Ответы тут

 

 

2. колебания

 

Колебание какой-либо величины называется гармоническим, если она меняется со временем по закону синуса или косинуса.

Если материальная точка гармонически колеблется вдоль оси x, то уравнение гармонических колебаний координаты частицы имеет вид:

,                                             (1)

где х – смещение точки от положения равновесия по оси x;

А – амплитуда;

- циклическая частота;

 - начальная фаза колебаний.

Проекции скорости  и ускорения а_х точки на ось х меняются по гармоническому закону:

;                                 (2)

.                         (3)

Следует отметить, что точка над любой величиной означает производную этой величины по времени.

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний имеет вид:

.                                               (4)

Простейшими примерами систем, колеблющихся по гармоническому закону, являются гармонические осцилляторы. В механике такими колебательными системами являются пружинный, физический и математический маятники. Собственная частота колебаний маятника определяется по формулам:  - для пружинного с массой m и коэффициентом упругости k;  - для физического с массой m, моментом инерции I и расстоянием от центра инерции до оси вращения ;  - для математического с массой m и длиной нити , где g – ускорение свободного падения. Период колебаний маятника связан с собственной частотой и определяется по формуле:

.                                                      (5)

 

При сложении гармонических колебаний одного направления удобно применять способ, называемый методом векторных диаграмм. Если частоты складываемых колебаний одинаковые, то результирующее смещение определяется уравнением:

        (6)

Далее используем метод векторных диаграмм (рис. 1). Представим оба колебания с помощью векторов  и  вращающихся с частотой  против хода часовой стрелки. Результирующий вектор строим по правилам сложения векторов:

 Þ                 (7)

т. е. вектор  описывает результирующее колебание. Вектор  вращается с той же частотой , что и векторы  и

Амплитуда результирующего колебания определяется геометрически  с использованием теоремы косинусов:

                              (8)

Начальная фаза результирующего колебания определяется геометрически (см. рис. 1) через отношение катетов треугольника EOF:

.                                    (9)

При сложении взаимно перпендикулярных колебаний с разными значениями частоты  могут получаться  сложные движения  с разными траекториями.

Однако, если частоты (периоды) колебаний соотносятся между собой как целые числа (т. е. кратны), то траектории будут замкнутыми и называются фигурами Лиссажу. Вид фигуры Лиссажу зависит от соотношения между периодами, начальными фазами и амплитудами обоих колебаний.

Фигура Лиссажу, получаемая при сложении колебаний, у которых значения частоты отличаются в два раза (), представлена на рис. 2.

 

Электромагнитные колебания возникают в колебательных контурах.

В идеальном колебательном контуре, содержащем катушку индуктивностью L и конденсатор ем-костью С (рис. 3), возбуждаются гармонические электромагнитные колебания.

Для возбуждения колебаний в контуре конденсатор предварительно заряжают, сообщая его пластинам заряды . Если замкнуть конденсатор на катушку индуктивности, то он начинает разряжаться и в контуре потечет возрастающий со временем ток. В результате явления самоиндукции сила тока, достигнув максимального значения, начинает убывать. Конденсатор перезаряжается. Такой процесс повторяется периодически.

Дифференциальное уравнение электромагнитных колебаний имеет вид [1, 2]:

                                                  (10)

где  - собственная частота колебаний, ;

q – заряд конденсатора.

Реальный колебательный контур – это электрическая цепь, содержащая катушку индуктивностью L, конденсатор емкостью C и сопротивление R, в которой могут возбуждаться затухающие электромагнитные колебания (рис. 4).

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний  при условии, что  имеет вид [1, 2]:

                                              (11)

где b - коэффициент затухания контура, .

Решением выражения (10) является уравнение затухающих колебаний:

,                                         (12)

где q₀ – максимальный заряд конденсатора;

 - условная частота затухающих колебаний, .

Качество колебательного контура характеризуют его добротностью Q. При слабом затухании (b << ) добротность определяется по формуле:

.                                             (13)

Быстроту затухания колебаний характеризует логарифмический декремент затухания:

                                          (14)

где A(t) и A(t + T) – амплитуда колебаний в моменты времени t и t + T соот-ветственно;

T – условный период затухающих колебаний,

Для условия слабого затухания добротность контура связана с его логарифмическим декрементом соотношением:

.                                                   (15)

Как видно из формул (12) - (15), чем больше активное сопротивление контура, тем быстрее затухают колебания, тем больше коэффициент затухания b и логарифмический декремент, а добротность меньше.

В контуре, в который включен источник переменной ЭДС (рис. 5), могут установиться вынужденные колебания.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний имеет вид [1, 2]:

                                    (16)

где  - максимальное значение ЭДС;

W - частота вынужденных колебаний.

В таком колебательном контуре при определенных условиях может наблюдаться явление резонанса.

Явление резкого увеличения амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающего переменного напряжения к резонансной частоте называют электрическим резонансом.

Резонансными кривыми называют зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты.

Резонансные кривые для различных коэффициентов затухания ( приведены на рис. 6.

