Методические рекомендации по подготовке к олимпиадам школьников по математике (2011 год)

 

  Главная      Тесты

 

     поиск по сайту           правообладателям           

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 
Методические рекомендации по подготовке к олимпиадам школьников по математике (2011 год)
 
Объяснить необходимость или цель участия в олимпиаде, с одной стороны, трудно (зачем, например, вообще учиться?) – с другой стороны, легко:
1)     на ранних этапах – это естественная любознательность;
2)     далее – это развитие навыков самостоятельной работы; получение новых знаний; совершенствование умений принимать решения в нестандартных ситуациях; закалка воли, привычки регулярной работы, анализа и систематизации полученных знаний;
3)     в итоге – это развитие творческих способностей, выбор будущей профессии и подготовка к самостоятельной научно-исследовательской работе.
В настоящее время появился еще и прагматический стимул к участию в олимпиадах: олимпиады являются составной частью системы итоговой аттестации (ЕГЭ) и вступительных экзаменов в вузы.


 
1.1.1. Общая характеристика олимпиадных заданий по математике
 
Обсуждение проблемы подготовки к участию в олимпиаде необходимо начать с того, что представляют собой олимпиадные задания и чем они отличаются от стандартных школьных задач. Главным образом, настоящие олимпиадные задания отличает творческий характер, отсутствие шаблонного подхода как к постановке задания, так и к его решению. Вместо стандартных школьных формулировок вида «решите уравнение» или «упростите выражение», зачастую участникам олимпиады предлагаются вопросы, которые уже сами по себе являются для школьника необычными. В такой ситуации подобрать готовую формулу, чтобы подставить в нее данные задания и получить ответ, невозможно, и участнику приходится самостоятельно искать подход и строить решение задачи.
Основная цель олимпиад школьников состоит в выявлении из числа всех участников самых сильных, способных, талантливых и одаренных именно в данной области. Поэтому собственно знание школьником конкретных разделов программы проверяется на олимпиадах в меньшей степени: на первый план выходят умение нестандартно, творчески мыслить, а также наличие у школьника «спортивных» качеств и воли к победе. В отличие от ЕГЭ, темы олимпиадных заданий обычно держатся в секрете и, какие именно разделы элементарной математики будут затронуты на предстоящей олимпиаде, участникам заранее неизвестно. В связи с этим можно сказать, что на олимпиаде действуют и случайные факторы:
-     впервые ли участник сталкивается именно с такой постановкой вопроса,
-     применял ли он раньше тот или иной подход к решению задачи,
-     догадался ли до определенного нестандартного алгебраического преобразования или дополнительного геометрического построения и т. д.
 
Кроме того, программа олимпиады весьма вольна, ее границы очерчены не так четко, как на вступительных экзаменах или ЕГЭ. Она может затрагивать даже высшую математику (конечно, только на уровне идей и в форме, адаптированной для школьников) или такие разделы элементарной математики, которые не проходятся в школе и требуют либо дополнительной подготовки, либо хорошей сообразительности. Отметим однако, что задачи школьных математических олимпиад обычно все же не выходят за рамки школьной программы, но зачастую решение даже первой (самой простой) задачи может требовать нестандартного приема: например, в ней нельзя найти искомого значения, без применения некоторой остроумной идеи. Подчеркнем также, что наряду с прямым, зачастую громоздким решением олимпиадные задачи нередко имеют также элегантное и короткое решение, скажем, с использованием геометрической интерпретации движения, введением дополнительных переменных, рассмотрением свойств функции и т. д.
Итак, можно выделить следующие черты, отличающие олимпиадные задания от привычных для учащихся задач, которые разбираются на уроках математики:
1)    задачи нестандартны по постановке, в них требуется не применить готовую схему решения или вызубренную формулу, а проявить находчивость, изобретательность, смекалку («заметим, что»): разобраться в не совсем обычной ситуации и увидеть спрятанную тонкую зацепку, связать друг с другом, казалось бы, разрозненные условия, сделать требуемый вывод при кажущемся недостатке данных и т. п.;
2)    решение таких задач зачастую подразумевает применение какой-либо нестандартной (но обычно вполне доступной школьнику) идеи (например, «проведем дополнительное построение…») или неожиданной модели (принцип Дирихле, соображения четности или сравнения по модулю, комбинаторные или теоретико-множественные рассуждения, инварианты или раскраски, свойства искусно подобранных функций, геометрическая модель для алгебраической задачи или наоборот, теория графов, оригинальный логический прием и т.д.);
3)    некоторые олимпиадные задачи, хотя и решаются элементарными методами, но берут начало в настоящих исследовательских проблемах, возникающих в самых разных областях высшей математики, которые даже не всегда имеют исчерпывающее решение к моменту проведения олимпиады; в этом, в частности, проявляется обратная связь высшей математики с элементарной, а также реализуется профориентационный компонент в форме знакомства участников с адаптированными элементами высшей математики, приоткрывающими для школьников дверь в еще не исследованные ими захватывающие области знаний, что может играть важную роль при выборе дальнейшего направления обучения и специализации (профильные классы, математические специальности в вузе и т.п.).
Подчеркнем, что задачи творческой направленности, предназначенные для школьных олимпиад, несмотря на всю нестандартность, должны: во-первых, формулироваться строго в рамках школьной программы, во-вторых, иметь решение, опирающееся на методы и приемы доступные школьнику. Тем не менее, не вступая в противоречие с первым и вторым пунктами, допускается использование таких математических понятий и фактов, которые не используются непосредственно в школьной программе, но достаточно просто и доступно для школьника выводятся из стандартных и базовых понятий обычной школьной программы.
Особо отметим класс задач, происхождение которых опирается на реальные житейские ситуации – как правило, формулировки таких задач не требуют строгих математических определений или утверждений. В этом случае первым шагом к решению является  переосмысление заданной ситуации в математических терминах и переформулировка условия на математическом языке. Эти действия приводят школьников к осознанию важности математики: во-первых, как универсального языка, на котором, казалось бы, нематематические понятия приобретают краткое и однозначное толкование; во-вторых, как полезного и мощного инструмента решения широкого круга задач.
Подготовка к таким задачам возможна в виде самостоятельной работы ученика над книгами соответствующей направленности либо на математических кружках, проводимых с участием педагогов-специалистов. Кроме того, в школах и классах с углубленным изучением математики все большее распространение получает факультатив «Спецматематика», направленный именно на подготовку школьников к участию в олимпиадах.
 


