Умова перпендикулярності прямих - реферат

: к ^/ =.

8. Рівняння прямої, що проходить через дану точку (х₁ ,у₁ ) :

у-у₁ =к(х-х₁ )

9. Рівняння прямої, що проходить через дві точки (х₁ ,у₁ ) і (х₂ ,у₂ ) :

10. Рівняння прямої, що відтинає відрізки а і в на осях координат:

11. Загальне рівняння прямої:

Ах+Ву+С=0, (А² +В² ¹ 0).

12. Відстань від точки (х₁ ,у₁ ) до прямої Ах+Ву+С=0:

d =

13. Рівняння кола з центром (х₀ ,у₀ ) і радіусом R :

(х-х₀ )² +(у-у₀ )² = R²

14. Канонічне рівняння еліпса з півосями а і в :

(1)

Фокуси еліпса F(c;0) i F^/ (-c;0) , де с² =а² -в²

15. Фокальні радіуси точки (х,у) еліпса (1):

r=a-Ex; r^/ =a+Ex,

де Е= - ексцентриситет еліпса.

16. Канонічне рівняння гіперболи з півосями а і в :

(2)

2

нерівностями a £ x £ b, y₁ (x) £ y £ y₂ (x), z₁ (x, y) £ z £ z₂ (x, y)

де y_i (x) , z_і (x, y), (і=1, 2) – неперервні функції, то потрійний інтеграл в прямокутних координатах від неперервної функції f(x, y z) можна обчислити за формулою:

.

Для заміток.

І. Аналітична геометрія на площині.

1. Паралельне перенесення системи координат:

х ^' =х-а, у ^' =у-в,

де О ^' (а;в) - новий початок, (х;у) - старі координати точки, [ х ^' ;у ^' ] - її нові координати.

2. Поворот системи координат (при нерухомому початку):

х= х ^' cos a - у ^' sin a ; y= x ^' sin a + y ^' cоs a ,

де (х,у) - старі координати точки, [х^' ,у^' ] - її нові координати, a - кут повороту.

3. Відстань між точками (х₁ ,у₁ ) і (х₂ ,у₂ ) :

d=

4. Координати точки, що ділить відрізок з кінцями (х₁ ,у₁ ) і (х₂ ,у₂ ) в даному відношенні l:

x= y= .

При l=1, маємо координати середини відрізка:

х =у =.

5. Площа трикутника з вершинами (х₁ ,у₁ ), (х₂ ,у₂ ) і (х₃ ,у₃ ) :

S =.

6. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:

у=кх+в,

де к= tg j (кутовий коефіцієнт) - нахил прямої до осі Ох ,

в - довжина відрізка, що відтинає пряма на осі Оу .

7. tg q = - тангенс кута між прямими з кутовими коефіцієнтами к і к^/ .

Умова паралельності прямих: к^/ =к .

1

24. Параметричні рівняння еліпса з півосями а і в :

x=a cos t, y=b sin t.

25. Параметричні рівняння циклоїди:

x=a(t-sin t), y=a(1-cos t) .

II. Диференціальне числення функцій

однієї змінної.

1. Основні теореми про границі:

а)

б)

Зокрема,

в)

2. Чудові границі:

а) б)

3. Зв'язок між десятковими та натуральними логарифмами:

lg x= М ln x, де М= lg e=0,43429…

4. Приріст функції у= f(x), що відповідає приросту аргументу х :

5. Умова неперервності функції у= f(x) :

Основна властивість неперервної функції:

6. Похідна

Геометрично y ^/ = f ^/ (x) - кутовий коефіцієнт дотичної до

4

XI. Подвійні та потрійні інтеграли.

1. Подвійним інтегралом від функції f(x, y) , розповсюдженим на область S , називається число:

, (1)

де (х_і , у_і ) є D S_i ( і=1, 2,… n) і d – найбільший діаметр комірок D S_i .

Якщо f(x, y) ³ 0 , то геометрично інтеграл (1) являє собою об’єм прямого циліндроїда, побудованого на основі S і обмеженого зверху поверхнею z=f(x, y) .

