Реферат на тему:
Аналітична геометрія на площині
Пряма лінія на площині найчастіше задається у вигляді рівняння
y
= k
×
x
+ b
(2.3)
де k=tg
a ‑ нахил цієї прямої до осі O
X (рис 2.3,а).
Часткові випадки розташування прямої (y=kx
, x=a
, y=b
) показані, відповідно, на рис.2.3б-г.
y y y y
b
b
x
1350
x x x
a
а б в г
Рис.2.3
Загальне рівняння прямої на площині має вигляд
Ax + By + C
= 0 (2.2)
Якщо B
¹0 , то рівняння (2.2) можна перетворити у (2.1).
Приклади
. Побудувати графіки прямих y
=1-x
та 2x
-y
+2=0. У першому прикладі k=tg
a
=
-1, отже a=1350
(рис. 2.4,а). В другому прикладі маємо y
=2x
+2 , отже, k=tg
a
=
2 (рис. 2.4,б).
y y
2x
-y
+2=0
y
=1-x
2
1
a=1350
1 x
-1 x
а б
Рис. 2.4
Наведемо ще деякі з рівнянь, які задають пряму на площині.
Пряма, яка проходить через дві задані точки (x
1
;y
1
) та (x
2
;y
2
):
, (2.3)
або, що те саме,
. (2.3¢)
Пряма, яка проходить через задану точку (x
1
;y
1
) паралельно до заданої прямої y=ax+b
:
y-y
1
=a
(x-x
1
) (2.4)
Пряма, яка проходить через задану точку (x1
;y1
) перпендикулярно до заданої прямої y=ax+b
:
(2.5)
Рівняння прямої у відрізках
(2.6)
Переходи від одного вигляду рівняння прямої до іншого виконують за допомогою нескладних перетворень.
Приклад
. Загальне рівняння прямої має вигляд 2x-y
+2=0.
Перейдемо до рівняння прямої у відрізках:
-2x+y
=2,
.
Перейдемо до рівняння з кутовим коефіцієнтом:
y
=2x
+2.
Візьмемо на нашій прямій дві точки, наприклад, (x
1
;y
1
)=(-1;0) та (x
2
;y
2
)=(0;2),і побудуємо рівняння прямої, яка проходить через ці дві точки:
.
Наведемо ще декілька формул щодо прямих на площині.
Кут між прямими y
=a
1
x
+b
1
та y
=a2
x
+b
2
обчислюється за формулою
Прямі y
=a
1
x
+b
1
та y
=a
2
x
+b
2
отже, є паралельними, якщо a
1
=a
2
, та перпендикулярними, якщо a
1
×a
2
= -1.
Точка перетину прямих є розв’язком системи рівнянь
.
Відстань від точки M
(x
1
;y
1
) до прямої Ax+By+C
=0 визначають за формулою
.
Приклад
. Попит Q
(кількість товару, що буде куплено) на товар залежно від його ціни p
на ринку задається формулою p=p
(Q
)=500-10Q
. Пропозицію Q
(кількість товару, що потрапить на ринок) залежно від ціни задає формула p
=p
(Q
)=50+5Q
.
Зобразити графічно криві попиту та пропозиції і визначити ціну рівноваги.
Маємо такий графік (рис.2.5).
p
500
Пропозиція
p
*
Попит
50
Q
*
Q
Рис. 2.5.
Ціну рівноваги p
*
(а також рівноважний випуск Q
*
) визначаємо як точку перетину прямих попиту та пропозиції, тобто розв’язуємо систему лінійних рівнянь
.
Помноживши друге рівняння на 2 і додавши до першого, отримаємо p
*
=200 та Q
*
=30 .
Приклад
. Нехай ринкова ціна за одиницю деякого виробу становить p
=10. Витрати, пов’язані з випуском кожної одиниці цього виробу в деякій фірмі, V
c
=5 (змінні витрати). Постійні витрати фірми становлять F
c
=40. Визначити обсяг виробництва Q
, за якого фірма матиме прибуток.
Загальні витрати фірми на виготовлення Q
одиниць продукції описуються залежністю
T
c
= F
c
+ Q
×
V
c
= 40+5Q .
Доход фірми від виготовлення і реалізації Q одиниць продукції становить
T
R
= p
×Q =10Q
.
Визначимо такий випуск Q
*
, за якого доход фірми збігається з її витратами:
T
R
= T
C
,
10Q
= 40+5Q ,
Q
*
= 8 .
Отже, прибуток (різниця між доходом і витратами) в цій моделі починається при Q
*
>8 і далі необмежено зростає (рис. 2.6).
T
c
,T
R
T
R
(доход)=10Q
T
c
(витрати)=40+5Q
40
Q
*
=8 Q
Рис. 2.6.
Розглянемо також основні криві другого порядку
та їхні рівняння. Це такі криві, рівняння яких містять змінні x
2
і/або y
2
.
Рівняння кола
з центром у точці (a
;b
) та радіусом r
має вигляд
(x-a
)2
+(y-b
)2
=r
2
.
У частковому випадку (коло одиничного радіуса з центром у початку координат) це рівняння спрощується:
x
2
+y
2
=r
2
.
Рівняння еліпса
(геометричного місця точок, сума відстаней до яких від двох заданих точок є сталою) записується так (рис. 2.7):
A
(x;y
)
c
F
1
F
2
Рис. 2.7.
Точки F
1
(-c
;0) та F
2
(c
;0) називаються при цьому фокусами
.
Виконуються такі властивості:
- для довільної точки A
на еліпсі ;
- c
2
=a
2
-b
2
.
Рівняння гіперболи
(геометричного місця точок (x;y
), для яких різниця відстаней до фокусів F
1
та F
2
є сталою) має вигляд (рис. 2.8):
Для гіперболи виконуються такі властивості:
- для довільної точки A
на гіперболі ;
- c
2
=a
2
+b
2
.
y
A
(x
;y
)
x
F
1
(-c
;0) F
2
(c
;0)
Рис. 2.8.
Рівняння параболи
(геометричного місця точок, однаково віддалених від заданої точки і заданої прямої ) є таким (рис. 2.9):
y
= 2px
B
A
(x
;y
)
p
/2 p
/2
F
Рис. 2.9.
Тут для довільної точки A
(x
;y
) параболи y
= 2px
виконується рівність , де ‑ відстань від точки A
до прямої .
|