Частота вынуждающей ЭДС, при которой амплитуда колебаний максимальна, называется ре-зонансной частотой и определяется по формуле:

        (17)

В условиях слабого затухания

                                             (18)

 

2.1. Задачи для самостоятельного решения

 

2.1.1. Гармонические механические колебания

 

1) Выберите закон, по которому совершаются гармонические колебания. 1)  2)  3)  4) 

2) Что называется периодом колебаний? Это время… 1) двух полных колебаний; 2) трех полных колебаний; 3) колебаний системы; 4) одного полного колебания.

3) Пусть материальная точка совершает гармонические колебания по закону:  По какому закону будет изменяться проекция скорости этой точки? 1)  2)  3)  4) 

4) материальная точка совершает гармонические колебания по закону:  где А = 2 см;  рад/с; . Чему будет равна координата точки в момент времени, равный четверти периода? 1) -2 м; 2) -2 см;

3) 2 см; 4) 2 мм.

5) Выберите дифференциальное уравнение гармонического колебания. 1)  2)  3)  4) 

 

6) Если длину нити математического маятника увеличить в два раза, то период колебаний: 1) увеличится в два раза; 2) уменьшится в два раза; 3) уменьшится в  раз; 4) увеличится в  раз.

7) Если массу груза на пружинном маятнике уменьшить в четыре раза (не меняя жесткости пружины), то период колебаний: 1) увеличится в четыре раза; 2) увеличится в два раза; 3) уменьшится в четыре раза; 4) уменьшится в два раза.

8) Какую из колебательных систем, изображенных на рис. 7, при определенных условиях можно рассматривать как гармонический осциллятор?

1)                    2)                       3)                           4) все колебательные системы

 

 

 

 

Рис. 7. Механические колебательные системы

 

2.1.2. Электромагнитные колебания

 

9) В каком контуре (рис. 8) возникают собственные гармонические электромагнитные колебания? 1); 2); 3); 4).

1)                                  2)                                3)                                  4)

 

 

 

Рис. 8. Электрические схемы колебательных контуров

 

10) В каком контуре (см. рис. 8) возникают затухающие электромагнитные колебания? 1); 2); 3); 4).

11) В каком контуре (см. рис. 8) возникают вынужденные электромагнитные колебания? 1); 2); 3); 4).

12) В каком контуре (см. рис. 8) не могут возникнуть электромагнитные колебания? 1); 2); 3); 4).

13) Какой вид имеет закон изменения тока с течением времени при затухающих электромагнитных колебаниях? 1)  2)  3)  4) 

 

14) Какой вид имеет график затухающих электромагнитных колебаний (рис. 9)?

1)                               2)                                3)                                  4)

 

 

 

 

Рис. 9. График зависимости силы тока от времени

 

15) Как изменяется добротность контура с увеличением активного сопротивления? 1) уменьшается; 2) увеличивается; 3) не изменяется; 4) обращается в ноль.

16) Как изменяется коэффициент затухания контура с увеличением активного сопротивления? 1) уменьшается; 2) не изменяется; 3) увеличивается; 4) обращается в ноль.

17) Какой вид имеет дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитных   колебаний? 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

18) Что называется резонансом? 1) явление резкого возрастания частоты колебаний в контуре; 2) явление резкого возрастания амплитуды силы тока в контуре при совпадении частоты внешнего переменного напряжения с собственной частотой колебательного контура; 3) явление резкого уменьшения амплитуды силы тока в контуре  при совпадении частоты внешнего переменного напряжения с собственной частотой колебательного контура; 4) явление резкого увеличения активного сопротивления контура при совпадении частоты внешнего переменного напряжения с собственной частотой колебательного контура.

19) На каком графике представлена резонансная кривая (рис. 10)?

1)                               2)                                3)                                  4)

 

 

 

Рис. 10. Графики зависимости амплитуды силы тока

при резонансе от частоты и напряжения

20) Как можно рассчитать резонансную частоту через характеристики идеального колебательного контура? 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

2.1.3. Сложение гармонических колебаний

 

21) При сложении каких колебаний возникают биения? 1) одинаково направленных колебаний с близкими по значению частотами; 2) одинаково направленных колебаний с одинаковой частотой; 3) взаимно-перпендикулярных колебаний с близкими по значению частотами; 4) взаимно-перпендикулярных колебаний с одинаковой частотой.

22) При сложении каких колебаний получаются фигуры Лиссажу? 1) взаимно-перпендикулярных колебаний с близкими по значению частотами; 2) одинаково направленных колебаний с близкими по значению частотами; 3) взаимно-перпендикулярных колебаний с кратными частотами; 4) одинаково направленных колебаний с кратными частотами.

23) По виду фигуры Лиссажу (рис. 11) определите соотношение   частот       складываемых   колебаний.

1) 2:1; 2) 1:2; 3) 2:2; 4) 4:1.

