобальных переменных. Если вы определите переменные в секции Declarations модуля вместо того, чтобы определять их в подпрограмме, то системе не понадобится отводить память при каждом вызове подпрограммы.
Лучшим решением будет определение переменных в процедуре при помощи зарезервированного слова Static. Статические переменные используются совместно всеми экземплярами процедуры, и системе не нужно отводить память под новые копии переменных при каждом вызове подпрограммы.
Менее очевидной опасностью является необоснованное применение рекурсии. При этом использование рекурсии не является наилучшим способом решения задачи. Приведенные выше функции факториала, наибольшего общего делителя, чисел Фибоначчи и функции BigAdd не обязательно должны быть рекурсивными. Лучшие, не рекурсивные версии этих функций описываются позже в этой главе.
=====98
В случае факториала и наибольшего общего делителя, ненужная рекурсия является по большей части безвредной. Обе эти функции выполняются достаточно быстро для достаточно больших выходных значений. Их выполнение также не будет ограничено размером стека, если вы не использовали большую часть стекового пространства в других частях программы.
С другой стороны, применение рекурсии ухудшает алгоритм вычисления чисел Фибоначчи. Для вычисления Fib(N), алгоритм вначале вычисляет Fib(N - 1) и Fib(N - 2). Но для вычисления Fib(N - 1) он должен сначала вычислить Fib(N - 2) и Fib(N - 3). При этом Fib(N - 2) вычисляется дважды.
Предыдущий анализ этого алгоритма показал, что Fib(1) и Fib(0) вычисляются Fib(N + 1) раз во время вычисления Fib(N). Так как Fib(30) = 832.040 то, чтобы вычислить Fib(29), приходится вычислять одни и те же значения Fib(0) и Fib(1) 832.040 раз. Алгоритм вычисления чисел Фибоначчи тратит огромное количество времени на вычисление этих промежуточных значений снова и снова.
В функции BigAdd существует другая проблема. Хотя она выполняется быстро, она приводит к большой глубине вложенности рекурсии, и очень быстро приводит к исчерпанию стекового пространства. Если бы не переполнение стека, то эта функция могла бы вычислять результаты для больших входных значений.
Похожая проблема существует и в функции факториала. Для входного значения N глубина рекурсии для факториала и функции BigAdd равна N. Функция факториала не может быть вычислена для таких больших входных значений, которые допустимы для функции BigAdd. Максимальное значение факториала, которое может уместиться в переменной типа double, равно 170! » 7,257E+306, поэтому это наибольшее значение, которое может вычислить эта функция. Хотя эта функция приводит к глубокой рекурсии, она вызывает переполнение до того, как наступит переполнение стека.
Эти рассуждения могут заставить вас думать, что рекурсия всегда нежелательна. Но это определенно не так. Многие алгоритмы являются рекурсивными по своей природе. И хотя любой алгоритм можно переписать так, чтобы он не содержал рекурсии, многие алгоритмы сложнее понимать, анализировать, отлаживать и поддерживать, если они написаны нерекурсивно.
В следующих разделах приведены методы устранения рекурсии из любого алгоритма. Некоторые из полученных нерекурсивных алгоритмов также просты в понимании. Функции, вычисляющие без применения рекурсии факториал, наибольший общий делитель, числа Фибоначчи, и функцию BigAdd, относительно просты.
С другой стороны, нерекурсивные версии алгоритмов построений кривых Гильберта и Серпинского намного сложнее. Их труднее понять, поддерживать, и они даже выполняются немного медленнее, чем рекурсивные версии. Они приведены лишь для того, чтобы продемонстрировать методы, которые вы можете использовать для устранения рекурсии из сложных алгоритмов, а не потому, что они лучше, чем рекурсивные версии соответствующих алгоритмов.
Если алгоритм рекурсивен по природе, записывайте его с использованием рекурсии. В лучшем случае, вы не встретитесь ни одной из описанных проблем. Если же вы столкнетесь с некоторыми из них, вы сможете переписать алгоритм без использования рекурсии при помощи методов, представленных в следующих разделах. Переписать алгоритм часто гораздо проще, чем с самого начала написать его без применения рекурсии.
======99
Хвостовая рекурсия
Вспомним представленные ранее функции для вычисления факториалов и наибольшего общего делителя, а также функцию BigAdd, которая приводит к переполнению стека даже для относительно небольших входных значений.
Private Function Factorial(num As Integer) As Integer
If num <= 0 Then
Factorial = 1
Else
Factorial = num * Factorial(num - 1)
End If
End Function
Private Function GCD(A As Integer, B As Integer) As Integer
If B Mod A = 0 Then
GCD = A
Else
GCD = GCD(B Mod A, A)
End If
End Function
Private Function BigAdd(N As Double) As Double
If N <= 1 Then
BigAdd = 1
Else
BigAdd = N + BigAdd(N - 1)
End If
End Function
Во всех этих функциях, последнее действие перед завершением функции — это рекурсивный шаг. Этот тип рекурсии в конце процедуры называется хвостовой рекурсией
(tail recursion или end recursion).
Так как после рекурсии в процедуре ничего не происходит, существует простой способ ее устранения. Вместо рекурсивного вызова функции, процедура сбрасывает свои параметры, устанавливая те, которые бы она получила при рекурсивном вызове, и затем выполняется снова.
Рассмотрим общий случай рекурсивной процедуры:
Private Sub Recurse(A As Integer)
' Выполняются какие‑либо действия, вычисляется B, и т.д.
Recurse B
End Sub
======100
Эту процедуру можно переписать без рекурсии как:
Private Sub NoRecurse(A As Integer)
Do While (not done)
' Выполняются какие‑либо действия, вычисляется B, и т.д.
A = B
Loop
End Sub
Эта процедура называется устранением хвостовой рекурсии
(tail recursion removal или end recursion removal). Этот прием не изменяет время выполнения программы. Рекурсивные шаги просто заменяются проходами в цикле While.
Устранение хвостовой рекурсии, тем не менее, устраняет вызовы подпрограмм, и поэтому может увеличить скорость работы алгоритма. Что более важно, этот метод также уменьшает использование стека. Алгоритмы типа функции BigAdd, которые ограничены глубиной рекурсии, могут от этого значительно выиграть.
Некоторые компиляторы автоматически устраняют хвостовую рекурсию, но компилятор Visual Basic этого не делает. В противном случае, функция BigAdd, приведенная в предыдущем разделе, не приводила бы к переполнению стека.
Используя устранение хвостовой рекурсии, легко переписать функции факториала, наибольшего общего делителя, и BigAdd без рекурсии. Эти версии используют зарезервированное слово ByVal для сохранения значений своих параметров для вызывающей процедуры.
Private Function Factorial(ByVal N As Integer) As Double
Dim value As Double
value = 1# ' Это будет значением функции.
Do While N > 1
value = value * N
N = N - 1 ' Подготовить аргументы для "рекурсии".
Loop
Factorial = value
End Function
Private Function GCD(ByVal A As Double, ByVal B As Double) As Double
Dim B_Mod_A As Double
B_Mod_A = B Mod A
Do While B_Mod_A <> 0
' Подготовить аргументы для "рекурсии".
B = A
A = B_Mod_A
B_Mod_A = B Mod A
Loop
GCD = A
End Function
Private Function BigAdd(ByVal N As Double) As Double
Dim value As Double
value = 1# ' ' Это будет значением функции.
Do While N > 1
value = value + N
N = N - 1 ' подготовить параметры для "рекурсии".
Loop
BigAdd = value
End Function
=====101
Для алгоритмов вычисления факториала и наибольшего общего делителя практически не существует разницы между рекурсивной и нерекурсивной версиями. Обе версии выполняются достаточно быстро, и обе они могут оперировать задачами большой размерности.
Для функции BigAdd, тем не менее, разница огромна. Рекурсивная версия приводит к переполнению стека даже для довольно небольших входных значений. Поскольку нерекурсивная версия не использует стек, она может вычислять результат для значений N вплоть до 10154
. После этого наступит переполнение для данных типа double. Конечно, выполнение 10154
шагов алгоритма займет очень много времени, поэтому возможно вы не станете проверять этот факт сами. Заметим также, что значение этой функции совпадает со значением более просто вычисляемой функции N * N(N + 1) / 2.
Программы Facto2, GCD2 и BigAdd2 демонстрируют эти нерекурсивные алгоритмы.
Нерекурсивное вычисление чисел Фибоначчи
К сожалению, нерекурсивный алгоритм вычисления чисел Фибоначчи не содержит только хвостовую рекурсию. Этот алгоритм использует два рекурсивных вызова для вычисления значения, и второй вызов следует после завершения первого. Поскольку первый вызов не находится в самом конце функции, то это не хвостовая рекурсия, и от ее нельзя избавиться, используя прием устранения хвостовой рекурсии.
Это может быть связано и с тем, что ограничение рекурсивного алгоритма вычисления чисел Фибоначчи связано с тем, что он вычисляет слишком много промежуточных значений, а не глубиной вложенности рекурсии. Устранение хвостовой рекурсии уменьшает глубину рекурсии, но оно не изменяет время выполнения алгоритма. Даже если бы устранение хвостовой рекурсии было бы применимо к алгоритму вычисления чисел Фибоначчи, этот алгоритм все равно остался бы чрезвычайно медленным.
Проблема этого алгоритма в том, что он многократно вычисляет одни и те же значения. Значения Fib(1) и Fib(0) вычисляются Fib(N + 1) раз, когда алгоритм вычисляет Fib(N). Для вычисления Fib(29), алгоритм вычисляет одни и те же значения Fib(0) и Fib(1) 832.040 раз.
Поскольку алгоритм многократно вычисляет одни и те же значения, следует найти способ избежать повторения вычислений. Простой и конструктивный способ сделать это — построить таблицу вычисленных значений. Когда понадобится промежуточное значение, можно будет взять его из таблицы, вместо того, чтобы вычислять его заново.
=====102
В этом примере можно создать таблицу для хранения значений функции Фибоначчи Fib(N) для N, не превосходящих 1477. Для N >= 1477 происходит переполнение переменных типа double, используемых в функции. Следующий код содержит измененную таким образом функцию, вычисляющую числа Фибоначчи.
Const MAX_FIB = 1476 ' Максимальное значение.
Dim FibValues(0 To MAX_FIB) As Double
Private Function Fib(N As Integer) As Double
' Вычислить значение, если оно не находится в таблице.
If FibValues(N) < 0 Then _
FibValues(M) = Fib(N - 1) + Fib(N - 2)
Fib = FibValues(N)
End Function
При запуске программы, она присваивает каждому элементу в массиве FibValues значение -1. Затем она присваивает FibValues(0) значение 0, и FibValues(1) — значение 1. Это условия остановки рекурсии.
При выполнении функции, она проверяет, находится ли уже в массиве значение, которое ей требуется. Если его там нет, она, как и раньше, рекурсивно вычисляет это значение и сохраняет его в массиве для дальнейшего использования.
Программа Fibo2 использует этот метод для вычисления чисел Фибоначчи. Программа может быстро вычислить Fib(N) для N до 100 или 200. Но если вы попытаетесь вычислить Fib(1476), то программа выполнит последовательность рекурсивных вызовов глубиной 1476 уровней, которая вероятно переполнит стек вашей системы.
