Розробка та аналіз математичної моделі технологічного об єкта із заданими параметрами - контрольная работа
Розробка та аналіз математичної моделі технологічного об' єкта із заданими параметрами
1 Аналітичне моделювання статичного режиму
Рис. 1
Розрахувати статичну модель
і побудувати статичну характеристику повітряного ресиверу для випадку ізотермічного розширення газу.
G1=25
G2=25
p0=6
p=2
p1=1,5
Визначимо границі об’єкту моделювання, його виходи і входи. У відповідності з математичною моделю маємо 1 вихідну величину – Р і 2 вхідні
та
. Виличини Р0 і Р1 будемо вважати постійними. Складемо рівняння математичного балансу.
Де
та
- коефіцієнти витрати клапанів;
та
значення щільності газу відповідно для Р0 і Р1
Це рівняння є рівнянням статики, яке зв’язує вихідну величину Р зі вхідними
та
.
Але в цьому рівняння присутні значення значення щільності газу
та
, які для ізотермічного процесу повністю визначаються значеннями тиску Р0 і Р1.
І в зв’язку з тим, що Р0, а значить, і
являються постійними величинами, тиск слід виразити через значення щільності.
Для ізотермічного процесу, який протікає при постійній температурі з рівнянням стану ідеального газу.
З цієї формули слідує, що при постійній температурі і незмінному значенні маси газу і його молярній масі М добуток тиску газу на його об’єм повинно залишатися постійною.
Відомо, що :
Значення функціональної залежності
отримано в загальному вигляді. Перейдемо до чисельного представлення отриманої функціональної залежності. Для цього визначаємо чисельне значення усіх необхідних величин ( основного статичного режиму).
Таблиця 1
Значення параметрів ресивера в номінальному статичному режимі
№
Назва параметру
Позначення
Розмірність
Дані
1
Витрати повітря на вході
G1
кг/год
20
2
Витрати повітря на виході
G2
кг/год
20
3
Тиск повітря на вході
P0
кг/см2
6
4
Тиск повітря в ресивері
P
кг/см2
4
5
Тиск повітря на виході
P1
кг/см2
3
6
Ступінь відкриття вхідного клапану
-
0.4
7
Ступінь відкриття вихідного клапану
-
0.6
8
Температура повітря
t
оС
20
9
Щільність повітря
кг/см3
10
Щільність повітря в ресивері
кг/см3
11
Коефіцієнт витрати вхідного клапана
12
Коефіцієнт витрати вихідного клапана
13
З довідника відомо, що
при тиску і температури 200
С дорівнює
кг/см2
Отримана залежність - статична модель об'єкта в явній формі, що відповідає поставленому завданню. Розрахуємо характеристику
Р кг/см2
0
3
0,1
3,116
0,2
3,386
0,3
3,7
0,4
4
0,5
4,269
0,6
4,5
0,7
4,698
0,8
4,866
0,9
5,008
1
5,128
2 Аналітичне моделювання динамічного режиму
Отримати рівняння динаміки двохємкістного ресивера, схематично зображеного на рис.1. Визначальним параметром даного об’єкта є тиск Р3
. Необхідно знайти залежність:
, де
ступінь відкриття клапану на вхідному потоці;
- витрати газу з ресивера, кг/год.
Рис. 2. Розрахункова схема об’єкту моделювання
Основний статичний режим визначається такими значеннями параметрів
Н/см2
;
Н/см2
;
Н/см2
;
кг/год
Ємкості ресивера мають об’єм
;
На основі матеріальних балансів складаємо рівняння статики для кожної із єкостей
Витрати
та
потрібно виразити через залежності від відповідних значень тиску, та ступеню відкриття клапану на вхідному потоці:
,
де
та
- коефіцієнти витрати;
та
- це значення щільності газу відповідно перед вхідним клапоном та у першій ємкості.