1.1.2. Методические рекомендации по подготовке к решению нестандартных задач по математике

 
При этой подготовке следует учесть следующие три аспекта.
1.     Во-первых, олимпиада школьников в целом опирается, конечно же, на школьную программу. Поэтому уверенное знание программы по математике и хорошее владение ею – необходимое условие успеха. Эта программа в основном определена и подкреплена огромным количеством самых разнообразных учебников. Однако среди обилия учебников по математике советуем выбирать те, которые отличаются большей глубиной проникновения в излагаемый материал и рассчитаны на более вдумчивого учащегося. Эти качества учебников способны в перспективе оказать существенную помощь.
2.     Во-вторых, чтобы подготовиться к какому-либо экзамену вообще, нужно, для начала, изучить историю вопроса, а именно: узнать, какие задачи давались на олимпиадах в прошлые годы, какими методами предполагалось их решать, каковы были требования к их оформлению и т.п.
3.     В-третьих, желательно иметь некоторый запас прочности, т.е. знать и уметь несколько больше того минимума, который вытекает из опыта предыдущих экзаменов. Ведь не секрет, что варианты заданий постепенно развиваются и усложняются: то, что раньше казалось новым и трудным для восприятия, со временем становится привычным и элементарным. В общем, нельзя ориентироваться только на вчерашний день.
Подготовка к олимпиаде (экзамену) – это не только предметно-содержательный тренинг, ориентированный на совершенствование вычислительных и аналитических навыков, развитие логического мышления и творческих способностей, но и тренировка психофизических возможностей школьника решения задач в условиях экзамена.
В процессе подготовки к экзамену рекомендуем обратить внимание на следующие методические принципы, основы которых заложены выдающимся педагогом и популяризатором математики И.Ф. Шарыгиным.
Регулярность. Рекомендуем ежедневно выделять время для самостоятельной работы, а не один раз в неделю работать много часов подряд.
Параллельность. Несмотря на привычку изучать математику по темам, при подготовке к экзамену имеет смысл одновременно изучать два-три раздела.
Опережающая сложность. Решать много слишком простых задач, оттачивая технику преобразований и вычислений, как и браться без должной подготовки за решение очень сложных, одинаково плохо. Имеет смысл работать на индивидуальном пределе трудности.
Смена приоритетов. В период накопления приемов решения, а также при решении трудных задач главное – правильная идея, которую можно довести до ответа за разумное время. При отработке изученных методов, а также при решении стандартных задач главное – получить правильный ответ.
Вариативность. Полезно на примере одной задачи рассмотреть различные приемы и методы ее решения, а затем сравнить получившиеся решения с разных позиций: трудность вычислительной работы; время на запись решения; степень обоснованности и пр.
Самоконтроль. Регулярный и систематический анализ своих ошибок – обязательный элемент самостоятельной работы. Не стоит обманывать себя, прощая себе любимому ошибки.
Повторение. По мере накопления опыта и числа решенных задач следует просматривать и систематизировать свой задачный архив.
Чтение текста. Привычка решать задачи «по умолчанию» или с короткой формулировкой «решить» вместо вдумчивого прочтения и понимания условия задачи, может сыграть злую роль на экзамене.
Моделирование возможных ситуаций. Зная особенности своего поведения в экстремальных ситуациях, например, в условиях дефицита времени, имеет смысл искусственно их моделировать – хронометрировать время решения.
 


 
1.1.3. Роль учителя в подготовке школьников к олимпиаде по математике
 
Новая идеология единого государственного экзамена состоит, в частности, в том, что на нем определяется только «порог» для выставления аттестационной оценки, а не сама оценка. Этот тезис может быть превратно истолкован учителем, как снятие с него всякой ответственности за подготовку ученика к решению не только олимпиадных, но и задач второй части ЕГЭ по математике.
Такое заниженное восприятие преподавателем своей роли логически возможно, однако представляется нам бесперспективным. Педагог, заботящийся о своей репутации и о своем будущем, разумеется, не будет ограничиваться лишь минимальным уровнем подготовки своих подопечных для получения ими аттестата о среднем образовании (хотя, возможно, для некоторых выпускников и этот уровень является запредельным).
В этой связи, подчеркнем следующие принципиальные моменты.
Личная, исключительно прагматическая, цель выпускника – подготовка к экзамену или успешное выступление на олимпиаде, во многом определяющее его дальнейшее образование и карьеру, – напрямую связана с главной общеобразовательной целью, стоящей перед учителем математики, – повышение уровня математической подготовки его учеников.
Подготовка к олимпиаде (как, впрочем, и ко второй части ЕГЭ по математике) состоит не в натаскивании выпускника на какие-то определенные типы задач, а в систематическом и обстоятельном изучении самого предмета как на уроках в школе, так и в процессе самостоятельной работы ученика.
Заметим, что в ЕГЭ по математике с 2010 года (не говоря уже о классических олимпиадах) отсутствуют задачи с выбором ответа, оказывавшие негативное обратное влияния на преподавание математики в школе. Тем самым и олимпиады, и даже ЕГЭ по математике, способствуют уничтожению опасной тенденции обучения школьников не методам решения задач и размышлениям, а приемам угадывания правильного ответа.
Подготовка школьников к олимпиадам по математике должна включать несколько моментов.
1.     Необходимо довести до школьников, тот факт, что математическая олимпиада ни в коей мере не является элитарным мероприятием, что многие задачи олимпиад доступны для понимания и решения не только гениям, но и среднестатистическому школьнику, интересующемуся математикой.
2.     Начать участвовать в интеллектуальных состязаниях по математике можно в любом классе. При должном старании школьник, пришедший на олимпиаду впервые в 11 классе, имеет такие же шансы на успех, как и школьник, принимающий участие в олимпиадах, начиная с младших классов.
3.     Тем не менее, школьник, претендующий на успех в олимпиадах по математике, должен проявлять интерес к предмету, интересоваться темами, формально не входящими в школьную программу, но доступными для понимания и освоения в рамках обычной школьной программы.
 