Тем не менее, по мере того, как программа вычисляет новые значения, она заполняет массив FibValues. Значения из массива позволяют функции вычислять все большие и большие значения без глубокой рекурсии. Например, если вычислить последовательно Fib(100), Fib(200), Fib(300), и т.д. то, в конце концов, можно будет заполнить массив значений FibValues и вычислить максимальное возможно значение Fib(1476).
Процесс медленного заполнения массива FibValues приводит к новому методу вычисления чисел Фибоначчи. Когда программа инициализирует массив FibValues, она может заранее вычислить все числа Фибоначчи.
Private Sub InitializeFibValues()
Dim i As Integer
FibValues(0) = 0 ' Инициализация условий остановки.
FibValues(1) = 1
For i = 2 To MAX_FIB
FibValues(i) = FibValues(i - 1) + FibValues(i - 2)
Next i
End Sub
Private Function Fib(N As Integer) As Duble
Fib - FibValues(N)
End Function
=====104
Определенное время в этом алгоритме занимает составление массива с табличными значениями. Но после того как массив создан, для получения элемента из массива требуется всего один шаг. Ни процедура инициализации, ни функция Fib не используют рекурсию, поэтому ни одна из них не приведет к исчерпанию стекового пространства. Программа Fibo3 демонстрирует этот подход.
Стоит упомянуть еще один метод вычисления чисел Фибоначчи. Первое рекурсивное определение функции Фибоначчи использует подход сверху вниз. Для получения значения Fib(N), алгоритм рекурсивно вычисляет Fib(N - 1) и Fib(N - 2) и затем складывает их.
Подпрограмма InitializeFibValues, с другой стороны, работает снизу вверх. Она начинает со значений Fib(0) и Fib(1). Она затем использует меньшие значения для вычисления больших, до тех пор, пока таблица не заполнится.
Вы можете использовать тот же подход снизу вверх для прямого вычисления значений функции Фибоначчи каждый раз, когда вам потребуется значение. Этот метод требует больше времени, чем выборка значений из массива, но не требует дополнительной памяти для таблицы значений. Это пример пространственно‑временного компромисса. Использование большего объема памяти для хранения таблицы значений делает выполнение алгоритма более быстрым.
Private Function Fib(N As Integer) As Double
Dim Fib_i_minus_1 As Double
Dim Fib_i_minus_2 As Double
Dim fib_i As Double
Dim i As Integer
If N <= 1 Then
Fib = N
Else
Fib_i_minus_2 = 0 ' Вначале Fib(0)
Fib_i_minus_1 = 1 ' Вначале Fib(1)
For i = 2 To N
fib_i = Fib_i_minus_1 + Fib_i_minus_2
Fib_i_minus_2 = Fib_i_minus_1
Fib_i_minus_1 = fib_i
Next i
Fib = fib_i
End If
End Function
Этой версии требуется порядка O(N) шагов для вычисления Fib(N). Это больше, чем один шаг, который требовался в предыдущей версии, но намного быстрее, чем O(Fib(N)) шагов в исходной версии алгоритма. На компьютере с процессором Pentium с тактовой частотой 90 МГц, исходному рекурсивному алгоритму потребовалось почти 52 секунды для вычисления Fib(32) = 2.178.309. Время вычисления Fib(1476) » 1,31E+308 при помощи нового алгоритма пренебрежимо мало. Программа Fibo4 использует этот метод для вычисления чисел Фибоначчи.
=====105
Устранение рекурсии
в общем случае
Функции факториала, наибольшего общего делителя, и BigAdd можно упростить устранением хвостовой рекурсии. Функцию, вычисляющую числа Фибоначчи, можно упростить, используя таблицу значений или переформулировав задачу с использованием подхода снизу вверх.
Некоторые рекурсивные алгоритмы настолько сложны, то применение этих методов затруднено или невозможно. Достаточно сложно было бы написать нерекурсивный алгоритм для построения кривых Гильберта или Серпинского с нуля. Другие рекурсивные алгоритмы более просты.
Ранее было показано, что алгоритм, который рисует кривые Гильберта или Серпинского, должен включать порядка O(N4
) шагов, так что исходные рекурсивные версии достаточно хороши. Они достигают почти максимальной возможной производительности при приемлемой глубине рекурсии.
Тем не менее, встречаются другие сложные алгоритмы, которые имеют высокую глубину вложенности рекурсии, но к которым неприменимо устранение хвостовой рекурсии. В этом случае, все еще возможно преобразование рекурсивного алгоритма в нерекурсивный.
Основной подход при этом заключается в том, чтобы рассмотреть порядок выполнения рекурсии на компьютере и затем попытаться сымитировать шаги, выполняемые компьютером. Затем новый алгоритм будет сам осуществлять «рекурсию» вместо того, чтобы всю работу выполнял компьютер.
Поскольку новый алгоритм выполняет практически те же шаги, что и компьютер, можно поинтересоваться, возрастет ли скорость вычислений. В Visual Basic это обычно не выполняется. Компьютер может выполнять задачи, которые требуются при рекурсии, быстрее, чем вы можете их имитировать. Тем не менее, оперирование этими деталями самостоятельно обеспечивает лучший контроль над выделением памяти под локальные переменные, и позволяет избежать глубокого уровня вложенности рекурсии.
Обычно, при вызове подпрограммы, система выполняет три вещи. Во‑первых, сохраняет данные, которые нужны ей для продолжения выполнения после завершения подпрограммы. Во‑вторых, она проводит подготовку к вызову подпрограммы и передает ей управление. В‑третьих, когда вызываемая процедура завершается, система восстанавливает данные, сохраненные на первом шаге, и передает управление назад в соответствующую точку программы. Если вы преобразуете рекурсивную процедуру в нерекурсивную, вам приходится выполнять эти три шага самостоятельно.
Рассмотрим следующую обобщенную рекурсивную процедуру:
Sub Subr(num)
<1 блок кода>
Subr(<параметры>)
<2 блок кода>
End Sub
Поскольку после рекурсивного шага есть еще операторы, вы не можете использовать устранение хвостовой рекурсии для этого алгоритма.
=====105
Вначале пометим первые строки в 1 и 2 блоках кода. Затем эти метки будут использоваться для определения места, с которого требуется продолжить выполнение при возврате из «рекурсии». Эти метки используются только для того, чтобы помочь вам понять, что делает алгоритм — они не являются частью кода Visual Basic. В этом примере метки будут выглядеть так:
Sub Subr(num)
1 <1 блок кода>
Subr(<параметры>)
2 <2 блок кода>
End Sub
Используем специальную метку «0» для обозначения конца «рекурсии». Теперь можно переписать процедуру без использования рекурсии, например, так:
Sub Subr(num)
Dim pc As Integer ' Определяет, где нужно продолжить рекурсию.
pc = 1 ' Начать сначала.
Do
Select Case pc
Case 1
<1 блок кода>
If (достигнуто условие остановки) Then
' Пропустить рекурсию и перейти к блоку 2.
pc = 2
Else
' Сохранить переменные, нужные после рекурсии.
' Сохранить pc = 2. Точка, с которой продолжится
' выполнение после возврата из "рекурсии".
' Установить переменные, нужные для рекурсии.
' Например, num = num - 1.
:
' Перейти к блоку 1 для начала рекурсии.
pc = 1
End If
Case 2 ' Выполнить 2 блок кода
<2 блок кода>
pc = 0
Case 0
If (это последняя рекурсия) Then Exit Do
' Иначе восстановить pc и другие переменные,
' сохраненные перед рекурсией.
End Select
Loop
End Sub
======106
Переменная pc, которая соответствует счетчику программы, сообщает процедуре, какой шаг она должна выполнить следующим. Например, при pc = 1, процедура должна выполнить 1 блок кода.
Когда процедура достигает условия остановки, она не выполняет рекурсию. Вместо этого, она присваивает pc значение 2, и продолжает выполнение 2 блока кода.
Если процедура не достигла условия остановки, она выполняет «рекурсию». Для этого она сохраняет значения всех локальных переменных, которые ей понадобятся позже после завершения «рекурсии». Она также сохраняет значение pc для участка кода, который она будет выполнять после завершения «рекурсии». В этом примере следующим выполняется 2 блок кода, поэтому она сохраняет 2 в качестве следующего значения pc. Самый простой способ сохранения значений локальных переменных и pc состоит в использовании стеков, подобных тем, которые описывались в 3 главе.
Реальный пример поможет вам понять эту схему. Рассмотрим слегка измененную версию функции факториала. В нем переписана только подпрограмма, которая возвращает свое значение при помощи переменной, а не функции, для упрощения работы.
Private Sub Factorial(num As Integer, value As Integer)
Dim partial As Integer
1 If num <= 1 Then
value = 1
Else
Factorial(num - 1, partial)
2 value = num * partial
End If
End Sub
После возврата процедуры из рекурсии, требуется узнать исходное значение переменной num, чтобы выполнить операцию умножения value = num * partial. Поскольку процедуре требуется доступ к значению num после возврата из рекурсии, она должна сохранять значение переменных pc и num до начала рекурсии.
Следующая процедура сохраняет эти значения в двух стеках на основе массивов. При подготовке к рекурсии, она проталкивает значения переменных num и pc в стеки. После завершения рекурсии, она выталкивает добавленные последними значения из стеков. Следующий код демонстрирует нерекурсивную версию подпрограммы вычисления факториала.
Private Sub Factorial(num As Integer, value As Integer)
ReDim num_stack(1 to 200) As Integer
ReDim pc_stack(1 to 200) As Integer
Dim stack_top As Integer ' Вершина стека.
Dim pc As Integer
pc = 1
Do
Select Case pc
Case 1
If num <= 1 Then ' Это условие остановки. value = 1
pc = 0 ' Конец рекурсии.
Else ' Рекурсия.
' Сохранить num и следующее значение pc.
stack_top = stack_top + 1
num_stack(stack_top) = num
pc_stack(stack_top) = 2 ' Возобновить с 2.
' Начать рекурсию.
num = num - 1
' Перенести блок управления в начало.
pc = 1
End If
Case 2
' value содержит результат последней
' рекурсии. Умножить его на num.
value = value * num
' "Возврат" из "рекурсии".
pc = 0
Case 0
' Конец "рекурсии".
' Если стеки пусты, исходный вызов
' подпрограммы завершен.
If stack_top <= 0 Then Exit Do
' Иначе восстановить локальные переменные и pc.
num = num_stack(stack_top)
pc = pc_stack(stack_top)
stack_top = stacK_top - 1
End Select
Loop
End Sub
Так же, как и устранение хвостовой рекурсии, этот метод имитирует поведение рекурсивного алгоритма. Процедура заменяет каждый рекурсивный вызов итерацией цикла While. Поскольку число шагов остается тем же самым, полное время выполнения алгоритма не изменяется.
Так же, как и в случае с устранением хвостовой рекурсии, этот метод устраняет глубокую рекурсию, которая может переполнить стек.
Нерекурсивное построение кривых Гильберта
Пример вычисления факториала из предыдущего раздела превратил простую, но неэффективную рекурсивную функцию вычисления факториала в сложную и неэффективную нерекурсивную процедуру. Намного лучший нерекурсивный алгоритм вычисления факториала, был представлен ранее в этой главе.