24) Чему равна амплитуда колебания, получающегося при сложении двух одинаково направленных колебаний:

  с равными значениями частоты? 1) 2А; 2) А; 3) ; 4)

 

3. ВОЛНЫ

 

Гармонической называется волна, в которой все изменения состояния среды происходят по закону синуса или косинуса.

Основными характеристиками гармоничес-кой волны являются длина волны l - расстояние между двумя соседними максимумами или минимумами возмущения и период Т – время, за которое совершается одно полное колебание. Скорость распространения волны  - это скорость, с которой перемещается фаза волны, например, максимум (гребень) волны (рис. 12).

 

Длина волны связана с периодом соотношением:

.                                                    (19)

Для характеристики волны используется также понятие волнового вектора , направление которого в каждой точке пространства совпадает с направлением распространения бегущей волны, а модуль равен числу длин волн на отрезке 2p и называется волновым числом:

.                                                           (20)

Закон смещения x от положения равновесия колеблющейся частицы среды при распространении гармонической волны записывается в виде:

,                  (21)

где  – расстояние от источника волн до колеблющейся частицы;

       - волновой вектор, изображенный на рис. 13.

Для гармонической волны справедливо волновое уравнение вида:

,                                              (22)

где D - оператор Лапласа.

Решением уравнения (22) является уравнение бегущей волны (21).

Фазовая скорость электромагнитной волны

,                                                   (23)

где m и e – относительные магнитная и электрическая проницаемости среды соответственно;

с – скорость распространения волн в вакууме (скорость света в вакууме), с = 3×10⁸ м/с.

Векторы напряженности электрического  и магнитного  полей электромагнитной волны колеблются во взаимно перпендикулярных плоскостях, каждая из которых перпендикулярна направлению распространения волны:

                                                      (24)

,

т. е. электромагнитная волна является поперечной.

Уравнения колебаний векторов  и  в плоской волне, распространяющейся вдоль оси х на расстоянии х от начала отсчета, имеют вид:

;                                       (25)

.                                     (26)

Электромагнитные волны переносят энергию в направлении распространения волны. Вектор Умова-Пойтинга  определяет плотность потока энергии и связан с напряженностями электрического и магнитного полей соотношением:

.                                               (27)

 

3.1. Задачи для самостоятельного решения

 

3.1.1. Механические и электромагнитные волны

 

25) Укажите уравнение бегущей волны. 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

26) Укажите волновое уравнение. 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

27) Падающая волна распространяется по направлению оси х. Укажите уравнение отраженной волны. 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

28) Укажите волновое уравнение для электромагнитной волны. 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

29) Чему равна длина волны, если волновое число равно 20p м^-1? 1) 0,2 м;  2) 0,4 м;  3) 0,3 м;  4) 0,1 м.

30) Электромагнитная волна является: 1) продольной; 2) либо продольной, либо поперечной; 3) поперечной; 4) нет правильного ответа.

 

31) Чему равна длина волны, если скорость ее распространения равна 20 м/с, а частота 100 Гц? 1) 0,1 м;  2) 0,2 м;  3) 0,3 м;  4) 0,4 м.

32) Какие из приведенных волн являются электромагнитными? 1) ультразвуковые;  2) a -излучение;  3) b -излучение;  4) g -излучение.

33) С какой скоростью распространяются электромагнитные волны в вакууме?  1) 300000 км/с;  2) 300 км/с;  3) 340 м/с;  4) 30000 м/с.

34) С какой скоростью распространяется электромагнитная волна в среде с относительной электрической e = 3 и магнитной m = 3 проницаемостью?  1) 2000000 км/с;  2) 1000000 км/с;  3) 2000 м/с; 4) 10000 м/с.

35) Найдите правильное определение потока энергии электромагнитного поля. Это количество энергии, переносимое волной… 1) за единицу времени через некоторый объем; 2) за единицу времени через единицу объема; 3) через площадку площадью S; 4) за единицу времени через поперечную площадку S.

36) Что определяет числовое значение вектора Умова-Пойнтинга? 1) мощность, переносимую электромагнитной волной; 2) энергию, переносимую электромагнитной волной; 3) поток энергии электромагнитной волны; 4) плотность потока энергии электромагнитной волны.

37) Единицы измерения модуля вектора Умова-Пойнтинга: 1) Вт; 2) Дж×м²; 3) Дж/м²; 4) Вт/м².

38) На рис. 14 изображены варианты пространственного соотношения между тремя векторами: Умова-Пойнтинга и напряженностью электрического и магнитного полей. Какой из рисунков верен?

1)                         2)                            3)                          4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 14. Пространственное соотношение между векторами

 

 

 

 

4. ВОЛНОВАЯ  ОПТИКА

 

В этом разделе рассматривают явления интерференции, дифракции и поляризации для электромагнитных волн видимой области спектра в диапазоне длины волны 400 – 800 нм.

При наложении двух или нескольких световых волн происходит перераспределение переносимой ими энергии в пространстве. В одних точках волны усиливают друг друга, в других – ослабляют. Это явление носит название интерференции света. Устойчивая интерференционная картина наблюдается в случае, если волны являются когерентными.