 
1.1.4. Основные темы олимпиадных заданий по математике
Задачи олимпиад, как правило, не относятся строго к одной теме, их решение опирается на применение методов, относящихся сразу к нескольким направлениям. Более того, задача, формулировка которой относит ее к одной теме, зачастую допускает решение (а то и несколько различных решений), опирающееся на понятия сразу нескольких математических направлений. Таким образом, у школьников вырабатывается навык мыслить масштабно, охватывать все возможные нюансы, связанные с данной задачей, и из возможных решений выбирать наиболее оптимальное.
Рассмотрим (достаточно условно выделенные) примеры тем, выносимых на олимпиады для учащихся 7–9 классов.
 
7 класс
1.       Числовые ребусы, расстановка скобок и знаков, лингвистика.
2.       Пропорции, доли, проценты, концентрации.
3.       Движение, работа, производительность.
4.       Логические задачи (истинность высказываний, про лжецов и т. п.).
5.       Элементы теории чисел (признаки делимости, десятичная запись числа).
6.       Степень с натуральным показателем.
7.       Задачи на разрезание, склеивание, перекраивание.
8.       Основные геометрические  фигуры. Параллельные прямые. Смежные и вертикальные углы.
9.       Признаки равенства треугольников. Сумма углов треугольника.
10.   Олимпиадные трюки: принцип Дирихле, инварианты, раскраски, графы, игры.
11.   Олимпиадные трюки: комбинаторика, взвешивания, неравенства.
 
8 класс
1.       Формулы сокращенного умножения. Преобразование алгебраических выражений.
2.       Действительные числа. Корни. Квадратный трехчлен.
3.       Степень с целым показателем.
4.       Графики линейной и квадратичной функций. Гипербола.
5.       Различные системы счисления. Римские цифры.
6.       Числовые неравенства. Сравнение чисел.
7.       Геометрия. Четырехугольник. Параллелограмм. Трапеция. Теорема Фалеса.
8.       Теорема Пифагора. Элементы тригонометрии.
9.       Декартовы координаты на плоскости. Векторы на плоскости.
10.   Движение. Симметрия относительно точки и прямой. Параллельный перенос.
11.   Окружность и касательная. Задачи на построение (равные углы и т. п.), на ГМТ.
 
9 класс
1.       Алгебраические преобразования. Иррациональные выражения.
2.       Квадратичная функция и квадратный трехчлен. Разложение алгебраических выражений на множители. Графики функций.
3.       Поиски максимумов и минимумов. Доказательство неравенств.
4.       Формулы Виета для многочленов высших степеней.
5.       Уравнения и системы уравнений более высокого порядка.
6.       Числовые последовательности. Арифметические и геометрические прогрессии.
7.       Метод математической индукции.
8.       Тригонометрические выражения и преобразования.
9.       Подобные треугольники, вписанные и описанные углы. Задачи на площади.
 
Для более старших классов в олимпиады дополнительно включаются задания по следующим направлениям (конечно, при подготовке к олимпиаде их следует детализировать, разложив на составляющие).
1.       Теория чисел.
2.       Комбинаторика.
3.       Теория графов.
4.       Теория игр.
5.       Инварианты.
6.       Элементы теории функций.
7.       Элементы теории игр.
8.       Логические задачи.
9.       Элементы теории оптимального управления (минимаксные задачи).
10.   Планиметрия.
11.   Стереометрия.
 
Олимпиадные задания составлены для выявления различных способностей учащихся. Кроме ознакомления школьников с понятиями, не входящими в стандартный курс школьной математики, и развития у них интереса к математике, задачи выявляют и развивают следующие черты:
1)       умение логически мыслить;
2)       способность строить математическую модель, отвечающую задаче, и умение анализировать эту модель математическими методами;
3)       умение оперировать абстрактными математическими понятиями, отвлеченными от конкретной житейской ситуации;
4)       способность применять стандартные школьные факты к решению нестандартных задач;
5)       умение создавать новые методы решения задач;
6)       умение выбирать оптимальное решение.
 
1.1.5. Критерии оценок и требования к решениям олимпиадных заданий по математике
 
Итогом работы участника олимпиады над каждой задачей является представленные им ответ на поставленный в задаче вопрос и текст решения задачи.
По большому счету, ответ к задаче также можно считать неотъемлемой частью ее решения (в широком смысле), что мы и будем подразумевать в дальнейшем.
Не максимально возможное количество баллов за задачу ставится в том случае, если в ее решении допущены ошибки, неточности, пробелы или недостатки обоснования. Подчеркнем, что снижение оценки за решение задачи производится в строгом соответствии с заранее утвержденными критериями оценивания.
Далеко не праздным является вопрос о том, какие способы решения задачи и записи ее ответа вообще допустимы. Главным требованием к решению была и остается его математическая правильность, а именно:
1)       в ответ необходимо включать только верные значения искомой величины, причем все;
2)       форма записи ответа может быть любой из употребляемых в современной учебной литературе;
3)       текст решения должен служить реальным обоснованием (точнее, доказательством) правильности полученного ответа;
4)       при решении задачи любого содержания приемлемы любые математические методы – алгебраические, функциональные, графические, геометрические, логические, комбинаторные и т. д.;
5)       такие характеристики решения как рациональность, краткость, оригинальность, нестандартность и пр. отмечаются только при проверке олимпиадных задач, что сильно отличает олимпиады от экзаменов, например, от ЕГЭ.
Далее, обсудим особенности проверки решений олимпиадных задач, которые следует иметь в виду, готовясь к олимпиаде.
Принятая в настоящее время система оценки призвана продолжить лучшие традиции проверки работ, сложившиеся на школьных выпускных экзаменах, на вступительных экзаменах в ведущие вузы России и на традиционных математических олимпиадах школьников.
Не секрет, что критерии оценки на различных экзаменах часто бывали слишком формальными и недостаточно гуманными по отношению к экзаменуемому: его решение чисто механически сравнивалось с предложенным в образце, за отсутствие очевидных пояснений или ссылок, а также за малейшую неточность снижались баллы, причем за грубую ошибку зачастую сразу до нуля. Но это было в прошлом.
Сложившаяся к настоящему моменту система критериев оценки основывается на следующих принципах, которые неукоснительно соблюдаются всеми экспертами при проверке работ.
1.       Проверяется только математическое содержание представленного решения; погрешности его оформления не являются поводом для снижения оценки.
2.       Ответ может быть записан в любом виде; оценивается не форма записи ответа, а его правильность.
3.       Степень подробности обоснований в решении должна быть разумно достаточной; претензии к решению, связанные с отсутствием ссылок на правомерно используемые стандартные факты и правила (как-то: равенство вертикальных углов, теорема Пифагора, формула корней квадратного уравнения, действия со степенями или логарифмами, свойства неравенств и многие-многие другие), не предъявляются.
4.       Решение задачи, в котором обоснованно получен правильный ответ, оценивается максимальным числом баллов.
5.       Наличие правильного ответа при полном отсутствии текста решения оценивается в ноль баллов.
6.       Некоторые погрешности решений, не оказавшие существенного влияния на его принципиальную правильность и обоснованность, могут расцениваться как описки и не приводить к снижению оценки.
7.       Если на каком-либо этапе решения допущена грубая ошибка, то другие его этапы, проведенные в работе правильно, могут быть, тем не менее, оценены положительно, в соответствии с критериями.
8.       При определении итоговой оценки решения выбирается максимально возможное число баллов, которое можно выставить за него в соответствии с утвержденными критериями.
9.       При проверке оригинальных или нестандартных решений на экзамене вырабатываются частные критерии их оценки, соответствующие (аналогичные) общим.
 