=======107-108
Может оказаться достаточно трудно найти простую нерекурсивную версию для более сложных алгоритмов. Методы из предыдущего раздела могут быть полезны, если алгоритм содержит многократную или косвенную рекурсию.
В качестве более интересного примера, рассмотрим нерекурсивный алгоритм построения кривых Гильберта.
Private Sub Hilbert(depth As Integer, Dx As Single, Dy As Single)
If depth > 1 Then Hilbert depth - 1, Dy, Dx
HilbertPicture.Line -Step(Dx, Dy)
If depth > 1 Then Hilbert depth - 1, Dx, Dy
HilbertPicture.Line -Step(Dy, Dx)
If depth > 1 Then Hilbert depth - 1, Dx, Dy
HilbertPicture.Line -Step(-Dx, -Dy)
If depth > 1 Then Hilbert depth - 1, -Dy, -Dx
End Sub
В следующем фрагменте кода первые строки каждого блока кода между рекурсивными шагами пронумерованы. Эти блоки включают первую строку процедуры и любые другие точки, в которых может понадобиться продолжить выполнение после возврата после «рекурсии».
Private Sub Hilbert(depth As Integer, Dx As Single, Dy As Single)
1 If depth > 1 Then Hilbert depth - 1, Dy, Dx
2 HilbertPicture.Line -Step(Dx, Dy)
If depth > 1 Then Hilbert depth - 1, Dx, Dy
3 HilbertPicture.Line -Step(Dy, Dx)
If depth > 1 Then Hilbert depth - 1, Dx, Dy
4 HilbertPicture.Line -Step(-Dx, -Dy)
If depth > 1 Then Hilbert depth - 1, -Dy, -Dx
End Sub
Каждый раз, когда нерекурсивная процедура начинает «рекурсию», она должна сохранять значения локальных переменных Depth, Dx, и Dy, а также следующее значение переменной pc. После возврата из «рекурсии», она восстанавливает эти значения. Для упрощения работы, можно написать пару вспомогательных процедур для заталкивания и выталкивания этих значений из нескольких стеков.
====109
Const STACK_SIZE =20
Dim DepthStack(0 To STACK_SIZE)
Dim DxStack(0 To STACK_SIZE)
Dim DyStack(0 To STACK_SIZE)
Dim PCStack(0 To STACK_SIZE)
Dim TopOfStack As Integer
Private Sub SaveValues (Depth As Integer, Dx As Single, _
Dy As Single, pc As Integer)
TopOfStack = TopOfStack + 1
DepthStack(TopOfStack) = Depth
DxStack(TopOfStack) = Dx
DyStack(TopOfStack) = Dy
PCStack(TopOfStack) =
pc
End Sub
Private Sub RestoreValues (Depth As Integer, Dx As Single, _
Dy As Single, pc As Integer)
Depth = DepthStack(TopOfStack)
Dx = DxStack(TopOfStack)
Dy = DyStack(TopOfStack)
pc = PCStack(TopOfStack)
TopOfStack = TopOfStack - 1
End Sub
Следующий код демонстрирует нерекурсивную версию подпрограммы Hilbert.
Private Sub Hilbert(Depth As Integer, Dx As Single, Dy As Single)
Dim pc As Integer
Dim tmp As Single
pc = 1
Do
Select Case pc
Case 1
If Depth > 1 Then ' Рекурсия.
' Сохранить текущие значения.
SaveValues Depth, Dx, Dy, 2
' Подготовиться к рекурсии.
Depth = Depth - 1
tmp = Dx
Dx = Dy
Dy = tmp
pc = 1 ' Перейти в начало рекурсивного вызова.
Else ' Условие остановки.
' Достаточно глубокий уровень рекурсии.
' Продолжить со 2 блоком кода.
pc = 2
End If
Case 2
HilbertPicture.Line -Step(Dx, Dy)
If Depth > 1 Then ' Рекурсия.
' Сохранить текущие значения.
SaveValues Depth, Dx, Dy, 3
' Подготовиться к рекурсии.
Depth = Depth - 1
' Dx и Dy остаются без изменений.
pc = 1 Перейти в начало рекурсивного вызова.
Else ' Условие остановки.
' Достаточно глубокий уровень рекурсии.
' Продолжить с 3 блоком кода.
pc = 3
End If
Case 3
HilbertPicture.Line -Step(Dy, Dx)
If Depth > 1 Then ' Рекурсия.
' Сохранить текущие значения.
SaveValues Depth, Dx, Dy, 4
' Подготовиться к рекурсии.
Depth = Depth - 1
' Dx и Dy остаются без изменений.
pc = 1 Перейти в начало рекурсивного вызова.
Else ' Условие остановки.
' Достаточно глубокий уровень рекурсии.
' Продолжить с 4 блоком кода.
pc = 4
End If
Case 4
HilbertPicture.Line -Step(-Dx, -Dy)
If Depth > 1 Then ' Рекурсия.
' Сохранить текущие значения.
SaveValues Depth, Dx, Dy, 0
' Подготовиться к рекурсии.
Depth = Depth - 1
tmp = Dx
Dx = -Dy
Dy = -tmp
pc = 1 Перейти в начало рекурсивного вызова.
Else ' Условие остановки.
' Достаточно глубокий уровень рекурсии.
' Конец этого рекурсивного вызова.
pc = 0
End If
Case 0 ' Возврат из рекурсии.
If TopOfStack > 0 Then
RestoreValues Depth, Dx, Dy, pc
Else
' Стек пуст. Выход.
Exit Do
End If
End Select
Loop
End Sub
======111
Время выполнения этого алгоритма может быть нелегко оценить непосредственно. Поскольку методы преобразования рекурсивных процедур в нерекурсивные не изменяют время выполнения алгоритма, эта процедура так же, как и предыдущая версия, имеет время выполнения порядка O(N4
).
Программа Hilbert2 демонстрирует нерекурсивный алгоритм построения кривых Гильберта. Задавайте вначале построение несложных кривых (меньше 6 порядка), пока не узнаете, насколько быстро будет выполняться эта программа на вашем компьютере.
Нерекурсивное построение кривых Серпинского
Приведенный ранее алгоритм построения кривых Серпинского включает в себя косвенную и множественную рекурсию. Так как алгоритм состоит из четырех подпрограмм, которые вызывают друг друга, то нельзя просто пронумеровать важные строки, как это можно было сделать в случае алгоритма построения кривых Гильберта. С этой проблемой можно справиться, слегка изменив алгоритм.
Рекурсивная версия этого алгоритма состоит из четырех подпрограмм SierpA, SierpB, SierpC и SierpD. Подпрограмма SierpA выглядит так:
Private Sub SierpA(Depth As Integer, Dist As Single)
If Depth = 1 Then
Line -Step(-Dist, Dist)
Line -Step(-Dist, 0)
Line -Step(-Dist, -Dist)
Else
SierpA Depth - 1, Dist
Line -Step(-Dist, Dist)
SierpB Depth - 1, Dist
Line -Step(-Dist, 0)
SierpD Depth - 1, Dist
Line -Step(-Dist, -Dist)
SierpA Depth - 1, Dist
End If
End Sub
Три другие процедуры аналогичны. Несложно объединить эти четыре процедуры в одну подпрограмму.
Private Sub SierpAll(Depth As Integer, Dist As Single, Func As Integer)
Select Case Punc
Case 1 ' SierpA
<код SierpA code>
Case 2 ' SierpB
<код SierpB>
Case 3 ' SierpC
<код SierpC>
Case 4 ' SierpD
<код SierpD>
End Select
End Sub
======112
Параметр Func сообщает подпрограмме, какой блок кода выполнять. Вызовы подпрограмм заменяются на вызовы процедуры SierpAll с соответствующим значением Func. Например, вызов подпрограммы SierpA заменяется на вызов процедуры SierpAll с параметром Func, равным 1. Таким же образом заменяются вызовы подпрограмм SierpB, SierpC и SierpD.
Полученная процедура рекурсивно вызывает себя в 16 различных точках. Эта процедура намного сложнее, чем процедура Hilbert, но в других отношениях она имеет такую же структуру и поэтому к ней можно применить те же методы устранения рекурсии.
Можно использовать первую цифру меток pc, для определения номера блока кода, который должен выполняться. Перенумеруем строки в коде SierpA числами 11, 12, 13 и т.д. Перенумеруем строки в коде SierpB числами 21, 22, 23 и т.д.
Теперь можно пронумеровать ключевые строки кода внутри каждого из блоков. Для кода подпрограммы SierpA ключевыми строками будут:
' Код SierpA.
11 If Depth = 1 Then
Line -Step(-Dist, Dist)
Line -Step(-Dist, 0)
Line -Step(-Dist, -Dist)
Else
SierpA Depth - 1, Dist
12 Line -Step(-Dist, Dist)
SierpB Depth - 1, Dist
13 Line -Step(-Dist, 0)
SierpD Depth - 1, Dist
14 Line -Step(-Dist, -Dist)
SierpA Depth - 1, Dist
End If
Типичная «рекурсия» из кода подпрограммы SierpA в код подпрограммы SierpB выглядит так:
SaveValues Depth, 13 ' Продолжить с шага 13 после завершения.
Depth = Depth - 1
pc = 21 ' Передать управление на начало кода SierpB.
======113
Метка 0 зарезервирована для обозначения выхода из «рекурсии». Следующий код демонстрирует нерекурсивную версию процедуры SierpAll. Код для подпрограмм SierpB, SierpC, и SierpD аналогичен коду для SierpA, поэтому он опущен.
Private Sub SierpAll(Depth As Integer, pc As Integer)
Do
Select Case pc
' **********
' * SierpA *
' **********
Case 11
If Depth <= 1 Then
SierpPicture.Line -Step(-Dist, Dist)
SierpPicture.Line -Step(-Dist, 0)
SierpPicture.Line -Step(-Dist, -Dist)
pc = 0
Else
SaveValues Depth, 12 ' Выполнить SierpA
Depth = Depth - 1
pc = 11
End If
Case 12
SierpPicture.Line -Step(-Dist, Dist)
SaveValues Depth, 13 ' Выполнить SierpB
Depth = Depth - 1
pc = 21
Case 13
SierpPicture.Line -Step(-Dist, 0)
SaveValues Depth, 14 ' Выполнить SierpD
Depth = Depth - 1
pc = 41
Case 14
SierpPicture.Line -Step(-Dist, -Dist)
SaveValues Depth, 0 ' Выполнить SierpA
Depth = Depth - 1
pc = 11
' Код для SierpB, SierpC и SierpD опущен.
:
' *******************
' * Конец рекурсии. *
' *******************
Case 0
If TopOfStack <= 0 Then Exit Do
RestoreValues Depth, pc
End Select
Loop
End Sub
=====114
Так же, как и в случае с алгоритмом построения кривых Гильберта, преобразование алгоритма построения кривых Серпинского в нерекурсивную форму не изменяет время выполнения алгоритма. Новая версия алгоритма имитирует рекурсивный алгоритм, который выполняется за время порядка O(N4
), поэтому порядок времени выполнения новой версии также составляет O(N4
). Она выполняется немного медленнее, чем рекурсивная версия, и является намного более сложной.