2. Якщо область інтегрування S стандартна відносно осі Оу і визначається нерівностями a £ x £ b , y₁ (x) £ y £ y₂ (x) ,

де y₁ (x),y₂ (x) – неперервні функції, то подвійний інтеграл в прямокутних декартових координатах від неперервної фуункції f(x, y) виражається формулою:

.

3. Подвійний інтеграл в полярних координатах j і r ,

де x=r cos j , y=rsin j має вигляд:

Якщо область інтегрування S визначається нерівностями:a £ j £ b , r₁ ( j ) £ r £ r₂ ( j ), то

4. Якщо r = r (х, у) – поверхнева густина пластини S , то її

маса є (2)

25

(фізичний зміст подвійного інтегралу). Зокрема, при r =1 отримуємо формулу площі пластинки

5. Статистичні моменти пластинки S відносно координатних осей Ох,Оу виражаються інтегралами:

,

де r = r (х, у) – поверхнева густина пластинки S.

6. Координати центра мас пластинки S визначаються за

формулами: , , (3)

де m – маса пластинки.

Для однорідної пластинки в формулах (2), (3) приймаємо r =1 .

7. Моменти інерції пластинки S відносно координатних осей Ох і Оу виражається інтегралами:

, ,

де r = r (х, у) – поверхнева густина пластинки.

8. Потрійним інтегралом від функції f(x, y z), розповсюдженим на область V , називається число:

, (4)

де ( x_i , y_i , z_i ) є D V_i (i=1, 2, 3,…n) , d – найбільший діаметр комірок D V_i .

Якщо f(x, y z) є густиною в точці (x, y z), то потрійний інтеграл (4) являє собою масу, що заповнює об¢єм V .

9. Об¢єм тіла V дорівнює: .

10. Якщо область інтегрування V визначається

26

Фокуси гіперболи F(c;0) і F^/ (-c;0) , де с² =а² +в²

17. Фокальні радіуси точки (х,у) гіперболи (2):

r= ± (Ex-a), r^/ = ± (Ex+a),

де Е= - ексцентриситет гіперболи.

18. Асимптоти гіперболи (2):

у= .

19. Графік оберненої пропорційності

ху=с (с ¹ 0)

- рівностороння гіпербола з асимптотами х=0, у=0.

20. Канонічне рівняння параболи з параметром р :

у² =2рх

Фокус параболи: F(p/2, 0) :рівняння директриси: х=-(р/2) ; фокальний радіус точки (х,у) параболи: r=x+(p/2) .

21. Графік квадратного тричлена

у=Ах² +Вх+С

- вертикальна парабола з вершиною

22. Полярні координати точки з прямокутними координатами х і у :

r tg j =

Прямокутні координати точки з полярними координатами

r і j .

x= r cos j , y= r sin j .

23. Параметричні рівняння кола радіуса R з центром в початку координат:

x=R cos t, y=R sin t. (t - параметр)

3

f ¢ ^/ (x₀ )=0 або f ¢ ^/ (x₀ ) не існує.

б) Достатні умови екструмуму функції f(x) в точці x₀ :

1) f ¢ ^/ (x₀ )=0, f ¢ ^/ (x₀ -h₁ )f ¢ ^/ (x₀ +h₂ )<0 при довільних досить малихh₁ >0 і h₂ >0 , або

2) f ¢ ^/ (x₀ )=0, f ¢¢ ^/ (x₀ ) ¹ 0

12. - Графік функції y=f(x) вгнутий (або випуклий вниз) якщо f ¢¢ ^/ (x)>0 i випуклий (випуклий вверх), якщо f ¢¢ ^/ (x)<0.

- Необхідна умова точки перегинy графіка функції

y=f(x) при x=x₀ : f ¢¢ ^/ (x₀ )=0 або f ¢¢ ^/ (x₀ ) не існує.

- Достатня умова точки перегину при х=х₀ :

f ¢¢ (x₀ )=0, f ¢¢ ^/ (x₀ -h₁ )f '' (x₀ +h₂ )<0 при будь-яких досить малих h₁ >0, h₂ >0.

13. Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [ a , b ] і f( a )f( b )<0, то корінь x рівняння f(x)=0 наближено можна обчислити за формулами:

а) (метод хорд)

б) , де f ¢ ( a ) ¹ 0; f( a )-f ¢ ( a )>0 (метод дотичних).

14. Диференціал незалежної змінної х : dx= ∆ x . Диференціал функції у= f(x):dy=y ¢ dx . Зв’язок приросту ∆ y функції з диференціалом dy функції:

∆ y=dy+ a ∆ x , де a →0 при ∆ х→0 .

Таблиця диференціалів функцій .

1) duⁿ =nu^n-1 du ; 7) d(ctg u)=-

2) da^u =a^u ln a du (a>0); de^u =e^u du ; 8) d(arcsin u) =

3)d(log_a u)= ; 9) d(arccos u)= -

6

9. Таблиця 2 .

Характер частинного розв¢язку z-неоднорідного рівняння у ¢¢ +ру ¢ + qy=f(x) (p i q - сталі) в залежності від правої частини f(x).

A, B, C – сталі невизначенні коефіцієнти.

Х.Криволінійні інтеграли.

1. Криволінійний інтеграл першого роду від неперервної функції f(x, y) , взятий по кусково гладкій кривій К :x=x(t) , y=y(t) (t є [ a , b ]) , дорівнює

(1)

Якщо крива К задана рівнянням у=у(х) ( a £ x £ b ) , то

23

Аналогічно визначається криволінійний інтеграл першого роду для випадку просторової кривої К .

Якщо f(x, y ) є лінійна густина лінії К , то інтеграл (1) являє собою масу лінії К .

2.Криволінійний інтеграл другого роду від пари неперервних функцій Х(х, у), У(х, у) , взятий по кусково гладкому шляху К :x=x(t), y=y(t) (t є [ a , b ]) , визначається за формулою:

(2)

Якщо шлях К задано рівнянням у=у(х) (х є [ a , b ] ) , то

.

Фналогічно визначається криволінійний інтеграл другого роду для просторової кривої К .

Фізично інтеграл (2) являє собою роботу змінної сили

F={X(x, y), Y(x, y)} вздовж шляху К .

3. Якщо виконується умова Х(х, у) dx+Y(x, y)dy=dU(x, y) , то інтеграл (2) незалежить від шляху інтегрування К і

, (3)

де (х₁ ,у₁ ) – початкова точка шляху і (х₂ ,у₂ ) – кінцева точка шляху.

Фізично інтеграл (3) являє собою роботу сили, що має потенціал U(x, y) .

24

графіка функції у= f(x) в точці з абсцисою х .

Правила і формули диференціювання:

а) C ¢ =0; б) (U+V-W) ¢ =U ¢ +V ¢ -W ¢ ;

в) (CU) ¢ =CU ¢ ; г) (UV) ¢ =U ¢ V+V ¢ U;

д) е)

є) ; и) (х ⁿ ) ¢ = n x^n-1 , x ¢ =1;

і) ( sin x ) ¢ =cos x; ї) ( cos x ) ¢ =-sin x;

й) ( tg x ) ¢ =sec² x; к) ( с tg х ) ¢ =-cosec² x;

л)м) (а ^x ) ¢ =a^x ln a, (e^x ) ¢ =e^x .

н) (а rcsin x ) ¢ = o) (arccos x) ¢ = ;

п) ( arctg x ) ¢ = р) (arcctg x) ¢ =

7. Теорема Лагранжа про кінцеві прирости диференційовної функції:

f(x₂ )-f(x₁ )=(x₂ -x₁ )f ¢ ^/ ( x ), де x є (х₁ ,х₂ ).

8. Функія у= f(x) зростає, якщо f ¢ ^/ (x)>0 ,і спадає, якщо f ¢ (x)<0 .

9. Правило Лопіталя для невизначеностей виду або :

якщо границя з права існує.