1.1.6. Современные тенденции в олимпиадных задачах по математике творческой направленности и их профориентированные компоненты
 
С одной стороны, математические олимпиады имеют достаточно длинную историю, и методисты при компоновке заданий следуют традициям (выбор тем, стиль формулировок). Но поскольку математика является живой областью человеческой деятельности, которая продолжает активно развиваться, необходимо учитывать современное состояние общества (в социальном, культурном, техническом плане).
При создании заданий в современных условиях необходимо учитывать в большей степени развитие компьютерных и информационных технологий (что было неактуально буквально 10–20 лет назад). В последнее время математика широко проникла в биологию и в биоинженерию, что также находит отражение при составлении задач.
Такой подход убеждает школьников, что математика не является застывшим набором фактов, но представляет собой область знаний человека, полезную в любой временной промежуток развития человечества.
Особой чертой олимпиадных задач является то, что, с одной стороны, их формулировки и решения не выходят за рамки школьной программы, с другой стороны, методы решения этих задач постепенно приводят школьников к понятиям и методам высшей математики.
Игровые сюжеты формулировок задач творческой направленности знакомят школьников с тем, что математика имеет и практическую ценность, а математический аппарат применим для решения задач, имеющих практический смысл. Многие школьники, начавшие участвовать в математических олимпиадах в младших классах, в дальнейшем продолжают принимать участие в олимпиадах и для старших классах, а позже выбирают профессию, так или иначе, связанную с математикой: либо получают непосредственно математическое образование, либо выбирают профессии естественнонаучного цикла, для которых математика является неотъемлемой частью (физика, химия, биология, инженерные науки и др.).
 
1.1.7. Методические рекомендации по формированию комплектов заданий и состав методической комиссии олимпиады по математике
 
