Розв'язування задач сфероїдної геодезії - курсовая работа
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ВОДНОГО ГОСПОДАРСТВА ТА
ПРИРОДОКОРИСТУВАННЯ
СЛОВ’ЯНСЬКИЙ НКЦ
Курсова робота
З дисципліни: ВИЩА ГЕОДЕЗІЯ
РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ СФЕРОЇДНОЇ ГЕОДЕЗІЇ
Виконав: студент
групи ЗВК – 42
Нікітін О.О.
Слов’янськ 2010 р.
ЗМІСТ
трикутник лежандр аддитамент геодезичний
Вступ
Завдання 1. Обчислення довжини дуги меридіану
Завдання 2. Обчислення довжини дуги паралелі
Завдання 3. Обчислення довжини сторін та площі знімальної трапеції
Завдання 4. Наближене розв’язування трикутників за теоремою Лежандра
Завдання 5. Наближене розв’язування трикутників способом аддитаментів
Завдання 6. Розв’язування прямої геодезичної задачі способом допоміжної точки (спосіб Шрейбера)
Завдання 7. Розв’язування прямої геодезичної задачі за формулами Гауса із середніми аргументами
Завдання 8. Розв’язування оберненої геодезичної задачі за формулами Гауса із середніми аргументами
Завдання 9. Пряма задача проекції Гауса-Крюгера (перехід з поверхні еліпсоїду на площину)
Завдання 10. Розрахунок геодезичних координат пункту за плоскими прямокутними координатами
Вступ
Визначення параметрів земного еліпсоїда і форми земної поверхні становить велику наукову зацікавленість та має важливе значення для практичної і інженерної геодезії, для топографії і картографії, а також для багатьох суміжних наук: астрономії, геофізики, геодинаміки тощо.
Вивчення геометрії земного еліпсоїда та методів розв’язування задач на його поверхні складає вагому частину змісту курсів "Основи вищої геодезії" та "Вища геодезія". Ці питання, а також питання зображення поверхні еліпсоїда на площині відносяться до частини вищої геодезії, яка історично отримала назву "сфероїдна геодезія".
Вища геодезія вивчає фігуру та зовнішнє гравітаційне поле Землі, методи створення систем геодезичних координат на всю поверхню Землі або на окремі її ділянки, а також способи визначення положення точок земної поверхні в тій чи іншій системі координат.
Завдання вивчення фігури та гравітаційного поля Землі, як основної задачі вищої геодезії, розв’язується за результатами вимірів на земній поверхні. Це геодезичні виміри в мережах тріангуляції, трилатерації, полігонометрії та нівелювання 1 класу, а також супутниково-навігаційні спостереження з метою визначення координат точок земної поверхні. Методи постановки та виконання вказаних вимірів складають предмет першої частини вищої геодезії.
Друга частина вищої геодезії – теоретична основа розв’язування основної задачі. В ній розглядаються і встановлюються аналітичні залежності між результатами вимірів і фігурою Землі та її гравітаційним полем.
Вища геодезія, в тому числі її частини - сфероїдна геодезія та теоретична геодезія, є однією із основних дисциплін, що забезпечує необхідну теоретичну і практичну спеціальну підготовку фахівців геодезичного профілю.
Завдання 1. Обчислення довжини дуги меридіану
А1
– точка на меридіанному еліпсі з широтою В1
. А2
– точка на меридіанному еліпсі з широтою В2
.
Загальна формула для дуги меридіану довільної довжини:
(4)
A,B,C,D – сталі коефіцієнти прийнятого референт-еліпсоїду; ρ – число кутових одиниць в одному радіані;
- середня широта дуги А1
А2
.
Формула для довжини дуги меридіану при обчисленнях в тріангуляції на віддалі порядку сотень кілометрів:
(6)
Радіус кривизни меридіану перерізу Mm
обчислюється за середньою широтою Bm
.
За умови точності широти точки mB
= ±0.0001" всі зазначені формули забеспечують середню квадратичну помилку довжини дуги меридіану
mS
= ±0.001 м.
