Параметры вращения цилиндров - контрольная работа

Задача 1

Испытываемая жидкость заливается в кольцевую щель на высоту h между цилиндрами А и В (см. рис. 1). Для вращения цилиндра В относительно цилиндра А с частотой n нему должен быть приложен момент М. пренебрегая моментом трения в опорах, определить динамический и кинематический коэффициенты вязкости жидкости с плотностью с. При расчете принять d >> D-d, где D и d – диаметры цилиндров.

Рис. 1

Решение

Возникает момент сопротивления:

dM_тр = ,

где = ; S – площадь цилиндра. S= р·d·h.

По закону Ньютона (для внутреннего трения):

dF_тр = .

Приближенно находим

= .

где V_нар. – скорость наружного цилиндра диаметра d; V_внутр. = 0 – скорость внутреннего цилиндра диаметра D.

V_нар. = 2 р·n· .

Получаем численно:

= = .

Получаем для нашего случая, сила трения действующая на внутренний цилиндр:

F_тр = з· ·S.

Вращающий момент силы трения:

M_тр = F_тр · .

Получаем,

M_тр = з· · р·d·h· .

При установившимся движении М = M_тр :

М = з· · р·d·h· .

Находим динамический коэффициент вязкости:

з = ,

з = = = 4,610 Па·с.

Находим кинематическую вязкость жидкости (кинематический коэффициент вязкости жидкости):

д = = = 6,40·10^-3 .

Ответ: динамический коэффициент вязкости – з = 4,978 Па·с; кинематический коэффициент вязкости д = 6,40·10^-3 .

Задача 2

Определить разность давлений в точках А и В, заполненных водой резервуаров (см. рис. 2), если известны показания ртутного дифманометра Д h= 20 см и расстояние между точками Н =0,7 м. Плотность воды с_в = 1000 кг/м³ ; ртути с_рт = 13,544·10³ кг/м³ .

вращение цилиндр вязкость давление

Рис. 2

Решение

Давление на уровне О- О можем определить так:

Р_о = Р_А + с_В g (Н + Дх + Дh),

Р_о = Р_А + с_В ·g·Дх +с_рт ·g·Дh).

Получаем из полученных выражений:

Р_А + с_В g (Н + Дh)+ с_В ·g·Дх = с_В ·g·Дх+с_рт ·g·Дh+Р_А – Р_В = с_рт ·g·Дh– с_В g (Н + Дh) = 13,544·10³ кг/м³ ·9,8 м/с² · 0,2 м – 1000 кг/м³ · 9,8 м/с² · 0,9 м = 17726,24 Па.

Ответ: разность давлений между точками А и В составляет 17726,24 Па.

Задача 3

Прямоугольное отверстие высотой h= 300 мм и шириной b = 800 мм в вертикальной стенке заполненного водой закрытого резервуара закрыто щитком, вращающимся вокруг горизонтальной оси О (см. рис. 3). Щит прижимается грузом, подвешенным на рычаге длиной r = 1000 мм. Определить минимальный вес груза и построить эпюру давлений на щит, если известны глубина погружения нижней кромки отверстия под водой Н = 1000 мм, расстояние от верхней кромки отверстия до оси вращающегося щита а= 90 мм и показание пружинного манометра с_о = 1,1·10⁴ Па. Весом рычага и трением в опоре пренебречь. Плотность воды с_в = 1000 кг/м³ . момент инерции прямоугольника относительно центральной оси определяется по формуле J = b·h³ /12.

Рис. 3

Решение

Манометр показывает избыточное давление по отношению к атмосферному.

Сила давления суммарная, действующая на щит с внутренней стороны щита равна:

F = [P_o + с·g (H- )]·b·h.

Находим ее приложение (давление рассчитываем для центра тяжести т. площадки). Сила давления не приложена в центре тяжести площадки, т.е. в точке А.

Сила давления в точке В, где АВ = J/b·h·H_A ;

Н_А = = + (H- ).

Находим минимальный подвешенный груз, чтобы щит не раскрылся:

Q ·Г ≥ F·(a+ + АВ).

Q_min = = =

= =

= 3898,69 H

Ответ: минимальный вес груза 3898,69 Н, эпюра давлений на щит показана на рис. 3.

Задача 4

Открытый вертикальный цилиндрический сосуд (рис. 4) радиусом R = 1,2 м с жидкостью равномерно вращается вокруг вертикальной оси со скоростью щ = 80 об/мин. Определить высоту жидкости h_o после остановки сосуда и глубину воронок h₂ , если известна высота жидкости h₁ = 1,5 м.

Рис. 4

Решение

Скорость вращения:

щ = = 8,37 с^-1 .

Высота параболоида (глубина воронки):

h₂ = = = 5,1 м.

Объем параболоида вращения равен:

V_пар = р·R² · .

Высота покоящейся жидкости:

h_o = h₁ – =1,5 – = 1,05 м.

Ответ: высота жидкости после остановки сосуда h_o = 1,05 м.

Задача 5

Вода вытекает из резервуара, в котором поддерживается постоянный уровень, через трубопровод при атмосферном давлении в конце трубопровода. Пренебрегая сопротивлениями, определить уровень в резервуаре, расход воды Q и построить напорную и пьезометрическую линию, если известны показания ртутного дифференциального пьезометра h, диаметры трубопроводов D₁ = 200 мм, D₂ =190 мм, d = 150 мм, плотность ртути и воды соответственно с_рт = 13,5 ·10³ кг/м³ ; с_в = 1000 кг/м³ . Атмосферное давление Р_а = 10⁵ Па.

