11. СТАТИКА РІДИН ТА ГАЗІВ.
В цій лекції розглядаються основні питання гідро та аеро-статики, тобто умови і закономірності рівноваги рідин і газів під дією прикладених до них сил і, крім того, умови рівноваги твердих тіл, що знаходяться в рідині чи газі.
1. ТИСК В РІДИНАХ І ГАЗАХ. ЗАКОН ПАСКАЛЯ.
Введемо спочатку поняття тиску. Розглянемо деяку поверхню S, на яку діє розподілена сила. Виділимо на цій поверхні нескінченно малий майданчик dS (рис. 11.1). Нехай
– це сила, що діє на майданчик dS.
Відношення сили
до площі dS називають напругою:
(11.1)
Орієнтацію майданчика dS задають з допомогою вектора нормалі до нього. Якщо S – це поверхня якогось тіла, то домовились проводити нормаль назовні від поверхні тіла. На рис. 11.1 показано одиничний вектор
цієї нормалі.
Напругу
можна розкласти на дві складові: вздовж нормалі
і перпендикулярно до неї, тобто в площині, дотичній до майданчика dS. Першу складову називають нормальною, а другу – тангенціальною напругами, що діють на майданчику dS:
(11.2)
Якщо напрям
і
співпадають, то цю напругу називають натягом T, в протилежному випадку – тиском P.
Тиском Р називається фізична величина, що дорівнює модулю нормальної складової сили, яка діє на одиницю площі поверхні тіла:
(11.3)
Напруга в цьому випадку дорівнює:
Зауважимо, що тиск – величина скалярна.
Особливістю рідин та газів є їх текучість, зумовлена малими силами тертя під час відносного руху шарів, що дотикаються, та відсутністю тертя спокою. Рідинам і газам не властива пружність форми, вони мають лише об’ємну пружність. В стані рівноваги напруга в рідинах і газах завжди нормальна до майданчика, на який вона діє. Дотичні (тангенціальні) напруги із-за текучості в рідинах та газах під час рівноваги не виникають.
З цієї точки зору рідини та гази можна означити як середовища, в яких при рівновазі дотичні напруги існувати не можуть.
З даного означення випливає, що в стані рівноваги нормальна напруга в рідині чи газі (тиск) не залежить від орієнтації майданчика, на який вона діє. Це твердження називають законом Паскаля. Іншим чином його можна сформулювати так:
Тиск, що діє на рідину чи газ, передається в усіх напрямках без зміни.
Закон Паскаля пояснює роботу гідравлічного пресу (рис. 11.2).
В газах нормальна напруга завжди направлена всередину газу, тобто – це тиск. В рідинах
, як правило, теж тиск, хоч інколи можна реалізувати випадки, коли
буде натягом (від’ємний тиск).
2. ОСНОВНЕ РІВНЯННЯ ГІДРОСТАТИКИ. БАРОМЕТРИЧНА ФОРМУЛА.
Сили, що діють в рідині, ділять звичайно на сили масові (об’ємні) і сили поверхневі.
Масова сила пропорційна масі
, а отже, і об’єму
елемента рідини, на який вона діє. Цю силу можна записати як
, де
називають об’ємною густиною масових сил. Прикладом масових сил є сила тяжіння:
де
– густина рідини.
Поверхневі сили – це сили, що діють на поверхню даного об’єму рідини завдяки дії нормальних та дотичних напруг з боку оточуючої рідини.
Розглянемо рідину, що перебуває у рівновазі. В цьому випадку дотичних напруг немає. Виділимо в рідині нескінченно малий елемент об’єму
у вигляді циліндра з площею основи
і довжиною
, розташованого вздовж вісі X (рис. 11.3):
Тиск в т.xдорівнює
, в т.
:
. Сили тиску на основи циліндра відповідно дорівнюють:
Проекція рівнодійної сил тиску на вісь X:
Вираз в дужках є не що інше, як похідна від Р по x; але, оскільки Pзалежить також і від yтаz, то це частинна похідна:
(11.4)
Таким чином, проекція рівнодійної сил тиску на вісь Xпропорційна елементу об’єму і її можна подати у виді:
.
– це проекція на вісь X сили, яка діє на одиницю об’єму рідини.
Аналогічно для двох інших осей Yта Z:
Вектор
(11.5)
Вираз в дужках є градієнт скаляра Р:
(11.6)
Об’ємна густина рівнодійної сил тиску, що діють на елементи об’єму рідини, дорівнює градієнту тиску, взятому з протилежним знаком.
