Глава 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕОРИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ И МЕТОДОВ

Глава 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕОРИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ И МЕТОДОВ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА ПРИ РАСЧЕТАХ И КОНСТРУИРОВАНИИ ОБОРУДОВАНИЯ

При проектировании и исследовании новых механических систем и объектов, анализе свойств существующих машин и механизмов, выборе и обосновании их оптимальных конструктивных и технологических параметров и условий функционирования широко используется математическое моделирование [8, 130, 156]. Оно представляет собой совокупность математических уравнений, формул и неравенств, логических операторов и других зависимостей, описывающих физические процессы, характерные для изучаемого объекта или явления. Получаемые при этом с помощью математических символов описания называются математическими моделями. В более узком представлении математической моделью называют формальную зависимость между значениями параметров на входе моделируемого объекта (процесса) и выходными параметрами.

Значительному развитию теории математического моделирования и ее успешному использованию в научно-технических исследованиях способствовало широкое применение вычислительной техники. При этом математические модели изучаемых объектов или процессов могут представляться не только в виде уравнений и соотношений, но и в форме алгоритмов и программ для ЭВМ.

3.1. Основные этапы математического моделирования

В ходе выполнения математического моделирования можно выделить несколько этапов [8, 130]:

1) постановка задачи моделирования;

2) составление математического описания изучаемого объекта;

3) выбор метода решения уравнений математического описания и реализация его в форме моделирующей программы;

4) установление соответствия (адекватности) модели объекту.

Общая схема процесса математического моделирования представлена на рис. 32.

Рис. 32. Этапы разработки математической модели

На этапе постановки задачи моделирования четко формулируют сущность задачи исследования, принимаемые допущения; выделяют основные явления и элементы в объекте; изучают структуру объекта и главные зависимости, связывающие его элементы; формулируют гипотезы (хотя бы предварительные), объясняющие поведение и развитие объекта.
Этап составления математического описания — это этап формализации задачи, выражения ее в виде конкретных математических зависимостей и отношений. Здесь для каждого выделенного элемента и явления записывают уравнение (или систему уравнений), отражающее его функционирование. В зависимости от процесса математическое описание может быть представлено в виде системы алгебраических, дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений.

Кроме того здесь же выполняется предварительный анализ о существовании решений составленных уравнений. Если удастся доказать, что математическая задача не имеет решения, то необходимость в последующей работе по первоначальному варианту модели отпадает. Следует скорректировать либо постановку задачи, либо способы ее математической формализации. Также подготавливается исходная информация для моделирования, т. е. диапазоны изменения переменных, входящих в математическое описание объекта.

Этап выбора метода решения и разработки моделирующей программы включает разработку алгоритмов для аналитического или численного решения задачи, составления программ на ЭВМ и непосредственное проведение расчетов. Кроме того, на этом этапе выполняется выбор наиболее эффективного метода решения из имеющихся. Под эффективностью подразумевают быстроту получения и точность решения. Реализация метода решения выполняется сначала в форме алгоритма, а затем в форме программы, пригодной для расчета на ЭВМ.

При составлении математических моделей в ходе расчета и проектирования механического оборудования, наиболее часто используются следующие математические методы: наименьших квадратов, конечных элементов, сеток, планирования эксперимента.

Этап установления адекватности модели является заключительным в последовательности этапов, выполняемых при се разработке. Построенная модель должна верно качественно и количественно описывать свойства моделируемого объекта (процесса), т. е. она должна быть адекватна моделируемому объекту (процессу). Для проверки адекватности математической модели реальному процессу нужно сравнить результаты измерений на объекте (оригинале) с результатами, полученными на модели в идентичных условиях.

Как видно из схемы, анализ результатов - это заключительный этап моделирования. Полученные данные представляют в виде графиков, таблиц, диаграмм, а также разрабатывают рекомендации по использованию результатов моделирования на изучаемом объекте.

Такая последовательность этапов может выполняться циклически.

Нужно отметить, что современные математические задачи могут быть сложны по своей структуре, иметь большую размерность. Часто случается, что известные алгоритмы и программы для ЭВМ не позволяют решить задачу в первоначальном виде. Если невозможно в короткий срок разработать новые алгоритмы и программы, то исходную постановку задачи и модель упрощают: снимают и объединяют условия, уменьшают число учитываемых факторов, нелинейные соотношения заменяют линейными и т. д.

Недостатки, которые не удается исправить на промежуточных этапах моделирования, устраняются в последующих циклах. Но результаты каждого цикла имеют и вполне самостоятельное значение. Начав исследование с построения простой модели, можно быстро получить полезные результаты, а затем перейти к созданию более совершенной модели, дополняемой новыми условиями и включающей уточненные математические зависимости.

Очень часто целесообразно и удобно сочетать математические модели с физическими или с реальными объектами. При этом исследования значительно упрощаются и удешевляются. Преимуществом математического моделирования является возможность установить поведение исследуемого объекта в различных (в том числе и экстремальных) режимах и условиях работы без значительных затрат времени и риска.