 

Когерентные световые волны можно получить делением волнового фронта (например, опыт Юнга) или делением амплитуды (например, в плоскопараллельной пластине).

Результат интерференции когерентных волн зависит от того, в каких фазах волны приходят в рассматриваемую точку. Если волны приходят в одинаковых фазах или с разностью фаз Dj = 2pm (m = 0, 1, 2, …), то они усиливают друг друга и наблюдается максимум интенсивности. Если волны приходят в противоположных фазах или с разностью фаз Dj = (2m + 1)p, то волны ослабляют друг друга и наблюдается минимум интенсивности.

Разность фаз двух световых волн зависит от их оптической разности хода:

,                                             (28)

где ,  – расстояния, которые проходят волны до рассматриваемой точки;

n₁, n₂ – показатели преломления тех сред, в которых отражаются лучи.

Когда оптическая разность хода равна четному числу длин полуволн:

,                                     (29)

наблюдается максимум интенсивности.

Когда оптическая разность хода равна нечетному числу длин полуволн:

,                                  (30)

наблюдается минимум интенсивности.

В опыте Юнга на экране будет наблюдаться интерференционная картина. Положение максимума на экране определяется по формуле:

,                                       (31)

где L – расстояние от щелей до экрана;

d – расстояние между щелями.

Расстояние между соседними максимумами интенсивности равно расстоянию между соседними минимумами:

.                                                   (32)

Интерференцию света можно наблюдать на плоскопараллельной пластине (тонкой пленке) в отраженном и проходящем свете. Разность хода двух лучей зависит от толщины пластины и от показателей преломления сред самой пленки и вокруг нее. При вычислении разности хода следует учитывать, что при отражении от оптически более плотной среды теряется полволны .

Разность хода лучей (рис. 15) в отраженном свете определяется по выражению:

,         (33)

в проходящем свете -

.            (34)

При прохождении электромагнитными волнами границы раздела двух сред возможно возникновение полного внутреннего отражения. Это явление (рис. 16) происходит, когда угол падения  больше некоторого предельного угла : , а показатель преломления первой среды больше показателя преломления второй среды:

Эффект полного внутреннего отражения наблюдают в световодах, которые используются для построения оптоволоконных кабелей. Оптическое волокно выполнено из оптически прозрачного материала. Сердечник волокна выполнен из материала с бóльшим показателем преломления, чем ее оболочка. В результате полного внутреннего отражения электромагнитная волна распространяется только внутри световода. Оптическое волокно используется в качестве среды передачи сигна-

ла на телекоммуникационных сетях.

Дифракцией называется огибание волной препятствий, размеры которых соизмеримы с длиной волны.

Различают два вида дифракции: Френеля (дифракция сферических волн) и Фраунгофера (дифракция в параллельных лучах).

 

Для оценки результатов дифракции Френель предложил разделить фронт волны на конечное число зон. Зонами Френеля называют такие участки волновой поверхности, расстояния от которых до точки наблюдения для двух любых соседних зон отличаются на , поэтому колебания, приходящие в точку наблюдения от аналогичных точек соседних зон, будут находиться в противофазе.

Радиус внешней границы зоны Френеля m (рис. 17) в этом случае рассчитывается по формуле:

,                                                 (35)

где а – расстояние от источника света до вершины фронта волны;

b – расстояние от точки наблюдения до вершины фронта волны.

Аналогично оценивается дифракция Фраунгофера на узкой щели шириной b. Если в щели укладывается четное число зон Френеля, то в точке на экране наблюдается дифракционный минимум, а если нечетное, то – максимум.

Следовательно, условие минимума имеет вид:

,                                                (36)

а максимума -

,                                          (37)

где j  – угол отклонения лучей;

m = 1, 2, 3, … .

Большое практическое значение имеет дифракция света на дифракционной решетке. Условие главных максимумов на экране имеет вид:

                                              (38)

где d – период решетки (расстояние между соседними щелями);

m = 0, 1, 2, … .

В естественном свете колебания различных направлений быстро и беспорядочно сменяют друг друга. Свет, в котором направления колебаний упорядочены каким-либо образом, называется поляризованным. Обычно рассматривают плоскополяризованный свет, т. е. такой, в котором колебания светового вектора происходят только в одной плоскости.

Поляризованный свет получают из естественного с помощью приборов – поляризаторов, их действие основано на явлении поляризации света при отражении его от диэлектрика или на явлении поляризации при двойном лучепреломлении, которое наблюдается при прохождении света через анизотропные кристаллы (анизотропными называют кристаллы, физические свойства которых зависят от направления в кристалле).

В первом случае справедлив закон Брюстера, согласно которому отраженный от диэлектрика свет будет полностью поляризован, если выполняется условие:

                                              (39)

где  – угол падения;

 - относительный показатель преломления сред.

Во втором случае световой пучок разделяется на два луча – обыкновенный и необыкновенный, которые поляризованы во взаимно перпендикулярных плоскостях.

С помощью системы, состоящей из двух поляризаторов, можно анализировать интенсивность поляризованного света, прошедшего эту систему.