Успех практически любой математической олимпиады и праздничность создаваемого ею настроения, прежде всего, зависят от качества комплекта задач, предлагаемых ее участникам (хотя, конечно, не стоит забывать и о других составляющих успеха, таких как количество и подготовленность участников, число предоставляемых призов и льгот победителям и т.д.). Однако мало кто догадывается о том, насколько трудоемкой и кропотливой является работа по подготовке этих самых заданий. Об этой работе и пойдет речь в настоящем разделе.
Методическая комиссия олимпиады:
1)       разрабатывает материалы олимпиадных заданий для этапов олимпиады;
2)       разрабатывает критерии и методики оценки выполненных заданий по всем этапам олимпиады;
3)       представляет в оргкомитет олимпиады предложения по вопросам, связанным с совершенствованием организации проведения олимпиады;
4)       рассматривает (совместно с оргкомитетом и жюри олимпиады) апелляции участников олимпиады;
5)       публикует решения олимпиадных заданий и других видов испытаний;
6)       осуществляет иные функции в соответствии с положением об олимпиаде.
Сотрудники методической комиссии должны, в первую очередь, быть способны разработать олимпиадные задания, соответствующие уровню олимпиады и являющиеся, с одной стороны, новыми, а с другой стороны, доступными для понимания и посильными будущим участникам олимпиады. Помимо этого, от них требуется хранить условия задач втайне вплоть до момента их раздачи участникам олимпиады: ведь утечка данных может обернуться срывом всей олимпиады.
Комиссия по подготовке задач должна состоять из квалифицированных специалистов, имеющих опыт подготовки и проведения экзаменов как школьных (выпускных или вступительных), так и студенческих (сессионных, на младших курсах). Еще лучше, если члены комиссии и сами в прошлом, будучи школьниками, участвовали в олимпиадах.
Комиссия в целом должна представлять широкий спектр областей математики: теорию чисел и арифметику, алгебру, геометрию, математический анализ, теорию функций и дифференциальные уравнения, комбинаторику и теорию вероятностей, логику и дискретную математику и т.п. Это позволит наиболее всесторонне оценить постановку обсуждаемой задачи, возможные ее решения, а также весь набор представленных задач.
Важно, чтобы члены комиссии не находились по отношению друг к другу в служебном подчинении или в какой-либо иной зависимости. Это обеспечит равнозначность мнений и исключит влияние административного фактора.
Конечно, в работе комиссии должны участвовать как авторитетные математики (доктора и кандидаты наук, профессора и доценты), так и молодые математики (ассистенты, аспиранты и даже студенты). Первые обладают опытом и кругозором, а вторые отличаются юношеским задором и свежими впечатлениями от своего собственного участия в олимпиадах.
Иногда практикуется разбиение комиссии на две группы с соответствующим разделением их функций.
Первая группа – экспертная (или рабочая) комиссия – генерирует задачи. Каждый ее член предлагает задачи по своему усмотрению (вкусу) или получает заказ на подготовку задачи определенного типа (по теме или методу решения). Члены этой группы действуют независимо друг от друга (они даже могут не знать, кто еще участвует в аналогичной работе) и соблюдают условия конфиденциальности.
Члены экспертной комиссии готовят проекты задач и варианты их решений, проводят экспертизу предлагаемых задач. При этом лучше, чтобы не менее двух человек решали предлагаемые задачи, не зная авторских решений и независимо друг от друга.
Результатом работы членов этой комиссии являются написанные и завизированные автором следующие материалы по каждой задаче:
1)                варианты ее постановки;
2)                различные способы ее решения.
Вторая группа – задачная комиссия – не должна быть многочисленной. Оптимальным представляется состав из пяти человек. Члены этой группы избирают председателя (руководителя, начальника).
Как правило, конкретная олимпиада по математике для школьников не является единичным событием. Большинство из них проводятся регулярно (чаще всего, один раз в год). Некоторые имеют очень давнюю историю (Московская математическая олимпиада), некоторые (олимпиады «Ломоносов», «Покори Воробьевы горы») впервые были проведены несколько лет назад, но уже завоевали большую популярность и, несомненно, имеют будущее.
Для обеспечения эффективного их проведения в будущем, преемственности, сохранения хороших традиций большое значение имеет создание общего банка задач олимпиады и поддержка его в рабочем состоянии.
Эта работа очень кропотливая и требует высокой квалификации исполнителей и многолетнего опыта.
Если такого банка нет, и коллектив приступает к его созданию, то в первую очередь необходимо изучить нормативные документы общего образования, к которым можно отнести:
1)                федеральный компонент государственного стандарта общего образования. Математика (Приказ Минобразования России №1089 от 05.03.2004);
2)                комплекты федеральных учебников по математике (геометрия, алгебра, алгебра и начала анализа);
3)                учебные и календарные планы преподавания математики в школах России;
4)                популярные сборники конкурсных задач;
5)                сборники задач авторитетных олимпиад, например, таких как международные олимпиады, всероссийская олимпиада, Московская математическая олимпиада, олимпиады «Покори Воробьевы Горы» и «Ломоносов»;
6)                Интернет-сайты (форумы) задач;
7)                документы, подготовленные Федеральным институтом педагогических измерений, такими как «кодификатор» и «спецификации». Эти документы размещены, например, на сайте: www.fipi.ru.
К работе по созданию банка задач олимпиады привлекаются сотрудники, имеющие современный опыт преподавания математики в старших классах средней школы. Это могут быть также и руководители школьных математических кружков, преподаватели университетских школьных курсов типа «малый мехмат» и т.п.
Основная масса задач школьных олимпиад относится к элементарной математике. Их формулировки и решения, если и используют элементы математического анализа, то лишь в незначительной степени.
Подчеркнем, что начала анализа в большинстве школ изучаются довольно формально. Например, непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость вводятся без понятия предела. Многие теоремы (о монотонности и выпуклости функций, о локальных экстремумах и т.п.) только формулируются, но не только не доказываются, но даже никак не поясняются. В частности, не объясняется, хотя бы неформально, связь между свойствами производной функции и исследуемым свойством самой функции. В результате школьники могут эксплуатировать методы математического анализа (и в этом нет ничего плохого), но только как элементы решения.
Поэтому не стоит ориентировать содержание задачи и ее решение на существенное применение методов математического анализа. Более того, бывает очень полезным введение в задачу условий, не позволяющих получать решение непосредственным применением какой-либо теоремы математического анализа. Например, при исследовании монотонности и экстремумов задавать исследуемую функцию не дифференцируемой (или даже разрывной) в одной или нескольких точках (используя модуль, целую или дробную часть и т.п.). В этих случаях школьник может, конечно, использовать результаты математического анализа, но должен будет это делать уже осмысленно.
При составлении и включении в банк задачи важно иметь в виду следующее.
1.       Решение задачи должно быть проверяемым, позволять достаточно просто и однозначно сформулировать критерии полного и правильного решения, указать типичные ошибки (весьма осторожно нужно относиться к задачам, в которых может быть представлено многословное неформализованное решение, например, задачи о нахождении оптимальной траектории, некоторые задачи на доказательство и пр.).
2.       Задачи на доказательство не должны опираться на содержание известного математического факта (даже не входящего в школьную программу), особенно нужно избегать задач, решение которых является непосредственным следствием широко известного математического факта (теоремы Чевы, Менелая, малой теоремы Ферма, китайской теоремы об остатках и пр.).
3.       Для популяризации олимпиады очень важно, чтобы каждый участник после посещения олимпиады получил удовлетворение, решив или, по крайней мере, предположив, что решил, хотя бы одну задачу.
 