10. Локальна формула Тейлора:

f(x)=f(x₀ )+f ¢ ^/ (x₀ )(x-x₀ )+…+

де f⁽ⁿ⁾ (x) існує в деякому повному околі точки х₀ .

11.а) Необхідна умова екстремуму функції f(x) в точці x₀ :

5

6) .

7)

8)

9) .

10) .

11) .

12) де a ¹ 0 .

13)

14)

3. Основні методи інтегрування.

а) метод розкладу:

, де f(x)=f₁ (x)+f₂ (x)

б) метод підстановки: якщо x= j (t) , то

в) метод інтегрування частинами:

4. Формула Ньютона-Лейбніца: якщо f(x) - неперервна і F ¢ (x)=f(x) , то

.

5. Визначений інтеграл, як границя інтегральної суми:

8

де , ( n=1, 2,… ) .

IX. Диференціальні рівняння.

1. Диференціальні рівняння з відокремленими змінними.

X(x)Y(y)dx+X₁ (x)Y₁ (y)dy=0

має загальний інтеграл: (1)

Особливі розв¢язки, що не входять в інтеграл (1), визначаються з рівнянь: Х₁ (х)=0 і У₁ (у)=0.

2. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку:

P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0 ,

де P(x, y) і Q(x, y) – щднорідні неперервні функції одинакового степеня, розв¢язуються за допомогою підстановки y=u * x (u – нова функція).

3. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку:

a(x)y ¢ +b(x)y+c(x)=0

можна розв¢язати за допомогою підстановки y=u * v ,

де u – не нульовий розв¢язок однорідного рівняння

a(x)y ¢ +b(x)y=0 , а v – нова функція.

4. Інтегровані випадки диференціального рівняння другого порядку:

а) якщо y ¢¢ =f(x) , то загальний розв¢язок:

;

б) якщо y ¢¢ =f(у) , то загальний інтеграл:

;

в) якщо y ¢¢ =f(у ¢ ) , то загальний інтеграл рівняння можна

21

знайти з співвідношення: , де у ¢ =р .

5. Випадки пониження порядку для диференціального рівняння другого порядку:

а) якщо у ¢¢ = f(x, y ¢ ) , то приймаючи у ¢ =р(х) , отримуємо:

;

б) якщо у ¢¢ = f(у, y ¢ ) , то приймаючи у ¢ =р(у) , отримуємо:

.

6. Загальний розв¢язок лінійного однорідного диференці-ального рівняння другого порядку:

у ¢¢ +р(х)у ¢ + q(x)y=0 має вигляд

у=С₁ у₁ +С₂ у₂ ,

де у₁ і у₂ – лінійно незалежні частинні розв¢язки.

7. Загальний розв¢язок лінійного неоднорідного диференці-ального рівняння другого порядку:

у ¢¢ +р(х)у ¢ + q(x)y=f(x) має вигляд ,

де - загальний розв¢язок відповідного неоднорідного рівняння; z – частинний розв¢язок даного неоднорідного рівняння.

8. Таблиця 1 .

Загальний вигляд розв¢язків однорідного рівняння у ¢¢ +ру ¢ + qy=0 (p i q - сталі) в залежності від коренів характеристичного рівняння k² +pk+q=0 .

22

(a>0,a ¹ 1); d(ln u)=

4) d(sin u)=cos u du ; 10) d(arctg u)= ;

5) d(cos u)= -sin u du ; 11) d(arcctg u)=

6) d(tg u)= 12) df(u)=f ¢ (u)du .

15.Малий приріст диференційованої функції:

f(x+ ∆ x)-f(x) » f ¢ (x) ∆ x

16. Диференціал другого порядку функції у= f(x) , де х - незалежна змінна ( d² x )=0 :

d² y=у '' dx² .

III. Інтегральне числення.

1. Якщо dy=f(x)dx , то y= (незвичайний інтеграл).

2. Основні властивості незвичайного інтеграла:

а)

б) в) (А¹0)

г)

Таблиця найпростіших невизначених інтегралів .

1) ( m ¹ -1 ) .

