Вопросы экзаменационных билетов по курсу «ПРИКЛАДНЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ» - 2020 год

гр. С-12, 12а-17, 7 семестр 2020 г.
1. Векторно-матричный вид уравнений динамики линейной механической системы с двумя степенями свободы.
2. Динамика системы с двумя степенями свободы. Примеры позиционных потенциальных и непотенциальных сил.
3. Динамика системы с двумя степенями свободы. Примеры скоростных диссипативных и гироскопических сил.
4. Динамика системы с двумя степенями свободы. Скоростные силы отсутствуют, инерционная матрица – единичная. Написать соответствующее характеристическое уравнение.
5. Динамика системы с двумя степенями свободы. Скоростные силы отсутствуют, инерционная матрица – единичная. Параметр, характеризующий неконсервативные силы, изменяется от 0 до . Охарактеризовать ситуацию дивергенция (divergence) – расхождение.
6. Динамика системы с двумя степенями свободы. Скоростные силы отсутствуют, инерционная матрица – единичная. Параметр, характеризующий неконсервативные силы, изменяется от 0 до . Охарактеризовать ситуацию вибрации (vibration) – колебания.
7. Динамика системы с двумя степенями свободы. Скоростные силы отсутствуют, инерционная матрица – единичная. Параметр, характеризующий неконсервативные силы, изменяется от 0 до . Охарактеризовать ситуацию флаттер (flutter) — раскачка.
8. Динамика системы с двумя степенями свободы. Диссипативные (скоростные) и неконсервативные (позиционные) силы отсутствуют. Написать соответствующее характеристическое уравнение. Название таких систем.
9. Динамика системы с двумя степенями свободы. Диссипативные (скоростные) и неконсервативные (позиционные) силы отсутствуют. Параметр, характеризующий гироскопические силы, изменяется от 0 до . Охарактеризовать ситуацию дивергенция (divergence) – расхождение.
10. Динамика системы с двумя степенями свободы. Диссипативные (скоростные) и неконсервативные (позиционные) силы отсутствуют. Параметр, характеризующий гироскопические силы изменяется от 0 до . Охарактеризовать ситуацию вибрации (vibration) – колебания.
11. Динамика системы с двумя степенями свободы. Диссипативные (скоростные) и неконсервативные (позиционные) силы отсутствуют. Параметр, характеризующий гироскопические силы, изменяется от 0 до . Охарактеризовать ситуацию флаттер (flutter) — раскачка.
12. Описать условия появления гироскопической стабилизации, когда состояние флаттера переходит в состояние вибраций – колебаний конечной амплитуды.
13. Описать условие Гейзенберга-Лакса. (Матричный коммутатор. L-A пара с постоянной матрицей L).
14. Описать условие Гейзенберга-Лакса. Обертывающее преобразование. Изоспектральность нестационарной матрицы A(t).
15. Показать, что система уравнений с матрицей A(t), удовлетворяющей условию Гейзенберга-Лакса, приводима к системе уравнений с постоянными коэфициентами.
16. Закон изменения во времени определителя фундаментальной матрицы «фазового объема».линейной системы с постоянными коэффициентами.
17. Закон изменения во времени определителя фундаментальной матрицы «фазового объема».линейной системы с переменными коэффициентами.
18. Роль следа матрицы линейной системы в характеристике устойчивости по Ляпунову ее решений. Теорема об изменении «фазового объема».
19. Запись общего решения однородной системы уравнений с помощью импульсной переходной матрицы.
20. Кинематически подобные матрицы. Матрицы Ляпунова. Преобразования Ляпунова.
21. В каком случае линейная система с переменными коэффициентами называется приводимой.
22. Теорема Еругина о необходимых и достаточных условиях приводимости линейной система с переменными коэффициентами.
23. Теорема Флоке о фундаментальной матрице системы уравнений с периодическими коэффициентами.
24. Теорема Ляпунова о приводимости систем дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.
25. Выписать уравнение для определения спектра матрицы A(t) системы с периодическими коэффициентами.
26. Монодромия. Какая матрица C, характеризующая движение фазовой точки вдоль монодромии, называется матрицей монодромии.
27. Выписать характеристическое уравнение для матрицы монодромии C. Как называются корни этого уравнения.
28. Связь спектра матрицы A(t) системы с периодическими коэффициентами и мультипликаторов.
29. Почему, если матрица Z(t) является фундаментальной матрицей системы с периодическими коэффициентами, то матрица Z(t+T) также фундаментальна.
30. Почему матрицу монодромии можно искать с помощью ЭВМ, решая исходную систему уравнений на одном периоде T матрицы A(t) системы с периодическими коэффициентами.
31. Почему в соответствии с теоремами Еругина и Ляпунова система с периодическими коэффициентами приводима к системе с постоянными коэффициентами.
32. Нормальные решения системы с периодическими коэффициентами.
33. Условия периодичности и антипериодичности нормальных решений системы уравнений с периодическими коэффициентами.
34. Что означает обнаружение факта, что среди мультипликаторов системы с периодическими коэффициентами оказался мультипликатор .
35. Верно ли утверждение: если у системы с периодическими коэффициентами есть хотя бы одно периодическое решение, то один из мультипликаторов равен единице.
36. Пусть среди мультипликаторов системы с периодическими коэффициентами оказался мультипликатор , что это означает?
37. Случай нулевого следа матрицы системы уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами. Характеристическое уравнение для мультипликаторов.
38. Условие устойчивости, неустойчивости решений системы уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами с постоянным фазовым объёмом. Границы области устойчивости.
39. Уравнение Матье. Примеры задач, приводящих к уравнению Матье.
40. Условие сильной устойчивости для уравнения Матье. Диаграмма Айнса-Стретта.
41. Способ построения матрицы монодромии в задаче о колебаниях перевернутого маятника в случае кусочно-постоянного ускорения точки подвеса при высокой частоте колебаний подвеса.
42. Способ построения матрицы монодромии в задаче с кусочно-постоянной жёсткостью. Условия сильной устойчивости.
43. Условие стабилизации верхнего положения маятника Капицы.
44. Квазилинейные системы. Построение системы усреднённых уравнений для медленных амплитуды и фазы.
45. Неизохронность нелинейных консервативных систем. Определение частоты колебаний в случае малой кубической нелинейности (уравнение Дуффинга).
46. Система с малым сухим трением. Анализ решения путём перехода к медленным амплитуде и фазе.
 

////////////////////////////