Составление простых по сути, но не совсем тривиальных задач является далеко не простым делом. Для этих целей наиболее хороши так называемые текстовые задачи.
Много полезных сюжетов для подобных задач составители олимпиад могут найти в книге: «Сельский учитель С.А. Рачинский и его задачи для умственного счета». М. Физматлит, 2003. Рекомендуем также книгу И.В. Арнольда «Принципы отбора и составления арифметических задач» М. Издательство МЦНМО, 2008.
Лучше не использовать такие формулировки, в которых требуется просто решить данное уравнение, неравенство или систему. Они, если уж и появляются в задаче, то лишь в процессе ее решения, после осмысления формулировки и выработки математической модели, приводящей к решению стандартной задачи.
Не стоит перегружать задачу громоздкими вычислениями, рассмотрением большого числа однотипных случаев. С другой стороны, не рекомендуется во всех задачах планировать ответ в виде небольшого натурального числа (иначе его можно угадать даже в геометрической задаче).
Следует избегать формулировок, в которых требуется «упростить», «представить в виде суммы или произведения» и т.п., некоторое алгебраическое выражение. Без дополнительных пояснений такие задачи не воспринимаются однозначно: если упрощать, то до какой степени; если представить в виде суммы или произведения, то каких слагаемых или сомножителей. Да и вопрос, что проще – что сложнее, не имеет однозначного ответа. Если же такие пояснения давать, то они будут существенной подсказкой. Задачи, в которых предлагается «вычислить» значение какого-либо арифметического выражения вполне допустимы, но желательно, чтобы ответ в них был рациональным числом (в этом случае у школьника не будет неоднозначного понимания, как записывать ответ).
Желательно иметь задачи, допускающие решение стандартными для школьника методами, но весьма громоздкое и трудоемкое. С другой стороны, некоторый нестандартный шаг (замена переменной, необычное преобразование, использование неравенства, введение параметра, геометрическая интерпретация и пр.) должен позволить решить ее очень быстро, без сложных преобразований и вычислений.
Одной из излюбленных олимпиадных тем являются задачи с целыми числами. К их составлению нужно подходить очень осторожно. Близкие по формулировке задачи могут быть как тривиальными, так и чрезвычайно трудными. Например, не стоит предлагать задачу на делимость, если ее решение получается прямым применением метода математической индукции. Вообще, при выборе таких задач нужно обратить особое внимание на то, чтобы решение не использовало никаких специальных знаний и навыков, а было основано на простых и доступных для всех рассуждениях.
Хорошо, если для решения геометрической задачи требуется рассмотреть разные конфигурации (внутреннее и внешнее касание окружностей, остроугольный и тупоугольный треугольники, выпуклый и невыпуклый многоугольники, пересечение прямой со сторонами треугольника или их продолжениями и пр.).
Особо следует сказать о задачах по стереометрии. Очень непросто подобрать задачу по геометрии, особенно по стереометрии, так как в последние годы школьники в основной своей массе потеряли навыки решения этих задач. Обычно задачи по стереометрии требуют громоздких решений. Поэтому для очных олимпиад необходимо подбирать несложные для решения и нестандартные задачи, проверяющие пространственное представление школьников, умение учесть все возможные случаи.
Задача не должна основываться на знании какого-то одного мало известного геометрического факта. Формулировка задачи должна использовать легко воспринимаемую геометрическую конструкцию.
Поскольку тригонометрия является важным разделом школьной математики, то необходимо в олимпиады включать и задачи по тригонометрии. На первый взгляд, по тригонометрии опубликовано столько задач, что новое здесь трудно придумать. Однако можно творчески переработать даже известные задачи.
Обязательной составляющей олимпиады должны быть задачи по геометрии. Кроме обычных планиметрических задач на вычисление или доказательство, в олимпиадах часто используются и задачи на геометрические места точек.
Для заочных туров можно давать в качестве сложных задач необычные задачи по стереометрии, требующие серьезного и многодневного обдумывания.
Стандартным разделом олимпиад являются задачи на логику, обычно не связанные напрямую со школьными темами. Источником таких задач могут служить вариации на темы логических задач из других олимпиад. Так, например, тема инвариантов (свойств, не меняющихся при определенных преобразованиях).
Нежелательно в формулировках задач использовать не школьные обозначения или включать в формулировки задач какие-либо определения, за исключением тех, которые легки для понимания и существенно сокращают формулировку задачи (как, например, определение диаметра множества на плоскости в одной из задач, рассмотренных выше).
В задачах на экстремум нужно четко описывать множество (точек, треугольников, пирамид и пр.), по которому этот экстремум берется.
Особенно аккуратно нужно формулировать задачи с параметром (здесь могут появляться пустые множества, кратные корни и пр.).
Формулировки задач должны быть корректными и однозначно понимаемыми, они не должны допускать каламбурных пониманий (например, «найти рациональное решение…» – это разумное решение или решение, которое является рациональным числом?).
Нехорошо, если формулировка задачи явно содержит лишнюю, не используемую в решении информацию (в частности, не играющие роли имена, фамилии, национальность, пол и возраст персонажа задачи или названия несуществующих населенных пунктов и пр.). Такая информация способна вызвать психологический дискомфорт у участника олимпиады, не знакомого с ее происхождением.
В формулировках задач должны быть реалистичными расстояния, скорости и пр.
Формулировки задач должны быть, по возможности, лаконичными. Если текст одной задачи занимает половину или треть текста всего варианта из 6-10 задач, то эта задача заведомо обречена на провал.
Важным требованием к задаче является технологичность проверки ее решения. Плохо, если задача допускает только оценку «решена» или «не решена». Желательно, чтобы в задаче можно было выделить этапы решения, которые, даже в случае неполного ее решения, могли быть зачтены школьнику.
Особое внимание стоит обратить на задачи заочного тура олимпиады (например, «Покори Воробьевы горы»). Участники такой олимпиады имеют возможность получать консультации, обсуждать проекты решений друг с другом, изучать опубликованные решения похожих задач, что само по себе принесет им пользу.
При составлении варианта для каждого класса учитывается сбалансированность заданий по сложности, по охвату тем. Принимая во внимание школьную программу по математике, составители тщательно следят за содержанием комплекта и включают задания, формулировки и решения которых используют математические понятия, не входящие в математический курс данного (или более раннего) класса. Нередко для популяризации математики и олимпиад по математике в комплект включают хотя бы одну задачу, решение которой доступно среднестатистическому школьнику с хорошей успеваемостью по математике. Но при этом вариант заданий обычно содержит несколько заданий высокой сложности. Количество задач в комплекте не является строго фиксированным, но оно обусловлено возрастом участников олимпиады и регламентом олимпиады (продолжительностью временного интервала, отведенного на решение).
При составлении заданий для различных классов учитывается психология школьников определенной возрастной категории. Вариант для 7–8 классов зачастую содержит больше задач на смекалку, используются задачи, содержащие игровой момент. В комплект заданий для старшеклассников включаются задачи более высокого уровня, решение которых может содержать достаточно нетривиальные вычисления, высокий уровень абстрактных математических конструкций. Тем не менее, решение задач любого уровня любого класса не подразумевают владение участником определениями, теоремами и иными математическими понятиями, выходящими за рамки стандартной школьной программы,
Итак, полный текст олимпиадного задания составляется по определенным правилам. Суммируем основные из них:
1)       комплект задач олимпиады содержит обычно 5–10 задач и рассчитан на 4–5 ч. непрерывной работы (для очной олимпиады);
2)       в комплекте задач обычно представлены задачи как по алгебре, так и по геометрии, причем геометрических задач включается 20–40% от общего числа заданий в комплекте;
3)       комплект задач стремится охватить все разделы школьной математики и весь набор элементарных функций, включенных в школьную программу: квадратный трехчлен, корень квадратный, дробно-линейная, логарифмическая, показательная и тригонометрические функции, модуль;
4)       с одной стороны, в комплекте обычно имеются 1–2 задачи, которые решит или почти решит основная масса участников олимпиады. Это связано с тем, что недопустима ситуация, когда слишком большое число участников олимпиады не сделает ничего — это будет дискредитировать олимпиаду, снизит интерес к участию в этой олимпиаде в будущем году, вызовет массу негодований у родителей и органов народного образования;
5)       с другой стороны, комплект задач обычно составлен так, чтобы число участников, решивших все или почти все задачи, было очень небольшим (1–2% от числа участников олимпиады), так как избыток победителей снижает ценность олимпиады для наиболее целеустремленных ее участников и понижает степень их мотивации;
6)       призерами олимпиады традиционно считают тех, кто решил не менее половины предлагаемых задач (при подсчете этой половины последние 1–2 задачи, рассчитанные на победителей, можно игнорировать). Поэтому, исходя из прогнозируемого числа призеров, комплект составляют так, чтобы половина участников остановилась на 40–50% решенных или почти решенных задач. Зачастую основная масса участников пытается решить только 1–2 задачи, не приступая к решению других. Поэтому следует, помимо несложных задач, решать и остальные задачи комплекта, которые как раз и могут принести желаемое призовое место;
7)       если у организаторов есть необходимость давать несколько вариантов (например, если число участников очень велико, а выделенные аудитории неудобны для контроля за возможностью списывания), то эти варианты делаются почти равноценными (параллельными), поэтому обычное число вариантов 3–4;
8)       нередко в комплект заданий включают задачи для «умственного счета» (сейчас под этими задачами понимают «задачи на составление уравнений», однако хорошо, если такая задача решается вообще «без иксов»);
9)       принято упорядочивать задачи в комплекте по возрастанию прогнозируемой сложности. Однако поскольку добиться этого зачастую бывает трудно (так как задачи даются на разные темы), нередки случаи, когда третья или четвертая задачи решаются хуже, чем пятая–шестая. Это обстоятельство важно учесть и прочесть все задания до конца;
10)  как уже говорилось выше, в комплект задач заочной олимпиады можно включать классические задачи (возможно с измененной формулировкой), а также задачи, решение которых требует кропотливой работы (даже многодневной). Эти задачи, непосильные для репетиторов-халтурщиков, стимулируют школьников к изучению популярной математической литературы.
 