Нерекурсивная версия также могла бы рисовать кривые более высоких порядков, но построение кривых Серпинского с порядком выше 8 или 9 непрактично. Все эти факты определяют преимущество рекурсивного алгоритма.
Программа Sierp2 использует этот нерекурсивный алгоритм для построения кривых Серпинского. Задавайте вначале построение несложных кривых (меньше 6 порядка), пока не определите, насколько быстро будет выполняться эта программа на вашем компьютере.
Резюме
При применении рекурсивных алгоритмов следует избегать трех основных опасностей:
· Бесконечной рекурсии.
Убедитесь, что условия остановки вашего алгоритма прекращают все рекурсивные пути.
· Глубокой рекурсии.
Если алгоритм достигает слишком большой глубины рекурсии, он может привести к переполнению стека. Минимизируйте использование стека за счет уменьшения числа определяемых в процедуре переменных, использования глобальных переменных, или определения переменных как статических. Если процедура все равно приводит к переполнению стека, перепишите алгоритм в нерекурсивном виде, используя устранение хвостовой рекурсии.
· Ненужной рекурсии.
Обычно это происходит, если алгоритм типа рекурсивного вычисления чисел Фибоначчи, многократно вычисляет одни и те же промежуточные значения. Если вы столкнетесь с этой проблемой в своей программе, попробуйте переписать алгоритм, используя подход снизу вверх. Если алгоритм не позволяет прибегнуть к подходу снизу вверх, создайте таблицу промежуточных значений.
Применение рекурсии не всегда неправильно. Многие задачи являются рекурсивными по своей природе. В этих случаях рекурсивный алгоритм будет проще понять, отлаживать и поддерживать, чем его нерекурсивную версию. В качестве примера можно привести алгоритмы построения кривых Гильберта и Серпинского. Оба по своей природе рекурсивны и намного понятнее, чем их нерекурсивные модификации. При этом рекурсивные версии даже выполняются немного быстрее.
Если у вас есть алгоритм, который рекурсивен по своей природе, но вы не уверены, будет ли рекурсивная версия лишена проблем, запишите алгоритм в рекурсивном виде и выясните это. Может быть, проблемы не возникнут. Если же они возникнут, то, возможно, окажется проще преобразовать эту рекурсивную версию в нерекурсивную, чем написать нерекурсивную версию с нуля.
======115
Глава 6. Деревья
Во 2 главе приводились способы создания динамических связных структур, таких, как изображенные на рис 6.1. Такие структуры данных называются графами
(graphs). В 12 главе алгоритмы работы с графами и сетями обсуждаются более подробно. В этой главе рассматриваются графы особого типа, которые называются деревьями
(trees).
В начале этой главы приводится определение дерева и разъясняются некоторые термины. Затем в ней описываются некоторые методы реализации деревьев различных типов на языке Visual Basic. В последующих разделах рассматривается несколько алгоритмов обхода для деревьев, записанных в этих разных форматах. Глава заканчивается обсуждением некоторых специальных типов деревьев, включая упорядоченные деревья (sorted trees), деревья со ссылками
[RV7]
(threaded trees), боры
[RV8]
(tries) и квадр
одеревья[RV9]
(quadtrees).
В 7 и 8 главе обсуждаются более сложные темы — сбалансированные деревья и деревья решений.
@Рис. 6.1. Графы
=====117
Определения
Можно рекурсивно определить дерево как:
* Пустую структуру или
* Узел
, называемый корнем
(node) дерева, связанный с нулем или более поддеревьев
(subtrees).
На рис. 6.2 показано дерево. Корневой узел A связан с тремя поддеревьями
, начинающимися в узлах B, C и D. Эти узлы связаны с поддеревьями с корнями E, F и G, и эти узлы, в свою очередь связаны с поддеревьями с корнями H, I и J.
Терминология деревьев представляет собой смесь терминов, позаимствованных из ботаники и генеалогии. Из ботаники пришли термины, такие как узел
(node), определяемый как точка, в которой может начинаться ветвление, ветвь
(branch), определяемая как связь между двумя узлами, и лист
(leaf) — узел, из которого не выходят другие ветви.
Из генеалогии пришли термины, которые описывают родство. Если один узел находится непосредственно над другим, верхний узел называется родителем
(parent), а нижний дочерним узлом
(child). Узлы на пути вверх от узла до корня называются предками
(ancestors) узла. Например, на рис. 6.2 узлы E, B и A — это все предки узла I.
Узлы, которые находятся ниже какого‑либо узла дерева, называются потомками
(descendants) этого узла. Узлы E, H, I и J на рис. 6.2 — это все потомки узла B.
Иногда узлы, имеющие одного родителя, называются узлами‑братьями
или узлами‑сестрами
(sibling nodes).
Существует еще несколько терминов, которые не пришли из ботаники или генеалогии. Внутренним узлом
(internal node) называется узел, который не является листом. Порядком
узла (node degree) называется число его дочерних узлов. Порядок дерева — это наибольший порядок его узлов. Дерево на рис. 6.2 — третьего порядка, потому что узлы с наибольшим порядком, узлы A и E, имеют по 3 дочерних узла.
Глубина
(depth) дерева равна числу его предков плюс 1. На рис. 6.2 глубина узла E равна 3. Глубиной
(depth) или высотой
(height) дерева называется наибольшая глубина его узлов. Глубина дерева на рис. 6.2 равна 4.
Дерево 2 порядка называется двоичным
деревом (binary tree). Деревья третьего порядка иногда называются троичными
[RV10]
(ternary) деревьями. Более того, деревья порядка N иногда называются N‑ичными (N‑ary) деревьями.
@Рис. 6.2. Дерево
======118
Дерево порядка 12, например, называется 12‑ричным (12‑ary) деревом, а не додекадеричным (dodecadary) деревом. Некоторые избегают употребления лишних терминов и просто говорят «деревья 12 порядка».
Рис. 6.3 иллюстрирует некоторые из этих терминов.
Представления деревьев
Теперь, когда вы познакомились с терминологией, вы можете представить себе способы реализации деревьев на языке Visual Basic. Один из способов — создать отдельный класс для каждого типа узлов дерева. Для построения дерева, показанного на рис. 6.3, вы можете определить структуры данных для узлов, которые имеют ноль, один, два или три дочерних узла. Этот подход был бы довольно неудобным. Кроме того, что нужно было бы управлять четырьмя различными классами, в классах потребовались бы какие‑то флаги, которые бы указывали тип дочерних узлов. Алгоритмы, которые оперировали бы этими деревьями, должны были бы уметь работать со всем различными типами деревьев.
В качестве простого решения можно определить один тип узлов, который содержит достаточное число указателей на потомков для представления всех нужных узлов. Я называю это методом полных узлов, так как некоторые узлы могут быть большего размера, чем необходимо на самом деле.
Дерево, изображенное на рис 6.3, имеет 3 порядок. Для построения этого дерева с использованием метода полных узлов (fat nodes), требуется определить единственный класс, который содержит указатели на три дочерних узла. Следующий код демонстрирует, как эти указатели могут быть определены в классе TernaryNode.
Public LeftChild As TernaryNode
Public MiddleChild As TernaryNode
Public RightChild As TernaryNode
@Рис. 6.3. Части троичного (3 порядка) дерева
======119
При помощи этого класса можно построить дерево, используя записи Child узлов, для связи их друг с другом. Следующий фрагмент кода строит два верхних уровня дерева, показанного на рис. 6.3.
Dim A As New TernaryNode
Dim B As New TernaryNode
Dim C As New TernaryNode
Dim D As New TernaryNode
:
Set A.LeftChild = B
Set A.MiddleChild = C
Set A.RightChild = D
[RV11]
:
Программа Binary, показанная на рис. 6.4, использует метод полных узлов для работы с двоичным деревом. Когда вы выбираете узел с помощью мыши, программа подсвечивает кнопку Add
Left
(Добавить слева), если узел не имеет левого потомка и кнопку Add
Right
(Добавить справа), если узел не имеет правого потомка. Кнопка Remove
(Удалить) разблокируется, если выбранный узел не является корневым. Если вы нажмете на кнопку Remove
, программа удалит узел и всех его потомков.
Поскольку программа позволяет создать узлы с нулевым числом, одним или двумя дочерними узлами, она использует представление в виде полных узлов. Вы можете легко распространить этот пример на деревья более высоких порядков.
Если порядки узлов в дереве сильно различаются, метод полных узлов приводит к напрасному расходованию большого количества памяти. Чтобы построить дерево, показанное на рис. 6.5 с использованием полных узлов, вам понадобится определить в каждом узле по шесть указателей, хотя только в одном узле все шесть из них используются. Это представление дерева потребует 72 указателей на дочерние узлы, из которых в действительности будет использоваться только 11.
@Рис. 6.4. Программа Binary
======120
Некоторые программы добавляют и удаляют узлы, изменяя порядок узлов в процессе выполнения. В этом случае метод полных узлов не будет работать. Такие динамически изменяющиеся деревья можно представить, поместив дочерние узлы в списки. Есть несколько подходов, которые можно использовать для создания списков дочерних узлов. Наиболее очевидный подход заключается в создании в классе узла открытого (public) массива дочерних узлов, как показано в следующем коде. Тогда для оперирования дочерними узлами можно использовать методы работы со списками на основе массивов.
Public Children() As TreeNode
Public NumChildren As Integer
К сожалению, Visual Basic не позволяет определять открытые массивы в классах. Это ограничение можно обойти, определив массив как закрытый (private), и оперируя элементами массива при помощи процедур свойств.
Private m_Chirdren() As TreeNode
Private m_NumChildren As Integer
Property Get Children(Index As Integer) As TreeNode
Set Children = m_Children(Index)
End Property
Property Get NumChildren() As Integer
NumChildren = m_NumChildren()
End Property
Второй подход состоит в том, чтобы сохранять ссылки на дочерние узлы в связных списках. Каждый узел содержит ссылку на первого потомка. Он также содержит ссылку на следующего потомка на том же уровне дерева. Эти связи образуют связный список узлов одного уровня, поэтому я называю этот метод представлением в виде связного списка узлов одного уровня
(linked sibling). За информацией о связных списках вы можете обратиться ко 2 главе.
@Рис. 6.5. Дерево с узлами различных порядков
======121
Третий подход заключается в том, чтобы определить в классе узла открытую коллекцию, которая будет содержать дочерние узлы:
Public Children As New Collection
Это решение позволяет использовать все преимущества коллекций. Программа может при этом легко добавлять и удалять элементы из коллекции, присваивать дочерним узлам ключи, и использовать оператор For Each для выполнения циклов со ссылками на дочерние узлы.
Программа NAry, показанная на рис. 6.6, использует коллекцию дочерних узлов для работы с деревьями порядка N в основном таким же образом, как программа Binary работает с двоичными деревьями. В этой программе, тем не менее, можно добавлять к каждому узлу любое количество потомков.
Для того чтобы избежать чрезмерного усложнения пользовательского интерфейса, программа NAry всегда добавляет новые узлы в конец коллекции дочерних узлов родителя. Вы можете модифицировать эту программу, реализовав вставку дочерних узлов в середину коллекции, но пользовательский интерфейс при этом усложнится.
