| Метод
безпосереднього інтегрування
Цей метод базується на рівності , де а та b – де сталі і застосовується у тих випадках, коли підінтегральна функція
f
має вигляд
однієї із підінтегральних функцій табличних інтегралів, але її аргумент відрізняється від змінної інтегрування постійним доданком або постійним множником або постійним множником та постійним доданком.
Приклад
3. Знайти інтеграли
Розв’язування.
У цьому випадку змінна інтегрування х відрізняється від аргументу степеневої функції u8
= (х + 3)8
на постійний доданок 3;
У цьому випадку аргумент функції косинус відрізняється від змінної інтегрування х на множник ½.
У цьому випадку змінна інтегрування х відрізняється від аргумента степеневої функції u2/5
= (3х - 7)2/5
постійним множником 3 та постійним доданком (- 7).
Метод підстановки (заміни змінної)
Цей метод містить два прийоми.
а) Якщо для знаходження заданого інтеграла зробити підстановку х = (t), тоді має місце рівність
Після знаходження останнього інтеграла треба повернутись до початкової змінної інтегрування х. Для застосування цього прийому треба, щоб функція х = (t) мала обернену t = (х).
Приклад 4. Знайти інтеграл
Розв’язування. Зробимо підстановку x = 5sin t, тоді
Отже, одержимо
Із рівності х = 5 sin t одержимо t = arcsin (x/5);
Отже,
b) Якщо зробити заміну змінної, тобто t = (х) тоді має місце рівність .
Після знаходження останнього інтеграла треба по вернутись до змінної х, використовуючи рівність t = (х).
Зауваження:
1. Якщо підстановка обрана вдало, то одержаний інтеграл буде простішим і мета підстановки досягнута.
2. Якщо підінтегральний вираз містить корень вигляду , то доцільно застосувати тригонометричну підстановку х = a cos t або х = а sin t
3. Знаходження вдалої підстановки для інтегрування певної множини функцій є значною подією в інтегральному численні. Видатний вчений XVIII віку, член Петербурзької академії наук Л.Ейлер вказав підстановку для знаходження інтеграла . У цьому випадку
або
Отже,
|