Рис. 5

Решение

Давление статическое в сечении трубки диаметром D₁ :

P₁ = P_a + сgH– .

Давление статическое в сечении трубки диаметром d:

P = P_a + сgH– .

Используя дифференциальный пьезометр, находим:

P₁ – P = (с_рт – с_в ) gh,

т.е. = (с_рт – с_в ) gh(1)

при выходе из трубы имеем:

P_a + сgH– = P_a (2)

Исходя из неразрывности струи, имеем:

= = .

После сокращения получаем:

= d² ·V = (3).

На основании выражения (3), можем записать:

= d² ·V.

V₁ = .

Подставляем полученное выражение в выражение (1), получаем:

V² - = .

V= = = 71,67 м/с.

Находим расход воды:

Q = = = 0,081240 м³ /с = 81,24 л/с.

Находим высоту столба воды Н в резервуаре:

сgH =

gH = ; H = . (атмосферное давление не учитывается).

Из уравнения (3), имеем:

V₂ = .

Получаем:

Н = = = 130,48 м.

Ответ: высота воды в резервуаре Н = 130,48 м; расход воды Q = 81,24 л.

Задача 6

В водопроводной сети имеется участок АВ с тремя параллельными ветвями (см. рис. 6). Определить потерю напора h на этом участке и расходы ветвей Q₁ , Q₂ , и Q₃ , если расход магистрали Q = 110 л/с, диаметры и длины участков D₁ = 275 мм; D₂ = 175 мм; D₃ = 200 мм; l₁ = 500 м; l₂ = 1100 м; l₃ = 1300 м. Трубы нормальные.

Рис. 6

Решение

В соответствии с уравнением неразрывности потока расход жидкости по данному трубопроводу будет:

Q = Q₁ + Q₂ + Q₃ (1)

Рассчитаем потери напора в каждом трубопроводе:

Н_пот.1 = б₁ ·Q , где Q₁ = ,

Н_пот.2 = б₁ ·Q , где Q₂ = , (3)

Н_пот.3 = б₁ ·Q , где Q₃ = .

Потери напора в любом из простых трубопроводов, а также общие потери напора в рассматриваемом сложном трубопроводе будут равны разности полных напоров в сечениях А иВ:

Н_А – Н_В = Н_пот.1 = Н_пот.2 = Н_пот.2 = Н_пот. (4).

Подставляем в выражение (1) выражение (3) получаем:

Q = = = = . (5)

Поскольку местными сопротивлениями можно пренебречь, сопротивления отдельных простых трубопроводов могут быть найдены по одной из формул:

А = А_дл ·l; a= .

Из формулы (5) имеем:

Н_пот = .

Из таблицы для нормальных труб, имеем:

D₁ = 275 мм; 0,613 м⁶ /с.

D₂ = 175 мм; 0,212 м⁶ /с.

D₃ = 200 мм; 0,116 м⁶ /с.

Находим потери напора по формуле (5):

а₁ = = = 815,66

а₂ = = = 5188,67

а₁ = = = 11206,89

Н_пот = = 6,032

Q₁ = = 0,085 м³ /с = 85 л/с.

Q₂ = = 0,0340 м³ /с = 34 л/с.

Q₃ = = 0,0231 м³ /с = 23,1 л/с.

Q₁ + Q₂ + Q₃ = 0,14 м³ /с = 142,1 л/с.

Ответ: потеря напора на участке АВ составляет 6,032 м. рт. столба, а расходы Q₁ = 85 л, Q₂ = 34 л/с; Q₃ = 23,1 л/с.

Задача 7

Вода под давлением P_o подводится по трубе диаметром d_c = 13 мм, в котором происходит увеличение скорости и понижение давления (см. рис. 7). Затем в диффузоре поток расширяется до диаметра d= 50 мм. Вода выходит в атмосферу на высоте Н₂ = 1,3 м и поднимается из нижнего резервуара на высоту Н₁ = 2,5 м. определить минимальное давление Р_о перед эжектором с учетом потерь напора в сопле (о_с = 0,06), диффузоре (о_диф = 0,25), коленах (о_к = 0,25).

Рис. 7

Решение

Запишем уравнение Бернулли (перед соплом и на выходе):

1) Р_о + = Р_а + +сg(H₁ + H₂ ) +(0,06+2·0,25) .

Давление в струе после сопла будет:

2) Р_с £ Р_а – сgH_1.

Запишем уравнение Бернулли (перед соплом и после сопла в сечениях):

3) Р_о + = Р_а – сgH₁ + +0,06 .

Уравнение неразрывности струи:

4) = ; d² V = V_c ; V_c = ·V.

Численная связь V_c = ·V.

Решаем систему:

Из уравнения (1) отнимаем уравнение (3) и находим

0= + сg(2H₁ + H₂ ) + – с · .

· – = g(2H₁ + H₂ ).

V² = = = 0,56 м² /с² .

Из первого уравнения имеем:

Р₀ ³ Р_а + сg(H₁ + H₂ ) + = Р_а + 1000·9,81 (2,5+1,3) + = Р_а + 37434,8 Па.

Ответ: минимальное давление перед инжектором P_o = P_a + 37434,8 Па.

Литература

1. Р.Р. Чугуев. Гидравлика. М., 1991 г.

2. В.Г. Гейер, В.С. Дулин, А.П. Заря. Гидравлика и гидропривод. М. «Недра», 1991 г.