Представление нумерацией связей (forward star), впервые упомянутое в 4 главе, позволяет компактно представить деревья, графы и сети при помощи массива. Для представления дерева нумерацией связей, в массиве FirstLink записывается индекс для первых ветвей, выходящих из каждого узла. В другой массив, ToNode, заносятся узлы, к которым ведет ветвь.
Сигнальная метка в конце массива FirstLink указывает на точку сразу после последнего элемента массива ToNode. Это позволяет легко определить, какие ветви выходят из каждого узла. Ветви, выходящие из узла I, находятся под номерами от FirstLink(I) до FirstLink(I+1)-1. Для вывода связей, выходящих из узла I, можно использовать следующий код:
For link = FirstLink(I) To FirstLink(I + 1) - 1
Print Format$(I) & " -> " & Format$(ToNode(link))
Next link
@Рис. 6.6. Программа Nary
=======123
На рис. 6.7 показано дерево и его представление нумерацией связей. Связи, выходящие из 3 узла (обозначенного буквой D) это связи от FirstLink(3) до FirstLink(4)-1. Значение FirstLink(3) равно 9, а FirstLink(4) = 11, поэтому это связи с номерами 9 и 10. Записи ToNode для этих связей равны ToNode(9) = 10 и ToNode(10) = 11, поэтому узлы 10 и 11 будут дочерними для 3 узла. Это узлы, обозначенные буквами K и L. Это означает, что связи, покидающие узел D, ведут к узлам K и L.
Представление дерева нумерацией связей компактно и основано на массиве, поэтому деревья, представленные таким образом, можно легко считывать из файлов и записывать в файл. Операции для работы с массивами, которые используются при таком представлении, также могут быть быстрее, чем операции, нужные для использования узлов, содержащих коллекции дочерних узлов.
По этим причинам большая часть литературы по сетевым алгоритмам использует представление нумерацией связей. Например, многие статьи, касающиеся вычисления кратчайшего пути, предполагают, что данные находятся в подобном формате. Если вам когда‑либо придется изучать эти алгоритмы в журналах, таких как “Management Science” или “Operations Research”, вам необходимо разобраться в этом представлении.
@Рис. 6.7. Дерево и его представление нумерацией связей
=======123
Используя представление нумерацией связей, можно быстро найти связи, выходящие из определенного узла. С другой стороны, очень сложно изменять структуру данных, представленных в таком виде. Чтобы добавить к узлу A на рис. 6.7 еще одного потомка, придется изменить почти все элементы в обоих массивах FirstLink и ToNode. Во‑первых, каждый элемент в массиве ToNode нужно сдвинуть на одну позицию вправо, чтобы освободить место под новый элемент. Затем, нужно вставить новую запись в массив ToNode, которая указывает на новый узел. И, наконец, нужно обойти массив ToNode, обновив каждый элемент, чтобы он указывал на новое положение соответствующей записи ToNode. Поскольку все записи в массиве ToNode сдвинулись на одну позицию вправо, чтобы освободить место для новой связи, потребуется добавить единицу ко всем затронутым записям FirstLink.
На рис. 6.8 показано дерево после добавления нового узла. Записи, которые изменились, закрашены серым цветом.
Удаление узла из начала представления нумерацией связей так же сложно, как и вставка узла. Если удаляемый узел имеет потомков, процесс занимает еще больше времени, поскольку придется удалять и все дочерние узлы.
Относительно простой класс с открытой коллекцией дочерних узлов лучше подходит, если нужно часто модифицировать дерево. Обычно проще понимать и отлаживать процедуры, которые оперируют деревьями в этом представлении. С другой стороны, представление нумерацией связей иногда обеспечивает более высокую производительность для сложных алгоритмов работы с деревьями. Оно также являются стандартной структурой данных, обсуждаемой в литературе, поэтому вам следует ознакомиться с ним, если вы хотите продолжить изучение алгоритмов работы с сетями и деревьями.
@Рис. 6.8. Вставка узла в дерево, представленное нумерацией связей
=======124
Программа Fstar использует представление нумерацией связей для работы с деревом, имеющим узлы разного порядка. Она аналогична программе NAry, за исключением того, что она использует представление на основе массива, а не коллекций.
Если вы посмотрите на код программы Fstar, вы увидите, насколько сложно в ней добавлять и удалять узлы. Следующий код демонстрирует удаление узла из дерева.
Sub FreeNodeAndChildren(ByVal parent As Integer, _
ByVal link As Integer, ByVal node As Integer)
' Recursively remove the node's children.
Do While FirstLink(node) < FirstLink(node + 1)
FreeNodeAndChildren node, FirstLink(node), _
ToNode(FirstLink(node))
Loop
' Удалить связь.
RemoveLink parent, link
' Удалить сам узел.
RemoveNode node
End Sub
Sub RemoveLink(node As Integer, link As Integer)
Dim i As Integer
' Обновить записи массива FirstLink.
For i = node + 1 To NumNodes
FirstLink(i) = FirstLink(i) - 1
Next i
' Сдвинуть массив ToNode чтобы заполнить пустую ячейку.
For i = link + 1 To NumLinks - 1
ToNode(i - 1) = ToNode(i)
Next i
' Удалить лишний элемент из ToNode.
NumLinks = NumLinks - 1
If NumLinks > 0 Then ReDim Preserve ToNode(0 To NumLinks - 1)
End Sub
Sub RemoveNode(node As Integer)
Dim i As Integer
' Сдвинуть элементы массива FirstLink, чтобы заполнить
' пустую ячейку.
For i = node + 1 To NumNodes
FirstLink(i - 1) = FirstLink(i)
Next i
' Сдвинуть элементы массива NodeCaption.
For i = node + 1 To NumNodes - 1
NodeCaption(i - 1) = NodeCaption(i)
Next i
' Обновить записи массива ToNode.
For i = 0 To NumLinks - 1
If ToNode(i) >= node Then ToNode(i) = ToNode(i) - 1
Next i
' Удалить лишнюю запись массива FirstLink.
NumNodes = NumNodes - 1
ReDim Preserve FirstLink(0 To NumNodes)
ReDim Preserve NodeCaption(0 To NumNodes - 1)
Unload FStarForm.NodeLabel(NumNodes)
End Sub
Это намного сложнее, чем соответствующий код в программе NAry:
Public Function DeleteDescendant(target As NAryNode) As Boolean
Dim i As Integer
Dim child As NAryNode
' Является ли узел дочерним узлом.
For i = 1 To Children.Count
If Children.Item(i) Is target Then
Children.Remove i
DeleteDescendant = True
Exit Function
End If
Next i
' Если это не дочерний узел, рекурсивно
' проверить остальных потомков.
For Each child In Children
If child.DeleteDescendant(target) Then
DeleteDescendant = True
Exit Function
End If
Next child
End Function
=======125-126
Полное дерево
(complete tree) содержит максимально возможное число узлов на каждом уровне, кроме нижнего. Все узлы на нижнем уровне сдвигаются влево. Например, каждый уровень троичного дерева содержит в точности три дочерних узла, за исключением листьев, и возможно, одного узла на один уровень выше листьев. На рис. 6.9 показаны полные двоичное и троичное деревья.
Полные деревья обладают рядом важных свойств. Во‑первых, это кратчайшие деревья, которые могут содержать заданное число узлов. Например, двоичное дерево на рис. 6.9 — одно из самых коротких двоичных деревьев с шестью узлами. Существуют другие двоичные деревья с шестью узлами, но ни одно из них не имеет высоту меньше 3.
Во‑вторых, если полное дерево порядка D состоит из N узлов, оно будет иметь высоту порядка O(logD
(N)) и O(N) листьев. Эти факты имеют большое значение, поскольку многие алгоритмы обходят деревья сверху вниз или в противоположном направлении. Время выполнения алгоритма, выполняющего одно из этих действий, будет порядка O(N).
Чрезвычайно полезное свойство полных деревьев заключается в том, что они могут быть очень компактно записаны в массивах. Если пронумеровать узлы в «естественном» порядке, сверху вниз и слева направо, то можно поместить элементы дерева в массив в этом порядке. На рис. 6.10 показано, как можно записать полное дерево в массиве.
Корень дерева находится в нулевой позиции. Дочерние узлы узла I находятся на позициях 2 * I + 1 и 2 * I + 2. Например, на рис. 6.10, потомки узла в позиции 1 (узла B), находятся в позициях 3 и 4 (узлы D и E).
Легко обобщить это представление на полные деревья более высокого порядка D. Корень дерева также будет находиться в позиции 0. Потомки узла I занимают позиции от D * I + 1 до D * I +(I - 1). Например, в троичном дереве, потомки узла в позиции 2, будут занимать позиции 7, 8 и 9. На рис. 6.11 показано полное троичное дерево и его представление в виде массива.
@Рис. 6.9. Полные деревья
=========127
@Рис. 6.10. Запись полного двоичного дерева в массиве
При использовании этого метода записи дерева в массиве легко и просто получить доступ к потомкам узла. При этом не требуется дополнительной памяти для коллекций дочерних узлов или меток в случае представления нумерацией связей. Чтение и запись дерева в файл сводится просто к сохранению или чтению массива. Поэтому это несомненно лучшее представление дерева для программ, которые сохраняют данные в полных деревьях.
Обход дерева
Последовательное обращение ко всем узлам называется обходом
(traversing) дерева. Существует несколько последовательностей обхода узлов двоичного дерева. Три простейших из них — прямой (preorder), симметричный (inorder), и обратный (postorder)обход, описываются простыми рекурсивными алгоритмами. Для каждого заданного узла алгоритмы выполняют следующие действия:
Прямой обход:
1. Обращение к узлу.
2. Рекурсивный прямой обход левого поддерева.
3. Рекурсивный прямой обход правого поддерева.
Симметричный обход:
1. Рекурсивный симметричный обход левого поддерева.
2. Обращение к узлу.
3. Рекурсивный симметричный обход левого поддерева.
Обратный обход:
1. Рекурсивный обратный обход левого поддерева.
2. Рекурсивный обратный обход правого поддерева.
3. Обращение к узлу.
@Рис. 6.11. Запись полного троичного дерева в массиве
=======128
Все три порядка обхода являются примерами обхода в глубину
(depth‑first traversal). Обход начинается с прохода вглубь дерева до тех пор, пока алгоритм не достигнет листьев. При возврате из рекурсивного вызова подпрограммы, алгоритм перемещается по дереву в обратном направлении, просматривая пути, которые он пропустил при движении вниз.
Обход в глубину удобно использовать в алгоритмах, которые должны вначале обойти листья. Например, метод ветвей и границ, описанный в 8 главе, как можно быстрее пытается достичь листьев. Он использует результаты, полученные на уровне листьев для уменьшения времени поиска в оставшейся части дерева.
Четвертый метод перебора узлов дерева — это обход в ширину
(breadth‑first traversal). Этот метод обращается ко всем узлам на заданном уровне дерева, перед тем, как перейти к более глубоким уровням. Алгоритмы, которые проводят полный поиск по дереву, часто используют обход в ширину. Алгоритм поиска кратчайшего маршрута с установкой меток, описанный в 12 главе, представляет собой обход в ширину, дерева кратчайшего пути в сети.
На рис. 6.12 показано небольшое дерево и порядок, в котором перебираются узлы во время прямого, симметричного и обратного обхода, а также обхода в ширину.