1.1.8. Литература для подготовки к олимпиаде школьников по математике
 
Для изучения математики, как и для подготовки к олимпиаде или экзамену, необходим комплект школьных учебников по математике. Рекомендуем использовать учебники, официально включенные в федеральный комплект школьных учебников. Обратим внимание на то, что Вам нужны учебники не только для 10–11 классов, но и по планиметрии для 7–9 классов и по алгебре для 8–9 классов.
Наряду с указанными учебниками для изучения приемов решения нестандартных задач рекомендуем использовать проверенные временем методические пособия.
Мы не считаем, что все перечисленные ниже пособия должны находиться в личной библиотеке абитуриента, да это и невозможно. Однако считаем, что каждая из них по-своему полезна и найдет своего благодарного читателя.
Сборники как конкурсных, так и олимпиадных задач мы рекомендуем тем, кто хочет познакомиться со стандартными постановками и классическими методами решения задач высокого уровня сложности.
 
1.       Н.Х. Агаханов, Л.П. Купцов, Ю.В. Нестеренко и др. Математические олимпиады школьников. М.: Просвещение: Учеб. лит., 1997. 208 с.
2.       Н.X. Агаханов, Д.А. Терешин, Г.М. Кузнецова. Школьные математические олимпиады. М.: Дрофа, 1999. 131 с.
3.       Н.Х. Агаханов и др. Всероссийские олимпиады школьников по математике 1993–2006: Окружной и финальный этапы. Под ред. Н.Х. Агаханова. М.: МЦНМО, 2007. 472 с.
4.       Н.Б. Алфутова, А.В. Устинов. Алгебра и теория чисел. М.: МЦНМО, 2002. 264 с.
5.       В.В. Амелькин, В.В. Рабцевич. Задачи с параметром. Минск:  Асар, 1996.
6.       Э.Н. Балаян. 1001 олимпиадная и занимательная задачи по математике. 3-е изд. Ростов-на-Дону: Феникс, 2008. 364 с.
7.       Т.А. Баранова, А.Д. Блинков, К.П. Кочетков, М.Г. Потапова, А.В. Семёнов. Весенний Турнир Архимеда. Олимпиада для 5–6 классов. Задания с решениями, технология проведения. М.: МЦНМО, 2003. 128 с.
8.       А.В. Бегунц, П.А. Бородин, И.Н. Сергеев. Вступительные экзамены и олимпиады по математике 2003–2005. М.: Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 2006. 245 с.
9.       А.В. Бегунц, П.А. Бородин, И.Н. Сергеев. Вступительные экзамены по математике 2006–2008. М.: Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 2009. 112 с.
10.   А.В. Бегунц, П.А. Бородин, Т.П. Лукашенко, И.Н. Сергеев. Вступительные экзамены по математике 2007–2009. М.: Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 2010. 104 с.
11.   А.В. Бегунц, П.А. Бородин, И.Н. Сергеев, В.С. Панфёров. Олимпиада школьников «Ломоносов». Математика. К 300-летию М. В. Ломоносова. 2005–2010. М.: МГУ, 2011. 62 с.
12.   А.Д. Блинков и др. Московские математические регаты. М.: МЦНМО, 2007.
13.   Н.Б. Васильев, А.А. Егоров. Задачи Всесоюзных математических олимпиад. М.: Наука, 1988. 288 с.
14.   Всероссийские математические олимпиады школьников. М.: Просвещение, 1992.
15.   Всероссийские математические олимпиады школьников. 1993–2006. М.: МЦНМО, 2006.
16.   Г.А. Гальперин, А.К. Толпыго. Московские математические олимпиады. М.: Просвещение, 1986. 303 с.
17.   С.А. Генкин, И.В. Итенберг, Д.В. Фомин. Ленинградские математические кружки. Киров: «Аса», 1994. 272 с.
18.   В.И. Голубев. Решение сложных и нестандартных задач по математике. М.: ИЛЕКСА, 2007.
19.   Н.В. Горбачев. Сборник олимпиадных задач по математике. М.: МЦНМО, 2004.
20.   Г.В. Дорофеев, М.К. Потапов, Н.Х. Розов. Математика для поступающих в вузы. М.: Дрофа, 1976 и другие издания.
21.   А.А. Егоров, Ж.М. Работ. Олимпиады «Интеллектуальный марафон». Математика. М.: Бюро Квантум, 2006. 128 с. (Библиотечка «Квант». Вып. 97. Приложение к журналу «Квант» № 5/2006.)
22.   М.А. Екимова, Г.П. Кукин. Задачи на разрезание. М.: МЦНМО, 2005. 120 с.
23.   Задачник «Кванта». Математика. Под редакцией Н.Б. Васильева. 2005. 95 с. (Библиотечка «Квант»).
24.   А.С. Зеленский. Сборник конкурсных задач по математике 1992–1995 годов. М.: Изд-во НТЦ Университетский, 1996. 336 с.
25.   А.С. Зеленский, О.Н. Василенко. Сборник задач вступительных экзаменов по математике. М.: Изд-во НТЦ Университетский, 1999. 542 с.
26.   А.С. Зеленский, И.И. Панфилов. Геометрия в задачах. М.: Изд-во НТЦ Университетский, 2008. 270 с.