Интенсивность поляризованного света зависит от угла j  между главными плоскостями поляризатора (первый поляризатор) и анализатора (второй поляризатор):

                                                (40)

где  и  – интенсивность света, вышедшего из анализатора и из поляризатора.

Уравнение (40) носит название закона Малюса.

 

4.1. Задачи для самостоятельного решения

 

4.1.1. Интерференция, дифракция, поляризация

 

39) Какая из приведенных формул описывает условие минимумов при интерференции волн?  1)   2)   3)   4)

40) По какой из приведенных формул можно найти положение светлых интерференционных полос в опыте Юнга? 1) ;  2) ;  3) ;  4) .

41) Какая из формул описывает условие максимумов при интерференции волн? 1) ;   2) ;   3) ;   4) .

42) В каких случаях при наложении волн будет наблюдаться устойчивая интерференционная картина? Если волны… 1) имеют одинаковую длину волны; 2) когерентны; 3) имеют одинаковую частоту; 4) распространяются с разной скоростью.

43) Чему равна разность хода двух лучей при интерференции в тонкой пленке в проходящем свете (рис. 18)?

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

44) Чему равна разность хода двух лучей при интерференции в тонкой пленке в проходящем свете (рис. 19)?

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

45) Чему равна разность хода двух лучей при интерференции в тонкой пленке в отражен-ном свете (рис. 20)?

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

46) Чему равна разность хода двух лучей при интерференции в тонкой пленке в отражен-ном свете (рис. 21)?

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

47) Чему равна разность хода волн, приходящих в точку наблюдения от четвертой  и  шестой

зон Френеля? 1) 0;  2) ;  3) ;  4) .

48) Какое оптическое явление называют диф-ракцией света? 1) пространственное перераспределение энергии в области наложения световых волн; 2) зависимость показателя преломления от длины волны; 3) рассеяние света в среде с резкими неоднородностями; 4) распространение света в среде с резкими неоднородностями, приводящими к отклонению от законов геометрической оптики.

49) Какое количество зон Френеля укладывается в круглом отверстии, если в центре дифракционной картины наблюдается светлое пятно? 1) 6; 2) 4; 3) 2; 4) 3.

50) Чему равна разность фаз волн, приходящих в точку наблюдения от двух соседних зон Френеля? 1) 0;  2) ;  3) ;  4) .

51) Для каких лучей следует использовать в качестве дифракционной решетки пространственную решетку кристаллов?  1) ультрафиолетовые;  2) инф-ракрасные;  3) видимые;  4) рентгеновские.

52) На дифракционную решетку с периодом 2 мкм падает нормально зеленый свет с длиной волны 500 нм. Под каким углом будет наблюдаться максимум второго порядка? 1) 15°;  2) 30°;  3) 45°;  4) 90°.

53) На кристаллическую решетку с периодом 10 пм падают рентгеновские лучи с длиной волны 10 пм. Чему равен угол скольжения лучей, если наблюдается первый максимум? 1) 30°;  2) 60°;  3) 90°;  4) 120°.

 

54) При дифракции на щели шириной b на экране наблюдается система максимумов и минимумов. При каком условии наблюдается минимум? 1)  2)  3)  4)

55) Когда возникает двойное лучепреломление света?  1) при прохождении света через оптически анизотропные среды; 2) при прохождении света через прозрачные кристаллы; 3) при прохождении света через оптически изот-ропные среды; 4) при отражении света от оптически анизотропной среды.

56) Какие из перечисленных волн могут быть поляризованными?  1) звуковая волна в воздухе; 2) звуковая волна в жидкости; 3) звуковая волна в твердых телах; 4) электромагнитная волна.

57) Какое явление используется в призме Николя?  1) прохождение света через оптически активное вещество; 2) отражение света от металлического зеркала; 3) двойное лучепреломление; 4) отражение света от диэлектрика.

58) Свет на границу раздела падает под углом Брюстера. Какой луч будет полностью поляризован?  1) обыкновенный; 2) отраженный; 3) преломленный; 4) необыкновенный.

59) Свет падает из воздуха на диэлектрик под углом Брюстера 57°. Чему равен показатель преломления диэлектрика?  1) 1,4;  2) 1,5;  3) 1,6;  4) 1,7.

60) Два поляроида ориентированы так, что пропускают максимум света. Во сколько раз уменьшится интенсивность прошедшего света, если один из них повернуть на угол 60°?  1) в два раза;  2) в четыре раза;  3) в шесть раз;  4) в восемь раз.

61) Чему равен угол Брюстера при падении света на границу раздела двух диэлектриков, если показатели преломления таковы: n₁ = 1, n₂ = 1,7? 1) 30°;  2) 45°;  3) 60°;  4) 75°.

62) Два поляроида ориентированы так, что пропускают максимум света. На какой угол следует повернуть один из них, чтобы интенсивность прошедшего света уменьшилась наполовину?  1) 30°;  2) 45°;  3) 60°;  4) 90°.