@Рис. 6.12. Обходы дерева
======129
Для деревьев больше, чем 2 порядка, все еще имеет смысл определять прямой, обратный обход, и обход в ширину. Симметричный обход определяется неоднозначно, так как обращение к каждому узлу может происходить после обращения к одному, двум, или трем его потомкам. Например, в троичном дереве, обращение к узлу может происходить после обращения к его первому потомку или после обращения ко второму потомку.
Детали реализации обхода зависят от того, как записано дерево. Для обхода дерева на основе коллекций дочерних узлов, программа должна использовать несколько другой алгоритм, чем для обхода дерева, записанного при помощи нумерации связей.
Особенно просто обходить полные деревья, записанные в массиве. Алгоритм обхода в ширину, который требует дополнительных усилий в других представлениях деревьев, для представлений на основе массива тривиален, так как узлы записаны в таком же порядке.
Следующий код демонстрирует алгоритмы обхода полного двоичного дерева:
Dim NodeLabel() As String ' Запись меток узлов.
Dim NumNodes As Integer
' Инициализация дерева.
:
Private Sub Preorder(node As Integer)
Print NodeLabel (node) ' Узел.
' Первый потомок.
If node * 2 + 1 <= NumNodes Then Preorder node * 2 + 1
' Второй потомок.
If node * 2 + 2 <= NumNodes Then Preorder node * 2 + 2
End Sub
Private Sub Inorder(node As Integer)
' Первый потомок.
If node * 2 + 1 <= NumNodes Then Inorder node * 2 + 1
Print NodeLabel (node) ' Узел.
' Второй потомок.
If node * 2 + 2 <= NumNodes Then Inorder node * 2 + 2
End Sub
Private Sub Postorder(node As Integer)
' Первый потомок.
If node * 2 + 1 <= NumNodes Then Postorder node * 2 + 1
' Второй потомок.
If node * 2 + 2 <= NumNodes Then Postorder node * 2 + 2
Print NodeLabel (node) ' Узел.
End Sub
Private Sub BreadthFirstPrint()
Dim i As Integer
For i = 0 To NumNodes
Print NodeLabel(i)
Next i
End Sub
======130
Программа Trav1 демонстрирует прямой, симметричный и обратный обходы, а также обход в ширину для двоичных деревьев на основе массивов. Введите высоту дерева, и нажмите на кнопку Create
Tree
(Создать дерево) для создания полного двоичного дерева. Затем нажмите на кнопки Preorder
(Прямой обход), Inorder
(Симметричный обход), Postorder
(Обратный обход) или Breadth-
First
(Обход в ширину) для того, чтобы увидеть, как происходит обход дерева. На рис. 6.13 показано окно программы, в котором отображается прямой обход дерева 4 порядка.
Прямой и обратный обход для других представлений дерева осуществляется так же просто. Следующий код демонстрирует процедуру прямого обхода для дерева, записанного в формате с нумерацией связей:
Private Sub PreorderPrint(node As Integer)
Dim link As Integer
Print NodeLabel(node)
For link = FirstLink(node) To FirstLink(node + 1) - 1
PreorderPrint ToNode (link)
Next link
End Sub
@Рис. 6.13. Пример прямого обхода дерева в программе Trav1
=======131
Как упоминалось ранее, сложно дать определение симметричного обхода для деревьев больше 2 порядка. Тем не менее, после того, как вы поймете, что имеется в виду под симметричным обходом, реализовать его достаточно просто. Следующий код демонстрирует процедуру симметричного обхода, которая обращается к половине потомков узла (с округлением в большую сторону), затем к самому узлу, а потом — к остальным потомкам.
Private Sub InorderPrint(node As Integer)
Dim mid_link As Integer
Dim link As Integer
' Найти средний дочерний узел.
mid_link - (FirstLink(node + 1) - 1 + FirstLink(node)) \ 2
' Обход первой группы потомков.
For link = FirstLink(node) To mid_link
InorderPrint ToNode(link)
Next link
' Обращение к узлу.
Print NodeLabel(node)
' Обход второй группы потомков.
For link = mid_link + 1 To FirstLink(node + 1) - 1
InorderPrint ToNode(link)
Next link
End Sub
Для полных деревьев, записанных в массиве, узлы уже находятся в порядке обхода в ширину. Поэтому обход в ширину для этих типов деревьев реализуется просто, тогда как для других представлений реализовать его несколько сложнее.
Для обхода деревьев других типов можно использовать очередь для хранения узлов, которые еще не были обойдены. Вначале поместим в очередь корневой узел. После обращения к узлу, он удаляется из начала очереди, а его потомки помещаются в ее конец. Процесс повторяется до тех пор, пока очередь не опустеет. Следующий код демонстрирует процедуру обхода в ширину для дерева, которое использует узлы с коллекциями потомков:
Dim Root As TreeNode
' Инициализация дерева.
:
Private Sub BreadthFirstPrint(}
Dim queue As New Collection ' Очередь на основе коллекций.
Dim node As TreeNode
Dim child As TreeNode
' Начать с корня дерева в очереди.
queue.Add Root
' Многократная обработка первого элемента
' в очереди, пока очередь не опустеет.
Do While queue.Count > 0
node = queue.Item(1)
queue.Remove 1
' Обращение к узлу.
Print NodeLabel(node)
' Поместить в очередь потомков узла.
For Each child In node.Children
queue.Add child
Next child
Loop
End Sub
=====132
Программа Trav2 демонстрирует обход деревьев, использующих коллекции дочерних узлов. Программа является объединением программ Nary, которая оперирует деревьями порядка N, и программы Trav1, которая демонстрирует обходы деревьев.
Выберите узел, и нажмите на кнопку Add
Child
(Добавить дочерний узел), чтобы добавить к узлу потомка. Нажмите на кнопки Preorder
, Inorder
, Postorder
или Breadth
First
, чтобы увидеть примеры соответствующих обходов. На рис. 6.14 показана программа Trav2, которая отображает обратный обход.
Упорядоченные деревья
Двоичные деревья часто являются естественным способом представления и обработки данных в компьютерных программах. Поскольку многие компьютерные операции являются двоичными, они естественно преобразуются в операции с двоичными деревьями. Например, можно преобразовать двоичное отношение «меньше» в двоичное дерево. Если использовать внутренние узлы дерева для обозначения того, что «левый потомок меньше правого» вы можете использовать двоичное дерево для записи упорядоченного списка. На рис. 6.15 показано двоичное дерево, содержащее упорядоченный список с числами 1, 2, 4, 6, 7, 9.
@Рис. 6.14. Пример обратного обхода дерева в программе Trav2
======133
@Рис. 6.15. Упорядоченный список: 1, 2, 4, 6, 7, 9.
Алгоритм вставки нового элемента в дерево такого типа достаточно прост. Начнем с корневого узла. По очереди сравним значения всех узлов со значением нового элемента. Если значение нового элемента меньше или равно значению узла, перейдем вниз по левой ветви дерева. Если новое значение больше, чем значение узла, перейдем вниз по правой ветви. Когда этот процесс дойдет до листа, элемент помещается в эту точку.
Чтобы поместить значение 8 в дерево, показанное на рис. 6.15, мы начинаем с корня, который имеет значение 4. Поскольку 8 больше, чем 4, переходим по правой ветви к узлу 9. Поскольку 8 меньше 9, переходим затем по левой ветви к узлу 7. Поскольку 8 больше 7, снова пытаемся пойти по правой ветви, но у этого узла нет правого потомка. Поэтому новый элемент вставляется в этой точке, и получается дерево, показанное на рис. 6.16.
Следующий код добавляет новое значение ниже узла в упорядоченном дереве. Программа начинает вставку с корня, вызывая процедуру InsertItem Root, new_value.
Private Sub InsertItem(node As SortNode, new_value As Integer)
Dim child As SortNode
If node Is Nothing Then
' Мы дошли до листа.
' Вставить элемент здесь.
Set node = New SortNode
node.Value = new_value
MaxBox = MaxBox + 1
Load NodeLabel(MaxBox)
Set node.Box = NodeLabel(MaxBox)
With NodeLabel(MaxBox)
.Caption = Format$(new_value)
.Visible = True
End With
ElseIf new_value <= node.Value Then
' Перейти по левой ветви.
Set child = node.LeftChild
InsertItem child, new_value
Set node.LeftChild = child
Else
' Перейти по правой ветви.
Set child = node.RightChild
InsertItem child, new_value
Set node.RightChild = child
End If
End Sub
Когда эта процедура достигает конца дерева, происходит нечто совсем неочевидное. В Visual Basic, когда вы передаете параметр подпрограмме, этот параметр передается по ссылке
, если вы не используете зарезервированное слово ByVal. Это означает, что подпрограмма работает с той же копией параметра, которую использует вызывающая процедура. Если подпрограмма изменяет значение параметра, значение в вызывающей процедуре также изменяется.
Когда процедура InsertItem рекурсивно вызывает сама себя, она передает указатель на дочерний узел в дереве. Например, в следующих операторах процедура передает указатель на правого потомка узла в качестве параметра узла процедуры InsertItem. Если вызываемая процедура изменяет значение параметра узла, указатель на потомка также автоматически обновляется в вызывающей процедуре. Затем в последней строке кода значение правого потомка устанавливается равным новому значению, так что созданный новый узел добавляется к дереву.
Set child = node.RightChild
Insertltem child, new_value
Set node.RightChild = child
Удаление элемента из упорядоченного дерева немного сложнее, чем его вставка. После удаления элемента, программе может понадобиться переупорядочить другие узлы, чтобы соотношение «меньше» продолжало выполняться для всего дерева. При этом нужно рассмотреть несколько случаев.
=====134-135
@Рис. 6.17. Удаление узла с единственным потомком
Во‑первых, если у удаляемого узла нет потомков, вы можете просто убрать его из дерева, так как порядок оставшихся узлов при этом не изменится.
Во‑вторых, если у узла всего один дочерний узел, вы можете поместить его на место удаленного узла. Порядок остальных потомков удаленного узла останется неизменным, поскольку они являются также потомками и дочернего узла. На рис. 6.17 показано дерево, из которого удаляется узел 4, который имеет всего один дочерний узел.
Если удаляемый узел имеет два дочерних, то не обязательно один из них займет место удаленного узла. Если потомки узла также имеют по два дочерних узла, то все потомки не смогут занять место удаленного узла. Удаленный узел имеет одного лишнего потомка, и дочерний узел, который вы хотели бы поместить на его место, также имеет двух потомков, так что на узел пришлось бы три потомка.
Чтобы решить эту проблему, удаленный узел заменяется самым правым узлом из левой ветви. Другими словами, нужно сдвинуться на один шаг вниз по левой ветви, выходившей из удаленного узла. Затем нужно двигаться по правым ветвям вниз до тех пор, пока не найдется узел, который не имеет правой ветви. Это самый правый узел на ветви слева от удаляемого узла. В дереве, показанном слева на рис. 6.18, узел 3 является самым правым узлом в левой от узла 4 ветви. Можно заменить узел 4 листом 3, сохранив при этом порядок дерева.