27.   А.С. Зеленский, И.И. Панфилов. Решение уравнений и неравенств с модулем. М.: Изд-во НТЦ Университетский, 2009. 270 с.
28.   А.С. Зеленский, Е.И. Могилевский, М.В. Юмашев. Олимпиады «Ломоносов» 2008–2009 по механике для школьников 7–11 классов. М.: Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 2010. 46 с.
29.   А.Я. Канель-Белов, А.К. Ковальджи. Как решают нестандартные задачи. Под ред. В.О. Бугаенко. 4-е изд., стереотип. М.: МЦНМО, 2008. 96 c.
30.   Е.Г. Козлова. Сказки и подсказки (задачи для математического кружка). М.: МЦНМО, 2006. 165 с.
31.   Е.С. Лосев, М.В. Юмашев. Теоретические основы планиметрии. М.: Изд-во Академ-Принт,  2006. 64 с.
32.   Е.С. Лосев, М.В. Юмашев. Числа. М.: Изд-во Академ-Принт, 2006. 64 с.
33.   Е.С. Лосев, М.В. Юмашев. Тригонометрия. М.: Изд-во Академ-Принт, 2008. 48 с.
34.   Математика в задачах. Сборник материалов выездных школ команды Москвы на Всероссийскую математическую олимпиаду. Под ред. А.А. Заславского, Д.А. Пермякова, А.Б. Скопенкова, М.Б. Скопенкова и А.В. Шаповалова. М.: МЦНМО, 2009. 488 с.
35.   И.И. Мельников, И.Н. Сергеев. Как решать задачи по математике на вступительных экзаменах. М.: Учебно-научный центр довузовского образования МГУ, 1994.
36.   В.П. Моденов. Пособие по математике, части І–ІІ. М.: Издательство Московского университета, 1977.
37.   П.С. Моденов. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики. М.: Высшая школа, 1960.
38.   Московские математические регаты. Сост. А.Д. Блинков, Е.С. Горская, В.М. Гуровиц. М.: МЦНМО, 2007. 360 с.
39.   Московские математические олимпиады. 1993–2005. М.: Изд-во МЦНМО, 2006.
40.   С.Н. Олехник, М.К. Потапов, П.И. Пасиченко. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. М.: Издательство Московского университета, 1991.
41.   Олимпиада «Ломоносов» по математике (2005—2008). М.: Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 2008. 48 с.
42.   В.С. Панфёров, И.Н. Сергеев. Отличник ЕГЭ. Математика. Решение сложных задач. М. «Интеллект-Центр», 2011.
43.   В.В. Прасолов. Задачи по планиметрии. Части 1–2. М.: Наука, 1991.
44.   В.В. Прасолов. Задачи по алгебре, арифметике и анализу. М.: Изд-во МЦНМО, 2007.
45.   Сборник задач по математике для поступающих в вузы. Под редакцией  М.И. Сканави. М.: Высшая школа, 1998 и другие издания.
46.   И.Н. Сергеев. 1000 вопросов и ответов. Математика. М.: Университет книжный дом, 2000.
47.   И.Н. Сергеев. Математический анализ для 9 класса. М.: Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 2009. 64 с.
48.   И.Н. Сергеев, П.А. Бородин. Математический анализ. 10 класс. М.: Изд. ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ, 2008. 35 с.
49.   И.Н. Сергеев. Математика. Задачи с ответами и решениями: Пособие для поступающих в вузы. М.: Высшая школа, 2003.
50.   А.В. Спивак. Математический кружок. 6–7 классы. М.: МЦНМО, 2009. 128 с.
51.   Д.В. Фомин. Санкт-Петербургские математические олимпиады. 1961 – 1993 гг. С.-Пб.: Изд-во Политехника, 1994.
52.   М.И. Шабунин. Математика для поступающих в вузы. М.: Лаборатория базовых знаний, 1999.
53.   И.Ф. Шарыгин. Задачи по геометрии. Стереометрия. М.: Наука, 1984.
54.   И.Ф. Шарыгин. Геометрия. Классы 9 – 11. М.: Дрофа, 1996.
55.   И.Ф. Шарыгин. Решение задач, М.: Просвещение, 1994.
56.   И.Ф. Шарыгин, В.И. Голубев. Факультативный курс по математике. Решение задач. М.: Просвещение, 1991.
57.   И.Ф. Шарыгин, Д.И. Аверьянов, В.Б. Алексеев, Н.Б. Васильев, А.А. Егоров, В.С. Панфёров, В.Ю. Протасов и др. Третья, четвертая и пятая Соросовские олимпиады школьников М. МЦНМО, 1997, 1998, 1999гг.
58.   М.В. Юмашев. Олимпиада по механике для школьников 8–10 классов. М.: Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 2006. 22 с.
59.   М.В. Юмашев. Олимпиада по механике для школьников 11 класса. М.: Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 2009. 12 с.
60.   И.В. Ященко. Приглашение на Математический праздник. 3-е изд., испр. и доп. М: МЦНМО, 2009. 140 с.
 
 
1        2          3       4       5        6         7        8        9       10       11       12      13      14      15      16      17      18      19     20      21     22     


 

 

///////////////////////////