ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТЫ СОБСТВЕННЫХ
КОЛЕБАНИИ ПЛОДОВОГО ДЕРЕВА
Определение оптимальных режимов работы вибратора для обеспечения
необходимой полноты съема плодов связано с установлением частот и форм
собственных колебаний плодового дерева, которые являются главными
характеристиками его как механической колебательной системы.
Определение частот собственных колебаний плодового дерева точными
теоретическими методами задача сложная, поэтому для проведения расчета
приходится делать некоторые допущения, ошибка от которых не превышает
требований, выдвигаемых при практической оценке частот собственных
колебаний плодовых деревьев самой разнообразной формы.
Для определения частот собственных колебаний плодового дерева X. А.
Хачатрян [27] использовал формулу Рэлея. Этот метод позволяет
сравнительно легко определить низшую собственную частоту колеблющейся
системы. Однако, как указывает сам автор, удовлетворительные результаты можно получить лишь в том случае, когда рассматриваемая модель близка к
действительной колеблющейся системе. При расчетах X. А. Хачатрян
сосредоточивал массу дерева в пяти точках по всему объему кроны.
Е. М. Андреева и М. X. Вексельман предлагают определять частоту и форму
собственных колебаний плодового дерева на основе метода начальных
параметров [1]. Ствол плодового дереА ва с четко выраженным центральным
проводником как механическая колебательная система моделировался
авторами в виде прямого цилиндрического стержня с расположенными на его
оси сосредоточенными массами. При этом диаметр поперечного* сечения в
пределах каждого участка авторы считали постоянным; при переходе через
сечение, содержащее сосредоточенную массу, диаметр менялся
скачкообразно.
Специалисты Всесоюзного научно-исследовательского и пра-ектного
института экономики, организации управления производством и информации
по лесной, целлюлозно-бумажной и де^-ревообрабатывающей промышленности
|(ВНИПИЭИЛеспрома)) П. Д. Безносенко и другие предложили определять
собственные колебания дерева методом последовательных приближений [2].
Работа проведена для расчета динамических нагрузок на рабочее
оборудование валочно-пакетирующей машины. Дерево было заменено
одномассовой динамически эквивалентной системой. Основную частоту
колебаний дерева с заданной точностью оп-; ределяли на ЭВМ «Минск-22».
Применять два последних метода определения собственной частоты можно
только для деревьев с ярко выраженным проводником (стволом).
Автором данной книги предложено определять частоту собственных колебаний
с помощью энергетических методов [7] и использовать для подсчета
числовых значений метод Рэлея—1 Ритца и модифицированный метод Рэлея—
Ритца [3].
Известно, что плодовое дерево представляет собой некоторую непрерывную
систему с бесконечным числом степеней свободы. Следовательно, имеется
бесконечное число нормальных функций и частот собственных колебаний.
В первом приближении всю массу дерева с плодами можно привести к стволу
в виде нескольких сосредоточенных масс-Предполагаем, что ветвь
однородна, одного сечения, материал ветви подчиняется закону Гука и на
ветви равномерно по всей
длине распределены плоды, хотя фактически ветви
имеют переменные упругие и инерционные свойства с неравномерным
распределением плодов по длине ветви.
Деформация некоторой непрерывной системы под действием динамических
нагрузок может быть выражена через нормальные функции и частоты
собственных колебаний. За исключением некоторых очень частных случаев
эти частоты не могут быть определены точно, поэтому для их определения
применяют ряд приближенных методов, например энергетические метод».
Энергетические методы вычисления нормальных функций и частот собственных
колебаний основываются на принципе виртуальной работы или на более
частной форме этого принципа, известной под названием уравнений
Лагранжа.
Уравнения Лагранжа можно применить для решения рассматриваемых задач,
если приближенно представить деформацию системы таким образом, чтобы она
могла быть описана при помощи конечного числа обобщенных координат q и
q%,
Рассмотрение системы с п степенями свободы затруднительно, поэтому
обычно стремятся уменьшить число степеней свободы путем наложения
соответствующих ограничений. Чем больше ограничений накладывается на
систему, тем получается менее точный конечный результат.
Если при использовании метода Рэлея—Ритца
задаваться одной формой колебаний, то метод сведется к известному методу
Рэлея.
При энергетических методах расчета прогибы системы выражаются в виде
некоторого наложения колебаний задаваемых форм. От выбора функций,
представляющих задаваемые формы колебаний, зависит успех применения
приближенных методов.
Для получения хороших результатов выбираемые функции должны
удовлетворять граничным условиям и быть линейно независимыми друг от
друга. Удовлетворение всех граничных условий на свободных границах не
является строго обязательным, так как в конечном результате, стремятся
удовлетворить этим условиям. Линейная независимость предполагает
невозможность выражения какой-либо одной из задаваемых функций в виде
наложения нескольких или всех остальных функций. Чем дальше задаваемые
функции от линейных, тем более подходящими являются они для
приближенного решения. Примерами линейно независимых функций могут
служить члены степенного ряда или члены ряда Фурье.
Наиболее простой функциональной формой является полиномиальное
выражение. Можно получить некоторые стандартные формы, удовлетворяющие
граничным условиям отдельных частных задач. Например, для случая
консольной балки В. Дунканом [3] предложено следующее полиномиальное
выражение:
Простой подстановкой легко доказать, что это
выражение удовлетворяет граничным условиям, налагаемым на консольную
балку.
Для определения частот колебаний конкретного плодового дерева необходимо
найти все матрицы уравнения (31).
В качестве примера рассчитаем 1три собственные частоты типичного
плодового дерева восьмилетней сливы со следующими размерами: высота
ствола 450 см, диаметр основания 10 см, диаметр вершины 4 см, длина
скелетной ветви первого порядка 250 см при среднем диаметре 5 см,
второго порядка 200 см при среднем диаметре 4 см, третьего порядка 140
см при среднем диаметре 2,5 см. Количество ветвей каждого порядка равно
четырем. Место прикрепления к стволу одной пары скелетных
ветвей первого порядка находится на высоте 90 см от
земли, второй пары — на высоте 180 см от земли. Общий урожай на дереве
принят 50 кг, из Мих на каждой скелетной ветви первого порядка с ветвями
других порядков по 10 кг и на стволе 10 кг.
Из результатов расчетов видно, что собственные
частоты одного и того же дерева при сосредоточении массы в шести л в
трех точках различаются в пределах каждого тона незначительно.
Как показала экспериментальная проверка, первая собственная частота
примерно таких же сливовых деревьев, определенная с помощью
электротензометрирования, оказалась равной 0,6—0,95 Гц.
Сопоставление полученных результатов позволяет считать, что частоты,
вычисленные теоретическим путем и полученные экспериментально, весьма
близки. Это дает основание широко использовать теоретические методы для
определения требуемого соотношения собственных и вынужденных частот и,
следовательно, определять режимы работы вибратора для высокой полноты
съема плодов.