@Рис. 6.18. Удаление узла, который имеет два дочерних
=======136
@Рис. 6.19. Удаление узла, если заменяющий его узел имеет потомка
Остается последний вариант — когда заменяющий узел имеет левого потомка. В этом случае, вы можете переместить этого потомка на место, освободившееся в результате перемещения замещающего узла, и дерево снова будет расположено в нужном порядке. Уже известно, что самый правый узел не имеет правого потомка, иначе он не был бы таковым. Это означает, что не нужно беспокоиться, не имеет ли замещающий узел двух потомков.
Эта сложная ситуация показана на рис. 6.19. В этом примере удаляется узел 8. Самый правый элемент в его левой ветви — это узел 7, который имеет потомка — узел 5. Чтобы сохранить порядок дерева после удаления узла 8, заменим узел 8 узлом 7, а узел 7 — узлом 5. Заметьте, что узел 7 получает новых потомков, а узел 5 сохраняет своих.
Следующий код удаляет узел из упорядоченного двоичного дерева:
Private Sub DeleteItem(node As SortNode, target_value As Integer)
Dim target As SortNode
Dim child As SortNode
' Если узел не найден, вывести сообщение.
If node Is Nothing Then
Beep
MsgBox "Item " & Format$(target_value) & _
" не найден в дереве."
Exit Sub
End If
If target_value < node.Value Then
' Продолжить для левого поддерева.
Set child = node.LeftChild
DeleteItem child, target_value
Set node.LeftChild = child
ElseIf target_value > node.Value Then
' Продолжить для правого поддерева.
Set child = node.RightChild
DeleteItem child, target_value
Set node.RightChild = child
Else
' Искомый узел найден.
Set target = node
If target.LeftChild Is Nothing Then
' Заменить искомый узел его правым потомком.
Set node = node.RightChild
ElseIf target.RightChild Is Nothing Then
' Заменить искомый узел его левым потомком.
Set node = node.LeftChild
Else
' Вызов подпрограмы ReplaceRightmost для замены
' искомого узла самым правым узлом
' в его левой ветви.
Set child = node.LeftChild
ReplaceRightmost node, child
Set node.LeftChild = child
End If
End If
End Sub
Private Sub ReplaceRightmost(target As SortNode, repl As SortNode)
Dim old_repl As SortNode
Dim child As SortNode
If Not (repl.RightChild Is Nothing) Then
' Продолжить движение вправо и вниз.
Set child = repl.RightChild
ReplaceRightmost target, child
Set repl.RightChild = child
Else
' Достигли дна.
' Запомнить заменяющий узел repl.
Set old_repl = repl
' Заменить узел repl его левым потомком.
Set repl = repl.LeftChild
' Заменить искомый узел target with repl.
Set old_repl.LeftChild = target.LeftChild
Set old_repl.RightChild = target.RightChild
Set target = old_repl
End If
End Sub
======137-138
Алгоритм использует в двух местах прием передачи параметров в рекурсивные подпрограммы по ссылке. Во‑первых, подпрограмма DeleteItem использует этот прием для того, чтобы родитель искомого узла указывал на заменяющий узел. Следующие операторы показывают, как вызывается подпрограмма DeleteItem:
Set child = node.LeftChild
DeleteItem child, target_value
Set node.LeftChild = child
Когда процедура обнаруживает искомый узел (узел 8 на рис. 6.19), она получает в качестве параметра узла указатель родителя на искомый узел. Устанавливая параметр на замещающий узел (узел 7), подпрограмма DeleteItem задает дочерний узел для родителя так, чтобы он указывал на новый узел.
Следующие операторы показывают, как процедура ReplaceRightMost рекурсивно вызывает себя:
Set child = repl.RightChild
ReplaceRightmost target, child
Set repl.RightChild = child
Когда процедура находит самый правый узел в левой от удаляемого узла ветви (узел 7), в параметре repl находится указатель родителя на самый правый узел. Когда процедура устанавливает значение repl равным repl.LeftChild, она автоматически соединяет родителя самого правого узла с левым дочерним узлом самого правого узла (узлом 5).
Программа TreeSort использует эти процедуры для работы с упорядоченными двоичными деревьями. Введите целое число, и нажмите на кнопку Add
, чтобы добавить элемент к дереву. Введите целое число, и нажмите на кнопку Remove
, чтобы удалить этот элемент из дерева. После удаления узла, дерево автоматически переупорядочивается для сохранения порядка «меньше».
Полезное свойство упорядоченных деревьев состоит в том, что их порядок совпадает с порядком симметричного обхода. Например, при симметричном обходе дерева, показанного на рис. 6.20, обращение к узлам происходит в порядке 2-4-5-6-7-8-9.
@Рис. 6.20. Симметричный обход упорядоченного дерева: 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9
=========139
Это свойство симметричного обхода упорядоченных деревьев приводит к простому алгоритму сортировки:
1. Добавить элемент к упорядоченному дереву.
2. Вывести элементы, используя симметричный обход.
Этот алгоритм обычно работает достаточно хорошо. Тем не менее, если добавлять элементы к дереву в определенном порядке, то дерево может стать высоким и тонким. На рис. 6.21 показано упорядоченное дерево, которое получается при добавлении к нему элементов в порядке 1, 6, 5, 2, 3, 4. Другие последовательности также могут приводить к появлению высоких и тонких деревьев.
Чем выше становится упорядоченное дерево, тем больше времени требуется для добавления новых элементов в нижнюю часть дерева. В наихудшем случае, после добавления N элементов, дерево будет иметь высоту порядка O(N). Полное время вставки всех элементов в дерево будет при этом порядка O(N2
). Поскольку для обхода дерева требуется время порядка O(N), полное время сортировки чисел с использованием дерева будет равно O(N2
)+O(N)=O(N2
).
Если дерево остается достаточно коротким, оно имеет высоту порядка O(log(N)). В этом случае для вставки элемента в дерево потребуется всего порядка O(log(N)) шагов. Вставка всех N элементов в дерево потребует порядка O(N * log(N)) шагов. Тогда сортировка элементов при помощи дерева потребует времени порядка O(N * log(N)) + O(N) = O(N * log(N)).
Время выполнения порядка O(N * log(N)) намного меньше, чем O(N2
). Например, построение высокого и тонкого дерева, содержащего 1000 элементов, потребует выполнения около миллиона шагов. Построение короткого дерева с высотой порядка O(log(N)) займет всего около 10.000 шагов.
Если элементы первоначально расположены в случайном порядке, форма дерева будет представлять что‑то среднее между этими двумя крайними случаями. Хотя его высота может оказаться несколько больше, чем log(N), оно, скорее всего, не будет слишком тонким и высоким, поэтому алгоритм сортировки будет выполняться достаточно быстро.
@Рис. 6.21. Дерево, полученное добавлением элементов в порядке 1, 6, 5, 2, 3, 4
==========140
В 7 главе описываются способы балансировки деревьев, для того, чтобы они не становились слишком высокими и тонкими, независимо от того, в каком порядке в них добавляются новые элементы. Тем не менее, эти методы достаточно сложны, и их не имеет смысла применять в алгоритме сортировки при помощи дерева. Многие из алгоритмов сортировки, описанных в 9 главе, более просты в реализации и обеспечивают при этом лучшую производительность.
Деревья со ссылками
Во 2 главе показано, как добавление ссылок к связным спискам позволяет упростить вывод элементов в разном порядке. Вы можете использовать тот же подход для упрощения обращения к узлам дерева в различном порядке. Например, помещая ссылки в листья двоичного дерева, вы можете облегчить выполнение симметричного и обратного обходов. Для упорядоченного дерева, это обход в прямом и обратном порядке сортировки.
Для создания ссылок, указатели на предыдущий и следующий узлы в порядке симметричного обхода помещаются в неиспользуемых указателях на дочерние узлы. Если не используется указатель на левого потомка, то ссылка записывается на его место, указывая на предыдущий узел при симметричном обходе. Если не используется указатель на правого потомка, то ссылка записывается на его место, указывая на следующий узел при симметричном обходе. Поскольку ссылки симметричны, и ссылки левых потомков указывают на предыдущие, а правых — на следующие узлы, этот тип деревьев называется деревом с симметричными ссылками
(symmetrically threaded tree). На рис. 6.22 показано дерево с симметричными ссылками, которые обозначены пунктирными линиями.
Поскольку ссылки занимают место указателей на дочерние узлы дерева, нужно как‑то различать ссылки и обычные указатели на потомков. Проще всего добавить к узлам новые переменные HasLeftChild и HasRightChild типа Boolean, которые будут равны True, если узел имеет левого или правого потомка соответственно.
Чтобы использовать ссылки для поиска предыдущего узла, нужно проверить указатель на левого потомка узла. Если этот указатель является ссылкой, то ссылка указывает на предыдущий узел. Если значение указателя равно Nothing, значит это первый узел дерева, и поэтому он не имеет предшественников. В противном случае, перейдем по указателю к левому дочернему узлу. Затем проследуем по указателям на правый дочерний узел потомков, до тех пор, пока не достигнем узла, в котором на месте указателя на правого потомка находится ссылка. Этот узел (а не тот, на который указывает ссылка) является предшественником исходного узла. Этот узел является самым правым в левой от исходного узла ветви дерева. Следующий код демонстрирует поиск предшественника:
@Рис. 6.22. Дерево с симметричными ссылками
==========141
Private Function Predecessor(node As ThreadedNode) As ThreadedNode Dim child As ThreadedNode
If node.LeftChild Is Nothing Then
' Это первый узел в порядке симметричного обхода.
Set Predecessor = Nothing
Else If node.HasLeftChild Then
' Это указатель на узел.
' Найти самый правый узел в левой ветви.
Set child = node.LeftChild
Do While child.HasRightChild
Set child = child.RightChild
Loop
Set Predecessor = child
Else
' Ссылка указывает на предшественника.
Set Predecessor = node.LeftChild
End If
End Function
Аналогично выполняется поиск следующего узла. Если указатель на правый дочерний узел является ссылкой, то она указывает на следующий узел. Если указатель имеет значение Nothing, то это последний узел дерева, поэтому он не имеет последователя. В противном случае, переходим по указателю к правому потомку узла. Затем перемещаемся по указателям дочерних узлов до тех, пор, пока очередной указатель на левый дочерний узел не окажется ссылкой. Тогда найденный узел будет следующим за исходным. Это будет самый левый узел в правой от исходного узла ветви дерева.
Удобно также ввести функции для нахождения первого и последнего узлов дерева. Чтобы найти первый узел, просто проследуем по указателям на левого потомка вниз от корня до тех пор, пока не достигнем узла, значение указателя на левого потомка для которого равно Nothing. Чтобы найти последний узел, проследуем по указателям на правого потомка вниз от корня до тех пор, пока не достигнем узла, значение указателя на правого потомка для которого равно Nothing.
Private Function FirstNode() As ThreadedNode
Dim node As ThreadedNode
Set node = Root
Do While Not (node.LeftChild Is Nothing)
Set node = node.LeftChild
Loop
Set PirstNode = node
End Function
Private Function LastNode() As ThreadedNode
Dim node As ThreadedNode
Set node = Root
Do While Not (node.RightChild Is Nothing)
Set node = node.RightChild
Loop
Set FirstNode = node
End Function
=========142
При помощи этих функций вы можете легко написать процедуры, которые выводят узлы дерева в прямом или обратном порядке:
Private Sub Inorder()
Dim node As ThreadedNode
' Найти первый узел.
