ПРИВЕДЕНИЕ ВНЕШНИХ НАГРУЗОК, МАСС И ЖЕСТКОСТЕЙ
ГРУЗОПОДЪЕМНЫХ МАШИН
Приведение внешних нагрузок. Внешними нагрузками по отношению к
рассматриваемой системе в грузоподъемных машинах являются движущие и
тормозные усилия, силы тяжести, ветровые нагрузки и силы трения.
Приведение внешних нагрузок осуществляется на основании равенства работ
этих нагрузок в реальной и приведенной системах с использованием
принципа возможных перемещений.
Наибольшую трудоемкость вызывает учет и приведение сил трения, которые в
процессе работы машины изменяются по направлению и значению вследствие
непостоянства коэффициента трения. В статических расчетах и при
определении динамических усилий без учета упругих колебаний силы трения
условно учитывают с помощью КПД в предположении, что силы трения
пропорциональны усилиям между трущимися деталями. В динамических
расчетах с учетом колебаний силы трения с помощью КПД учесть нельзя, так
как направление усилия может непрерывно изменяться.
Непосредственный учет сил трения в передачах, пропорциональных
динамическим нагрузкам, приводит к нелинейности уравнений движения,
решение которых затруднительно и не имеет смысла ввиду незначительности
динамических сил трения, возникающих при колебаниях. Поэтому силами
трения, пропорциональными динамическим нагрузкам, определяемых с учетом
колебаний с точностью, достаточной для практических расчетов, можно
пренебречь. Силы трения, пропорциональные статическим нагрузкам,
учитывают при приведении внешних нагрузок (см. гл. 8, 9, 10, 11). Силы
трения, направление которых при пуске или торможении механизма не
изменяется, учитывают при приведении сосредоточенных масс, так как
динамическая нагрузка пропорциональна массе или моменту инерции
движущихся частей.
Приведение движущихся сосредоточенных масс.
Приведение движущихся сосредоточенных масс механизма к какому-либо валу
или поступательно движущемуся элементу производят на основе постоянства
кинетической энергии механизма в реальной системе и приведенной схеме с
учетом потерь энергии от сил трения, пропорциональных динамическим
усилиям, в передачах механизма, т. е. на основании равенства
Знак работы сил трения зависит от направления
потока энергии. Если передача энергии происходит от вала, к оси которого
приводятся параметры системы, к другим массам, например при приведении
масс к валу двигателя при пуске механизма, то Атр должно быть со знаком
плюс.
Физически это означает, что приводной двигатель при пуске должен
совершить дополнительную работу на преодоление сил трения, которая для
приведенной схемы суммируется с кинетической энергией реального
механизма. Если энергия передается от других масс к приводимому валу,
что может быть, например, при приведении движущихся масс к валу
двигателя при торможении механизма двигателем или тормозом,
расположенным на валу двигателя, то Атр должно иметь знак минус.
Физический смысл этого действия состоит в том, что тормоз должен
совершать работу по поглощению кинетической энергии движущихся масс,
уменьшенную на работу сил трения.
Определим приведенный к валу двигателя момент инерции масс простейшего
механизма подъема груза, состоящего из двигателя, муфты,
одноступенчатого редуктора, барабана и двукратного полиспаста (рис.
12.1). С учетом потерь от сил трения с помощью КПД уравнение имеет вид
Так как в этих выражениях величины, учитывающие
моменты инерции масс тихоходного вала, содержат квадраты передаточного
числа редуктора, влияние этих величин по сравнению с моментами инерции
масс быстроходных валов, относительно невелико. Поэтому при определении
приведенных моментов инерции крановых механизмов моменты инерции
вращающихся масс тихоходных валов учитывают путем умножения момента
инерции масс быстроходного вала на коэффициент 1,1—1,2.
С учетом этого соотношения выражения для моментов инерции механизмов
подъема кранов, приведенных к валу двигателя, соответственно при пуске и
торможении следующие:
В динамических расчетах усилий в канатах механизмов
подъема движущиеся массы приводят к направлению поступательного
перемещения груза. Составляя уравнение равенства энергий, получаем
выражения приведенной к этому направлению массы
механизма подъема соответственно при пуске и торможении:
Формулы для определения приведенных моментов
инерции механизмов передвижения, механизмов проворота и изменения вылета
приведены в соответствующих главах книги.