 

5. КВАНТОВАЯ  ФИЗИКА

 

Квантовые (дискретные) свойства света проявляются в таких физических явлениях, как фотоэффект, эффект Комптона и во множестве других.

В 1905 г. Эйнштейн выдвинул смелую гипотезу о том, что не только излучение и поглощение света, но и распространение его в пространстве происходят порциями, квантами. Эти кванты электромагнитного излучения были наз-ваны фотонами.

Главной характеристикой фотонов является их энергия, которая определяется по формуле:

,                                                      (41)

где  – частота света;

h - постоянная Планка, h = 6,63×10^-34 Дж×с.

Фотон также имеет определенную массу, которая рассчитывается по уравнению:

.                                                      (42)

Фотон всегда находится в движении со скоростью света и не имеет массы покоя. Как и у всякой частицы, у фотона есть импульс:

.                              (43)

Явление вырывания электронов с поверхнос-ти металла под действием света называется внешним фотоэффектом. Зависимость силы фотона от разности потенциалов между катодом и анодом при неизменном световом потоке Ф называется вольт-амперной характеристикой (рис. 22).

Как видно из рис. 22, при U = 0 фототок не равен нулю, это означает, что электроны вылетают с поверхности катода с отличной от нуля кинетической энергией. Для того чтобы фототок стал равным нулю, нужно приложить задерживающее поле. Разность потенциалов, при которой сила тока равна нулю, называется задерживающим напряжением.

Явление фотоэффекта объясняется уравнением Эйнштейна:

,                                              (44)

где  – работа выхода электронов из металла;

m – масса электрона;

 - максимальная скорость вырванных электронов.

Основные закономерности внешнего фотоэффекта:

1) при неизменной частоте сила фототока насыщения пропорциональна падающему световому потоку;

 

2) скорость вырванных электронов не зависит от интенсивности падающего света, а определяется его частотой;

3) для каждого металла существует определенная минимальная частота света, начиная с которой наблюдается фотоэффект, и которая называется красной границей.

Квантовый характер взаимодействия электромагнитного поля с веществом проявляется в процессе рассеяния рентгеновских лучей. Возрастание длины волны при рассеянии рентгеновских лучей называется эффектом Комптона. Оказалось, что изменение длины волны Dl не зависит от длины волны падающего излучения и от материала рассеивающего тела, а зависит только от угла рассеяния Q:

,                                              (45)

где  – комптоновская длина волны,  = 2,43×10^-12 м.

Французский физик де Бройль выдвинул гипотезу о том, что корпускулярно-волновой дуализм является свойством не только света, но и материи вообще. Длину волны, сопутствующую движущимся частицам, рассчитывают по формуле де Бройля:

,                                                     (46)

где р – импульс частицы.

Любая волна, независимо от ее природы, характеризуется периодически изменяющейся величиной – волновой функцией y:

Физический смысл имеет не волновая функция, а квадрат ее модуля:

.                                           (47)

Квадрат модуля волновой функции определяет плотность вероятности  обнаружить частицу в соответствующей области пространства.

Таким образом, волновые свойства частиц могут быть истолкованы только статистически. Волны де Бройля не имеют аналогии в классической физике.

Частицы вещества, независимо от их природы, характеризуются и волновыми, и корпускулярными свойствами. С точки зрения классической физики эти свойства  взаимно исключают друг друга.  Степень  пригодности классических

 

понятий для характеристики микрочастиц определяется математическими соотношениями, установленными Гейзенбергом и носящими название соотношения неопределенностей:

                                                  (48)

где  – интервалы, в которых заключены проекции импульса частицы на оси x, y, z;

 – интервалы координат, в которых локализована частица, описываемая волной де Бройля.

Чем точнее будет определена координата микрочастицы, тем с меньшей точностью можно определить импульс, а значит, и скорость.

В классической механике движение тела в пространстве и времени описывается уравнениями Ньютона. При постановке аналогичной задачи в квантовой механике следует учесть ограничение возможности применения классических понятий координаты и импульса из-за двойственности свойств частиц микромира.

Так как состояние частиц в пространстве в данный момент времени в квантовой механике задается волновой функцией , то основное уравнение квантовой механики будет волновым.

Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики было получено Э. Шредингером в 1926 г.

Уравнение Шредингера имеет вид:

,                              (49)

где постоянная Планка, ;

 - мнимая единица, ;

m – масса частицы;

 - оператор Лапласа, ;

- потенциальная энергия частицы в силовом поле, где она движется.

 

Уравнение (49) называют временным уравнением Шредингера, так как оно содержит производную от y-функции по времени.

Для большого числа физических явлений (например, поведение электрона в атоме) важно находить стационарные решения уравнения Шредингера, не содержащие времени:

,                                   (50)

где  - полная энергия частицы.

Уравнение (50) называют стационарным уравнением Шредингера.

При решении задачи о нахождении микрочастицы в прямоугольной бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме квантовая механика дает необычные результаты. Во-первых, энергия частицы в потенциальной яме квантуется. Квантованные значения энергии W называются уровнями энергии (рис. 23).