Вихідні дані
Номер варіанту №8
В1
48º30′48.1111" - 8′
48º22′48.1111"
48,38003086
В2
49º30′49.1111" + 8′
49º38′49.1111"
49,64700617
Сталі величини
a
6378245 м
e2
0,00669342
ρº
57,29577951
A
1,00506238
B
0,00506238
C
0,00001062
D
0,00000002
Обчислення довжини дуги меридіану за формулою (4):
Позначення дій
Результати
49,01351852
6335552,727
0,02222460
- 0,00001563
- 0,00000022
0,00000000
s (м)
140902,722
Обчислення довжини дуги меридіану за формулою (6):
Позначення дій
Результати
0,99809115
6371972,436
140902,730
- 0,00000005
s (м)
140902,723
Завдання 2. Обчислення довжини дуги паралелі
А1
та А2
– точка на паралелі з широтою В. L1
та L2
довготи точок А1
та А2
.
Паралель на земному еліпсоїді утворює коло. Радіус r паралелі з широтою В виражається формулою:
N – радіус кривизни перерізу першого вертикалу. Переріз першого вертикалу – це крива на поверхні еліпсоїду, утворена перетином поверхні еліпсоїду нормальною площиною, яка перпендикулярна до площини меридіанного перерізу у даній точці.
- перша функція геодезичної широти;
a – велика піввісь та e – перший ексцентриситет референт-еліпсоїду.
Дуга паралелі між точками А1
та А2
є дугою кола з центральним кутом, який дорівнює різниці довгот кінцевих точок дуги λ = L2
– L1
. Довжина s дуги паралелі з широтою В, яка відповідає різниці довгот λ = L2
– L1
, виражається формулою
. Остаточно:
(10)
За умови точності широти і довгот точок mB
= mL
±0.0001" формула (5) забеспечує середню квадратичну помилку довжини дуги паралелі
mS
= ±0.001 м.
Вихідні дані
Номер варіанту №8
B
48º30′48.1111" - 8′
48º22′48.1111"
48,38003086
L1
25º30′25.1111" - 8′
25º22′25.1111"
25,37364197
L2
27º30′27.2222" + 8′
27º38′27.2222"
27,64089506
Сталі величини
a
6378245
e2
0,00669342
ρº
57,29577951
Обчислення довжини дуги паралелі за формулою (10):
Позначення дій
Результати
2,26725309
0,99812791
6390208,045
s (м)
167951,005
Завдання 3. Обчислення довжини сторін та площі знімальної трапеції
Сторони знімальної трапеції чи листа карти заданого масштабу є лініями меридіанів та паралелей на поверхні земного еліпсоїду. Тому обчислення натуральних розмірів та площі знімальної трапеції – це визначення частини поверхні еліпсоїду в межах ліній меридіанів та паралелей, які окреслюють лист карти заданого масштабу.
Розміри знімальної трапеції на поверхні еліпсоїду описуються наступними параметрами:
- південна a1
та північна a2
сторони, які на поверхні еліпсоїду є дугами паралелей з широтами B1
і B2
, та окреслюються меридіанами з довготами L1
і L2
;
- західна та східна сторони с , які на поверхні еліпсоїду є дугами меридіанів, окреслених паралелями з широтами B1
і B2
, тому завжди рівні між собою;
- діагональ d трапеції:
(11)
Формули розрахунку довжин дуг a1
та a2
на широтах відповідно B1
і B2
:
(12)
(13)
Для вираження площі трапеції P маємо робочу формулу вигляду:
, (15)
де b – мала піввісь і A’,B’,C’ – сталі коефіцієнти прийнятого референц-еліпсоїду. Формула забезпечує розрахунок площі трапеції із середньою квадратичною помилкою не більше mp
= ±0,0005 км2
.
Задано геодезичні координати точки А(BA
, LA
) на поверхні земного еліпсоїду. Визначити приналежність точки А знімальній трапеції масштабу 1:50000, номенклатуру та геодезичні координати рамки відповідного листа карти і розрахувати довжини сторін та площу цієї трапеції.
