РЕФЕРАТ
на тему:
Параметричний резонанс
Розглянемо рух математичного маятника, точка підвісу якого z0
коливається вертикально з частотою со і амплітудою а:z0
= = acos
t. Внаслідок коливань точки підвісу система координат, початок якої збігається з точкою підвісу, неінерціальна. Тому, слід врахувати силу інерції, яка в розглядуваному випадку дорівнює
lz
= — m
0
= m
2
a cos
t.
Потенціал цієї сили виражається формулою
U = —lz
z = —mla
2
cos
cos
,
де 8 — кут відхилення маятника від вертикалі, вибраний за узагальнену координату. Функція Лагранжа в цьому разі має вигляд
L =
+ mgl cos
+ mla
2
cos
t cos
,
а рівняння Лагранжа
Для малих коливань (
1) це рівняння зводиться до лінійного рівняння
де
= g/l.
Таким чином, коливання точки підвісу математичного маятника еквівалентне зміні з часом його параметрів:
Параметром, що залежить від часу, тут є частота
Ця залежність за певних умов, як буде показано нижче, приводить до наростання з часом амплітуди коливань, тобто до параметричного резонансу або параметричної нестійкості.
Розглянемо спочатку загальний випадок, коли функція
(t) в рівнянні (40.1) є довільною періодичною функцією часу
(t + Т) =
(t)
з періодом Т — 2
/
. У зв'язку з цим можна сказати, що рівняння (40.1) інваріантне відносно перетворення t→t+T. Звідси випливає, що коли
(t) є розв'язком рівняння то функція
(t— Т) теж має бути його розв'язком. З курсу диференціальних рівнянь відомо, що рівняння другого порядку завжди має два лінійно незалежні розв'язки Ql (t) і 92 (t), а будь-який інший розв'язок можна подати у вигляді лінійної комбінації цих двох розв'язків. Зокрема,
1
(t + T)= а11
1
(t) + а12
2
(t),
2
(t + T) = а21
1
(t) + a22
2
(t).
Завжди можна вибрати систему лінійно незалежних розв'язків так, щоб вони були дійсними. Оскільки аргумент t функцій
1
(t + T) і
2
(t + T) дійсний, то
1
(t + T) і
2
(t + T) також будуть дійсними. Звідси випливає, що коефіцієнти а11
в формулах дійсні; крім того, їхній визначник відмінний від нуля, інакше функції
1
(t + T) і
2
(t + T) були б лінійно залежними. Справді, якщо припустити, що визначник
то а11
=
, а
1
(t + T) =
1
(t) + а12
2
(t + T) =
[a21
1
(t)+a22
2
(t)] =
2
(t + T)
що означає лінійну залежність функцій
1
(t + T) і
2
(t + T)/ Покажемо, що завжди можна вибрати два таких лінійно незалежних розв'язки рівняння, що зміна їх при заміні tна t+ Т зводиться до множення на деякий сталий .множник, тобто
(t + T) =
. Справді, нехай
1
(t) і
2
(t) не мають такої властивості. Тоді помножимо першу рівність на деяку величину
, а другу — на
і додамо їх:
’
(t + T)
Підберемо числа
і
так, щоб виконувалися різності
Це система однорідних рівнянь відносно величин
і
, розв'язок якої існує, якщо
Звідси знаходимо два, взагалі кажучи, комплексно спряжених значення величини
:
1
і
2
, кожному з яких відповідає оди:І розв'язок системи однорідних рівнянь. Поклавши в
=
1
, знаходимо
Тоді із співвідношення
1
’
(t + T)
Аналогічно для
=
2
, маємо
2
’
(t + T)
Отже, завжди можна вибрати два таких лінійно незалежних розв'язки рівняння, щоб зміна їх при заміні tна t+ Т зводилась до множення на сталий множник:
1
’
(t + T)
,
2
’
(t + T)
Такі ж співвідношення справедливі для похідних за часом
1
’
(t + T)
,
2
’
(t + T)
Формули можна записати тотожно так:
;
Звідси випливає, що функції
П1
(t) =
; П2
(t) =
є періодичними з періодом Т. Отже, система лінійно незалежних розв'язків рівняння має вигляд
1
(t + T)
,
2
’
(t + T)
,
Сталі
1
і
2
, зв'язані між собою співвідношенням, яке можна вивести так. Помножимо рівняння, які задовольняють функції
1
і
2
,
;
відповідно на
1
і
2
і віднімемо від першого друге. В результаті дістанемо
звідки випливає, що вираз l(t) =
= constне залежить від часу. Тому l(t+ Т) = l(t). Оскільки з одного боку l (t + T) =
1
(t +T)
2
(t + T) =
1
2
l(t), а з іншого — l (t+ T) = = l (t), то
1
2
=1
Оскільки коефіцієнти визначника аі
j
дійсні, то величини
1
і
2
, або дійсні, або комплексно-спряжені. Тоді, враховуючи співвідношення, покладемо
1
= еzT
,
2
= е-
zT
де z — комплексна число, яке можна знайти, розв'язавши рівняння.
Таким чином, використовуючи співвідношення, робимо висновок, що два лінійно незалежних розв'язки рівняння з періодичним коефіцієнтом
(t) =
(t + T) можна записати-у вигляді (теорема Флоке):
1
(t + T)
,
2
’
(t + T)
,
Тут П1
(t) і П2
(t) — періодичні функції з періодом Т, внаслідок чого їх можна розкласти в ряд Фуh'є
П (t)=
Якщо Rez
0, то одна з двох функцій експоненціальне зростатиме з часом. Це означає, що стан рівноваги
= 0 не е стійким. Досить будь-якого малого відхилення від положення рівноваги, щоб це відхилення потім експоненціальне збільшувалося з часом. Це явище було названо параметричним резонансом або параметричною нестійкістю.
|