Set node = FirstNode()
' Вывод списка.
Do While Not (node Is Nothing)
Print node.Value
Set node = Successor(node)
Loop
End Sub
Private Sub PrintReverseInorder()
Dim node As ThreadedNode
' Найти последний узел
Set node = LastNode
' Вывод списка.
Do While Not (node Is Nothing)
Print node. Value
Set node = Predecessor(node)
Loop
End Sub
Процедура вывода узлов в порядке симметричного обхода, приведенная ранее в этой главе, использует рекурсию. Для устранения рекурсии вы можете использовать эти новые процедуры, которые не используют ни рекурсию, ни системный стек.
Каждый указатель на дочерние узлы в дереве содержит или указатель на потомка, или ссылку на предшественника или последователя. Так как каждый узел имеет два указателя на дочерние узлы, то, если дерево имеет N узлов, то оно будет содержать 2 * N ссылок и указателей. Эти алгоритмы обхода обращаются ко всем ссылкам и указателям дерева один раз, поэтому они потребуют выполнения O(2 * N) = O(N) шагов.
Можно немного ускорить выполнение этих подпрограмм, если отслеживать указатели на первый и последний узлы дерева. Тогда вам не понадобится выполнять поиск первого и последнего узлов перед тем, как вывести список узлов по порядку. Так как при этом алгоритм обращается ко всем N узлам дерева, время выполнения этого алгоритма также будет порядка O(N), но на практике он будет выполняться немного быстрее.
========143
Для работы с деревом со ссылками, нужно, чтобы можно было добавлять и удалять узлы из дерева, сохраняя при этом его структуру.
Предположим, что требуется добавить нового левого потомка узла A. Так как это место не занято, то на месте указателя на левого потомка узла A находится ссылка, которая указывает на предшественника узла A. Поскольку новый узел займет место левого потомка узла A, он станет предшественником узла A. Узел A будет последователем нового узла. Узел, который был предшественником узла A до этого, теперь становится предшественником нового узла. На рис. 6.23 показано дерево с рис. 6.22 после добавления нового узла X в качестве левого потомка узла H.
Если отслеживать указатель на первый и последний узлы дерева, то требуется также проверить, не является ли теперь новый узел первым узлом дерева. Если ссылка на предшественника для нового узла имеет значение Nothing, то это новый первый узел дерева.
@Рис. 6.23. Добавление узла X к дереву со ссылками
=========144
Учитывая все вышеизложенное, легко написать процедуру, которая добавляет нового левого потомка к узлу. Вставка правого потомка выполняется аналогично.
Private Sub AddLeftChild(parent As ThreadedNode, child As ThreadedNode)
' Предшественник родителя становится предшественником нового узла.
Set child. LeftChild = parent.LeftChild
child.HasLeftChild = False
' Вставить узел.
Set parent.LeftChild = child
parent.HasLeftChild = True
' Родитель является последователем нового узла.
Set child.RightChild = parent
child.HasRightChild = False
' Определить, является ли новый узел первым узлом дерева.
If child.LeftChild Is Nothing Then Set FirstNode = child
End Sub
Перед тем, как удалить узел из дерева, необходимо вначале удалить всех его потомков. После этого легко удалить уже сам узел.
Предположим, что удаляемый узел является левым потомком своего родителя. Его указатель на левого потомка является ссылкой, указывающей на предыдущий узел в дереве. После удаления узла, его предшественник становится предшественником родителя удаленного узла. Чтобы удалить узел, просто заменяем указатель на левого потомка его родителя на указатель на левого потомка удаляемого узла.
Указатель на правого потомка удаляемого узла является ссылкой, которая указывает на следующий узел в дереве. Так как удаляемый узел является левым потомком своего родителя, и поскольку у него нет потомков, эта ссылка указывает на родителя, поэтому ее можно просто опустить. На рис. 6.24 показано дерево с рис. 6.23 после удаления узла F. Аналогично удаляется правый потомок.
Private Sub RemoveLeftChild(parent As ThreadedNode)
Dim target As ThreadedNode
Set target = parent.LeftChild
Set parent.LeftChild = target.LeftChild
End Sub
@Рис. 6.24. Удаление узла F из дерева со ссылками
=========145
Квадродеревья
[RP12]
Квадродеревья
(quadtrees) описывают пространственные отношения между элементами на площади. Например, это может быть карта, а элементы могут представлять собой положение домов или предприятий на ней.
Каждый узел квадродерева представляет собой участок на площади, представленной квадродеревом. Каждый узел, кроме листьев, имеет четыре потомка, которые представляют четыре квадранта. Листья могут хранить свои элементы в коллекциях связных списков. Следующий код показывает секцию Declarations для класса QtreeNode.
' Потомки.
Public NWchild As QtreeNode
Public NEchild As QtreeNode
Public SWchild As QtreeNode
Public SEchild As QtreeNode
' Элементы узла, если это не лист.
Public Items As New Collection
Элементы, записанные в квадродереве, могут содержать пространственные данные любого типа. Они могут содержать информацию о положении, которую дерево может использовать для поиска элементов. Переменные в простом классе QtreeItem, который представляет элементы, состоящие из точек на местности, определяются так:
Public X As Single
Public Y As Single
Чтобы построить квадродерево, вначале поместим все элементы в корневой узел. Затем определим, содержит ли этот узел достаточно много элементов, чтобы его стоило разделить на несколько узлов. Если это так, создадим четыре потомка узла и распределим элементы между четырьмя потомками в соответствии с их положением в четырех квадрантах исходной области. Затем рекурсивно проверяем, не нужно ли разбить на несколько узлов дочерние узлы. Продолжим разбиение до тех пор, пока все листья не будут содержать не больше некоторого заданного числа элементов.
На рис. 6.25 показано несколько элементов данных, расположенных в виде квадродерева. Каждая область разбивается до тех пор, пока она не будет содержать не более двух элементов.
Квадродеревья удобно применять для поиска близлежащих объектов. Предположим, имеется программа, которая рисует карту с большим числом населенных пунктов. После того, как пользователь щелкнет мышью по карте, программа должна найти ближайший к выбранной точке населенный пункт. Программа может перебрать весь список населенных пунктов, проверяя для каждого его расстояние от заданной точки. Если в списке N элементов, то сложность этого алгоритма порядка O(N).
====146
@Рис. 6.25. Квадродерево
Эту операцию можно выполнить намного быстрее при помощи квадродерева. Начнем с корневого узла. При каждой проверке квадродерева определяем, какой из квадрантов содержит точку, которую выбрал пользователь. Затем спустимся вниз по дереву к соответствующему дочернему узлу. Если пользователь выбрал верхний правый угол области узла, нужно спуститься к северо‑восточному потомку. Продолжим движение вниз по дереву, пока не дойдем до листа, который содержит выбранную пользователем точку.
Функция LocateLeaf класса QtreeNode использует этот подход для поиска листа дерева, который содержит выбранную точку. Программа может вызвать эту функцию в строке Set the_leaf = Root.LocateLeaf(X, Y, Gxmin, Gxmax, Gymax), где Gxmin, Gxmax, Gymin, Gymax — это границы представленной деревом области.
Public Function LocateLeaf (X As Single, Y As Single, _
xmin As Single, xmax As Single, ymin As Single, ymax As Single) _
As QtreeNode
Dim xmid As Single
Dim ymid As Single
Dim node As QtreeNode
If NWchild Is Nothing Then
' Узел не имеет потомков. Искомый узел найден.
Set LocateLeaf = Me
Exit Function
End If
' Найти соответстующего потомка.
xmid = (xmax + xmin) / 2
ymid = (ymax + ymin) / 2
If X <= xmid Then
If Y <= ymid Then
Set LocateLeaf = NWchild.LocateLeaf( _
X, Y, xmin, xmid, ymin, ymid)
Else
Set LocateLeaf = SWchild.LocateLeaf _
X, Y, xmin, xmid, ymid, ymax)
End If
Else
If Y <= ymid Then
Set LocateLeaf = NEchild.LocateLeaf( _
X, Y, xmid, xmax, ymin, ymid)
Else
Set LocateLeaf = SEchild.LocateLeaf( _
X, Y, xmid, xmax, ymid, ymax)
End If
End If
End Function
После нахождения листа, который содержит точку, проверяем населенные пункты в листе, чтобы найти, который из них ближе всего от выбранной точки. Это делается при помощи процедуры NearPointInLeaf.
Public Sub NearPointInLeaf (X As Single, Y As Single, _
best_item As QtreeItem, best_dist As Single, comparisons As Long)
Dim new_item As QtreeItem
Dim Dx As Single
Dim Dy As Single
Dim new_dist As Single
' Начнем с заведомо плохого решения.
best_dist = 10000000
Set best_item = Nothing
' Остановиться если лист не содержит элементов.
If Items.Count < 1 Then Exit Sub
For Each new_item In Items
comparisons = comparisons + 1
Dx = new_item.X - X
Dy = new_item.Y - Y
new_dist =Dx * Dx + Dy * Dy
If best_dist > new_dist Then
best_dist = new_dist
Set best_item = new_item
End If
Next new_item
End Sub
======147-148
Элемент, который находит процедура NearPointLeaf, обычно и есть элемент, который пользователь пытался выбрать. Тем не менее, если элемент находится вблизи границы между двумя узлами, может оказаться, что ближайший к выбранной точке элемент находится в другом узле.
Предположим, что Dmin
— это расстояние между выбранной пользователем точкой и ближайшим из найденных до сих пор населенных пунктов. Если Dmin
меньше, чем расстояние от выбранной точки до края листа, то поиск закончен. Населенный пункт находится при этом слишком далеко от края листа, чтобы в каком‑либо другом листе мог существовать пункт, расположенный ближе к заданной точке.
В противном случае нужно снова начать с корня и двигаться по дереву, проверяя все узлы квадродеревьев, которые находятся на расстоянии меньше, чем Dmin
от заданной точки. Если найдутся элементы, которые расположены ближе, изменим значение Dmin
и продолжим поиск. После завершения проверки ближайших к точке листьев, нужный элемент будет найден. Подпрограмма CheckNearByLeaves использует этот подход для завершения поиска.
Public Sub CheckNearbyLeaves(exclude As QtreeNode, _
X As Single, Y As Single, best_item As QtreeItem, _
best_dist As Single, comparisons As Long, _
xmin As Single, xmax As Single, ymin As Single, ymax As Single)
Dim xmid As Single
Dim ymid As Single
Dim new_dist As Single
Dim new_item As QtreeItem
' Если это лист, который мы должны исключить,
' ничего не делать.
If Me Is exclude Then Exit Sub
' Если это лист, проверить его.
If SWchild Is Nothing Then
NearPointInLeaf X, Y, new_item, new_dist, comparisons
If best_dist > new_dist Then
best_dist = new_dist
Set best_item = new_item
End If
Exit Sub
End If
' Найти потомков, которые удалены не больше, чем на best_dist
' от выбранной точки.
xmid = (xmax + xmin) / 2
ymid = (ymax + ymin) / 2
If X - Sqr(best_dist) <= xmid Then
|