Вихідні дані
Номер варіанту №8
BA
48º01′01.1111" + 7′*8
48,95030864
LA
22º11′11.1111" + 30′*8
26,18641975
Сталі величини
Геодезичні координати сторін трапеції
B1
48º50′
48,83333333
B2
49º00′
49,0
L1
26º00′
26,0
L2
26º15′
26,25
Обчислення довжини сторін трапеції за формулами (11),(12),(13),(14).
Позначення дій
Результати
Позначення дій
Результати
0,99810160
0,99809194
6390376,482
6390438,348
18354,212
18293,253
(см карти)
36,71
(см карти)
36,59
48,91666667
0,998096769
6371864,921
с (м)
18535,004
d (м)
26063,473
с (см карти)
37,07
d (см карти)
52,13
Обчислення площі трапеції за формулою (15).
Позначення дій
Результати
Позначення дій
Результати
352641,2223
0,00095901
-0,00000410
-0,00000001
Р (км2
)
339,630
Р (га)
33963,07
Завдання 4. Наближене розв’язування трикутників за теоремою Лежандра
Після визначення кінцевих значень виміряних кутів або напрямів у тріангуляції на поверхні еліпсоїду розпочинають розв’язування трикутників, яке зводиться до послідовного обчислення довжин їх сторін за одним виміряним базисом і кутами трикутників. При довжинах сторін до 90 км розбіжностями між поверхнею еліпсоїду і сферою можна нехтувати, а трикутники вважати сферичними.
Теорема Лежандра: Малий сферичний трикутник АВС можна розв’язувати як плоский, якщо кожний з його кутів А, В, С зменшити на третину сферичного надлишку.
Розв’язати два малих сферичних трикутники, зображених на схемі, якщо:
- довжина вихідної сторони с1
= (60000 – 500*8) метрів;
- середня широта Bm
= 48º01′01.1111" + 7′*8.
Виміряні сферичні кути трикутників приведено в таблиці.
Вихідні дані
Номер варіанту №8
Довжина вихідної сторони
с1
= (60000 – 500*8)
56000
Середня широта
48º57′01.1111"
48,95030864
Сталі величини
b
6356863,019
e2
0,00669342
ρº
57,29577951
Результати вимірів кутів
№ трикутника
Позначення кутів
Виміряні сферичні кути
1
A1
78º27′09.18"
B1
51º33′02.51"
C1
49º59′51.20"
2
A2
59º25′19.10"
B2
51º46′48.52"
C2
68º47′54.33"
Робочі формули:
Радіус сфери
6381154,368 м.
Трикутник №1:
;
;
;
.
Трикутник №2:
;
;
;
.
Відомість наближеного розв’язування трикутників
Верш.
Виміряні
сферичні кути
Виправлені
сферичні кути
Виправлені
плоскі кути
Синуси
кутів
Довжини
сторін
C
49º59′51.20"
1,689
49º59′52.888"
-2,652
49º59′50.237"
0,76601402
56000,000
B
51º33′02.51"
1,689
51º33′04.198"
-2,652
51º33′01.547"
0,78315577
57253,160
A
78º27′09.18"
1,689
78º27′10.868"
-2,652
78º27′08.217"
0,97975833
71625,930
Σ1
180º00′02.89"
5,066
180º00′07.956"
-7,956
180º00′00"
ε1
7,956
w1
-5,066
D
59º25′19.10"
3,035
59º25′22.134"
-3,685
59º25′18.450"
0,86093557
71625,930
B
51º46′48.52"
3,035
51º46′51.554"
-3,685
51º46′48.870"
0,78564059
65361,729
C
68º47′54.33"
3,035
68º47′57.364"
-3,685
68º47′53.680"
0,93231272
77564,185
Σ2
180º00′01.95"
9,105
180º00′11.052"
-11,055
180º00′00"
ε2
11,055
w2
-9,105
Завдання 5. Наближене розв’язування трикутників способом аддитаментів
Аддитаменти – це поправки до сторін сферичного трикутника, з врахуванням яких його можна розв’язати за сферичними кутами на основі теореми синусів плоскої тригонометрії. Отже,
для сторони b
,
для сторони с
.