Следует еще раз отметить, что учет сил трения с помощью КПД справедлив
лишь для динамических расчетов, в которых не рассматривают упругие
колебания. В формулах приведенных масс и моментов инерции, используемых
в динамических расчетах с учетом упругих колебаний, КПД механизмов
следует принимать равным единице.
Приведение распределенных масс. В некоторых
элементах грузоподъемных машин масса может быть распределена по длине
этого элемента. К таким элементам относятся балки или фермы мостовых
кранов, пролетные строения козловых кранов, стрелы, канаты больших
диаметров и др. По существу такие элементы являются системами с
бесконечным числом степеней свободы, так как общее их состояние
определяется положением любой элементарной массы в произвольный момент
времени.
Из теории колебаний систем с распределенными массами (параметрами)
известно, что колебания любой элементарной массы такой системы при
приложении к ней произвольной внешней нагрузки складываются из
бесконечно большого числа главных колебаний различной частоты. Однако
при определенном месте приложения внешней нагрузки и некотором законе
изменения этой нагрузки во времени в системе с распределенными
параметрами наибольшую динамическую деформацию вызывает только одно
главное колебание низшей частоты. В этом случае такую систему можно
заменить приведенной системой с одной дискретной (сосредоточенной)
массой. Например, если на балку с распределенной массой, свободно
опертую на концах, в середине пролета внезапно прикладывается постоянная
сила или сосредоточенная сила, изменяющаяся по гармоническому закону во
времени, то такую балку можно заменить динамической системой с одной
дискретной массой, приведенной к середине пролета, т. е. к точке
приложения силы (рис. 12.2).
Приведение масс должно быть выполнено так, чтобы кинетическая энергия
реальной системы при ее низкочастотном главном колебании равнялась
кинетической энергии приведенной дискретной системы. Для определения
кинетической энергии реальной системы необходимо знать форму упругой
линии балки при динамическом прогибе низшей частоты, а для этого следует
решить дифференциальное уравнение упругих колебаний балки с
распределенными параметрами. Ввиду трудоемкости такого решения
используют приближенные способы, например метод Рэлея [5], согласно
кото-рому динамическая форма деформации балки заменяется некоторой
статической формой деформации.
Единственным условием выбора приближенной формы деформации является
соблюдение кинематических граничных условий. При свободном опира-нии
балки на концах это означает, что форма изгиба должна быть такой, чтобы
перемещения на концах балки равнялись нулю. Рэлей доказал, что в этом
случае кинетическая энергия системы весьма близка к кинетической энергии
системы, имеющей приближенную выбранную форму деформации.
В качестве простейшей формы деформации изогнутой балки можно принять
кривую изгиба под действием постоянной силы F, приложенной к балке в
середине пролета. Дифференциальное уравнение упругой линии при малых
деформациях на участке от х = О до х = 112 (рис. 12.2, а) имеет вид
Приведение жесткостей. Под жесткостью
упругого тела понимают его способность сопротивления деформациям.
Жесткость количественно определяется коэффициентом жесткости, который
равен отношению силового параметра к соответствующей деформации.
Коэффициент жесткости упругого тела называют просто жесткостью.
Основными упругими элементами грузоподъемных машин
являются валы, канаты, упругие муфты и металлоконструкции (мосты, балки,
стрелы и т. п.). Задача приведения жесткостей упругих элементов
возникает обычно в том случае, когда необходим учет
упругости нескольких элементов механизмов.
Приведение жесткостей выполняется так, чтобы потенциальная энергия
приведенной системы равнялась потенциальной энергии реальной упругой
системы.
Таким образом, упругая податливость механизма
создается в первую очередь вследствие упругой податливости его
тихоходных элементов: в механизмах передвижения — вследствие
податливости тихоходных валов; в механизмах подъема — вследствие
податливости канатов.