Враховуючи акумулюючу здатність кожної з ємкостей, перетворимо рівняння статики на рівняння динаміки:
За умовою, що
та
,
Отримуємл наступну систему диференційних рівнянь:
Зробимо аналіз змінних, що входять у рівняння. Змінними є :
. Якщо
та
будуть змінюватися, то навіть за сталим значенням
будуть змінюватися
та
, а в зв’язку з тим, що
- змінна, то змінною буду і
. Таким чином, змінними в рівняннях будуть
. Рівняння, з врахуванням визначенних змінних, будуть нелінійними. Лінеаризуємо рівняння розкладанням в ряд Тейлора.
В рівняннях є залежні між собою змінні. Це тиск
та щільність
, тиск
та щільність
. Іх однозначана залежність буде визначатися законом розширення газу. Якщо теплообмін з навколішнім середовищем близький до ідеального та не дуже великий перепад тиску, можна прийняти ізотермічний закон розширення газу PV=RT. Тоді можна записати:
,
Введемо умовне позначення
.
Де
Виключивши з рівнянь змінни
та розділивши всі складові рівняння на коефіцієнт при
, отримаємо:
Де
;
;
;
;
;
;
Розмірність всіх додатків рівняння динамікт однакова, що є необхідною, хоч і не достатьньою умовою стверджувати, що рівняння динаміки отримано вірно.
Визначимо із статичних залежностей та з довідників значення величин
. Спочатку визначимо
. Тиск та щільність для незмінної температури знаходяться у такій залежності:
,
де
- атмосферний тиск,
Н/см2
;
- абсолютне значення тиску відповідно перед ресивером, у першій та другій ємкості,
;
; .
Щільність повітря ддля атмосферного тиску за довідником
кг/м3
.
Враховуючи викладне вище, із залежності вирахуємо числові значення
для основного статичного режиму:
,
,
Визначимо числові значення коефіцієнтів витрати
.
.
Знайдемо числове значення виразу
,
.
Запишимо значення всіх констант та змінних в номінальному (початковому) режимі в табл.2. Користуючись значенням величин, записаних у табл. 2, знайдемо числові значення проміжних коефіцієнтів B, D, C та E.
;
;
; .
Таблиця 2
Значення параметрів ресивера в номінальноу статичному режимі
№ п.п
Назва параметру
Позначення
Розмірність
Числові значення
1.
Тиск повітря на вході
Н/см2
80
2.
Тиск повітря в першій ємкості
Н/см2
50
3.
Тиск повітря в другій ємкості
Н/см2
16
4.
Витрати повітря (
)
Кг/год
60
5.
Об'єм першої ємкості
м3
3
6.
Об'єм другої ємкості
м3
5
7.
Ступінь відкриття клапану
-
0.5
8.
Щільність повітря на вході
Кг/м3
11.9
9.
Щільність повітря в перщій ємкості
Кг/м3
7.9
10.
Щільність повітря в другій ємкості.
Кг/м3
3.42
11.
Коефіцієнт витрати через клапан
6.35
12.
Коефіцієнт витрати парубка між ємкостями
3.6
13.
0.133
Користуючись розрахованими значеннями В, D, C та Е, а також значеннями параметрів із таблиці 1, з використанням залежностей обчислимо значення коефіціентів рівняння динаміки.
год2
;
год;
;
; .
Підставляючи значення коефіцієнтів у рівняння динаміки запишемо його у числовій формі
.
Це рівняння є рівнянням динамікт ресивера відповідно до залежності
.
Знайдемо розв'язання рівняння
у вигляді
, де
- вільна складова;
- примусова складова.
Початкові умови приймемо нульовими:
Керуючий вплив визначаємо наступним чином:
. Збурюючий вплив
та його похідну приймаємо нульовими. Харакеристичне рівняння диференційного рівняння має вид:
,
; .
Таким чином вільна складова вирішення має наступний вид:
де, С1
та С2
– сталі інтегрування.
Примусова складова, у урахуванням того, що
не залежить від часу, складе:
Н/см2
Для визначення сталих інтегрування С1
та С2
складемо систему равняння з урахуванням початкових умов та того, що похідна від
має наступний вид:
Система рівнянь формується наступним чином:
Звідси маємо:
Розв'язання системи рівняння дозволяє отримати такі значення С1
та С2
:
,
.
Таким чином, остаточно запишемо розв'язання рівняння
За цією формулою проведемо розрахунки
, результати яких наведені в таблиці.