Числові значення аддитаментів невідомих сторін можна розрахувати за приблизними значеннями їх довжин
та
.
Розв’язати два малих сферичних трикутники, зображених на схемі, якщо:
- довжина вихідної сторони с1
= (60000 – 500*8) метрів;
- середня широта Bm
= 48º01′01.1111" + 7′*8.
Виміряні сферичні кути трикутників приведено в таблиці.
Вихідні дані
Номер варіанту №8
Довжина вихідної сторони
с1
= (60000 – 500*8)
56000
Середня широта
48º57′01.1111"
48,95030864
Сталі величини
b
6356863,019
e2
0,00669342
ρº
57,29577951
Результати вимірів кутів
№ трикутника
Позначення кутів
Виміряні сферичні кути
1
A1
78º27′09.18"
B1
51º33′02.51"
C1
49º59′51.20"
2
A2
59º25′19.10"
B2
51º46′48.52"
C2
68º47′54.33"
Робочі формули:
Трикутник №1:
;
;
;
.
Трикутник №2:
;
;
;
.
Відомість наближеного розв’язування трикутників
Верш.
Виміряні
сферичні кути
Виправлені
сферичні кути
Синуси
кутів
Приблизні
довжини
Аддита-
менти
Довжини
сторін
C
49º59′51.20"
1,689
49º59′52.888"
0,76601402
-
0,00001284
56000,000
B
51º33′02.51"
1,689
51º33′04.198"
0,78315577
57253,127
0,00001342
57253,160
A
78º27′09.18"
1,689
78º27′10.868"
0,97975833
71625,345
0,00002100
71625,930
Σ1
180º00′02.89"
5,066
180º00′07.956"
ε1
7,956
w1
-5,066
D
59º25′19.10"
3,035
59º25′22.134"
0,86093557
-
0,00002100
71625,930
B
51º46′48.52"
3,035
51º46′51.554"
0,78564059
65361,959
0,00001749
65361,729
C
68º47′54.33"
3,035
68º47′57.364"
0,93231272
77563,903
0,00002462
77564,185
Σ2
180º00′01.95"
9,105
180º00′11.052"
ε2
11,055
w2
-9,105
Завдання 6. Розв’язування прямої геодезичної задачі способом допоміжної точки (спосіб Шрейбера)
Розв’язування прямої геодезичної задачі способом допоміжної точки виконується посереднім шляхом – обраховують насамперед різниці координат пунктів, а за ними – абсолютні значення координат. За умови використання робочих формул приведеного нижче вигляду, спосіб забезпечує розрахунок геодезичних координат пунктів у тріангуляції 1 класу з точністю десятитисячних часток секунди, азимутів – з точністю тисячних часток секунди.
A і В – пункти на поверхні еліпсоїду з геодезичними координатами B1
,L1
і B2
,L2
. АР – меридіан т.А; ВР – меридіан т.В. А12
і А21
– прямий і зворотній азимут напряму АВ. s – довжина геодезичної лінії АВ. С – допоміжна точка поверхні еліпсоїду, розташована на меридіані т.A так, що геодезична лінія СВ має азимут АСВ
= 90º. Точка С має геодезичні координати B0
, L1
.
Черговість дій при розв’язуванні прямої геодезичної задачі способом допоміжної точки:
1. Обчислення широти точки С
- перша функція геодезичної широти пункту А;
- радіус кривизни меридіанного перерізу в п. А;
;
- проміжні умовні позначення; b – різниця широт п.А і т.С.
2. Обчислення широти пункту В
,
d – різниця широт п.В і т.С,
,
с – різниця довгот пункту В і точки С,
,
- проміжні величини.
3. Обчислення довготи пункту В
λ =
,
λ - різниця довгот пунктів А і В,
4. Обчислення зворотного азимуту А21
А21
=
, t – кут, утворений на поверхні еліпсоїду кривою ВР меридіанного перерізу в пункті В та кривою ВТ, яка паралельна меридіанному перерізові у пункті А, ε - сферичний надлишок трикутника АВС.
