| Лекція 2
Класифікація електромагнітних явищ
Існують загальні підходи для спрощення:
1. Рівняння стаціонарного електромагнітного поля
. Інколи можна розглядати постійні струми. При цьому в рівнянні (*) зникають похідні:
Приклад використання: розрахунок наводок
.
2. Розглянемо систему рівнянь у вакуумі
, де
. Рівняння магнітостатики:
, рівняння електростатики:
. Рівняння магнітостатики має місце і там, де
.Рівняння Максвела нехвильове. Хвильовим воно стає в однорідному ізотропному середовищі. Звідси
тобто
звідки одержуємо рівняння Лапласа
:
(з урахуванням заряду), Пуасона
:
(без).
3. Квазістатичне наближення
:
,
- розмір об’єкту. Тоді рівняння Максвела спрощуються. Розглянемо метал: там просторові переходи дуже швидко зростають (швидке затухання) тобто частинними похідними можна знехтувати.
4. Для монохроматичного лінійного поля можна використати метод комплексних амплітуд
: позбавляємося частинних похідних тобто спрощуємо рівняння Максвела. Рівняння ЕМП в комплексній формі будемо розглядати лише для лінійних рівнянь, хоча існує метод і для нелінійних. Розглянемо рівняння:
. Зробимо наступну заміну:
, та аналогічно
. Підставивши отримаємо:
, прирівнявши коефіцієнти отримуємо:
- ми спростили рівняння. Для того, щоб записати лінійне ДР у комплексних амплітудах, потрібно: а) замість дійсних змінних записати комплексні змінні; б) замість похідних по часу треба записати
. Для того щоб знайти розв’язок рівняння, потрібно розв’язати спрощене рівняння, а потім знайти реальну частину від одного з виразів:
або
. Часто рівняння записують з урахуванням того, що хвильовий вектор
, де
. Надалі ми будемо працювати в комплексних амплітудах.
Було б зручно звести рівняння Максвела до хвильових, але це можна зробити лише у деяких випадках, які і розглянемо.
Плоскі хвилі
Розглядатимемо плоскі хвилі в однорідному ізотропному середовищі.
Задача:
знайти характеристики плоскої хвилі в такому середовищі.
Розв’язок:
1. Обираємо декартову систему координат;
2. Рівняння Максвела:
; де
. У плоскої хвилі на хвильовому фронті амплітуда і фаза однакова. Нехай хвиля розповсюджується в напрямку
, то
. Отримаємо
(з
). Розв’язок отриманог рівнянння осцилятора: .
Перейдемо до справжньої компоненти поля:
де
- рівняння хвильового фронту (фаза
). Цей фронт розповсюджується зліва направо. Якби ми взяли замість
компоненту
, то одержали б
- фронт, що рухається справа наліво.
Розглянемо
.
.
;
, тобто маємо дійсно праву трійку
. Оскільки
, то .
Таким чином у плоскій хвилі
і
залежні величини: якщо одне з них задане, то друге визначається лише серидовищем (див. *). Це в СГСЕ, в інших системах по іншому. Наприклад, в СІ у вакуумі
377 (Ом) – опір вільного простору (хвильовий опір простору).
Затухання електромагнітних хвиль (ЕМХ).
Нехай вздовж осі
розповсюджується ЕМХ:
; тут
. Розглянемо в середовищі, де
, (найрозповсюдженіший випадок);
. Тоді
. З’явилася дійсна величина
в експоненті. Тобто кожна хвиля затухає.
|