В стані рівноваги сила
повинна зрівноважуватись масовою силою
:
. Це дає рівняння
, (11.7)
яке називають основним рівнянням гідростатики. В координатній формі воно має вид системи (11.8):
(11.8)
Якщо масових сил немає, тобто
, то з виразу (11.8) матимемо:
або
.
При рівновазі у відсутності масових сил тиск Р один і той же по всьому об’єму рідини.
Це ще одне формулювання закону Паскаля (Блез Паскаль,
1623 – 1662).
Зокрема, якщо масові сили відсутні, рідина може перебувати в рівновазі тільки тоді, коли зовнішній тиск на її поверхню один і той же в усіх точках цієї поверхні. Інакше виникне рух рідини. У відсутності масових сил однаковий тиск на поверхню рідини приводить до появи такого ж тиску в усіх точках всередині рідини.
Якщо рідина знаходиться в полі тяжіння, то
; направимо вісь Zвертикально вгору, тоді:
(11.9)
Тиск залишається сталим в кожній площині
. Горизонтальні площини – це площини однакового тиску. Вільна поверхня рідини горизонтальна тому, що вона перебуває під сталим тиском атмосфери.
Якщо рідина не стискується, то
і (11.9) інтегрується:
, (11.10)
де
– тиск на висоті
тобто атмосферний тиск, якщо початок розташувати на вільній поверхні рідини.
Рівняння (11.10) охоплює практично всю шкільну гідростатику.
(інакше
) – це гідростатичний тиск, викликаний вагою рідини, який залежить від глибини занурення в рідину.
Застосуємо основне рівняння гідростатики до земної атмосфери. Одержимо (див. (11.9)):
(11.11)
В останньому виразі замість частинної похідної записана звичайна, оскільки Р не залежить від xтаy. Для земної атмосфери наближено можна використати рівняння Клапейрона-Менделєєва:
,
звідки:
. (11.12)
Підставимо (11.12) в (11.11) і проінтегруємо в припущенні, що
:
при
, отже стала інтегрування
.
, або:
(11.13)
(11.13) називають барометричною формулою.
Аналогічно:
(11.14)
У виразах (11.13) і (11.14)
і
- це тиск і густина повітря на поверхні Землі.
3. ЗАКОН АРХІМЕДА. ПЛАВАННЯ ТІЛ.
Уявно виділимо в рідині довільний об’єм, обмежений замкненою поверхнею S (рис. 11.4). Якщо рідина перебуває в рівновазі, то рівнодійна всіх зовнішніх сил, що діють на виділений об’єм рідини, і її момент повинен дорівнювати нулю. На виділений об’єм діють сила тяжіння
і сили тиску, рівнодійна
яких повинна дорівнювати за модулем
і бути прикладеною в центрі мас
виділеного об’єму рідини. Видалимо тепер рідину з вказаного об’єму і вмістимо туди будь-яке тверде тіло. Якщо це тіло перебуває в рівновазі, то стан оточуючої рідини не зазнає ніяких змін.
Таким чином, якщо тіло, занурене в рідину, перебуває в стані рівноваги, то з боку рідини воно зазнає дії виштовхувальної сили гідростатичного тиску. Ця сила чисельно дорівнює силі тяжіння, що діє на рідину, яка має об’єм зануреної частини тіла.
Виштовхувальна сила направлена вгору і прикладена до центра мас
рідини, яку витіснило тіло. Точку
називають центром тиску або центром плавучості тіла. Вищенаведене твердження і називають законом Архімеда, а виштовхувальну силу називають архімедовою силою:
(11.15)
Використовуючи поняття ваги, архімедову силу можна означити, як силу, що дорівнює вазі рідини, яку витіснило тіло.
Для рівноваги необхідно, щоб вага тіла дорівнювала вазі витісненої ним рідини, а центр плавучості
лежав на одній вертикалі з центром мас С самого тіла. Для тіла, яке занурене в рідину повністю, рівновага буде стійкою, якщо центр мас тіла С лежатиме нижче його центра плавучості
, і нестійкою в протилежному випадку. Якщо тіло занурене в рідину частково, то рівновага буде стійкою в двох випадках: по-перше, якщо центр мас С буде розташований нижче центра плавучості
, і, по-друге, якщо центр мас С буде розташований нижче метацентра. Метацентром називають точку М тіла, в якій перетинаються лінії дії виштовхувальних сил в стані рівноваги і при відхилення тіла від положення рівноваги на малий кут (див. рис. 11.6).
|