Вихідні дані
Номер варіанту №8
B1
= 48º01′01.1111"+7′*8
48º57′01.1111"
48,95030864
L1
= 22º11′11.1111"+30′*8
26º11′11.1111"
26,18641975
A12
= 1º01′01.111"+3º*8
25º01′01.111"
25,01697528
s = (60000 – 500*8)
56000 м
Сталі величини
a
6378245 м
e2
0,00669342
e’2
0,00673853
ρº
57,29577951
Обчислення широти точки С
Позначення дій
Результати
Позначення дій
Результати
0,998094819
0,456307116
6371902,273
0,00003975
50746,22203
0,00000459
23681,65851
-0,00000003
b
0,456291085
B0
49,40659972
0º27′22.65"
49º24′23.76"
Обчислення широти пункту В
Позначення дій
Результати
Позначення дій
Результати
0,99806840
0,00046040
0,21232144
0,00000312
0,00001054
0,00000270
с
0,21231920
0,00000004
0,32630018
d
0,00046039
0,24777482
B2
49,40613933
49º24′22.1"
Обчислення довготи пункту В
Позначення дій
Результати
Позначення дій
Результати
0,00000623
λ
0,32629814
0,00000000
L2
26,51271789
26º30′45.78"
Обчислення зворотного азимуту
Позначення дій
Результати
Позначення дій
Результати
0,00084549
t
0,247772701
0,00000541
A21
205,26390249
0,00000003
205º15′50"
Завдання 7. Розв’язування прямої геодезичної задачі за формулами Гауса із середніми аргументами
Вихідні дані та сталі величини наведено у завданні №6.
Наближення (1)
Позначення дій
Результати
Позначення дій
Результати
6399698,916
1,001452017
0,456307116
0,243826934
0,32331773
49,1784622
25,13888874
Позначення дій
Результати в наближеннях
(2)
(3)
(4)
(5)
1,00143875
1,00143875
1,001438754
1,001438754
0,000002654
0,000002702
0,000002703
0,000002703
0,000000760
0,000000774
0,000000774
0,000000774
0,00000264
0,00000264
0,00000264
0,00000264
0,45583487
0,45582911
0,45582908
0,45582908
0,32628147
0,32629866
0,32629871
0,32629871
0,24691330
0,24692543
0,24692546
0,24692546
b
0,455836428
0,45583069
0,45583067
0,45583067
λ
0,326280859
0,32629805
0,32629811
0,32629811
t
0,24691507
0,24692721
0,24692724
0,24692724
49,17822685
49,17822398
49,17822397
49,17822397
25,14043282
25,14043888
25,14043890
25,14043890
Кінцеві результати
Позначення дій
Результати
49,40613931
49º24′22.1"
26,51271786
26º30′45.78"
205,26390252
205º15′50"
Завдання 8. Розв’язування оберненої геодезичної задачі за формулами Гауса із середніми аргументами
Для розв’язування оберненої геодезичної задачі, в якій за значенням геодезичних координат B1
, L1
та B2
, L2
пунктів А та В розраховують значення азимутів А12
, А21
та довжини s геодезичної лінії АВ, найбільш оптимально використовувати обернений алгоритм розв’язування за формулами Гауса із середніми аргументами.
У порівнянні з іншими способами розв’язування оберненої геодезичної задачі спосіб Гауса із середніми аргументами виділяється простотою робочих формул, тому розглядається як найбільш оптимальний.
Черговість дій при розв’язуванні оберненої геодезичної задачі за формулами Гауса із середніми аргументами:
1. Обчислення різниць координат
,
та середньої широти
.
2. Обчислення середнього азимуту Аm
,
за знаками P та Q визначають четверть, в якій розташований напрям Аm
.
3. Обчислення довжини геодезичної лінії
або
.
4. Обчислення зближення меридіанів t
.
5. Обчислення азимутів
та
.
Наведені формули за точністю результатів розрахунків дійсні для віддалей такого ж порядку, що й у прямій геодезичній задачі.