2) , (при х < 0 i при x >0 ).

3) ;

4) (a >0, a ¹ 1 ) .

5) .

7

де h=(b-a)/n, x₀ =a, x_n =b, y=f(x), y_i =f(x₀ +ih), (i=0,1,2,…,n) .

11. Формула Сімпсона:

де h=(b-a)/2.

12. Невласний інтеграл:

13.Площа криволінійної трапеції обмеженої неперервною лінією у= f(x) (f(x) ³ 0) , віссю Ох і двома вертикалями х=а , х= b (a<b) : .

14. Площа сектора обмеженого неперервною лінією r = f( j ) (r i j - полярні координати) і двома промінями j = a , j = b ( a < b ): .

15. Довжина дуги гладкої кривої y=f(x) в прямокутних координатах х і у від точки х=а до точки х= b (a<b) :

.

16. Довжина дуги гладкої кривої r =f( j ) в полярних координатах j і r від точки j = a до точки j = b ( a < b ) :

,

17. Довжина дуги гладкої кривої х= j (t) y = y (t) , задано параметрично(t₀ <T) :

18.Об’єм тіла з відомим поперечним перерізом S(x) :

10

9. Ряд Маклорена.

10. Розклад в степеневі ряди функцій:

а) , при ê x ú < 1 ;

б) ln(1+x) = , при –1 <x £ 1 ;

в) , при ê x ú £ 1 ;

г) , при ê x ú < + ¥ ;

д) ,

при ê x ú < + ¥ ;

е) , при ê x ú < + ¥ ;

ж) ,

при ê x ú < 1 .

11. Ряд Тейлора .

12. Ряди в комплексній області: .

13. Абсолютна збіжність рядів з коиплексними членами. Якщо ряд збігається, то ряд

19

також збігається (абсолютно).

14. Формули Ейлера: , .

15. Тригонометричний ряд Фур ¢ є кусково-гладкої функції f(x) періоду 2 l має вигляд:

, (1)

де , ( n=0, 1, 2,… ) ;

, ( n=1, 2,… ) .

(коефіцієнти Фур¢є функції f(x) ). Для функції f(x) періоду 2 p маємо ,

де , ( n=0, 1, 2,… ) .

В точках розриву функцій f(x) сума ряду (1) дорівнює

16. Якщо 2l – періодична функція f(x) парна, то

,

де , ( n=0,1, 2,… ) .

Якщо 2l – періодична функція f(x) непарна, то

,

20

де і

6. Основні властивості визначеного інтегралу (розглядувані функції неперервні):

а) ; б)

в) г)

д)

е)

ж)

7. Теорема про середнє: якщо f(x) - неперервна на [a,b] , то

, де а <c<b .

8. Формула інтегрування частинами у визначеному інтегралі:

9. Формула заміни змінної у визначеному інтегралі:

де а= j ( a ), b = j ( b ) .

10. Формула трапецій: ,

9

z=r(cos j +isin j ) , де r= ê z ú ; j =Arg z

5. Теореми про модуль та аргумент:

а) ê z₁ +z₂ ÷ £ ê z₁ ú + ê z₂ ú ; б) ê z₁ z₂ ÷ £ ê z₁ ú ê z₂ ú ,

Arg z₁ z₂ =Arg z₁ +Arg z₂ ;

в) Arg =Arg z₁ -Arg z₂ ; (z₂ ¹ 0) ;

г) ê zⁿ ÷ = ê z ú ⁿ ; Arg zⁿ =n Arg z (n - ціле).

6. Корінь з комплексного числа:

, (k =0,1,2,…, n-1 )

7. Показникова формула комплексного числа:

z = r e^{i j} , деz = ê z ú , j = Arg z .

8. Визначник другого порядку:

.

9. Розв’язок системи знаходяться за формулами: х= D х/ D ; у= D у/ D (правило Крамера), де

.

10. Розв’язок однорідної системи: визначається за формулами: х= D ₁ t, y=- D ₂ t, z= D ₃ t; (- ¥ <t< ¥ ),

де -

мінори матриці .