Частица в потенциальной яме может находиться на определенном энергетическом уровне.

Во-вторых, на каждом уровне плотность вероятности обнаружения частицы  разная (см. рис. 23).

В реальных условиях микрочастицы встречают потенциальный барьер конечной ширины и высоты. Особый интерес представляет случай, когда полная энергия частицы меньше высоты потенциального барьера . Выводы, которые получают в этом случае классическая и квантовая теории, в корне отличаются друг от друга.

С точки зрения квантовой механики вероятность преодоления потенциального барьера отлична от нуля. С увеличением полной энергии частицы возрастает вероятность нахождения частицы под барьером и за барьером, а с увеличением массы – уменьшается.

Для характеристики состояния электронов в атоме вводятся кванто-вые числа:

n – главное квантовое число, оно определяет полную энергию W (n = 1, 2, 3, …);

 

 - орбитальное квантовое число, которое определяет момент импульса L электрона в атоме. Момент импульса может иметь только квантованные значения:

                                                (51)

где

m - магнитное квантовое число, определяющее величину проекции мо-мента импульса L_z на заданное направление в пространстве:

                                                      (52)

где

m_s – спиновое квантовое число, оно определяет проекцию спина элек-трона и принимает только два значения: m_s = .

Распределение электронов в атоме по энергетическим уровням осущест-вляется в соответствии с принципом Паули: в атоме не может быть двух элект-ронов, находящихся в одинаковых энергетических состояниях, определяемых одинаковым набором всех четырех квантовых чисел.

В атомной физике применяют условные обозначения состояний, которые заимствованы из спектроскопии. Совокупность электронов, имеющих одинако-вые n и  образует оболочку:

 

 

Максимальное число электронов, которое может находиться в оболочке,

.                                                (53)

Совокупность оболочек с одинаковым значением n образует слой:

 

 

Максимальное число электронов в слое:

.                                               (54)

 

5.1. Задачи для самостоятельного решения

 

5.1.1. Квантово-оптические явления, квантовая механика

 

63) В чем заключается явление внешнего фотоэффекта? 1) вырывание электронов с поверхности металлов под действием света; 2) вырывание ионов с поверхности металлов под действием света; 3) проникновение фотонов в глубину металлов; 4) увеличение длины волны падающего света при рассеивании на металлической поверхности.

64) Какой вид имеет вольт-амперная характеристика (рис. 24) во внешнем фотоэффекте?

1)                               2)                             3)                         4)

 

 

 

 

Рис. 24. Графики зависимости силы тока от напряжения

 

65) Что называется красной границей внешнего фотоэффекта? 1) максимальная частота света, при которой начинается фотоэффект; 2) максимальная скорость вырванных электронов; 3) минимальная частота света, при которой начинается фотоэффект; 4) максимальная кинетическая энергия вырванных электронов.

66) Как сила фототока насыщения при внешнем фотоэффекте зависит от светового потока Ф (рис. 25)?

1)                              2)                             3)                         4)

 

 

 

 

 

Рис. 25. Графики зависимости силы тока от светового потока

 

67) Что происходит в веществе, в котором наблюдается фотоэффект? 1) атом поглощает квант энергии; 2) ядро испускает a-частицу; 3) электрон приобретает импульс и энергию; 4) атом испускает квант энергии.

68) В чем заключается явление эффекта Комптона? 1) в явлении вырывания электронов из металла под действием света; 2) в увеличении длины волны падающего света при рассеивании на свободных электронах легкого вещества; 3) в изменении частоты спектральных линий под действием света; 4) в дифракции рентгеновских лучей.

69) По какой из формул можно рассчитать комптоновское смещение? 1)  ; 2)  ; 3)  ; 4)  .

70) С чем взаимодействует рентгеновский фотон в эффекте Комптона? 1) с протоном; 2) с электроном; 3) с ядром; 4) с нейтроном.

71) В чем заключается корпускулярно-волновой дуализм материи? 1) любой движущейся частице соответствует определенная волна; 2) любому кванту света сопутствует определенная волна; 3) в явлениях интерференции и дифракции; 4) в явлениях фотоэффекта и эффекта Комптона.

72) По какой из приведенных формул можно рассчитать длину волны де Бройля? 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

73) Какая из приведенных формул соответствует волновой функции, описывающей волны де Бройля? 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

74) Какой смысл имеет квадрат модуля волновой функции ? 1) местонахождение частицы в данном месте; 2) плотность вероятности обнаружить действие частицы в соответствующем месте пространства; 3) количество энергии, выделившееся в данном месте пространства; 4) количество фотонов в данном объеме пространства.

75) Какое из приведенных уравнений является стационарным уравнением Шредингера? 1) ; 2) ; 3) ;     4) .

76) Какое из приведенных уравнений описывает движение свободной микрочастицы вдоль оси х? 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

77) Какое из приведенных уравнений описывает движение микрочастицы в одномерной бесконечно глубокой «потенциальной яме» с нулевым дном? 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

78) Какое из приведенных уравнений описывает поведение микрочас-тицы при прохождении ее сквозь одномерный потенциальный барьер? 1) ;                   2) ; 3) ;           4) .