Вихідні дані
Номер варіанту №8
B1
= 48º01′01.1111"+7′*8
48º57′01.1111"
48,95030864
L1
= 22º11′11.1111"+30′*8
26º11′11.1111"
26,18641975
B2
49º24′22.1"
49,40613931
L2
26º30′45.78"
26,51271786
Геодезичні координати пункту В вибрано із завдання №7.
Сталі величини
a
6378245 м
e’2
0,00673853
ρº
57,29577951
Позначення дій
Результати
Позначення дій
Результати
1. Обчислення різниць координат і середньої широти
0,45583067
49,17822397
0,32629811
2. Обчислення сумм поправочних коефіцієнтів
0,00000270
Δb
1,00000348
0,00000264
0,00000077
Δλ
0,99999814
3. Обчислення середнього азимуту Аm
6399698,916
23790,954
1,001438768
25,14043968
50695,072
25º8′25.58"
4. Обчислення довжини геодезичної лінії s
55999,998 м
55999,998 м
5. Обчислення зближення меридіанів t
0,24692546
1,00000720
0,24692724
6. Обчислення азимутів
25,01697606
205,26390330
25º1′1.11"
205º15′50"
Завдання 9. Пряма задача проекції Гауса-Крюгера (перехід з поверхні еліпсоїду на площину)
Прямою задачею Гауса – Крюгера називають розв’язування завдання переходу з поверхні еліпсоїду на площину з метою визначення прямокутних координат пунктів, якщо вихідними даними є геодезичні координати B, L початкового пункту А, довжина геодезичної лінії s та азимуту ААВ
вихідної сторони АВ мережі геодезичних пунктів.
Хід дій при розв’язуванні прямої задачі Гауса – Крюгера:
1. Розрахунок номера зони n, довготи її осьового меридіану L0
та геодезичних координат ВА
, λ початкового пункту А, віднесених до зони його розташування.
2. Розрахунок прямокутних координат х,у початкового пункту А за його геодезичними координатами в зоні ВА
, λ:
,
де
- радіус кривизни перерізу першого вертикалу;
- друга функція геодезичної широти точки А;
- радіус кривизни меридіанного перерізу при широті В = 90º;
X - довжина дуги осьового меридіану від екватора до паралелі з широтою ВА
.
3. Розрахунок зближення меридіанів γ на площині у пункті А за геодезичними координатами ВА
, λ:
.
4. Розрахунок масштабу зображення m в пункті А на площині за геодезичними координатами ВА
, λ:
5. Розрахунок наближених довжин сторін геодезичної мережі на площині за виміряними сферичними кутами і довжиною геодезичної лінії s вихідної сторони мережі.
Наближені значення довжин на площині обчислюються з розв'язування трикутників за теоремою Лежандра чи способом аддитаментів (див. результати розрахунків завдань № 4,5).
6. Розрахунок наближених значень х',у' плоских прямокутних координат пунктів за координатами хА
,уА
початкового пункту А, наближеним значенням α'АВ
дирекційного кута вихідної сторони АВ, виправленими кутами та наближеними довжинами сторін трикутників на площині.
7. Редукція довжини геодезичної лінії s вихідної сторони АВ з еліпсоїду на площину.
S = s
.
8. Редукція напрямів з еліпсоїду на площину.
Для редукції напряму з еліпсоїду на площину поправку δ завжди віднімають від виміряного напряму. Наприклад, остаточне значення дирекційного кута α'АВ
вихідної сторони АВ на площині
.
За поправками δ і виміряними сферичними кутами можна розрахувати виміряні кути у вершинах трикутників, редуковані на площину.
9. Зрівноважування мережі і розрахунок остаточних значень х, у плоских прямокутних координат пунктів за координатами хА
,уА
початкового пункту, дирекційиим кутом α'АВ
та довжиною S вихідної сторони і зрівноваженими кутами та довжинами сторін трикутників на площині.
Розв'язати пряму задачу проекції Гауса - Крюгера для мережі двох трикутників, зображених на схемі, геодезичні координати початкового пункту ВА
, LA
, азимут вихідної сторони ААВ
, довжина геодезичної лінії вихідної сторони АВ, надані у вихідних даних.