12

3. Повний диференціал функції z = f(x, y) від незалежних змінних х, у :

де dx= D x, dy= D y .

Якщо U = f(x, y, z) , то .

4. Малий приріст диференційованої функції:

5. Похідна функції U = f(x, y) по напряму l , заданому одиничним вектором {cos a , cos b } дорівнює:

.

Аналогічно, якщо U = f(x, y, z) і{cos a , cos b , cos g } – одиничний вектор напряму l, то

6. Точки можливого екстремуму диференціальної функції U = f(x, y, z) визначаються з рівнянь:

f ¢ _х ( x, y, z )=0; f ¢ _y ( x, y, z )=0; f ¢ _z ( x, y, z )=0

7. Градієнтом скалярного поля U = f(x, y, z) є вектор

Звідси .

8. Якщо P(x, y)dx + Q(x, y)dy є повним диференціалом в області G , то

17

(( x, y) є G) .

(ознака повного диференціалу.).

VIII. Ряди.

1.Основне означення: .

2. Необхідна ознака збіжності ряду:

якщо ряд збігається, то .

3. Геометрична прогресія: , якщо ê q ú < 1 .

4. Гармонічний ряд 1 + 1/2 + 1/3 + … (розбігається).

5. Ознака Даламбера . Нехай для ряду ( U_n >0 ) існує

Тоді: а) Якщо l < 1 , то ряд збігається;

б) Якщо l > 1 , то ряд розбігається, U_n непрямує до 0 .

6. Абсолютна збіжність . Якщо ряд збігається, то ряд також збігається (абсолютно).

7. Ознака Лейбніца . Якщо і при , то знакозмінний ряд V₁ -V₂ +V₃ -V₄ +… - збігається.

8. Радіус збіжності степеневого ряду а₀ +а₁ х+а₂ х² +… визначається за формулою:, якщо остання має зміст.

18

.

19. Об’єм тіла обертання:

а) навколо осі Ох : ( a<b )

б) навколо осі Оу : ( c<d )

20. Робота змінної сили F=F(x) на ділянці [a,b] :

ІV. Комплексні числа, визначники та системи рівнянь.

1. Комплексне число z=x+iy , де х= Re z, y=Im z - дійсні числа, і² =-1.

Модуль комплексного числа:

Рівність комплексних чисел :

z₁ =z₂ Û Re z₁ =Re z₂ , Im z₁ =Im z₂

2. Спряжене число для комплексного числа z=x+iy:

3. Арифметичні дії над комплексними числами z₁ =x₁ +iy₁ , z₂ =x₂ +iy₂ :

a)

б)

в) ( z₂ ¹ 0 )

Зокрема Re z =1/2 (z+), Im z= (z-)/2і , ú z ê ² =z .

4. Тригонометрична форма комплексного числа:

11

V. Елементи векторної алгебри.

1. Сумою векторів , , є вектор .

2. Різницею векторів і є вектор , де

- - вектор, протилежний вектору .

3. Добутком вектора на скаляр є вектор такий що , де і , причому напрям вектора співпадає з напрямком вектора , якщо k > 0 , і протилежний до нього, якщо k < 0 .

4. Вектор і колінеарні, якщо (k - скаляр).

Вектори , , компланарні, якщо ,(k,l -скаляри)

5. Скалярним добутком векторів і є число

, де j = <( , ) .

Вектори і ортогональні, якщо * = 0 .

Якщо і , то .

6. Векторним добутком векторів і є вектор ,

де , , ( j = <(a,b) ) ,

причому а, b, с - права трійк.

Якщо і , то , де

i, j, k - одиничні вектори (орти), напрямлені згідно з відповідними осями координатами.

7. Мішаний добуток являє собою об’єм (зі знаком) паралелепіпеда, побудованого на векторах а, b, с .

Якщо , , , то

14

.

VI. Аналітична геометрія в просторі.

1. Декартові прямокутні координати точки М(х, у, z ) простору Оху z є:

x=r_x , y=r_y , z=r_z