79) Как вероятность проникновения микрочастицы под потенциальный барьер зависит от ее массы, если энергия микрочастицы меньше высоты потенциального барьера? Если масса микрочастицы возрастает, то вероятность… 1) уменьшается; 2) увеличивается; 3) не изменяется; 4) нет правильного ответа.

80) Как вероятность проникновения микрочастицы за потенциальный барьер зависит от ее энергии, если энергия микрочастицы меньше высоты потенциального барьера? Если энергия микрочастицы увеличивается, то вероятность… 1) уменьшается; 2) увеличивается; 3) не изменяется; 4) нет правильного ответа.

81) Микрочастица находится в одномерной прямоугольной бесконечно глубокой «потенциальной яме» шириной  на четвертом энергетическом уровне (рис. 26). Какой вид имеет зависимость плотности вероятности нахождения частицы от ее координаты?

1)                              2)                              3)                               4)

 

 

 

 

 

Рис. 26. Графики зависимости плотности вероятности

нахождения частицы от координаты

82) Чему равна вероятность нахождения микрочастицы на втором энергетическом уровне в одномерной бесконечно глубокой «потенциальной яме» в первой ее половине? 1) 25 %;  2) 50 %;  3) 75 %;  4) 100 %.

83) Что характеризует главное квантовое число n? 1) энергию электрона в атоме; 2) момент импульса электрона в атоме; 3) проекцию момента импульса на направление внешнего магнитного поля; 4) собственный механический момент электрона.

84) Что характеризует орбитальное квантовое число ? 1) энергию электрона в атоме; 2) модуль момента импульса электрона в атоме; 3) проекцию момента импульса на направление внешнего магнитного поля; 4) собственный механический момент электрона.

85) Что характеризует магнитное квантовое число m? 1) энергию электрона в атоме; 2) момент импульса электрона в атоме; 3) проекцию момента импульса на направление внешнего магнитного поля; 4) собственный механический момент электрона.

86) Что характеризует спин электрона? 1) энергию электрона в атоме; 2) момент импульса электрона в атоме; 3) проекцию момента импульса на направление внешнего магнитного поля; 4) собственный механический момент электрона.

87) Какие значения может принимать спин электрона? 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

88) Какие значения может принимать магнитное квантовое число m? 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

89) Какие значения может принимать главное квантовое число? 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

90) Какие значения может принимать орбитальное квантовое число ? 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

91) Какая из приведенных формул является условием нормировки волновой функции? 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

92) Какая из приведенных формул отражает соотношение неопределенностей Гейзенберга? 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

 

93) Что показывает соотношение неопределенностей Гейзенберга? 1) координата частицы и проекция ее импульса на соответствующую ось могут быть определены с равной степенью точности; 2) энергия и импульс частицы могут быть определены с равной степенью точности; 3) координата частицы и проекция ее импульса на соответствующую ось могут иметь лишь значения, определяемые с некоторой степенью точности; 4) чем точнее определена координата частицы, тем точнее определена проекция ее скорости на соответствующую ось.

94) Какая из приведенных формулировок отражает принцип Паули? 1) атом, как любая устойчивая система, должен обладать минимальной из всех возможных значений полной энергии; 2) в данном энергетическом состоянии может находиться только два одинаковых электрона; 3) в любом атоме не может быть двух электронов, находящихся в одинаковых энергетических состояниях, определяемых одинаковым набором всех четырех квантовых чисел; 4) все электроны атома находятся на уровне с минимальным значением энергии.

95) Какое количество электронов находится в р-оболочке? 1) 2;  2) 6; 3) 10;  4) 14.

96) Какое количество электронов находится в d-оболочке? 1) 2;  2) 6; 3) 10;  4) 14.

97) Какое количество электронов находится в L-слое? 1) 2; 2) 8; 3) 18; 4) 32.

98) Какое количество электронов находится в М-слое? 1) 2; 2) 8; 3) 18; 4) 32.

 

 

Библиографический список

 

1. Трофимова  Т. И. Курс физики / Т. И. Трофимова. М., 2001. 542 с.

2. Детлаф А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. М., 2003. 607 с.

3. Крохин С. Н. Колебания и волны. Квантовая и атомная физика / С. Н. Крохин, Ю. М. Сосновский / Омский гос. ун-т путей сообщения. Омск, 2007. 31 с.

4. Гончар И. И. Основы квантовой физики в задачах / И. И. Гончар, Л. А. Литневский / Омский гос. ун-т путей сообщения. Омск, 2008. 39 с.

5. Гончар И. И. Элементы квантовой механики / И. И. Гончар, И. А. Дроздова / Омский гос. ун-т путей сообщения. Омск, 2009. 37 с.

6. Трофимова Т. И. 500 основных законов и формул: Справочник / Т. И. Трофимова. М., 2003. 63 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Ответы  к  задачам  для  самостоятельного  решения