Вихідні дані
№ трикутника
Позначення кутів
Виміряні сферичні кути
1
A1
78º27′09.18"
B1
51º33′02.51"
C1
49º59′51.20"
2
A2
59º25′19.10"
B2
51º46′48.52"
C2
68º47′54.33"
Номер варіанту №8
B1
= 48º01′01.1111"+7′*8
48º57′01.1111"
48,95030864
L1
= 22º11′11.1111"+30′*8
26º11′11.1111"
26,18641975
AАВ
= 1º01′01.111"+3º*8
25º01′01.111"
25,01697528
s = (60000 – 500*8)
56000 м
Сталі величини
a
6378245 м
b
6356863,019
e2
0.00669342
e’2
0,00673853
A
1,00505177
B
0,00506238
C
0,00001062
D
0,00000002
ρº
57,29577951
ρ"
206264,8062
1. Обчислення номера зони, довгот осевого меридіану та початкового пункту А в зоні.
Позначення дій
Результати
Позначення дій
Результати
4
5º11′11.11"
21
5,186419747
2. Обчислення прямокутних координат початкового пункту, масштабу зображень та зближення меридіанів за геодезичними координатами пункту в зоні і наближеного дирекційного кута вихідної сторони на площині:
Позначення дій
Результати
Позначення дій
Результати
6335552,727
379883,3465
0,85866001
12966,34118
0,00250716
0,00353380
-0,00000072
3,91128820
0
0,00460723
X
5424196,908
m
1,00177203
6399698,916
xA
5437177,406
1,00145202
yA
4879812,687
6390419,919
γ
3,91593568
1,31872019
3º54′57.37"
0,00290614
21,10103960
0,00000845
21º06′3.74"
3. Обчислення наближених довжин сторін трикутників на площині (результати в завданнях 4, 5).
Завдання 10. Розрахунок геодезичних координат пункту за плоскими прямокутними координатами
За своїм змістом поставлене завдання є частиною оберненої задачі проекції Гауса - Крюгера, яка має на меті здійснення переходу з площини на поверхню еліпсоїду з обчисленням геодезичних координат B,L, якщо вихідними даними є прямокутні координати х,у геодезичних пунктів.
Абсциса x точки а на площині виражається відрізком, який відповідає довжині дуги осьового меридіану від екватора до точки а1
з широтою В1
.
Широту В1
можна обчислити за довжиною дуги меридіану, що відповідає х. Тут можна скористатись формулою обчислення довжини дуги меридіану вигляду (5) і виразити з неї потрібну широту В1
, прийнявши s = x. Отже, В1
- широта основи ординати точки у = 0:
По мірі віддалення від осьового меридіану на величину ординати у для широти В точки А має місце нерівність В < В1
. Широті В відповідає довжина дуги Х осьового меридіану від екватора до паралелі точки А. Тому остаточно потрібна широта точки А залежатиме від В1
та ординати у точки в зоні проекції Гауса — Крюгера:
,
де
- радіус кривизни меридіанного перерізу;
- радіус кривизни перерізу першого вертикалу;
- радіус кривизни меридіанного перерізу в полюсі;
- друга функція широти B1
.
Довгота λ точки А в зоні проекції Гауса – Крюгера:
Довгота точки на поверхні еліпсоїду: L = L0
+ λ.
Вихідні дані
Плоскі прямокутні координати
пункту B
xB
(м)
5489525,045
yB
(м)
4899998,155
Сталі величини
a
6378245 м
e’2
0,00673853
ρ"
206264,8062
Відомість обчислення широти В1
Позначення дій
Результати в наближеннях
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
0.0007114572
-0,0006
-0,0006
-0,0006
-0,0006
0.5451113292
-0,1646
-0,1698
-0,1698
-0,1698
519.4709177
513,3693
512,9677
512,9680
512,9680
0.032930760 x
177822,6020
177822,6020
177822,6020
177822,6020
177822,6020
177822,6020
178336,1353
178335,7388
178335,7391
178335,7391
Широта В1
= 49º32′15.7"
Відомість обчислення геодезичних координат пункту В.